2023-2024学年初中数学沪科版八年级上册 12.3 一次函数和二次方程 同步分层训练基础卷
一、选择题
1．（2023八下·舞阳期末）如图，函数和的图象交于点，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·武功模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数（a、b为常数，且）的图象与一次函数的图象相交于点P，若点P的纵坐标为8，则关于x，y的方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023八下·舞阳期末）如图，直线分别与轴、轴交于点和点，直线分别与轴、轴交于点和点，点是内部（包括边上）的一点，则的最大值与最小值之差为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
4．（2019九上·邢台开学考）已知二元一次方程组 的解为 ，则函数 和 的图象交点坐标为（ ）
A．（3，－1） B．（－3，1） C．（1，－3） D．（－1，3）
5．（2023八下·湛江期末）在同一平面直角坐标系中，若一次函数与图象交于点M，则点M的坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023八下·荷塘期末）已知甲、乙两弹簧的长度y（cm）与所挂物体x（kg）之间的函数解析式分别是y1=k1x+b1，y2=k2x+b2，图象如图所示，当所挂物体质量均为2kg时，甲、乙两弹簧的长度y1与y2的大小关系为
A．y1>y2 B．y1=y2 C．y17．（2023八下·眉山期末）直线与直线平行，且与y轴交于点，则其函数表达式是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023八下·河源期末）若一次函数与的交点坐标为，如图所示，则的解集为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2023八下·黄浦期末）已知直线经过点，并且与直线平行，那么 ．
10．（2023八下·泉州期末）如图，已知函数与函数的图象交于点，则方程组的解是 ．
11．（2023八下·礼泉期末）如图，直线y =x+b与y =kx-1相交于点P，点P的横坐标为-1，则关于x的不等式x+b>kx-1的解集是 .
12．（2023八下·荷塘期末）已知一个函数的图象是一条经过原点且与一次函数的图象平行的直线，这个函数的表达式是 ．
13．如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC的顶点A在x轴上，顶点B的坐标为（8，4），点P是对角线OB上一个动点，点D的坐标为（0，﹣2），当DP与AP之和最小时，点P的坐标为
三、解答题
14．（2023八下·双辽期末）在直角坐标系中，将直线向下平移2个单位后经过点，求a的值．
15．（2023八下·榆树期末）若函数y＝（2m+1）x+m+3的图象平行于直线y＝3x-3，求函数解析式．
四、综合题
16．（2023八下·云浮期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点、，且与直线交于点．
（1）求出、、的坐标；
（2）直接写出关于的不等式的解集；
17．（2023八下·广州期末）已知一次函数的图象经过，两点．
（1）求此一次函数表达式；
（2）试判断点是否在此一次函数的图象上．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：将点A坐标代入正比例函数，
得到m=，
∴点A坐标为，
由图可知，当 时，
正比例函数的图象在一次函数下面，
∴当时，
，
故答案为：B.
【分析】根据正比例函数图象上点的坐标特点，代入y=3将点A坐标解出来，再找出正比例函数的图象在一次函数下面部分自变量的取值范围，即可写出解集.
2．【答案】A
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的综合应用
【解析】【解答】解：将y=8代入y=x+4得x=4，
∴点P（4，8），
∴ 关于x，y的方程组的解是 .
故答案为：A.
【分析】将点P的纵坐标y=8代入y=x+4得x=4，从而可得点P（4，8），进而根据两一次函数图象交点的坐标就是两一次函数解析式组成的方程组的解，可得答案.
3．【答案】B
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】 解：点P(m，2）是△ABC内部(包括边上）的一点，
∴点P在直线y=2上，如图所示，
当P为直线y=2与直线y2的交点时，m取最大值，
当P为直线y=2与直线y1的交点时，m取最小值，
∵y1=-x+3中令y=2，则x=1，
y2=x+3中令y=2，则x=-1，
∴m的最大值为1，m的最小值为-1.
则m的最大值与最小值之差为：1-(-1)=2
故选：B.
【分析】 根据一次函数的性质，因为P的纵坐标为2，故点P在直线y=2上，则P点位于两条边上即可得到最值，当P点位于y2上时m有最小值，当P点位于y1上时m有最大值，故可求得.
4．【答案】A
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的综合应用；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：∵二元一次方程组 的解为 ，
∴函数y=ax+b和y=kx的图象交点坐标为（3，-1）．
故答案为：A．
【分析】函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．
5．【答案】A
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：两函数解析式组成的方程组为：，
解该方程组得，
∴点M的坐标为（2，1）；
故答案为：A.
【分析】两一次函数图象交点的坐标，就是两一次函数解析式组成的方程组的解，据此可得答案.
6．【答案】A
【知识点】一次函数的图象；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：由题意得当所挂物体质量均为2kg时，甲、乙两弹簧的长度y1与y2的大小关系为y1>y2，
故答案为：A
【分析】根据两个一次函数的图象即可求解。
7．【答案】B
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】∵y=kx+b与y=-4x+2023平行，
∴k=-4，
又∵y=kx+b与y轴交于点（0，-5），
∴b=-5，
∴函数表达式为：y=-4x-5.
故答案为：B。
【分析】根据两直线平行可知y=kx+b的系数k=-4，根据与y轴的交点可知b=-5，即可得出函数表达式为y=-4x-5。
8．【答案】A
【知识点】一次函数与不等式（组）的综合应用；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：∵两函数的交点坐标为（3，2），
由图象可知不等式mx+n＜-x+a的解集为x＜3.
故答案为：A.
【分析】利用两函数图象交点的横坐标，观察函数图象可得到不等式mx+n＜-x+a的解集.
9．【答案】
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：∵直线经过点，并且与直线平行，
∴2×2+b=2，
解得：b=-2，
故答案为：-2.
【分析】根据题意先求出2×2+b=2，再求解即可。
10．【答案】
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：∵点P（4，-6）是函数与函数的图象的交点
∴方程组的解是.
故答案为：.
【分析】利用“方程组的解就是两个对应的一次函数图象的交点坐标”即可解决问题.
11．【答案】x>-1
【知识点】一次函数与不等式（组）的综合应用；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】 解：根据题意，不等式x+b>kx-1的解集即为直线y1=x+b在y2=kx-1上方的图象对应的x的取值范围，观察图形可得不等式x+b>kx-1的解集为x>-1.
故答案为：x>-1
【分析】根据题意可得不等式x+b>kx-1的解集即为直线y1=x+b在y2=kx-1上方的图象对应的x的取值范围；接下来结合点P的横坐标为-1，以及所给图象的信息可得不等式x+b>kx-1的解集.
12．【答案】
【知识点】一次函数图象与几何变换；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：∵一个函数的图象是一条经过原点且与一次函数的图象平行的直线，
∴这个函数的表达式是，
故答案为：
【分析】根据两个一次函数平行的问题结合题意即可求解。
13．【答案】（ ， ）
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】由菱形的性质可知：点A的对称点是点C，所以连接CD，交OB于点P，再得出CD即为DP+AP最短，解答即可.
故答案为：.
【分析】依据两点之间线段最短进行确定点P的位置.再根据一次函数的交点求点P的坐标.
14．【答案】解：将直线向下平移2个单位后得，
经过点，
，
解得：．
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；平移的性质；一次函数的性质
【解析】【分析】先根据平移的性质结合题意即可得到将直线向下平移2个单位后得，再根据一次函数的性质即可求解。
15．【答案】解：∵函数y＝（2m+1）x+m+3的图象平行于直线y＝3x-3
∴，
∴m＝1，
∴函数解析式为y＝3x+4
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【分析】 当k1=k2，b1≠b2时，直线y=k1x+b1与y=k2x+b2平行，据此解答即可.
16．【答案】（1）解：∵直线分别与轴、轴交于点、，
∴当时，，
∴点；
当时，，解得：，
∴点；
∵直线与直线交于点，
∴，
解得：，
把代入，得，
∴点．
（2）解：∵当时，直线在直线的上方，交点为，
∴，
∴不等式的解集为：．
【知识点】一次函数与不等式（组）的综合应用；两一次函数图象相交或平行问题；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【分析】(1)先利用坐标轴上点坐标的特征通过函数求得点A、B坐标，再联立方程组求得点C坐标.
(2)由点C坐标可知，当x=6时，两函数值相等，即，故当时，直线在直线的上方，即点C的左侧，因此可得不等式的解集为．
17．【答案】（1）解：设一次函数的解析式为，
∵，在函数图象上，
∴，
解得，
∴一次函数的解析式为：；
（2）解：由（1）知，函数解析式为：，
∴当时，，
∴点不在一次函数的图象上．
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【分析】（1）设所求的一次函数解析式为y=kx+b（k≠0），然后将点A、B的坐标分别代入可得关于字母k、b的方程组，求解得到k、b的值，从而得到所求的函数解析式；
（2）将x=-1代入（1）求得的函数解析式算出对应的函数值，并将该函数值与6进行比较即可得出结论.
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一、选择题
1．（2023八下·舞阳期末）如图，函数和的图象交于点，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：将点A坐标代入正比例函数，
得到m=，
∴点A坐标为，
由图可知，当 时，
正比例函数的图象在一次函数下面，
∴当时，
，
故答案为：B.
【分析】根据正比例函数图象上点的坐标特点，代入y=3将点A坐标解出来，再找出正比例函数的图象在一次函数下面部分自变量的取值范围，即可写出解集.
2．（2023·武功模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数（a、b为常数，且）的图象与一次函数的图象相交于点P，若点P的纵坐标为8，则关于x，y的方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的综合应用
【解析】【解答】解：将y=8代入y=x+4得x=4，
∴点P（4，8），
∴ 关于x，y的方程组的解是 .
故答案为：A.
【分析】将点P的纵坐标y=8代入y=x+4得x=4，从而可得点P（4，8），进而根据两一次函数图象交点的坐标就是两一次函数解析式组成的方程组的解，可得答案.
3．（2023八下·舞阳期末）如图，直线分别与轴、轴交于点和点，直线分别与轴、轴交于点和点，点是内部（包括边上）的一点，则的最大值与最小值之差为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
【答案】B
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】 解：点P(m，2）是△ABC内部(包括边上）的一点，
∴点P在直线y=2上，如图所示，
当P为直线y=2与直线y2的交点时，m取最大值，
当P为直线y=2与直线y1的交点时，m取最小值，
∵y1=-x+3中令y=2，则x=1，
y2=x+3中令y=2，则x=-1，
∴m的最大值为1，m的最小值为-1.
则m的最大值与最小值之差为：1-(-1)=2
故选：B.
【分析】 根据一次函数的性质，因为P的纵坐标为2，故点P在直线y=2上，则P点位于两条边上即可得到最值，当P点位于y2上时m有最小值，当P点位于y1上时m有最大值，故可求得.
4．（2019九上·邢台开学考）已知二元一次方程组 的解为 ，则函数 和 的图象交点坐标为（ ）
A．（3，－1） B．（－3，1） C．（1，－3） D．（－1，3）
【答案】A
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的综合应用；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：∵二元一次方程组 的解为 ，
∴函数y=ax+b和y=kx的图象交点坐标为（3，-1）．
故答案为：A．
【分析】函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．
5．（2023八下·湛江期末）在同一平面直角坐标系中，若一次函数与图象交于点M，则点M的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：两函数解析式组成的方程组为：，
解该方程组得，
∴点M的坐标为（2，1）；
故答案为：A.
【分析】两一次函数图象交点的坐标，就是两一次函数解析式组成的方程组的解，据此可得答案.
6．（2023八下·荷塘期末）已知甲、乙两弹簧的长度y（cm）与所挂物体x（kg）之间的函数解析式分别是y1=k1x+b1，y2=k2x+b2，图象如图所示，当所挂物体质量均为2kg时，甲、乙两弹簧的长度y1与y2的大小关系为
A．y1>y2 B．y1=y2 C．y1【答案】A
【知识点】一次函数的图象；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：由题意得当所挂物体质量均为2kg时，甲、乙两弹簧的长度y1与y2的大小关系为y1>y2，
故答案为：A
【分析】根据两个一次函数的图象即可求解。
7．（2023八下·眉山期末）直线与直线平行，且与y轴交于点，则其函数表达式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】∵y=kx+b与y=-4x+2023平行，
∴k=-4，
又∵y=kx+b与y轴交于点（0，-5），
∴b=-5，
∴函数表达式为：y=-4x-5.
故答案为：B。
【分析】根据两直线平行可知y=kx+b的系数k=-4，根据与y轴的交点可知b=-5，即可得出函数表达式为y=-4x-5。
8．（2023八下·河源期末）若一次函数与的交点坐标为，如图所示，则的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一次函数与不等式（组）的综合应用；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：∵两函数的交点坐标为（3，2），
由图象可知不等式mx+n＜-x+a的解集为x＜3.
故答案为：A.
【分析】利用两函数图象交点的横坐标，观察函数图象可得到不等式mx+n＜-x+a的解集.
二、填空题
9．（2023八下·黄浦期末）已知直线经过点，并且与直线平行，那么 ．
【答案】
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：∵直线经过点，并且与直线平行，
∴2×2+b=2，
解得：b=-2，
故答案为：-2.
【分析】根据题意先求出2×2+b=2，再求解即可。
10．（2023八下·泉州期末）如图，已知函数与函数的图象交于点，则方程组的解是 ．
【答案】
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：∵点P（4，-6）是函数与函数的图象的交点
∴方程组的解是.
故答案为：.
【分析】利用“方程组的解就是两个对应的一次函数图象的交点坐标”即可解决问题.
11．（2023八下·礼泉期末）如图，直线y =x+b与y =kx-1相交于点P，点P的横坐标为-1，则关于x的不等式x+b>kx-1的解集是 .
【答案】x>-1
【知识点】一次函数与不等式（组）的综合应用；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】 解：根据题意，不等式x+b>kx-1的解集即为直线y1=x+b在y2=kx-1上方的图象对应的x的取值范围，观察图形可得不等式x+b>kx-1的解集为x>-1.
故答案为：x>-1
【分析】根据题意可得不等式x+b>kx-1的解集即为直线y1=x+b在y2=kx-1上方的图象对应的x的取值范围；接下来结合点P的横坐标为-1，以及所给图象的信息可得不等式x+b>kx-1的解集.
12．（2023八下·荷塘期末）已知一个函数的图象是一条经过原点且与一次函数的图象平行的直线，这个函数的表达式是 ．
【答案】
【知识点】一次函数图象与几何变换；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：∵一个函数的图象是一条经过原点且与一次函数的图象平行的直线，
∴这个函数的表达式是，
故答案为：
【分析】根据两个一次函数平行的问题结合题意即可求解。
13．如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC的顶点A在x轴上，顶点B的坐标为（8，4），点P是对角线OB上一个动点，点D的坐标为（0，﹣2），当DP与AP之和最小时，点P的坐标为
【答案】（ ， ）
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】由菱形的性质可知：点A的对称点是点C，所以连接CD，交OB于点P，再得出CD即为DP+AP最短，解答即可.
故答案为：.
【分析】依据两点之间线段最短进行确定点P的位置.再根据一次函数的交点求点P的坐标.
三、解答题
14．（2023八下·双辽期末）在直角坐标系中，将直线向下平移2个单位后经过点，求a的值．
【答案】解：将直线向下平移2个单位后得，
经过点，
，
解得：．
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；平移的性质；一次函数的性质
【解析】【分析】先根据平移的性质结合题意即可得到将直线向下平移2个单位后得，再根据一次函数的性质即可求解。
15．（2023八下·榆树期末）若函数y＝（2m+1）x+m+3的图象平行于直线y＝3x-3，求函数解析式．
【答案】解：∵函数y＝（2m+1）x+m+3的图象平行于直线y＝3x-3
∴，
∴m＝1，
∴函数解析式为y＝3x+4
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【分析】 当k1=k2，b1≠b2时，直线y=k1x+b1与y=k2x+b2平行，据此解答即可.
四、综合题
16．（2023八下·云浮期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点、，且与直线交于点．
（1）求出、、的坐标；
（2）直接写出关于的不等式的解集；
【答案】（1）解：∵直线分别与轴、轴交于点、，
∴当时，，
∴点；
当时，，解得：，
∴点；
∵直线与直线交于点，
∴，
解得：，
把代入，得，
∴点．
（2）解：∵当时，直线在直线的上方，交点为，
∴，
∴不等式的解集为：．
【知识点】一次函数与不等式（组）的综合应用；两一次函数图象相交或平行问题；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【分析】(1)先利用坐标轴上点坐标的特征通过函数求得点A、B坐标，再联立方程组求得点C坐标.
(2)由点C坐标可知，当x=6时，两函数值相等，即，故当时，直线在直线的上方，即点C的左侧，因此可得不等式的解集为．
17．（2023八下·广州期末）已知一次函数的图象经过，两点．
（1）求此一次函数表达式；
（2）试判断点是否在此一次函数的图象上．
【答案】（1）解：设一次函数的解析式为，
∵，在函数图象上，
∴，
解得，
∴一次函数的解析式为：；
（2）解：由（1）知，函数解析式为：，
∴当时，，
∴点不在一次函数的图象上．
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【分析】（1）设所求的一次函数解析式为y=kx+b（k≠0），然后将点A、B的坐标分别代入可得关于字母k、b的方程组，求解得到k、b的值，从而得到所求的函数解析式；
（2）将x=-1代入（1）求得的函数解析式算出对应的函数值，并将该函数值与6进行比较即可得出结论.
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