2023-2024学年初中数学沪科版八年级上册 13.2 命题与证明 同步分层训练培优卷
一、选择题
1．（2023七下·惠阳期末）下列命题是真命题的是（ ）
A．同位角相等 B．内错角相等
C．相等的角是对顶角 D．同旁内角互补，两直线平行
【答案】D
【知识点】平行线的判定与性质；对顶角及其性质；真命题与假命题
【解析】【解答】解：如图，
A、与是同位角，但，故原命题是假命题，不符合题意；
B、与是内错角，但，故原命题是假命题，不符合题意；
C、，但与不是对顶角，故原命题是假命题，不符合题意；
D、同旁内角互补，两直线平行，故原命题是真命题，符合题意；
故答案为：D.
【分析】两直线平行，同位角相等，据此可判断A选项；两直线平行，内错角相等，据此可判断B选项；对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，据此可判断C选项；同旁内角互补，两直线平行，据此可判断D选项.
2．（2023七下·龙口期末）要说明命题“若，则”是假命题，可以举的一个反例是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】不等式的解及解集；真命题与假命题
【解析】【解答】
解：x=-2时，|x|<3； x=3时，|x|=3，∴A、B都不符合要求，
当x=4时，|x|＞3，x>3，不能说明命题是假命题；
当x=-4时，|x|＞3，x＜3，能说明命题是假命题。
故答案为：D.
【分析】把x值代入，考察是否符合要求。
3．（2023七下·柯桥期末）有8个形状大小相同的小球，其中一个略重些，其余7个重量相同．现给你一架天平，能将那个略重些的小球找到，则至少需要天平的次数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【知识点】推理与论证
【解析】【解答】解：把8个球分成3、3、2三份，第一次测量3和3两份；
①若两份不等重，可直接判断重的球在哪一份中，再将3个球分成3份，再测量一次即可；
②若两份等重，则重的球在余下的2个球中，测量一次即可.
故答案为：B.
【分析】把8个球分成3、3、2三份，第一次测量3和3两份，然后分两份不等重，2份等重进行判断.
4．（2023八下·宁远期中）下列命题中，①对角线相等且互相平分的四边形是矩形；②对角线互相垂直的四边形是菱形；③四边相等的四边形是正方形；④四边相等的四边形是菱形，是真命题的有（ ）
A．①② B．②④ C．①④ D．①②④
【答案】C
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解： ② 对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，也可能是正方形，故 ② 是假命题；
③ 四边相等的四边形不一定是正方形，也可能是菱形， 故③是假命题
故答案为C
【分析】根据矩形，菱形的判定定理即可求出答案。
5．（2023七下·云阳期中）下列说法错误的个数是（ ）
①在同一平面内，两条直线的位置关系有：相交、垂直和平行；
②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与这条直线平行；
③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与这条直线垂直；
④垂直于同一条直线的两条直线互相平行；
⑤直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到直线的距离；
⑥若两条平行线被第三条直线所截，则一组同旁内角的角平分线互相垂直．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】①在同一平面内，两条直线的位置关系有：相交和平行，故①不正确；
②在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，故②不正确；
③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与这条直线垂直，故③正确；
④在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故④不正确；
⑤直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到直线的距离，故⑤不正确；
⑥若两条平行线被第三条直线所截，则一组同旁内角的角平分线互相垂直，故⑥正确，
综上所述，不正确的是①②④⑥共4个，
故答案为：C.
【分析】利用真命题的定义逐项判断即可。
6．（2023七下·永年期中）判断命题“如果，那么”是假命题，只需举出一个反例，反例中的n可以为（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】D
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】A，代入 ， ，不符合题意；
B，代入 ， ，不符合题意；
C，代入 ， ，不符合题意；
D，代入 ， ，符合题意；
故答案为：D。
【分析】把A，B，C，D选项的四个n的值代入到 的式子中即可。
7．（2021八上·密山期末）如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，那么下列结论：①△BDF和△CEF都是等腰三角形；②DE＝BD+CE；③△ADE的周长等于AB与AC的和；④BF＝CF．其中正确的有（ ）
A．①②③ B．①②③④ C．①② D．①
【答案】A
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵DE∥BC，
∴∠DFB=∠FBC，∠EFC=∠FCB，
∵△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，
∴∠DBF=∠FBC，∠ECF=∠FCB，
∴∠DBF=∠DFB，∠ECF=∠EFC，
∴DB=DF，EF=EC，
即△BDF和△CEF都是等腰三角形；
故①符合题意；
∴DE=DF+EF=BD+CE，
故②符合题意；
∴△ADE的周长为：AD+DE+AE=AB+BD+CE+AE=AB+AC；
故③符合题意；
∵∠ABC不一定等于∠ACB，
∴∠FBC不一定等于∠FCB，
∴BF与CF不一定相等，
故④不符合题意．
故答案为：A．
【分析】利用角平分线的性质，等腰三角形的性质等对每个结论一一判断即可。
8．（2023七下·封开期末）如图，，为上一点，，且平分，过点作于点，且，则下列结论：
①；②；③平分；④平分．其中正确的是（ ）
A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②③④
【答案】A
【知识点】平行线的性质；推理与论证
【解析】【解答】解：①∵FG⊥EH，FD∥EH
∴FG⊥FD，即∠GFD=90°，
∵AB∥CD，
∴∠AFD+∠D=180°，
∵∠AFD=∠AFG+∠GFD=2∠D+90°，
∴2∠D+90°+∠D=180°
∴∠D=30°，故 ① 正确；
②∵EH∥FD，∴∠EHC=∠D=30°，∴2∠D+∠EHC=90°成立，故 ② 正确；
③∵AB∥CD，∴∠BFD=∠D=30°，当H在CD上不同位置时，∠HFD的度数会发生变化，不一定等于∠BFD，所以FD不一定是∠HFB的角平分线，故 ③ 错误；
④∵∠GFD=90°，当EH平分∠GFD时，则∠GFH=∠DFH=45°，当同（3），当H在CD上不同位置时，∠HFD的度数会发生变化，不一定等于45°，故 ④ 错误.
综上，①②正确，
故答案为：A.
【分析】熟练利用“平行线的性质定理”进行角度间数量关系的分析，并结合题干中的数量关系进行转化.特别注意的是，F、H均为AB、CD上的动点，当动点变化过程中，y要观察角度的一般性变化.
二、填空题
9．（2023八下·玄武期末）举一个反例说明“”是不成立的，则的值可以是 .
【答案】
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：∵=x，
∴x≥0
∴可以举一个反例，使x=-1.
故答案为：-1.
【分析】由二次根式的性质可得=|x|，结合题意可得x≥0，据此解答.
10．（2023·北京）学校组织学生参加木艺艺术品加工劳动实践活动．已知某木艺艺术品加工完成共需A，B，C，D，E，F，G七道工序，加工要求如下：
①工序C，D须在工序A完成后进行，工序E须在工序B，D都完成后进行，工序F须在工序C，D都完成后进行；
②一道工序只能由一名学生完成，此工序完成后该学生才能进行其他工序；
③各道工序所需时间如下表所示：
工序 A B C D E F G
所需时间/分钟 9 9 7 9 7 10 2
在不考虑其他因素的前提下，若由一名学生单独完成此木艺艺术品的加工，则需要 分钟；若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，则最少需要 分钟．
【答案】53；28
【知识点】推理与论证
【解析】【解答】解：由题意得，
∴由一名学生单独完成此木艺艺术品的加工，则需要53分钟；
假设这两名学生为甲、乙，
∵工序C，D须在工序A完成后进行，工序E须在工序B，D都完成后进行，工序F须在工序C，D都完成后进行，
∴甲学生做工序A，乙学生同时做工序B，需要9分钟；接着甲学生做工序D，乙学生同时做工序C，乙学生工序C完成后接着做工序G，需要9分钟；最后甲学生做工序E，乙学生同时做工序F，需要10分钟，
∴至少需要9+9+10=28分钟，
故答案为：53，28
【分析】根据题意将所有数相加即可得到第一个空的答案；进而根据题意结合表格信息进行分类讨论即可得到第二个空的答案。
11．（2023八上·合川期末）“爆竹声中一岁除，春风送暖入屠苏.千门万户曈曈日，总把新桃换旧符.”春节将至，置办年货是中国寻常百姓家不可或缺的大事.小明随妈妈去置办年货，购买了灯笼、窗花、坚果，其中灯笼每只20元，窗花每张8元，坚果每包150元，若小明和妈妈一共用了428元（三种年货都有购买），则最多能买灯笼 只.
【答案】6
【知识点】推理与论证
【解析】【解答】解：先用总价钱减去至少每种年货都买一件的价钱：
(元)，
剩余的250元是三种年货中重复购买部分的价钱，
根据题意，重复购买的年货单价乘它的数量之和必须等于250元；
(只)…10（元），即250元不是全部都买灯笼，则有可能买窗花或坚果，当250元减去买窗花或坚果的价钱后，剩余买灯笼的价钱必须能整除20，
因为20是整十数，
所以，只有再买1包坚果后剩余的钱能整除20：
(元) ，
(只)，
5+1=6(只)，
最多能买灯笼6只.
故答案为：6.
【分析】先利用总价钱减去至少每种年货都买一件的价钱，可知剩余的250元是三种年货中重复购买部分的价钱，根据题意可知重复购买的年货单价乘它的数量之和必须等于250元，根据商品的单价知250元不是全部都买灯笼，则有可能买窗花或坚果，当250元减去买窗花或坚果的价钱后，剩余买灯笼的价钱必须能整除20，由于20是整十数，所以，只有再买1包坚果后剩余的钱能整除20，据此即可求解.
12．（2023七下·五华期末）甲、乙、丙三人进行羽毛球赛训练，每局两人进行比赛，第三个人做裁判，每局都要分出胜负，胜方和原来的裁判进行新一局的比赛，输方转做裁判，依次进行，半天训练结束时，甲共当裁判5局，乙、丙分别进行了8局、6局比赛，在这半天的训练中，甲、乙、丙三人共进行了 局比赛，其中最后一局比赛的裁判是 （填甲或乙或丙）．
【答案】9；甲
【知识点】推理与论证
【解析】【解答】解：∵甲共当裁判5次，
∴乙和丙之间打了5局比赛，
∵乙、丙分别进行了8局、6局比赛，
∴乙和甲之间打了3局比赛，丙和甲之间打了1局比赛，
∴甲、乙、丙三人共进行了5+3+1=9（局），
∵甲和乙之间打了3局比赛，乙和丙之间打了5局比赛，丙和甲之间打了1局比赛，
又∵乙和丙的比赛一定有一个人获胜，获胜的那个人只能与甲进行比赛，
∴乙和丙的5局比赛，如果在前面的8局里，甲就要打5局比赛，与题意不符，
∴最后一局比赛只能是乙和丙，
∴最后一局比赛的裁判是甲.
【分析】根据 甲共当裁判5局，乙、丙分别进行了8局、6局比赛， 计算出比赛的局数，然后通过逻辑推理，判断出最后一局比赛的裁判是甲.
13．（2023·常州模拟）图1是一个正方形网格，两条网格线的交点叫做格点.甲、乙两人在网格中进行游戏，规则如下：
游戏规则a.两人依次在网格中画线段，线段的起点和终点均为格点； b.新画线段的起点为前一条线段的终点，且与任意已画出线段不能有其它公共点； c.已画出线段的所有端点中，任意三个端点不能在同一条直线上； d.当某人无法画出新的线段时，则另一人获胜.
如图2，甲先画出线段，乙随后画出线段.若这局游戏继续进行下去，最终的获胜者是 .（填“甲”，“乙”或“不确定”）.
【答案】乙
【知识点】推理与论证
【解析】【解答】解：甲先画出线段，乙随后画出线段.
第三步应由甲走，甲从C向右走横线到F，此时C、F、A三点在一线，不符合游戏规则，
甲只有向下走到D，
第四步应由乙走，乙从D向右走横线到B，与任意已画出线段不能有其他公共点，此方向不能走，如果向下走到H，此时H、D、C三点共线此路也不能走，只有沿斜下方走到E，
第五步应由甲走，甲从E起向右横向走到G，此时C、B、G三点共线此路不能走，向上走到B，与已知线段有公共点，此路不能走，斜向上走到M，此时，D、B、M三点共线，不能符合规则，则甲没地方可走.最终的获胜者是 “乙”.
故答案为：乙.
【分析】由甲先画出线段，乙随后画出线段，接下来甲只有向下走到D，然后只有沿斜下方走到E，第五步应由甲走，而各条路行不通，故最终的获胜者是 “乙”.
三、解答题
14．（2022七上·宣州期末）设x，y，z为互不相等的非零实数，且．求证：．
【答案】证明：由已知得出：
∵，
∴，
即，
∴①，
同理得出：
②，
③，
得：
，
．
【知识点】推理与论证
【解析】【分析】根据求出，，，再求出，即可得到。
15．（2022七下·锦州期末）请在下列括号内填上相应步骤或理由．
已知：如图，，垂足为A，．
试说明：．
解：因为（已知），
所以（ ）．
因为（已知），
所以 ▲ （等量代换）．
所以（ ）．
所以（ ）．
因为（已知），
所以（垂直的定义）．
所以（ ）．
所以（垂直的定义）．
【答案】解：因为AB∥CD（已知），
所以∠1=∠D（两直线平行，内错角相等）．
因为∠1=∠2（已知），
所以∠2=∠D（等量代换），
所以EF∥AD（同位角相等，两直线平行），
所以∠CEF=∠CAD（两直线平行，同位角相等）．
因为AD⊥AC（已知），
所以∠CAD=90°（垂直的定义），
所以∠CEF=90°（等量代换），
所以EF⊥AC（垂直的定义）．
【知识点】平行线的判定与性质；推理与论证
【解析】【分析】利用平行线的判定与性质求解即可。
四、综合题
16．（2022七上·长沙开学考）设，是两个不相等的正整数，为质数，满足，且是整数．
（1）求证：；
（2）求的值；
（3）求，的值．
【答案】（1）证明： ， 是两个不相等的正整数，
， 都是正整数， ．
是整数，
，
，
，
即 ．
假设 ，
则有 ．
与 连续整数，
是偶数，
为质数，
，
，
， ，
，
与条件“ 是整数”矛盾，
；
（2）解：设 其中 ， 为正整数 ，
则有 ，
，
．
是质数，
．
且 ，
此时 ，整理得 ，
方程无解．
且 ，
此时 ，与条件“ 、 为不相等的正整数”矛盾；
，
此时 ，
，
．
为整数，
也是整数，
正整数 ．
，
正整数 ，
，
，
，与 为正整数矛盾；
且 ，
此时 ，
整理得 ，
解得 ， ，
与 为正整数矛盾；
且 ，
此时 ，
，
，
，
，
与“ 是大于 的正整数”矛盾；
，
此时 ，
整理得 ，
则
．
是大于 的正整数，
是小于 的正整数，
整数 ，
，
，
．
综上所述： ；
（3）解：由（2）可知，
只有当 时，存在正整数 、 及质数 ，使得条件成立，
此时 ，整理得 ，
则
．
是大于 的正整数，
是小于 的正整数，
整数 ，
，
．
【知识点】推理与论证
【解析】【分析】（1）由题意可得a2+b、b2+a都是正整数，a+b-1>0，根据题意可得a2+b≥b2+a，则a2+b-b2-a=(a-b)(a+b-1)≥0，推出a≥b，假设a=b，则p2=b2+a=a(a+1)，根据a、a+1为连续的整数可得p2是偶数，结合p为质数可得p=2，然后求出a、b、的值，结合为整数进行证明；
（2）设=k，则有a2+b=kp2，表示出p2，根据p为质数=1且a+b-1=p2，此时b2-b+1=0，方程无解；=p2且a+b-1=1，此时与a、b为不相等的正整数矛盾；=p，此时a=(a+2b-1)(a-1)，表示出a+2b-1，结合a+2b-1为整数可得a的值，然后求出b、p、k的值；=1且a-b=p2，则b2+b=0，求出b的值，据此判断；=p2且a-b=1，此时a=b+1，表示出k，求出k的范围，据此判断；=p，此时a=2b+1，同理表示出k，求出b、a、p的值，据此判断；
（3）由（2）可知：只有当=p时，存在正整数a、b及质数p，使得条件成立，此时a=2b+1，表示出k，求出b的值，进而可得a的值.
17．（2022八下·历下期末）在小学，我们学习过能被3整除的数的规律，其实这个结论可以用因式分解的方法证明．
（1）请你判断111222 （填能或不能）被3整除；
（2）为什么可以用各数位上的数字之和判断一个数能不能被3整除呢？小明先选了一个能被3整除的四位数“1236”试着进行推理：
； ∵“”能被3整除， ∴当“”被3整除，原数就能被3整除．
现在，设是个四位数，其个位、十位、百位、千位上的数字分别是d，c，b，a，请你借鉴小明的思路，证明：若“”能被3整除，则能被3整除；
（3）定义：一个自然数按从右往左的第1、3、5、7、…数位，我们称为奇位，按从右往左的第2、4、6、8、…数位，我们称为偶位．例如：一个四位数，其个位与百位即奇位，十位与千位为偶位．奇位和就是把所有位于奇位上的数字相加，偶位和就是把所有位于偶位上的数字相加．请证明，若的偶位和与奇位和的差是11的倍数，则能被11整除．
【答案】（1）能
（2）解：===∵能被3整除，∴若“”能被3整除，则能被3整除．
（3）解：===∵能被11整除，∴若“”能被11整除，即的偶位和与奇位和的差是11的倍数，则能被11整除．
【知识点】推理与论证；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）∵111222=111×100+111×2=111×102=111×3×34∴111222能被3整除，
故答案为：能；
【分析】（1）根据因式分解的方法判断，即可得出答案；
（2）根据因式分解的方法判断，即可得出答案；
（3）根据因式分解的方法判断，即可得出答案。
1 / 12023-2024学年初中数学沪科版八年级上册 13.2 命题与证明 同步分层训练培优卷
一、选择题
1．（2023七下·惠阳期末）下列命题是真命题的是（ ）
A．同位角相等 B．内错角相等
C．相等的角是对顶角 D．同旁内角互补，两直线平行
2．（2023七下·龙口期末）要说明命题“若，则”是假命题，可以举的一个反例是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023七下·柯桥期末）有8个形状大小相同的小球，其中一个略重些，其余7个重量相同．现给你一架天平，能将那个略重些的小球找到，则至少需要天平的次数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
4．（2023八下·宁远期中）下列命题中，①对角线相等且互相平分的四边形是矩形；②对角线互相垂直的四边形是菱形；③四边相等的四边形是正方形；④四边相等的四边形是菱形，是真命题的有（ ）
A．①② B．②④ C．①④ D．①②④
5．（2023七下·云阳期中）下列说法错误的个数是（ ）
①在同一平面内，两条直线的位置关系有：相交、垂直和平行；
②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与这条直线平行；
③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与这条直线垂直；
④垂直于同一条直线的两条直线互相平行；
⑤直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到直线的距离；
⑥若两条平行线被第三条直线所截，则一组同旁内角的角平分线互相垂直．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
6．（2023七下·永年期中）判断命题“如果，那么”是假命题，只需举出一个反例，反例中的n可以为（ ）
A． B． C．0 D．
7．（2021八上·密山期末）如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，那么下列结论：①△BDF和△CEF都是等腰三角形；②DE＝BD+CE；③△ADE的周长等于AB与AC的和；④BF＝CF．其中正确的有（ ）
A．①②③ B．①②③④ C．①② D．①
8．（2023七下·封开期末）如图，，为上一点，，且平分，过点作于点，且，则下列结论：
①；②；③平分；④平分．其中正确的是（ ）
A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②③④
二、填空题
9．（2023八下·玄武期末）举一个反例说明“”是不成立的，则的值可以是 .
10．（2023·北京）学校组织学生参加木艺艺术品加工劳动实践活动．已知某木艺艺术品加工完成共需A，B，C，D，E，F，G七道工序，加工要求如下：
①工序C，D须在工序A完成后进行，工序E须在工序B，D都完成后进行，工序F须在工序C，D都完成后进行；
②一道工序只能由一名学生完成，此工序完成后该学生才能进行其他工序；
③各道工序所需时间如下表所示：
工序 A B C D E F G
所需时间/分钟 9 9 7 9 7 10 2
在不考虑其他因素的前提下，若由一名学生单独完成此木艺艺术品的加工，则需要 分钟；若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，则最少需要 分钟．
11．（2023八上·合川期末）“爆竹声中一岁除，春风送暖入屠苏.千门万户曈曈日，总把新桃换旧符.”春节将至，置办年货是中国寻常百姓家不可或缺的大事.小明随妈妈去置办年货，购买了灯笼、窗花、坚果，其中灯笼每只20元，窗花每张8元，坚果每包150元，若小明和妈妈一共用了428元（三种年货都有购买），则最多能买灯笼 只.
12．（2023七下·五华期末）甲、乙、丙三人进行羽毛球赛训练，每局两人进行比赛，第三个人做裁判，每局都要分出胜负，胜方和原来的裁判进行新一局的比赛，输方转做裁判，依次进行，半天训练结束时，甲共当裁判5局，乙、丙分别进行了8局、6局比赛，在这半天的训练中，甲、乙、丙三人共进行了 局比赛，其中最后一局比赛的裁判是 （填甲或乙或丙）．
13．（2023·常州模拟）图1是一个正方形网格，两条网格线的交点叫做格点.甲、乙两人在网格中进行游戏，规则如下：
游戏规则a.两人依次在网格中画线段，线段的起点和终点均为格点； b.新画线段的起点为前一条线段的终点，且与任意已画出线段不能有其它公共点； c.已画出线段的所有端点中，任意三个端点不能在同一条直线上； d.当某人无法画出新的线段时，则另一人获胜.
如图2，甲先画出线段，乙随后画出线段.若这局游戏继续进行下去，最终的获胜者是 .（填“甲”，“乙”或“不确定”）.
三、解答题
14．（2022七上·宣州期末）设x，y，z为互不相等的非零实数，且．求证：．
15．（2022七下·锦州期末）请在下列括号内填上相应步骤或理由．
已知：如图，，垂足为A，．
试说明：．
解：因为（已知），
所以（ ）．
因为（已知），
所以 ▲ （等量代换）．
所以（ ）．
所以（ ）．
因为（已知），
所以（垂直的定义）．
所以（ ）．
所以（垂直的定义）．
四、综合题
16．（2022七上·长沙开学考）设，是两个不相等的正整数，为质数，满足，且是整数．
（1）求证：；
（2）求的值；
（3）求，的值．
17．（2022八下·历下期末）在小学，我们学习过能被3整除的数的规律，其实这个结论可以用因式分解的方法证明．
（1）请你判断111222 （填能或不能）被3整除；
（2）为什么可以用各数位上的数字之和判断一个数能不能被3整除呢？小明先选了一个能被3整除的四位数“1236”试着进行推理：
； ∵“”能被3整除， ∴当“”被3整除，原数就能被3整除．
现在，设是个四位数，其个位、十位、百位、千位上的数字分别是d，c，b，a，请你借鉴小明的思路，证明：若“”能被3整除，则能被3整除；
（3）定义：一个自然数按从右往左的第1、3、5、7、…数位，我们称为奇位，按从右往左的第2、4、6、8、…数位，我们称为偶位．例如：一个四位数，其个位与百位即奇位，十位与千位为偶位．奇位和就是把所有位于奇位上的数字相加，偶位和就是把所有位于偶位上的数字相加．请证明，若的偶位和与奇位和的差是11的倍数，则能被11整除．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】平行线的判定与性质；对顶角及其性质；真命题与假命题
【解析】【解答】解：如图，
A、与是同位角，但，故原命题是假命题，不符合题意；
B、与是内错角，但，故原命题是假命题，不符合题意；
C、，但与不是对顶角，故原命题是假命题，不符合题意；
D、同旁内角互补，两直线平行，故原命题是真命题，符合题意；
故答案为：D.
【分析】两直线平行，同位角相等，据此可判断A选项；两直线平行，内错角相等，据此可判断B选项；对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，据此可判断C选项；同旁内角互补，两直线平行，据此可判断D选项.
2．【答案】D
【知识点】不等式的解及解集；真命题与假命题
【解析】【解答】
解：x=-2时，|x|<3； x=3时，|x|=3，∴A、B都不符合要求，
当x=4时，|x|＞3，x>3，不能说明命题是假命题；
当x=-4时，|x|＞3，x＜3，能说明命题是假命题。
故答案为：D.
【分析】把x值代入，考察是否符合要求。
3．【答案】B
【知识点】推理与论证
【解析】【解答】解：把8个球分成3、3、2三份，第一次测量3和3两份；
①若两份不等重，可直接判断重的球在哪一份中，再将3个球分成3份，再测量一次即可；
②若两份等重，则重的球在余下的2个球中，测量一次即可.
故答案为：B.
【分析】把8个球分成3、3、2三份，第一次测量3和3两份，然后分两份不等重，2份等重进行判断.
4．【答案】C
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解： ② 对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，也可能是正方形，故 ② 是假命题；
③ 四边相等的四边形不一定是正方形，也可能是菱形， 故③是假命题
故答案为C
【分析】根据矩形，菱形的判定定理即可求出答案。
5．【答案】C
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】①在同一平面内，两条直线的位置关系有：相交和平行，故①不正确；
②在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，故②不正确；
③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与这条直线垂直，故③正确；
④在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故④不正确；
⑤直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到直线的距离，故⑤不正确；
⑥若两条平行线被第三条直线所截，则一组同旁内角的角平分线互相垂直，故⑥正确，
综上所述，不正确的是①②④⑥共4个，
故答案为：C.
【分析】利用真命题的定义逐项判断即可。
6．【答案】D
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】A，代入 ， ，不符合题意；
B，代入 ， ，不符合题意；
C，代入 ， ，不符合题意；
D，代入 ， ，符合题意；
故答案为：D。
【分析】把A，B，C，D选项的四个n的值代入到 的式子中即可。
7．【答案】A
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵DE∥BC，
∴∠DFB=∠FBC，∠EFC=∠FCB，
∵△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，
∴∠DBF=∠FBC，∠ECF=∠FCB，
∴∠DBF=∠DFB，∠ECF=∠EFC，
∴DB=DF，EF=EC，
即△BDF和△CEF都是等腰三角形；
故①符合题意；
∴DE=DF+EF=BD+CE，
故②符合题意；
∴△ADE的周长为：AD+DE+AE=AB+BD+CE+AE=AB+AC；
故③符合题意；
∵∠ABC不一定等于∠ACB，
∴∠FBC不一定等于∠FCB，
∴BF与CF不一定相等，
故④不符合题意．
故答案为：A．
【分析】利用角平分线的性质，等腰三角形的性质等对每个结论一一判断即可。
8．【答案】A
【知识点】平行线的性质；推理与论证
【解析】【解答】解：①∵FG⊥EH，FD∥EH
∴FG⊥FD，即∠GFD=90°，
∵AB∥CD，
∴∠AFD+∠D=180°，
∵∠AFD=∠AFG+∠GFD=2∠D+90°，
∴2∠D+90°+∠D=180°
∴∠D=30°，故 ① 正确；
②∵EH∥FD，∴∠EHC=∠D=30°，∴2∠D+∠EHC=90°成立，故 ② 正确；
③∵AB∥CD，∴∠BFD=∠D=30°，当H在CD上不同位置时，∠HFD的度数会发生变化，不一定等于∠BFD，所以FD不一定是∠HFB的角平分线，故 ③ 错误；
④∵∠GFD=90°，当EH平分∠GFD时，则∠GFH=∠DFH=45°，当同（3），当H在CD上不同位置时，∠HFD的度数会发生变化，不一定等于45°，故 ④ 错误.
综上，①②正确，
故答案为：A.
【分析】熟练利用“平行线的性质定理”进行角度间数量关系的分析，并结合题干中的数量关系进行转化.特别注意的是，F、H均为AB、CD上的动点，当动点变化过程中，y要观察角度的一般性变化.
9．【答案】
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：∵=x，
∴x≥0
∴可以举一个反例，使x=-1.
故答案为：-1.
【分析】由二次根式的性质可得=|x|，结合题意可得x≥0，据此解答.
10．【答案】53；28
【知识点】推理与论证
【解析】【解答】解：由题意得，
∴由一名学生单独完成此木艺艺术品的加工，则需要53分钟；
假设这两名学生为甲、乙，
∵工序C，D须在工序A完成后进行，工序E须在工序B，D都完成后进行，工序F须在工序C，D都完成后进行，
∴甲学生做工序A，乙学生同时做工序B，需要9分钟；接着甲学生做工序D，乙学生同时做工序C，乙学生工序C完成后接着做工序G，需要9分钟；最后甲学生做工序E，乙学生同时做工序F，需要10分钟，
∴至少需要9+9+10=28分钟，
故答案为：53，28
【分析】根据题意将所有数相加即可得到第一个空的答案；进而根据题意结合表格信息进行分类讨论即可得到第二个空的答案。
11．【答案】6
【知识点】推理与论证
【解析】【解答】解：先用总价钱减去至少每种年货都买一件的价钱：
(元)，
剩余的250元是三种年货中重复购买部分的价钱，
根据题意，重复购买的年货单价乘它的数量之和必须等于250元；
(只)…10（元），即250元不是全部都买灯笼，则有可能买窗花或坚果，当250元减去买窗花或坚果的价钱后，剩余买灯笼的价钱必须能整除20，
因为20是整十数，
所以，只有再买1包坚果后剩余的钱能整除20：
(元) ，
(只)，
5+1=6(只)，
最多能买灯笼6只.
故答案为：6.
【分析】先利用总价钱减去至少每种年货都买一件的价钱，可知剩余的250元是三种年货中重复购买部分的价钱，根据题意可知重复购买的年货单价乘它的数量之和必须等于250元，根据商品的单价知250元不是全部都买灯笼，则有可能买窗花或坚果，当250元减去买窗花或坚果的价钱后，剩余买灯笼的价钱必须能整除20，由于20是整十数，所以，只有再买1包坚果后剩余的钱能整除20，据此即可求解.
12．【答案】9；甲
【知识点】推理与论证
【解析】【解答】解：∵甲共当裁判5次，
∴乙和丙之间打了5局比赛，
∵乙、丙分别进行了8局、6局比赛，
∴乙和甲之间打了3局比赛，丙和甲之间打了1局比赛，
∴甲、乙、丙三人共进行了5+3+1=9（局），
∵甲和乙之间打了3局比赛，乙和丙之间打了5局比赛，丙和甲之间打了1局比赛，
又∵乙和丙的比赛一定有一个人获胜，获胜的那个人只能与甲进行比赛，
∴乙和丙的5局比赛，如果在前面的8局里，甲就要打5局比赛，与题意不符，
∴最后一局比赛只能是乙和丙，
∴最后一局比赛的裁判是甲.
【分析】根据 甲共当裁判5局，乙、丙分别进行了8局、6局比赛， 计算出比赛的局数，然后通过逻辑推理，判断出最后一局比赛的裁判是甲.
13．【答案】乙
【知识点】推理与论证
【解析】【解答】解：甲先画出线段，乙随后画出线段.
第三步应由甲走，甲从C向右走横线到F，此时C、F、A三点在一线，不符合游戏规则，
甲只有向下走到D，
第四步应由乙走，乙从D向右走横线到B，与任意已画出线段不能有其他公共点，此方向不能走，如果向下走到H，此时H、D、C三点共线此路也不能走，只有沿斜下方走到E，
第五步应由甲走，甲从E起向右横向走到G，此时C、B、G三点共线此路不能走，向上走到B，与已知线段有公共点，此路不能走，斜向上走到M，此时，D、B、M三点共线，不能符合规则，则甲没地方可走.最终的获胜者是 “乙”.
故答案为：乙.
【分析】由甲先画出线段，乙随后画出线段，接下来甲只有向下走到D，然后只有沿斜下方走到E，第五步应由甲走，而各条路行不通，故最终的获胜者是 “乙”.
14．【答案】证明：由已知得出：
∵，
∴，
即，
∴①，
同理得出：
②，
③，
得：
，
．
【知识点】推理与论证
【解析】【分析】根据求出，，，再求出，即可得到。
15．【答案】解：因为AB∥CD（已知），
所以∠1=∠D（两直线平行，内错角相等）．
因为∠1=∠2（已知），
所以∠2=∠D（等量代换），
所以EF∥AD（同位角相等，两直线平行），
所以∠CEF=∠CAD（两直线平行，同位角相等）．
因为AD⊥AC（已知），
所以∠CAD=90°（垂直的定义），
所以∠CEF=90°（等量代换），
所以EF⊥AC（垂直的定义）．
【知识点】平行线的判定与性质；推理与论证
【解析】【分析】利用平行线的判定与性质求解即可。
16．【答案】（1）证明： ， 是两个不相等的正整数，
， 都是正整数， ．
是整数，
，
，
，
即 ．
假设 ，
则有 ．
与 连续整数，
是偶数，
为质数，
，
，
， ，
，
与条件“ 是整数”矛盾，
；
（2）解：设 其中 ， 为正整数 ，
则有 ，
，
．
是质数，
．
且 ，
此时 ，整理得 ，
方程无解．
且 ，
此时 ，与条件“ 、 为不相等的正整数”矛盾；
，
此时 ，
，
．
为整数，
也是整数，
正整数 ．
，
正整数 ，
，
，
，与 为正整数矛盾；
且 ，
此时 ，
整理得 ，
解得 ， ，
与 为正整数矛盾；
且 ，
此时 ，
，
，
，
，
与“ 是大于 的正整数”矛盾；
，
此时 ，
整理得 ，
则
．
是大于 的正整数，
是小于 的正整数，
整数 ，
，
，
．
综上所述： ；
（3）解：由（2）可知，
只有当 时，存在正整数 、 及质数 ，使得条件成立，
此时 ，整理得 ，
则
．
是大于 的正整数，
是小于 的正整数，
整数 ，
，
．
【知识点】推理与论证
【解析】【分析】（1）由题意可得a2+b、b2+a都是正整数，a+b-1>0，根据题意可得a2+b≥b2+a，则a2+b-b2-a=(a-b)(a+b-1)≥0，推出a≥b，假设a=b，则p2=b2+a=a(a+1)，根据a、a+1为连续的整数可得p2是偶数，结合p为质数可得p=2，然后求出a、b、的值，结合为整数进行证明；
（2）设=k，则有a2+b=kp2，表示出p2，根据p为质数=1且a+b-1=p2，此时b2-b+1=0，方程无解；=p2且a+b-1=1，此时与a、b为不相等的正整数矛盾；=p，此时a=(a+2b-1)(a-1)，表示出a+2b-1，结合a+2b-1为整数可得a的值，然后求出b、p、k的值；=1且a-b=p2，则b2+b=0，求出b的值，据此判断；=p2且a-b=1，此时a=b+1，表示出k，求出k的范围，据此判断；=p，此时a=2b+1，同理表示出k，求出b、a、p的值，据此判断；
（3）由（2）可知：只有当=p时，存在正整数a、b及质数p，使得条件成立，此时a=2b+1，表示出k，求出b的值，进而可得a的值.
17．【答案】（1）能
（2）解：===∵能被3整除，∴若“”能被3整除，则能被3整除．
（3）解：===∵能被11整除，∴若“”能被11整除，即的偶位和与奇位和的差是11的倍数，则能被11整除．
【知识点】推理与论证；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）∵111222=111×100+111×2=111×102=111×3×34∴111222能被3整除，
故答案为：能；
【分析】（1）根据因式分解的方法判断，即可得出答案；
（2）根据因式分解的方法判断，即可得出答案；
（3）根据因式分解的方法判断，即可得出答案。
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