2023-2024学年初中数学沪科版八年级上册 13.1 三角形中的边角关系 同步分层训练基础卷
一、选择题
1．（2023八上·韩城期末）两根长度分别为2，10的木棒，若想钉一个三角形木架，第三根木棒的长度可以是（ ）
A．13 B．10 C．7 D．6
2．（2023八上·南宁期末）若长度为x，2，3的三条线段能组成一个三角形，则x的值可能为（ ）
A．6 B．5 C．1 D．3
3．（2023八上·南充期末）下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．2，3，6 B．5，8，13 C．4，4，7 D．3，4，8
4．等腰三角形的两条边长分别为15cm和7cm，则它的周长为（ ）
A．37cm B．29cm C．37cm或29cm D．无法确定
5．（2023八上·嘉兴期末）若一个直角三角形其中一个锐角为40°，则该直角三角形的另一个锐角是（ ）
A．60° B．50° C．40° D．30°
6．（2021八上·庐阳期末）如图，在与中，，，，点，，三点在同一条直线上，连接，．在以下判断中，错误的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023八上·西安期末）如图，的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上，则边上的高为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023八上·江北期末）如图，从各顶点作平行线，各与其对边或其延长线相交于点D，E，F.若的面积为，的面积为，的面积为，只要知道下列哪个值就可以求出的面积（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2023八上·凤凰期末）三角形的两边长分别是10和8，则第三边的x取值范围是 .
10．（2023八上·温州期末）若一个三角形三个内角的度数之比为1：2：3，则这个三角形是 三角形(填“锐角”、“直角”或“钝角”) ．
11．（2023八上·金东期末）如图，直线，且于点C，若，则的度数为 .
12．（2023八上·凤凰期末）如图中，已知D、E、F分别是BC、AD、CE的中点，且，那么阴影部分的面积为 .
三、解答题
13．（2023八上·汉阴期末）如图，点为的边的延长线上一点，过点作于点，交于点，若，，求的度数.
14．（2023八上·渭滨期末）如图，在中， ，，的外角的平分线交的延长线于点E.求的度数.
四、综合题
15．（2023八上·江北期末）如图，一次函数的图象和y轴交于点B，与正比例函数图象交于点.
（1）求m和n的值；
（2）求的面积.
（3）根据图像直接写出当时，x的取值范围.
16．（2023八上·渭滨期末）如图，一次函数y1＝x+2的图象是直线l1，一次函数y2＝kx+b的图象是直线l2，两条直线相交于点A（1，a），已知直线l1和l2与x轴的交点分别是点B，点C，且直线l2与y轴相交于点E（0，4）.
（1）点A坐标为 ，点B坐标为 .
（2）求出直线l2的表达式；
（3）试求△ABC的面积.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：设第三边的长度为x，
则，
即，
则符合题意，
故答案为：B.
【分析】设第三边的长度为x，根据三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，列出不等式组，求解可得x的取值范围，从而一一判断即可得出答案.
2．【答案】D
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：由题意得：，即，
则x的值可能是3，
故答案为：D.
【分析】三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，据此解答即可.
3．【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A、∵2+3＜6，∴2、3、6三条线段不能为围成三角形，故此选项不符合题意；
B、∵5+8=13，∴5、8、13三条线段不能为围成三角形，故此选项不符合题意；
C、∵4+4＞7，∴4、4、7三条线段能为围成三角形，故此选项符合题意；
D、∵3+4＜8，∴3、4、8三条线段不能为围成三角形，故此选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】由三角形三边关系，只需要判断较小两边的和是否大于最大边长即可，从而一一判断得出答案.
4．【答案】A
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【分析】求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长；题目给出等腰三角形有两条边长为15和7，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形。
【解答】（1）若7为腰长，15为底边长，由于7+7＜15，则三角形不存在；
（2）若15为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边，
所以这个三角形的周长为15+15+7=37；
故选A．
【点评】题目从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去。
5．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵直角三角形的一个锐角为40°，
∴另一个锐角为90°-40°=50°.
故答案为：B
【分析】利用直角三角形的两锐角互余，可求出另一个锐角的度数.
6．【答案】D
【知识点】角的运算；三角形三边关系；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：A、∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC， 即∠BAD=∠CAE．
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴BD=CE．故本选项不符合题意；
B、∵△ABD≌△ACE， ∴∠ABD=∠ACE．
∵∠CAB=90°，
∴∠ABD+∠DBC+∠ACB=90°，
∴∠DBC+∠ACE+∠ACB=90°，
∴∠BDC=180°-90°=90°．
∴BD⊥CE；故本选项不符合题意；
C、∵∠ADE=∠DAC+∠DCA=45°，∠DBC+∠ACD=45°，
∴∠DAC=∠DBC， 故本选项不符合题意；
D、∵AB+AE＞BE，
∴AC+AD＞BE， 故本选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】利用三角形全等的判定和性质及三角形三边的关系逐项判断即可。
7．【答案】B
【知识点】三角形的面积
【解析】【解答】解：∵，
又∵，
∴边长的高为：，故B正确.
故答案为：B.
【分析】利用割补法，用△ABC外接矩形的面积分别减去周围三个三角形的面积，即可求出△ABC的面积，然后根据S△ABC=BC·BC边上的高进行求解.
8．【答案】C
【知识点】三角形的面积
【解析】【解答】解：∵，
∴和在底边上的高相等，和在底边上的高相等，和在底边上的高相等，
∴
∴.
即.
∵
即
即，
故答案为：C.
【分析】由题意可得S△ADF=S△ADC，S△BEF=S△BEC，S△AEF=S△BEF-S△ABE=S△BFC-S△ABE=S△ABC，进而推出S△DEF=2S△ABC，然后根据S△EDC+S△EBD-S△AEB=S△ABC进行解答.
9．【答案】
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：根据三角形的三边关系：10 8＜x＜10＋8，
解得：2＜x＜18.
故答案为：2＜x＜18.
【分析】三角形的三边关系：任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，据此求解.
10．【答案】直角
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵ 一个三角形三个内角的度数之比为1：2：3，
∴设该三角形三内角度数分别为x、2x、3x，
∴x+2x+3X=180，
解得x=30，
∴最大内角的度数为90°，
故该三角形是直角三角形.
故答案为：直角.
【分析】由已知可设该三角形三内角度数分别为x、2x、3x，根据三角形的内角和定理建立方程求解可得x的值，从而求出最大内角为90°，进而根据直角三角形的定义即可得出结论.
11．【答案】55°
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：，
.
在中，，
，
，
.
，
.
故答案为：55°.
【分析】根据平行线的性质可得∠ABC=∠BCD，根据内角和定理可得∠ABC=55°，据此计算.
12．【答案】2
【知识点】三角形的面积；线段的中点
【解析】【解答】解：∵D是的中点，
∴，
∴，
∵E是的中点，
∴，
∴，
，
∴，
∵是的中点，
∴，
∴，
故答案为：2.
【分析】根据中点的概念以及三角形的面积公式可得S△ABD=S△ACD=S△ABC=4，S△BED=S△ABD=2，S△DEC=S△ACD=2，则S△BEC=S△BDE+S△DCE=4，同理可得S△BEF=S△BEC，据此计算.
13．【答案】解：∵在中，，
∴，
∴，
∴.
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【分析】根据垂直的定义得∠AEC=90°，根据直角三角形两锐角互余得∠A=70°，进而根据三角形外角性质得∠FBC=∠A+∠F，代入计算即可得出答案.
14．【答案】解：中，，，
.
是的平分线，
【知识点】三角形的外角性质；角平分线的定义
【解析】【分析】由外角的性质可得∠CBD=∠A+∠ACB=130°，根据角平分线的概念可得∠CBE=∠CBD，据此计算.
15．【答案】（1）解：把代入得，
所以点坐标为，
把代入得，解得，
即和的值分别为4.2
（2）解：∵令，则，
故点坐标为，，
∴；
（3）解：
【知识点】坐标与图形性质；一次函数与不等式（组）的综合应用；两一次函数图象相交或平行问题；三角形的面积；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】（3）解：因为点坐标为，
所以不等式的解集是.
【分析】（1）将P（2，n）代入y2=x中可得n的值，表示出点P的坐标，然后代入y1=-x+m中进行计算可得m的值；
（2）令y1解析式中的y1=0，求出x的值，得到点A的坐标，然后求出OA的值，再结合三角形的面积公式进行计算；
（3）根据图象，找出y1在y2上方部分所对应的x的范围即可.
16．【答案】（1）(1，3)；(-2，0)
（2）解：一次函数y2＝kx+b过点E（0，4）
则
解得
直线l2的表达式为
（3）解：令，即
解得
【知识点】坐标与图形性质；待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；三角形的面积；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：（1）一次函数y1＝x+2过点A（1，a），
令，即，解得
故答案为：，.
【分析】（1）将A（1，a）代入y1=x+2中可求出a的值，得到点A的坐标，令y1=0，求出x的值，据此可得点B的坐标；
（2）将A（1，3）、E（0，4）代入y2=kx+b中求出k、b的值，据此可得直线l2的表达式；
（3）令y2=0，求出x的值，得到点C的坐标，然后根据三角形的面积公式进行计算.
1 / 12023-2024学年初中数学沪科版八年级上册 13.1 三角形中的边角关系 同步分层训练基础卷
一、选择题
1．（2023八上·韩城期末）两根长度分别为2，10的木棒，若想钉一个三角形木架，第三根木棒的长度可以是（ ）
A．13 B．10 C．7 D．6
【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：设第三边的长度为x，
则，
即，
则符合题意，
故答案为：B.
【分析】设第三边的长度为x，根据三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，列出不等式组，求解可得x的取值范围，从而一一判断即可得出答案.
2．（2023八上·南宁期末）若长度为x，2，3的三条线段能组成一个三角形，则x的值可能为（ ）
A．6 B．5 C．1 D．3
【答案】D
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：由题意得：，即，
则x的值可能是3，
故答案为：D.
【分析】三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，据此解答即可.
3．（2023八上·南充期末）下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．2，3，6 B．5，8，13 C．4，4，7 D．3，4，8
【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A、∵2+3＜6，∴2、3、6三条线段不能为围成三角形，故此选项不符合题意；
B、∵5+8=13，∴5、8、13三条线段不能为围成三角形，故此选项不符合题意；
C、∵4+4＞7，∴4、4、7三条线段能为围成三角形，故此选项符合题意；
D、∵3+4＜8，∴3、4、8三条线段不能为围成三角形，故此选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】由三角形三边关系，只需要判断较小两边的和是否大于最大边长即可，从而一一判断得出答案.
4．等腰三角形的两条边长分别为15cm和7cm，则它的周长为（ ）
A．37cm B．29cm C．37cm或29cm D．无法确定
【答案】A
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【分析】求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长；题目给出等腰三角形有两条边长为15和7，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形。
【解答】（1）若7为腰长，15为底边长，由于7+7＜15，则三角形不存在；
（2）若15为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边，
所以这个三角形的周长为15+15+7=37；
故选A．
【点评】题目从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去。
5．（2023八上·嘉兴期末）若一个直角三角形其中一个锐角为40°，则该直角三角形的另一个锐角是（ ）
A．60° B．50° C．40° D．30°
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵直角三角形的一个锐角为40°，
∴另一个锐角为90°-40°=50°.
故答案为：B
【分析】利用直角三角形的两锐角互余，可求出另一个锐角的度数.
6．（2021八上·庐阳期末）如图，在与中，，，，点，，三点在同一条直线上，连接，．在以下判断中，错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】角的运算；三角形三边关系；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：A、∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC， 即∠BAD=∠CAE．
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴BD=CE．故本选项不符合题意；
B、∵△ABD≌△ACE， ∴∠ABD=∠ACE．
∵∠CAB=90°，
∴∠ABD+∠DBC+∠ACB=90°，
∴∠DBC+∠ACE+∠ACB=90°，
∴∠BDC=180°-90°=90°．
∴BD⊥CE；故本选项不符合题意；
C、∵∠ADE=∠DAC+∠DCA=45°，∠DBC+∠ACD=45°，
∴∠DAC=∠DBC， 故本选项不符合题意；
D、∵AB+AE＞BE，
∴AC+AD＞BE， 故本选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】利用三角形全等的判定和性质及三角形三边的关系逐项判断即可。
7．（2023八上·西安期末）如图，的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上，则边上的高为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的面积
【解析】【解答】解：∵，
又∵，
∴边长的高为：，故B正确.
故答案为：B.
【分析】利用割补法，用△ABC外接矩形的面积分别减去周围三个三角形的面积，即可求出△ABC的面积，然后根据S△ABC=BC·BC边上的高进行求解.
8．（2023八上·江北期末）如图，从各顶点作平行线，各与其对边或其延长线相交于点D，E，F.若的面积为，的面积为，的面积为，只要知道下列哪个值就可以求出的面积（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的面积
【解析】【解答】解：∵，
∴和在底边上的高相等，和在底边上的高相等，和在底边上的高相等，
∴
∴.
即.
∵
即
即，
故答案为：C.
【分析】由题意可得S△ADF=S△ADC，S△BEF=S△BEC，S△AEF=S△BEF-S△ABE=S△BFC-S△ABE=S△ABC，进而推出S△DEF=2S△ABC，然后根据S△EDC+S△EBD-S△AEB=S△ABC进行解答.
二、填空题
9．（2023八上·凤凰期末）三角形的两边长分别是10和8，则第三边的x取值范围是 .
【答案】
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：根据三角形的三边关系：10 8＜x＜10＋8，
解得：2＜x＜18.
故答案为：2＜x＜18.
【分析】三角形的三边关系：任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，据此求解.
10．（2023八上·温州期末）若一个三角形三个内角的度数之比为1：2：3，则这个三角形是 三角形(填“锐角”、“直角”或“钝角”) ．
【答案】直角
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵ 一个三角形三个内角的度数之比为1：2：3，
∴设该三角形三内角度数分别为x、2x、3x，
∴x+2x+3X=180，
解得x=30，
∴最大内角的度数为90°，
故该三角形是直角三角形.
故答案为：直角.
【分析】由已知可设该三角形三内角度数分别为x、2x、3x，根据三角形的内角和定理建立方程求解可得x的值，从而求出最大内角为90°，进而根据直角三角形的定义即可得出结论.
11．（2023八上·金东期末）如图，直线，且于点C，若，则的度数为 .
【答案】55°
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：，
.
在中，，
，
，
.
，
.
故答案为：55°.
【分析】根据平行线的性质可得∠ABC=∠BCD，根据内角和定理可得∠ABC=55°，据此计算.
12．（2023八上·凤凰期末）如图中，已知D、E、F分别是BC、AD、CE的中点，且，那么阴影部分的面积为 .
【答案】2
【知识点】三角形的面积；线段的中点
【解析】【解答】解：∵D是的中点，
∴，
∴，
∵E是的中点，
∴，
∴，
，
∴，
∵是的中点，
∴，
∴，
故答案为：2.
【分析】根据中点的概念以及三角形的面积公式可得S△ABD=S△ACD=S△ABC=4，S△BED=S△ABD=2，S△DEC=S△ACD=2，则S△BEC=S△BDE+S△DCE=4，同理可得S△BEF=S△BEC，据此计算.
三、解答题
13．（2023八上·汉阴期末）如图，点为的边的延长线上一点，过点作于点，交于点，若，，求的度数.
【答案】解：∵在中，，
∴，
∴，
∴.
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【分析】根据垂直的定义得∠AEC=90°，根据直角三角形两锐角互余得∠A=70°，进而根据三角形外角性质得∠FBC=∠A+∠F，代入计算即可得出答案.
14．（2023八上·渭滨期末）如图，在中， ，，的外角的平分线交的延长线于点E.求的度数.
【答案】解：中，，，
.
是的平分线，
【知识点】三角形的外角性质；角平分线的定义
【解析】【分析】由外角的性质可得∠CBD=∠A+∠ACB=130°，根据角平分线的概念可得∠CBE=∠CBD，据此计算.
四、综合题
15．（2023八上·江北期末）如图，一次函数的图象和y轴交于点B，与正比例函数图象交于点.
（1）求m和n的值；
（2）求的面积.
（3）根据图像直接写出当时，x的取值范围.
【答案】（1）解：把代入得，
所以点坐标为，
把代入得，解得，
即和的值分别为4.2
（2）解：∵令，则，
故点坐标为，，
∴；
（3）解：
【知识点】坐标与图形性质；一次函数与不等式（组）的综合应用；两一次函数图象相交或平行问题；三角形的面积；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】（3）解：因为点坐标为，
所以不等式的解集是.
【分析】（1）将P（2，n）代入y2=x中可得n的值，表示出点P的坐标，然后代入y1=-x+m中进行计算可得m的值；
（2）令y1解析式中的y1=0，求出x的值，得到点A的坐标，然后求出OA的值，再结合三角形的面积公式进行计算；
（3）根据图象，找出y1在y2上方部分所对应的x的范围即可.
16．（2023八上·渭滨期末）如图，一次函数y1＝x+2的图象是直线l1，一次函数y2＝kx+b的图象是直线l2，两条直线相交于点A（1，a），已知直线l1和l2与x轴的交点分别是点B，点C，且直线l2与y轴相交于点E（0，4）.
（1）点A坐标为 ，点B坐标为 .
（2）求出直线l2的表达式；
（3）试求△ABC的面积.
【答案】（1）(1，3)；(-2，0)
（2）解：一次函数y2＝kx+b过点E（0，4）
则
解得
直线l2的表达式为
（3）解：令，即
解得
【知识点】坐标与图形性质；待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；三角形的面积；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：（1）一次函数y1＝x+2过点A（1，a），
令，即，解得
故答案为：，.
【分析】（1）将A（1，a）代入y1=x+2中可求出a的值，得到点A的坐标，令y1=0，求出x的值，据此可得点B的坐标；
（2）将A（1，3）、E（0，4）代入y2=kx+b中求出k、b的值，据此可得直线l2的表达式；
（3）令y2=0，求出x的值，得到点C的坐标，然后根据三角形的面积公式进行计算.
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