2023-2024学年初中数学沪科版八年级上册 13.1 三角形中的边角关系 同步分层训练培优卷
一、选择题
1．（2023七下·宽城期末）如图，数轴上A、B两点到原点的距离是三角形两边的长，则该三角形第三边长可能是（ ）
A．1 B．4 C．7 D．8
2．（2023七下·阳城期末）某学校七年级2班学生杨冲家和李锐家到学校的直线距离分别是和．那么杨冲，李锐两家的直线距离不可能是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023七下·阳城期末）如图，已知的内角，分别作内角与外角的平分线，两条平分线交于点，得；和的平分线交于点，得；，以此类推得到，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023七下·连州期末）如图，已知直线，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023七下·梅江期末）已知一个等腰三角形的两边长分别是4和8，则该等腰三角形的周长为（ ）
A．16或20 B．16 C．20 D．12或24
6．（2023七下·榕城期末）如图，点D、E分别是边、上一点，，，连接交于点F，若的面积为12，则与的面积之差等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（2023七下·澄海期末）如图，已知直线，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
8．（2023七下·金东期末）如图，直线，将一块含30°角的直角三角板ABC按如图所示放置（），边交直线于点，边交直线于点，边分别交直线于点，在线段上取一点，连结，且有，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2023七下·禅城期末）如图，中，点D、E分别是、的中点，连接、交于点F．当的面积为时，的面积为 ．
10．（2023七下·承德期末）如图，已知在中，点D，E，F分别为，，的中点，且，则 ．
11．（2023七下·曲阳期末）如图，和分别是的内角平分线和外角平分线，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，若，则 ．
12．（2023七下·越秀期末）如图，在四边形中，如果，，P是边上一点，平分交边于点E，平分交边于点F．以下四个结论：①；②；③若，则；④若平分，则．其中正确的是 （填写正确的序号）．
13．（2023七下·增城期末）如图，已知，，点E、F在线段上，且满足平分，平分，可以左右平行移动．给出下列四个结论．其中正确的结论有 （填写所有正确结论的序号）．
①；
②；
③；
④
三、解答题
14．（2023七下·吉林期中）如图，在△ABC中，BD是∠ABC的平分线，CE是AB边上的高，且∠ACB＝60°，∠ADB＝100°，求∠A和∠ACE的度数．
15．（2023七下·龙口期末）如图，在中，，是上一点，的延长线与的延长线交于点．求证：．
四、作图题
16．（2023七下·东港期末）如图∶已知，，
（1）在坐标系中描出各点，画出．
（2）求的面积；
（3）设点P在坐标轴上，且与的相等，直接写出点P的坐标．
五、综合题
17．（2022七下·文山期末）如图，在中，，点D是线段上（不与点B、C重合）的动点．
（1）尺规作图：作线段（点E在线段AC上），连接（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，若，当时，求的度数；
（3）在（1）的条件下，试猜想与的数量关系，并说明理由．
18．（2023八下·应县期末）如图，在平面直角坐标系中，过点C（0，6）的直线AB与直线OA相交于点A（4，2），动点M在直线OA和射线AC上运动．
（1）求直线AB的解析式；
（2）求△OAB的面积；
（3）是否存在点M，使△OMC的面积是△OAB的面积的？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；三角形三边关系
【解析】【解答】解：由题意得三角形的两边长为3和4，
∴1＜第三边长＜7，
∴第三边长可能为4，
故答案为：B
【分析】先根据数轴得到两边长，进而根据三角形三边关系即可求解。
2．【答案】A
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：设杨冲家与李锐家的直线距离为xkm，
则根据题意有：5-3≤x≤5+3，即2≤x≤8，
据此可知杨冲家、李锐家的距离不可能是1km ．
故答案为：A．
【分析】根据三角形的三边关系即可解答．
3．【答案】D
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：的内角与外角的平分线，两条平分线交于点
∴
又∠A1 CD=∠A1+∠A1 BC，∠ACD=∠A+∠ABC，
∴∠A1 BC+∠A1= (∠A+∠ABC)，
∴∠ABC+∠A1= (∠A+∠ABC)，
∴∠A1=∠A，
∵∠A=α，
∴，
同理可得：，
∴ ，
∴．
故答案为：D．
【分析】
根据外角的性质和角平分线的定义，结合三角形内角和定理求出，，进而得出规律 ，从而得出．
4．【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：，，
，
，
，
.
故答案为：C.
【分析】先利用平行线的性质得到的度数，再通过三角形的内角和定理求得的度数.
5．【答案】C
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵一个等腰三角形的两边长分别是4和8 ，
∴第三边的取值范围为：4＜第三边＜12，
∵该三角形为等腰三角形，
∴第三边为：8，
∴三角形周长为：4+8+8=20.
故答案为：C.
【分析】根据三角形三边关系，求出第三边的取值范围，再根据等腰三角形确定第三边的长度，即可求出其周长.
6．【答案】B
【知识点】三角形的面积
【解析】【解答】解：的面积为12，，，
，，
.
故答案为：B.
【分析】观察图形可知求与的面积时，两者高线相等，底边BC与CD之比为3：1，故的面积为4，同理可得的面积为6，而和具有公共部分四边形CDFE，故它们的面积只差即与的面积之差.
7．【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：对图形进行点标注，
∵l1∥l2，
∴∠CEA+∠DFB=180°.
∵∠CAB=∠C+∠CEA=135°，∠DBA=∠D+∠DFB=75°，
∴∠C+∠CEA+∠D+∠DFB=210°，
∴∠C+∠D=210°-180°=30°.
故答案为：B.
【分析】对图形进行点标注，由平行线的性质可得∠CEA+∠DFB=180°，根据外角的性质可得∠CAB=∠C+∠CEA=135°，∠DBA=∠D+∠DFB=75°，然后相加即可求出∠C+∠D的度数.
8．【答案】A
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：延长EA交直线b于点N，如下图所示：
设∠ADH=α，则∠ADM=α
∵∠HDG+∠ADH+∠ADM=180°
∴∠HDG=180°-∠ADH-∠ADM=180°-2α
由题意得：∠HAD=90°
∵∠HAD是△ADN的外角
∴∠HAD=∠ADM+∠AND
∴∠AND=∠HAD-∠ADM=90°-α
∵直线a∥b
∴∠BEF=∠AND=90°-α
∴.
故答案为：A.
【分析】先设∠ADH=α，结合∠ADH=∠ADM得到∠ADM=α，然后根据∠HDG+∠ADH+∠ADM=180°就可以把∠HDG用α表示出来；由直角三角板ABC可得∠HAD=90°，把∠HAD看成△ADN的外角就可以把∠AND用α表示出来，再根据直线a∥b得到∠BEF=∠AND，从而把∠BEF和∠HDG都用α表示，最后得出答案.
9．【答案】21
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【解答】解：连接BF，
∵ 点D、E分别是、的中点 ，
∴S△ACD=S△BCD=S△ABC=S△ACE=S△ABE，S△AFD=S△BFD，S△BEF=S△CEF，
∴S△CEF=S△AFD=，
∴S△AFD=S△BFD=S△BEF=S△CEF=，
∴S△ABE=S△AFD+S△BFD+S△BEF=3×=，
∴的面积=2S△ABE=2×=21.
故答案为：21.
【分析】连接BF，由 点D、E分别是、的中点，可得S△ACD=S△BCD=S△ABC=S△ACE=S△ABE，S△AFD=S△BFD，S△BEF=S△CEF，从而推出S△AFD=S△BFD=S△BEF=S△CEF=，继而得出S△ABE=S△AFD+S△BFD+S△BEF=，根据 的面积=2S△ABE即可求解.
10．【答案】6
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【解答】解：∵ 点D是BC的中点， 且，
∴△ABD的面积=△ACD的面积=△ABC得面积=12cm2，
∵ 点E为的中点，
∴△DBE的面积=△ABD的面积=6cm2，△DCE的面积=△ACD的面积=6cm2，
∴△BEC的面积=△DBE的面积+△DCE的面积=12cm2，
∵点F为CE的中点，
∴阴影部分面积=△BEF的面积=△BEC的面积=6cm2；
故答案为：6.
【分析】由点D是BC的中点，可得△ABD的面积=△ACD的面积=△ABC得面积=12cm2，由点E为的中点，可得△DBE的面积=△DCE的面积=6cm2，从而求出△BEC的面积=△DBE的面积+△DCE的面积=12cm2，由点F为CE的中点，可得阴影部分面积=△BEF的面积=△BEC的面积，继而得解.
11．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；探索图形规律
【解析】【解答】解：
∵BA1平分∠ABC，CA1平分∠ACD，
∴∠ABA1=∠A1BC=∠ABC，∠ACA1=∠A1CD=∠ACD，
∴∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1BC+∠A1，
即∠A=∠ACD-∠ABC，∠A1=∠A1CD-∠A1BC=∠ACD-∠ABC
∴，
同理可得，
，
∴，
∴.
故答案为： .
【分析】利用三角形外角关系，易推导出，同理得出，进而得出，总结出规律，得出答案.
12．【答案】②③
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，但AD和BC不平行，
∴四边形ABCD不是平行四边形，
∴∠C≠∠A=60°，故①错误；
∵AB∥CD，
∴∠A+∠ADC=180°.
∵∠A=60°，
∴∠ADC=120°.
∵DE平分∠ADP，DF平分∠CDP，
∴∠EDP=∠ADP，∠FDP=∠CDP，
∴∠EDP+∠FDP=(∠ADP+∠CDP)，
∴∠EDF=∠ADC=60°，故②正确；
∵AB∥CD，
∴∠AED=∠CDE.
∵∠AED=∠ADF，
∴∠CDE=∠ADF，∠ADE=∠CDF.
∵DE平分∠ADP，DF平分∠CDP，
∴∠ADP=∠CDP=∠ADC=60°，
∴∠APD=∠CDP=60°，故③正确；
∵DP平分∠EDF，
∴∠EDP=∠FDP.
∵DE平分∠ADP，DF平分∠CDP，
∴∠ADE=∠EDP=∠FDP=∠CDF=30°.
∵∠A=60°，
∴∠AED=90°，
∴∠DEB=90°.
∵∠C≠60°，
∴∠CFD≠90°，
∴∠DEB≠DFB，故④错误.
故答案为：②③.
【分析】由题意可得四边形ABCD不是平行四边形，据此判断①；由平行线的性质可得∠A+∠ADC=180°，结合∠A的度数可得∠ADC的度数，由角平分线的概念可得∠EDP+∠FDP=(∠ADP+∠CDP)，据此判断②；由平行线的性质可得∠AED=∠CDE，结合∠AED=∠ADF可得∠CDE=∠ADF，∠ADE=∠CDF，由角平分线的概念可得∠ADP=∠CDP=∠ADC=60°，据此判断③；由角平分线的概念可得∠EDP=∠FDP，∠ADE=∠EDP=∠FDP=∠CDF=30°，由内角和定理可得∠AED=90°，则∠DEB=90°，易得∠CFD≠90°，据此判断④.
13．【答案】①②④
【知识点】平行线的判定与性质；三角形的外角性质；平移的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵，，
∴∠CDA=180°-∠C=60°，∠ABC=60°，
∴∠CDA+∠DAB=180°，
∴AB∥CD，故①正确；
∵平分，平分 ，
∴∠EDF+∠FDB=∠CDF+∠ADF=∠CDA=30°，即∠EDB=30°，
∴∠CED=∠EDB+∠EBD=30°+∠EBD，
∵∠DBA=∠ABC-∠EBD=60°-∠EBD，
∴∠CED+∠DBA=30°+∠EBD+60°-∠EBD=90°，故②正确；
∵∠DFC=∠FBD+∠FDB=2∠DBF，且∠DEC＞∠DFC，
∴，故③错误；
∵∠ADC=2∠BDF+2∠EDF，∠CDF=2∠EDF，∠ABD=∠BDC=∠BDF+2∠EDF，
，故④正确；
∴正确的结论有①②④；
故答案为：①②④.
【分析】由平行线的性质可得∠CDA=180°-∠C=60°，∠ABC=60°，即得∠CDA+∠DAB=180°，可证AB∥CD，故①正确；由角平分线的定义可得∠EDF+∠FDB=∠CDF+∠ADF=∠CDA=30°，即得∠EDB=30°，由三角形外角的性质可得∠CED=∠EDB+∠EBD=30°+∠EBD，
∵∠DBA=∠ABC-∠EBD=60°-∠EBD，从而求出∠CED+∠DBA=90°，故②正确；根据三角形外角的性质可得∠DEC＞∠DFC=∠FBD+∠FDB=2∠DBF，故③错误；由角平分线的定义、平行线的性质及角的和差可得∠ADC=2∠BDF+2∠EDF，∠CDF=2∠EDF，∠ABD=∠BDC=∠BDF+2∠EDF，再代入原式求解即可判断④.
14．【答案】解：∵∠ADB＝∠DBC+∠ACB，
∴∠DBC＝∠ADB-∠ACB＝100°-60°＝40°．
∵BD是角平分线，
∴∠ABC＝80°，
∴∠A＝180°-∠ABC-∠ACB＝40°；
∵CE是高，
∴∠AEC＝90°，
∴∠ACE＝90°-∠A＝50°
【知识点】三角形的外角性质；角平分线的概念
【解析】【分析】根据题意先求出 ∠DBC＝∠ADB-∠ACB＝100°-60°＝40°，再根据角平分线求出∠ABC＝80°， 最后计算求解即可。
15．【答案】证明：∵是的一个外角，
∴，
∵是的一个外角，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【分析】运用平行线的性质得出∠AED＝∠C，再根据外角的性质判断∠DGH＞∠DBG＞∠C即可。
16．【答案】（1）解：如图所示， 即为所求；
（2）解：
（3）（10，0）或（-6，0）或（0，-3）或（0，5）
【知识点】坐标与图形性质；三角形的面积
【解析】【解答】解：（3）①当点P在x轴上，设P（x，0），
∴△ABP的面积==×1=4，
解得：x=10或-6，
∴P（10，0）或（-6，0）
②当点P在y轴上，设P（0，y），则AP=，
∴△ABP的面积=××2=4，
解得：y=5或-3，
∴点P （0，-3）或（0，5） ，
由上所知： 点P的坐标为（10，0）或（-6，0）或（0，-3）或（0，5）
【分析】（1）在坐标系中直接描点、连接即得；
（2）利用割补法求出△ABC的面积即可；
（3）分两种情况：①当点P在x轴上，②当点P在y轴上，根据与的相等分别建立方程并解之即可.
17．【答案】（1）解：以A为圆心为半径画圆弧交于一点即为点E，如图所示，
；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴；
（3）解：；
理由如下：
设，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质；三角形内角和定理；尺规作图的概念
【解析】【分析】 (1) 根据同圆的半径都相等用尺规作图 (2)由已知角推导未知，最重要的是找到依据的等量关系式(3)把一个角根据关系式等量代换，直到用已知的另一个角代换未知。
18．【答案】（1）解：设直线的解析式为，
将点代入得：，解得，
则直线的解析式为
（2）解：对于函数，
当时，，解得，即，
，
的边上的高为2，
则的面积为
（3）解：设直线的解析式为，
将点代入得：，解得，
则直线的解析式为，
，
，
的面积是的面积的，
的面积是，
由题意，分以下两种情况：
①当点在直线上时，
设点的坐标为，
则，解得，
所以此时点的坐标为或；
②当点在射线上时，
设点的坐标为，
则，解得，
所以此时点的坐标为或；
综上，点的坐标为或或或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积；一次函数中的动态几何问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据题意先求出 ， 再利用三角形的面积公式计算求解即可；
（3）先求出直线的解析式为，再求出△OMC的面积是， 最后分类讨论，列方程求解即可。
1 / 12023-2024学年初中数学沪科版八年级上册 13.1 三角形中的边角关系 同步分层训练培优卷
一、选择题
1．（2023七下·宽城期末）如图，数轴上A、B两点到原点的距离是三角形两边的长，则该三角形第三边长可能是（ ）
A．1 B．4 C．7 D．8
【答案】B
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；三角形三边关系
【解析】【解答】解：由题意得三角形的两边长为3和4，
∴1＜第三边长＜7，
∴第三边长可能为4，
故答案为：B
【分析】先根据数轴得到两边长，进而根据三角形三边关系即可求解。
2．（2023七下·阳城期末）某学校七年级2班学生杨冲家和李锐家到学校的直线距离分别是和．那么杨冲，李锐两家的直线距离不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：设杨冲家与李锐家的直线距离为xkm，
则根据题意有：5-3≤x≤5+3，即2≤x≤8，
据此可知杨冲家、李锐家的距离不可能是1km ．
故答案为：A．
【分析】根据三角形的三边关系即可解答．
3．（2023七下·阳城期末）如图，已知的内角，分别作内角与外角的平分线，两条平分线交于点，得；和的平分线交于点，得；，以此类推得到，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：的内角与外角的平分线，两条平分线交于点
∴
又∠A1 CD=∠A1+∠A1 BC，∠ACD=∠A+∠ABC，
∴∠A1 BC+∠A1= (∠A+∠ABC)，
∴∠ABC+∠A1= (∠A+∠ABC)，
∴∠A1=∠A，
∵∠A=α，
∴，
同理可得：，
∴ ，
∴．
故答案为：D．
【分析】
根据外角的性质和角平分线的定义，结合三角形内角和定理求出，，进而得出规律 ，从而得出．
4．（2023七下·连州期末）如图，已知直线，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：，，
，
，
，
.
故答案为：C.
【分析】先利用平行线的性质得到的度数，再通过三角形的内角和定理求得的度数.
5．（2023七下·梅江期末）已知一个等腰三角形的两边长分别是4和8，则该等腰三角形的周长为（ ）
A．16或20 B．16 C．20 D．12或24
【答案】C
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵一个等腰三角形的两边长分别是4和8 ，
∴第三边的取值范围为：4＜第三边＜12，
∵该三角形为等腰三角形，
∴第三边为：8，
∴三角形周长为：4+8+8=20.
故答案为：C.
【分析】根据三角形三边关系，求出第三边的取值范围，再根据等腰三角形确定第三边的长度，即可求出其周长.
6．（2023七下·榕城期末）如图，点D、E分别是边、上一点，，，连接交于点F，若的面积为12，则与的面积之差等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】三角形的面积
【解析】【解答】解：的面积为12，，，
，，
.
故答案为：B.
【分析】观察图形可知求与的面积时，两者高线相等，底边BC与CD之比为3：1，故的面积为4，同理可得的面积为6，而和具有公共部分四边形CDFE，故它们的面积只差即与的面积之差.
7．（2023七下·澄海期末）如图，已知直线，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：对图形进行点标注，
∵l1∥l2，
∴∠CEA+∠DFB=180°.
∵∠CAB=∠C+∠CEA=135°，∠DBA=∠D+∠DFB=75°，
∴∠C+∠CEA+∠D+∠DFB=210°，
∴∠C+∠D=210°-180°=30°.
故答案为：B.
【分析】对图形进行点标注，由平行线的性质可得∠CEA+∠DFB=180°，根据外角的性质可得∠CAB=∠C+∠CEA=135°，∠DBA=∠D+∠DFB=75°，然后相加即可求出∠C+∠D的度数.
8．（2023七下·金东期末）如图，直线，将一块含30°角的直角三角板ABC按如图所示放置（），边交直线于点，边交直线于点，边分别交直线于点，在线段上取一点，连结，且有，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：延长EA交直线b于点N，如下图所示：
设∠ADH=α，则∠ADM=α
∵∠HDG+∠ADH+∠ADM=180°
∴∠HDG=180°-∠ADH-∠ADM=180°-2α
由题意得：∠HAD=90°
∵∠HAD是△ADN的外角
∴∠HAD=∠ADM+∠AND
∴∠AND=∠HAD-∠ADM=90°-α
∵直线a∥b
∴∠BEF=∠AND=90°-α
∴.
故答案为：A.
【分析】先设∠ADH=α，结合∠ADH=∠ADM得到∠ADM=α，然后根据∠HDG+∠ADH+∠ADM=180°就可以把∠HDG用α表示出来；由直角三角板ABC可得∠HAD=90°，把∠HAD看成△ADN的外角就可以把∠AND用α表示出来，再根据直线a∥b得到∠BEF=∠AND，从而把∠BEF和∠HDG都用α表示，最后得出答案.
二、填空题
9．（2023七下·禅城期末）如图，中，点D、E分别是、的中点，连接、交于点F．当的面积为时，的面积为 ．
【答案】21
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【解答】解：连接BF，
∵ 点D、E分别是、的中点 ，
∴S△ACD=S△BCD=S△ABC=S△ACE=S△ABE，S△AFD=S△BFD，S△BEF=S△CEF，
∴S△CEF=S△AFD=，
∴S△AFD=S△BFD=S△BEF=S△CEF=，
∴S△ABE=S△AFD+S△BFD+S△BEF=3×=，
∴的面积=2S△ABE=2×=21.
故答案为：21.
【分析】连接BF，由 点D、E分别是、的中点，可得S△ACD=S△BCD=S△ABC=S△ACE=S△ABE，S△AFD=S△BFD，S△BEF=S△CEF，从而推出S△AFD=S△BFD=S△BEF=S△CEF=，继而得出S△ABE=S△AFD+S△BFD+S△BEF=，根据 的面积=2S△ABE即可求解.
10．（2023七下·承德期末）如图，已知在中，点D，E，F分别为，，的中点，且，则 ．
【答案】6
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【解答】解：∵ 点D是BC的中点， 且，
∴△ABD的面积=△ACD的面积=△ABC得面积=12cm2，
∵ 点E为的中点，
∴△DBE的面积=△ABD的面积=6cm2，△DCE的面积=△ACD的面积=6cm2，
∴△BEC的面积=△DBE的面积+△DCE的面积=12cm2，
∵点F为CE的中点，
∴阴影部分面积=△BEF的面积=△BEC的面积=6cm2；
故答案为：6.
【分析】由点D是BC的中点，可得△ABD的面积=△ACD的面积=△ABC得面积=12cm2，由点E为的中点，可得△DBE的面积=△DCE的面积=6cm2，从而求出△BEC的面积=△DBE的面积+△DCE的面积=12cm2，由点F为CE的中点，可得阴影部分面积=△BEF的面积=△BEC的面积，继而得解.
11．（2023七下·曲阳期末）如图，和分别是的内角平分线和外角平分线，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，若，则 ．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；探索图形规律
【解析】【解答】解：
∵BA1平分∠ABC，CA1平分∠ACD，
∴∠ABA1=∠A1BC=∠ABC，∠ACA1=∠A1CD=∠ACD，
∴∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1BC+∠A1，
即∠A=∠ACD-∠ABC，∠A1=∠A1CD-∠A1BC=∠ACD-∠ABC
∴，
同理可得，
，
∴，
∴.
故答案为： .
【分析】利用三角形外角关系，易推导出，同理得出，进而得出，总结出规律，得出答案.
12．（2023七下·越秀期末）如图，在四边形中，如果，，P是边上一点，平分交边于点E，平分交边于点F．以下四个结论：①；②；③若，则；④若平分，则．其中正确的是 （填写正确的序号）．
【答案】②③
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，但AD和BC不平行，
∴四边形ABCD不是平行四边形，
∴∠C≠∠A=60°，故①错误；
∵AB∥CD，
∴∠A+∠ADC=180°.
∵∠A=60°，
∴∠ADC=120°.
∵DE平分∠ADP，DF平分∠CDP，
∴∠EDP=∠ADP，∠FDP=∠CDP，
∴∠EDP+∠FDP=(∠ADP+∠CDP)，
∴∠EDF=∠ADC=60°，故②正确；
∵AB∥CD，
∴∠AED=∠CDE.
∵∠AED=∠ADF，
∴∠CDE=∠ADF，∠ADE=∠CDF.
∵DE平分∠ADP，DF平分∠CDP，
∴∠ADP=∠CDP=∠ADC=60°，
∴∠APD=∠CDP=60°，故③正确；
∵DP平分∠EDF，
∴∠EDP=∠FDP.
∵DE平分∠ADP，DF平分∠CDP，
∴∠ADE=∠EDP=∠FDP=∠CDF=30°.
∵∠A=60°，
∴∠AED=90°，
∴∠DEB=90°.
∵∠C≠60°，
∴∠CFD≠90°，
∴∠DEB≠DFB，故④错误.
故答案为：②③.
【分析】由题意可得四边形ABCD不是平行四边形，据此判断①；由平行线的性质可得∠A+∠ADC=180°，结合∠A的度数可得∠ADC的度数，由角平分线的概念可得∠EDP+∠FDP=(∠ADP+∠CDP)，据此判断②；由平行线的性质可得∠AED=∠CDE，结合∠AED=∠ADF可得∠CDE=∠ADF，∠ADE=∠CDF，由角平分线的概念可得∠ADP=∠CDP=∠ADC=60°，据此判断③；由角平分线的概念可得∠EDP=∠FDP，∠ADE=∠EDP=∠FDP=∠CDF=30°，由内角和定理可得∠AED=90°，则∠DEB=90°，易得∠CFD≠90°，据此判断④.
13．（2023七下·增城期末）如图，已知，，点E、F在线段上，且满足平分，平分，可以左右平行移动．给出下列四个结论．其中正确的结论有 （填写所有正确结论的序号）．
①；
②；
③；
④
【答案】①②④
【知识点】平行线的判定与性质；三角形的外角性质；平移的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵，，
∴∠CDA=180°-∠C=60°，∠ABC=60°，
∴∠CDA+∠DAB=180°，
∴AB∥CD，故①正确；
∵平分，平分 ，
∴∠EDF+∠FDB=∠CDF+∠ADF=∠CDA=30°，即∠EDB=30°，
∴∠CED=∠EDB+∠EBD=30°+∠EBD，
∵∠DBA=∠ABC-∠EBD=60°-∠EBD，
∴∠CED+∠DBA=30°+∠EBD+60°-∠EBD=90°，故②正确；
∵∠DFC=∠FBD+∠FDB=2∠DBF，且∠DEC＞∠DFC，
∴，故③错误；
∵∠ADC=2∠BDF+2∠EDF，∠CDF=2∠EDF，∠ABD=∠BDC=∠BDF+2∠EDF，
，故④正确；
∴正确的结论有①②④；
故答案为：①②④.
【分析】由平行线的性质可得∠CDA=180°-∠C=60°，∠ABC=60°，即得∠CDA+∠DAB=180°，可证AB∥CD，故①正确；由角平分线的定义可得∠EDF+∠FDB=∠CDF+∠ADF=∠CDA=30°，即得∠EDB=30°，由三角形外角的性质可得∠CED=∠EDB+∠EBD=30°+∠EBD，
∵∠DBA=∠ABC-∠EBD=60°-∠EBD，从而求出∠CED+∠DBA=90°，故②正确；根据三角形外角的性质可得∠DEC＞∠DFC=∠FBD+∠FDB=2∠DBF，故③错误；由角平分线的定义、平行线的性质及角的和差可得∠ADC=2∠BDF+2∠EDF，∠CDF=2∠EDF，∠ABD=∠BDC=∠BDF+2∠EDF，再代入原式求解即可判断④.
三、解答题
14．（2023七下·吉林期中）如图，在△ABC中，BD是∠ABC的平分线，CE是AB边上的高，且∠ACB＝60°，∠ADB＝100°，求∠A和∠ACE的度数．
【答案】解：∵∠ADB＝∠DBC+∠ACB，
∴∠DBC＝∠ADB-∠ACB＝100°-60°＝40°．
∵BD是角平分线，
∴∠ABC＝80°，
∴∠A＝180°-∠ABC-∠ACB＝40°；
∵CE是高，
∴∠AEC＝90°，
∴∠ACE＝90°-∠A＝50°
【知识点】三角形的外角性质；角平分线的概念
【解析】【分析】根据题意先求出 ∠DBC＝∠ADB-∠ACB＝100°-60°＝40°，再根据角平分线求出∠ABC＝80°， 最后计算求解即可。
15．（2023七下·龙口期末）如图，在中，，是上一点，的延长线与的延长线交于点．求证：．
【答案】证明：∵是的一个外角，
∴，
∵是的一个外角，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【分析】运用平行线的性质得出∠AED＝∠C，再根据外角的性质判断∠DGH＞∠DBG＞∠C即可。
四、作图题
16．（2023七下·东港期末）如图∶已知，，
（1）在坐标系中描出各点，画出．
（2）求的面积；
（3）设点P在坐标轴上，且与的相等，直接写出点P的坐标．
【答案】（1）解：如图所示， 即为所求；
（2）解：
（3）（10，0）或（-6，0）或（0，-3）或（0，5）
【知识点】坐标与图形性质；三角形的面积
【解析】【解答】解：（3）①当点P在x轴上，设P（x，0），
∴△ABP的面积==×1=4，
解得：x=10或-6，
∴P（10，0）或（-6，0）
②当点P在y轴上，设P（0，y），则AP=，
∴△ABP的面积=××2=4，
解得：y=5或-3，
∴点P （0，-3）或（0，5） ，
由上所知： 点P的坐标为（10，0）或（-6，0）或（0，-3）或（0，5）
【分析】（1）在坐标系中直接描点、连接即得；
（2）利用割补法求出△ABC的面积即可；
（3）分两种情况：①当点P在x轴上，②当点P在y轴上，根据与的相等分别建立方程并解之即可.
五、综合题
17．（2022七下·文山期末）如图，在中，，点D是线段上（不与点B、C重合）的动点．
（1）尺规作图：作线段（点E在线段AC上），连接（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，若，当时，求的度数；
（3）在（1）的条件下，试猜想与的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）解：以A为圆心为半径画圆弧交于一点即为点E，如图所示，
；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴；
（3）解：；
理由如下：
设，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质；三角形内角和定理；尺规作图的概念
【解析】【分析】 (1) 根据同圆的半径都相等用尺规作图 (2)由已知角推导未知，最重要的是找到依据的等量关系式(3)把一个角根据关系式等量代换，直到用已知的另一个角代换未知。
18．（2023八下·应县期末）如图，在平面直角坐标系中，过点C（0，6）的直线AB与直线OA相交于点A（4，2），动点M在直线OA和射线AC上运动．
（1）求直线AB的解析式；
（2）求△OAB的面积；
（3）是否存在点M，使△OMC的面积是△OAB的面积的？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）解：设直线的解析式为，
将点代入得：，解得，
则直线的解析式为
（2）解：对于函数，
当时，，解得，即，
，
的边上的高为2，
则的面积为
（3）解：设直线的解析式为，
将点代入得：，解得，
则直线的解析式为，
，
，
的面积是的面积的，
的面积是，
由题意，分以下两种情况：
①当点在直线上时，
设点的坐标为，
则，解得，
所以此时点的坐标为或；
②当点在射线上时，
设点的坐标为，
则，解得，
所以此时点的坐标为或；
综上，点的坐标为或或或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积；一次函数中的动态几何问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据题意先求出 ， 再利用三角形的面积公式计算求解即可；
（3）先求出直线的解析式为，再求出△OMC的面积是， 最后分类讨论，列方程求解即可。
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