2023-2024学年初中数学沪科版八年级上册 14.1 全等三角形 同步分层训练培优卷
一、选择题
1．（2023七下·宽城期末）如图，点，，，在同一条直线上，，若，，则的度数为（ ）
A．50° B．60° C．65° D．120°
2．（2023七下·电白期末）如图，若≌，，，则BE等于（ ）
A．6 B．7 C．8 D．10
3．（2023七下·上蔡期末）如图，，且，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023八下·晋中期中）如图，已知，与交于点O，添加一个适当的条件后，仍不能使得成立的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023七下·深圳期中）如图，，，，图中全等的三角形的对数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
6．（2023七下·深圳期中）如图，，．点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上以的速度由点向点运动，它们运动的时间为．当与全等时，的值是（ ）
A．2 B．1或 C．2或 D．1或2
7．（2021八上·铁锋期末）如图，已知在正方形中，厘米，，点E在边上，且厘米，如果点P在线段BC上以2厘米／秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向D点运动，设运动时间为t秒，当ΔBPE与ΔCQP全等时，t的值为（ ）
A．2 B．2或1.5 C．2.5 D．2.5或2
8．（2021·安徽）在△ABC中∠ACB=90°，分别过点B，C作∠BAC平分线的垂线，垂足分别为点D，E，BC的中点是M，连接CD，MD，ME.则下列结论错误的是（ ）
A．CD=2ME B．ME∥AB C．BD=CD D．ME=MD
二、填空题
9．（2023七下·鹤壁期末）已知的三边长分别为3，4，5，的三边长分别为3，，若这两个三角形全等，则x的值为 ．
10．（2023七下·青羊期末）如图，，若，且，则的度数为 度．
11．（2023七下·深圳期中）如图，中，，，，点从点出发沿路径运动，终点为点；点从点出发沿路径运动，终点为点．点和点分别以和的速度同时开始运动，两点到达相应的终点时分别停止运动．若分别过点和作于，于．当与全等时，点的运动时间为 ．
12．（2021八上·黄冈月考）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上，OA＝10cm，OC＝6cm，F是线段OA上的动点，从点O出发，以1cm/s的速度沿OA方向作匀速运动，点Q在线段AB上．已知A，Q两点间的距离是O，F两点间距离的a倍，若用（a，t）表示经过时间t（x）时，△OCF，△FAQ，△CBQ中有两个三角形全等，请写出（a，t）的所有可能情况 ．
13．（2020八上·昌黎期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝24厘米，∠B=∠C ，BC＝16厘米，点D为AB的中点，点P在线段BC上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．当点Q的运动速度为 厘米/秒时，能够在某一时刻使△BPD与△CQP全等．
三、解答题
14．（2023·安宁模拟）如图，已知平分，．求证：．
15．（2022七下·宜黄月考）如图，线段，于点A，，射线于点B，点P从点B向点A运动，每秒走1m，点Q从点B向点D运动，每秒走3m．若点P，Q同时从点B出发，当出发t秒后，在线段MA上有一点C，使以点C，A，P为顶点的三角形与全等，求t的值．
四、综合题
16．（2023八下·铁西期末）如图，已知直线交x轴于点，交y轴于点，设点E的坐标为，的面积为S．
（1）求直线的解析式；
（2）若点E不在直线上，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
（3）若点E在直线的上方，，N是x轴上一点，M是直线上一点，是否存在是以M为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
17．（2023八下·衡阳期中）
【探索发现】如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点，过作于点．过作于点，则，我们称这种全等模型为“k型全等”．（不需要证明）
【迁移应用】已知：直线的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点．
（1）如图2，当时，在第二象限构造等腰直角，；
①直接写出 ， ；
②点C的坐标是 ；
（2）如图3，当k的取值变化，点A随之在x轴负半轴上运动时，在y轴左侧过点B作，并且，连接，问的面积是否发生变化？若不变，请求出这个定值．若变，请说明理由；
（3）【拓展应用】如图4，在平面直角坐标系，点，过点B作轴于点A，作轴于点C，P为线段上的一个动点，点位于第一象限．问点A，P，Q能否构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，若能，请求出a的值；若不能，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵，
∴∠A=∠D=36°，
∴∠CED=60°，
故答案为：B
【分析】根据三角形全等的性质结合题意即可求解。
2．【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵△ABC≌△DEF，
∴AB=DE，
∴AB-AE=DE-AE，即BE=AD.
∵BD=22，AE=8，
∴AD+BE=14，
∴BE=AD=7.
故答案为：B.
【分析】由全等三角形的性质可得AB=DE，根据线段的和差关系可得BE=AD，据此计算.
3．【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵△ABC≌△CDA，
∴∠1=∠2，AD=CB，∠B=∠D.
故答案为：D.
【分析】全等三角形的性质：对应边相等，对应角相等，据此判断.
4．【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：A、补充BD=AC不能证得：△ABC≌△DCB；
B、补充AB=DC，利用SAS可以证得：△ABC≌△DCB；
C、∵OB=OC，
∴∠ACB=∠DBC，
∴补充OB=OC，利用ASA可以证得：△ABC≌△DCB；
D、补充∠A=∠D，利用AAS可以证得：△ABC≌△DCB；
故答案为：A.
【分析】利用三角形的判定方法对每个选项一一判断即可。
5．【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】∵AB∥CD，BC∥AD，
∴∠ABD＝∠CDB，∠ADB＝∠CBD．
在△ABD和△CDB中，
∴△ABD≌△CDB（ASA），
∴AD＝BC，AB＝CD．
在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴AE＝CF，BE＝DF，
∴BE+EF＝DF+EF，
∴BF＝DE，
在△ADE和△CBF中，
∴△ADE≌△CBF（SSS），
在△ABF和△CDE中，
∴△ABF≌△CDE（SAS），
∴AF＝CE，
在△ADF和△CBE中，
∴△ADF≌△CBE（SSS），
在△AEF和△CFE中，
∴△AEF≌△CFE（SSS），
即6对全等三角形，
故答案为：C
【分析】根据全等三角形的判定定理即可依次证明三角形全等，即可求解．
6．【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：由题意知，，，，
与全等，分两种情况求解：
①当时，，即，解得；
②当时，，即，解得，，即，解得；
综上所述，x的值是1或，
故答案为：B．
【分析】分类讨论：①当时，②当时，再分别列出方程求解即可。
7．【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：①当点Q的运动速度与点P的运动速度都是2厘米/秒，若，，
∵厘米，厘米，
∴厘米，
∴厘米，
∴运动时间（秒）；
②当点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，
∴，
∵，
∴要使与全等，只要厘米，厘米即可．
∴点P，Q运动的时间（秒），
故答案为：D．
【分析】分两种情况：①当点Q的运动速度与点P的运动速度都是2厘米/秒，若，，②当点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，再利用全等三角形的性质求解即可。
8．【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；线段的中点
【解析】【解答】解：
根据题意可得，如图所示，延长EM交BD于点F，延长DM交AB于点N
在△ABC中，∠ACB=90°，分别过点B和点C做∠BAC的平分线的垂线，垂足分别为点D和点E
由此可得，点A，C，D，B四点共圆
∵AD平分∠CAB
∴∠CAD=∠BAD
∴CD=DB，即选项C正确；
∵点M为BC的中点
∴DM⊥BC
∵∠ACB=90°
∴AC∥DN
∴点N为线段AB的中点
∴AN=DN
∴∠DAB=∠ADN
∵CE⊥AD，BD⊥AD
∴CE∥BD
∴∠ECM=∠FBM，∠CEM=∠BFM
∵点M为BC的中点
∴CM=BM
∴△CEM≌△BFM
∴EM=FM
∴EM=FM=DM，即D正确
∴∠FEM=∠MDE=∠DAB
∴EM∥AB，即选项B正确
∴A不正确
故答案为：A.
【分析】根据题意做出图形，由中点的性质，结合三角形全等的判定和性质，分别判断即可。
9．【答案】2
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：与全等，
当时，，
，
成立，
当时，，
，
不成立，
故答案为：2.
【分析】已知三角形三边的两个三角形全等，求x值时需要对全等三角形的对应边进行分类讨论，求出x值后需验证.
10．【答案】80
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵，
∴∠DAE=∠BAC，∠E=∠C=70°，
∵，
∴∠CAD=90°-70°=20°，
∴∠BAC=∠DAE=20°+60°=80°，
故答案为：80
【分析】先根据三角形全等的性质即可得到∠DAE=∠BAC，∠E=∠C=70°，进而根据垂直即可求出∠CAD的度数，然后结合题意即可求解。
11．【答案】1或或12
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：①当点P在AC上，Q在BC上时，有PC=(6-t)cm，QC=(8-3t)cm.
∵PE⊥l，QF⊥l，
∴∠PEC=∠QFC=90°.
∵∠EPC+∠PCE=90°，∠PCE+∠QCF=90°，
∴∠EPC=∠QCF.
∵△PCE≌△CQF，
∴PC=CQ，
∴6-t=8-3t，
解得t=1.
②当P在BC上，Q在AC上时，有PC=(t-6)cm，QC=(3t-8)cm，
由①知PC=CQ，则t-6=3t-8，
解得t=1，此时t-6<0，故舍去.
③当P、Q都在AC上时，PC=6-t=3t-8，
解得t=.
④当Q到A点停止，P在BC上时，AC=PC，即t-6=6，解得t=12.
⑤∵P的速度小于Q的速度，故P和Q都在BC上的情况不存在.
综上可得：t=1或或12.
故答案为：1或或12.
【分析】①当点P在AC上，Q在BC上时，有PC=(6-t)cm，QC=(8-3t)cm，根据同角的余角相等可得
∠EPC=∠QCF，由全等三角形的性质可得PC=CQ，代入计算即可；②当P在BC上，Q在AC上时，有PC=(t-6)cm，QC=(3t-8)cm；③当P、Q都在AC上时，④当Q到A点停止，P在BC上时，同理进行解答.
12．【答案】（1，4），（，5），（0，10）
【知识点】坐标与图形性质；三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：①当△COF和△FAQ全等时，
OC=AF，OF=AQ或OC=AQ，OF=AF，
，，，，代入得：或，
解得：，，或，，
，；
②同理当△FAQ和△CBQ全等时，必须BC=AF，BQ=AQ，
，，
此时不存在；
③因为△CBQ最长直角边BC=10，而△COF的最长直角边不能等于10，所以△COF和△BCQ不全等，
④F，Q，A三点重合，此时△COF和△CBQ全等，此时为（0，10）
故答案为：（1，4），（，5），（0，10）.
【分析】分类讨论：①当△COF和△FAQ全等时，OC=AF，OF=AQ或OC=AQ，OF=AF，代入即可求出a、t的值；②同理当△FAQ和△CBQ全等时，必须BC=AF，BQ=AQ，此时不存在；③△COF和△BCQ不全等；④F，Q，A三点重合，此时△COF和△CBQ全等，可知此时坐标为（0，10）；综合上述即可得到答案.
13．【答案】4或6
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：设点Q的速度为x，则运动t秒时，CQ=xt，P点的速度为4，则BC=16
∴BP=4t，PPC=（16-4t）
又∵AB=AC=24，点D为AB的中点
∴BD=AB=12
∵∠B=∠C
∴运动t秒时，△BPD与△CQP全等共有两种情况
①当△BPD≌△CQP时，
则有BD=CP，BP=CQ
即12=16-4t，4t=xt
即t=1
∴由4t=xt可知，x=4
②当△BPD≌△CPQ时，
则有BD=CQ，BP=CP
即12=xt，4t=16-4t
∴t=2，x=6
【分析】根据题意，设Q点的运动速度为x，根据其运动情况表示出线段的数量关系，根据三角形全等的性质计算得到答案即可。
14．【答案】证明： 平分 ，
，
在 和 中，
，
（ ）．
．
【知识点】三角形全等及其性质；角平分线的概念
【解析】【分析】根据角平分线先求出∠BAD=∠CAD，再利用全等三角形的判定与性质证明求解即可。
15．【答案】解：当△APC≌△BQP时，AP=BQ，即20-t=3t，
解得：t=5；
当△APC≌△BPQ时，AP=BP=AB=10m，
此时所用时间为10秒，AC=BQ=10m，不合题意，舍去；
综上，出发5秒后，在线段MA上有一点C，使以点C，A，P为顶点的三角形与△PBQ全等．
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【分析】分两种情况：①当△APC≌△BQP时，②当△APC≌△BPQ时，再分别列出方程求解即可。
16．【答案】（1）解：∵，，
设直线的解析式为，把点，代入，
得，解得
∴直线的解析式为
（2）解：过点E作x轴垂线交直线于点F，如图，
由（1）得：直线的解析式为，
当时，，
∴，
当点E在直线的上方，
即时，
点E在直线的下方，
即时，
综上所述，
（3）解：存在，或
【知识点】一次函数的图象；待定系数法求一次函数解析式；三角形全等及其性质；一次函数的性质
【解析】【解答】解：（3）存在；
由题意得：，
∴，
∵点E在直线的上方，，
由（2）得：，解得：，
∴，
如图，M在点E的左侧，过点M作.轴于点H，过点E作.轴于点G，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，
∴，解得：，
∴，
∴点M坐标为；
如图，M在点E的右侧，
同理可得：，解得：，
∴，
∴点M坐标为；
综上所述：点M坐标为或；
【分析】（1）运用待定系数法即可求出一次函数的解析式；
（2）过点E作x轴垂线交直线于点F，由（1）得：直线的解析式为，进而根据一次函数的性质即可得到点F的坐标，再分类讨论即可求解；
（3）先根据三角形的面积结合一次函数的性质即可得到点E的坐标，M在点E的左侧，过点M作.轴于点H，过点E作.轴于点G，进而根据等腰直角三角形结合题意即可得到，进而根据三角形全等的判定与性质证明即可得到，设，根据题意进行运算即可求解。
17．【答案】（1）3；6；
（2）解：当变化时，的面积是定值，，
理由如下：
当变化时，点随之在轴负半轴上运动时，
，
过点作于，如图，
，
，
，
，
，
，
，，
．
，
．
变化时，的面积是定值，定值为18．
（3）解：能，构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，，，
过点Q作于E，交于F，
分两种情况：当点Q在下方时，如图，
∵，，
∴，
由“k型全等”可得，
∴，
∵，，
∴，，
∴
解得：；
当点Q在上方时，如图，
同理得： ，
∴，
∵，，
∴，，
∴
解得：；
综上，当或时，能构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质
【解析】【解答】（1）解：当k=2时，直线y=2x+6，由图像可知：
A点纵坐标为0，则当y=0时，x=-3，则A（-3，0），OA=3
B点横坐标为0，则当x=0时，y=6，则B（0，6），OB=6
如图，作CD垂直x轴与点D
由图1可知，
点C到y轴的距离为9，到x轴的距离为3
点C在第二象限
故第一空答案为3，第二空答案为6，第三空答案为（-9，3）
【分析】（1）由直线与坐标系的交点坐标的特征即可求出OA，OB的长；根据全等三角形的性质即可求出点C坐标。
（2）判断并证明，可得MN=0B，即可求出 的面积为定制18。
（3） 构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形 ，根据 “K型全等”证明三角形全等即可求出答案。
1 / 12023-2024学年初中数学沪科版八年级上册 14.1 全等三角形 同步分层训练培优卷
一、选择题
1．（2023七下·宽城期末）如图，点，，，在同一条直线上，，若，，则的度数为（ ）
A．50° B．60° C．65° D．120°
【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵，
∴∠A=∠D=36°，
∴∠CED=60°，
故答案为：B
【分析】根据三角形全等的性质结合题意即可求解。
2．（2023七下·电白期末）如图，若≌，，，则BE等于（ ）
A．6 B．7 C．8 D．10
【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵△ABC≌△DEF，
∴AB=DE，
∴AB-AE=DE-AE，即BE=AD.
∵BD=22，AE=8，
∴AD+BE=14，
∴BE=AD=7.
故答案为：B.
【分析】由全等三角形的性质可得AB=DE，根据线段的和差关系可得BE=AD，据此计算.
3．（2023七下·上蔡期末）如图，，且，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵△ABC≌△CDA，
∴∠1=∠2，AD=CB，∠B=∠D.
故答案为：D.
【分析】全等三角形的性质：对应边相等，对应角相等，据此判断.
4．（2023八下·晋中期中）如图，已知，与交于点O，添加一个适当的条件后，仍不能使得成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：A、补充BD=AC不能证得：△ABC≌△DCB；
B、补充AB=DC，利用SAS可以证得：△ABC≌△DCB；
C、∵OB=OC，
∴∠ACB=∠DBC，
∴补充OB=OC，利用ASA可以证得：△ABC≌△DCB；
D、补充∠A=∠D，利用AAS可以证得：△ABC≌△DCB；
故答案为：A.
【分析】利用三角形的判定方法对每个选项一一判断即可。
5．（2023七下·深圳期中）如图，，，，图中全等的三角形的对数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】∵AB∥CD，BC∥AD，
∴∠ABD＝∠CDB，∠ADB＝∠CBD．
在△ABD和△CDB中，
∴△ABD≌△CDB（ASA），
∴AD＝BC，AB＝CD．
在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴AE＝CF，BE＝DF，
∴BE+EF＝DF+EF，
∴BF＝DE，
在△ADE和△CBF中，
∴△ADE≌△CBF（SSS），
在△ABF和△CDE中，
∴△ABF≌△CDE（SAS），
∴AF＝CE，
在△ADF和△CBE中，
∴△ADF≌△CBE（SSS），
在△AEF和△CFE中，
∴△AEF≌△CFE（SSS），
即6对全等三角形，
故答案为：C
【分析】根据全等三角形的判定定理即可依次证明三角形全等，即可求解．
6．（2023七下·深圳期中）如图，，．点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上以的速度由点向点运动，它们运动的时间为．当与全等时，的值是（ ）
A．2 B．1或 C．2或 D．1或2
【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：由题意知，，，，
与全等，分两种情况求解：
①当时，，即，解得；
②当时，，即，解得，，即，解得；
综上所述，x的值是1或，
故答案为：B．
【分析】分类讨论：①当时，②当时，再分别列出方程求解即可。
7．（2021八上·铁锋期末）如图，已知在正方形中，厘米，，点E在边上，且厘米，如果点P在线段BC上以2厘米／秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向D点运动，设运动时间为t秒，当ΔBPE与ΔCQP全等时，t的值为（ ）
A．2 B．2或1.5 C．2.5 D．2.5或2
【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：①当点Q的运动速度与点P的运动速度都是2厘米/秒，若，，
∵厘米，厘米，
∴厘米，
∴厘米，
∴运动时间（秒）；
②当点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，
∴，
∵，
∴要使与全等，只要厘米，厘米即可．
∴点P，Q运动的时间（秒），
故答案为：D．
【分析】分两种情况：①当点Q的运动速度与点P的运动速度都是2厘米/秒，若，，②当点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，再利用全等三角形的性质求解即可。
8．（2021·安徽）在△ABC中∠ACB=90°，分别过点B，C作∠BAC平分线的垂线，垂足分别为点D，E，BC的中点是M，连接CD，MD，ME.则下列结论错误的是（ ）
A．CD=2ME B．ME∥AB C．BD=CD D．ME=MD
【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；线段的中点
【解析】【解答】解：
根据题意可得，如图所示，延长EM交BD于点F，延长DM交AB于点N
在△ABC中，∠ACB=90°，分别过点B和点C做∠BAC的平分线的垂线，垂足分别为点D和点E
由此可得，点A，C，D，B四点共圆
∵AD平分∠CAB
∴∠CAD=∠BAD
∴CD=DB，即选项C正确；
∵点M为BC的中点
∴DM⊥BC
∵∠ACB=90°
∴AC∥DN
∴点N为线段AB的中点
∴AN=DN
∴∠DAB=∠ADN
∵CE⊥AD，BD⊥AD
∴CE∥BD
∴∠ECM=∠FBM，∠CEM=∠BFM
∵点M为BC的中点
∴CM=BM
∴△CEM≌△BFM
∴EM=FM
∴EM=FM=DM，即D正确
∴∠FEM=∠MDE=∠DAB
∴EM∥AB，即选项B正确
∴A不正确
故答案为：A.
【分析】根据题意做出图形，由中点的性质，结合三角形全等的判定和性质，分别判断即可。
二、填空题
9．（2023七下·鹤壁期末）已知的三边长分别为3，4，5，的三边长分别为3，，若这两个三角形全等，则x的值为 ．
【答案】2
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：与全等，
当时，，
，
成立，
当时，，
，
不成立，
故答案为：2.
【分析】已知三角形三边的两个三角形全等，求x值时需要对全等三角形的对应边进行分类讨论，求出x值后需验证.
10．（2023七下·青羊期末）如图，，若，且，则的度数为 度．
【答案】80
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵，
∴∠DAE=∠BAC，∠E=∠C=70°，
∵，
∴∠CAD=90°-70°=20°，
∴∠BAC=∠DAE=20°+60°=80°，
故答案为：80
【分析】先根据三角形全等的性质即可得到∠DAE=∠BAC，∠E=∠C=70°，进而根据垂直即可求出∠CAD的度数，然后结合题意即可求解。
11．（2023七下·深圳期中）如图，中，，，，点从点出发沿路径运动，终点为点；点从点出发沿路径运动，终点为点．点和点分别以和的速度同时开始运动，两点到达相应的终点时分别停止运动．若分别过点和作于，于．当与全等时，点的运动时间为 ．
【答案】1或或12
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：①当点P在AC上，Q在BC上时，有PC=(6-t)cm，QC=(8-3t)cm.
∵PE⊥l，QF⊥l，
∴∠PEC=∠QFC=90°.
∵∠EPC+∠PCE=90°，∠PCE+∠QCF=90°，
∴∠EPC=∠QCF.
∵△PCE≌△CQF，
∴PC=CQ，
∴6-t=8-3t，
解得t=1.
②当P在BC上，Q在AC上时，有PC=(t-6)cm，QC=(3t-8)cm，
由①知PC=CQ，则t-6=3t-8，
解得t=1，此时t-6<0，故舍去.
③当P、Q都在AC上时，PC=6-t=3t-8，
解得t=.
④当Q到A点停止，P在BC上时，AC=PC，即t-6=6，解得t=12.
⑤∵P的速度小于Q的速度，故P和Q都在BC上的情况不存在.
综上可得：t=1或或12.
故答案为：1或或12.
【分析】①当点P在AC上，Q在BC上时，有PC=(6-t)cm，QC=(8-3t)cm，根据同角的余角相等可得
∠EPC=∠QCF，由全等三角形的性质可得PC=CQ，代入计算即可；②当P在BC上，Q在AC上时，有PC=(t-6)cm，QC=(3t-8)cm；③当P、Q都在AC上时，④当Q到A点停止，P在BC上时，同理进行解答.
12．（2021八上·黄冈月考）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上，OA＝10cm，OC＝6cm，F是线段OA上的动点，从点O出发，以1cm/s的速度沿OA方向作匀速运动，点Q在线段AB上．已知A，Q两点间的距离是O，F两点间距离的a倍，若用（a，t）表示经过时间t（x）时，△OCF，△FAQ，△CBQ中有两个三角形全等，请写出（a，t）的所有可能情况 ．
【答案】（1，4），（，5），（0，10）
【知识点】坐标与图形性质；三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：①当△COF和△FAQ全等时，
OC=AF，OF=AQ或OC=AQ，OF=AF，
，，，，代入得：或，
解得：，，或，，
，；
②同理当△FAQ和△CBQ全等时，必须BC=AF，BQ=AQ，
，，
此时不存在；
③因为△CBQ最长直角边BC=10，而△COF的最长直角边不能等于10，所以△COF和△BCQ不全等，
④F，Q，A三点重合，此时△COF和△CBQ全等，此时为（0，10）
故答案为：（1，4），（，5），（0，10）.
【分析】分类讨论：①当△COF和△FAQ全等时，OC=AF，OF=AQ或OC=AQ，OF=AF，代入即可求出a、t的值；②同理当△FAQ和△CBQ全等时，必须BC=AF，BQ=AQ，此时不存在；③△COF和△BCQ不全等；④F，Q，A三点重合，此时△COF和△CBQ全等，可知此时坐标为（0，10）；综合上述即可得到答案.
13．（2020八上·昌黎期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝24厘米，∠B=∠C ，BC＝16厘米，点D为AB的中点，点P在线段BC上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．当点Q的运动速度为 厘米/秒时，能够在某一时刻使△BPD与△CQP全等．
【答案】4或6
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：设点Q的速度为x，则运动t秒时，CQ=xt，P点的速度为4，则BC=16
∴BP=4t，PPC=（16-4t）
又∵AB=AC=24，点D为AB的中点
∴BD=AB=12
∵∠B=∠C
∴运动t秒时，△BPD与△CQP全等共有两种情况
①当△BPD≌△CQP时，
则有BD=CP，BP=CQ
即12=16-4t，4t=xt
即t=1
∴由4t=xt可知，x=4
②当△BPD≌△CPQ时，
则有BD=CQ，BP=CP
即12=xt，4t=16-4t
∴t=2，x=6
【分析】根据题意，设Q点的运动速度为x，根据其运动情况表示出线段的数量关系，根据三角形全等的性质计算得到答案即可。
三、解答题
14．（2023·安宁模拟）如图，已知平分，．求证：．
【答案】证明： 平分 ，
，
在 和 中，
，
（ ）．
．
【知识点】三角形全等及其性质；角平分线的概念
【解析】【分析】根据角平分线先求出∠BAD=∠CAD，再利用全等三角形的判定与性质证明求解即可。
15．（2022七下·宜黄月考）如图，线段，于点A，，射线于点B，点P从点B向点A运动，每秒走1m，点Q从点B向点D运动，每秒走3m．若点P，Q同时从点B出发，当出发t秒后，在线段MA上有一点C，使以点C，A，P为顶点的三角形与全等，求t的值．
【答案】解：当△APC≌△BQP时，AP=BQ，即20-t=3t，
解得：t=5；
当△APC≌△BPQ时，AP=BP=AB=10m，
此时所用时间为10秒，AC=BQ=10m，不合题意，舍去；
综上，出发5秒后，在线段MA上有一点C，使以点C，A，P为顶点的三角形与△PBQ全等．
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【分析】分两种情况：①当△APC≌△BQP时，②当△APC≌△BPQ时，再分别列出方程求解即可。
四、综合题
16．（2023八下·铁西期末）如图，已知直线交x轴于点，交y轴于点，设点E的坐标为，的面积为S．
（1）求直线的解析式；
（2）若点E不在直线上，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
（3）若点E在直线的上方，，N是x轴上一点，M是直线上一点，是否存在是以M为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵，，
设直线的解析式为，把点，代入，
得，解得
∴直线的解析式为
（2）解：过点E作x轴垂线交直线于点F，如图，
由（1）得：直线的解析式为，
当时，，
∴，
当点E在直线的上方，
即时，
点E在直线的下方，
即时，
综上所述，
（3）解：存在，或
【知识点】一次函数的图象；待定系数法求一次函数解析式；三角形全等及其性质；一次函数的性质
【解析】【解答】解：（3）存在；
由题意得：，
∴，
∵点E在直线的上方，，
由（2）得：，解得：，
∴，
如图，M在点E的左侧，过点M作.轴于点H，过点E作.轴于点G，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，
∴，解得：，
∴，
∴点M坐标为；
如图，M在点E的右侧，
同理可得：，解得：，
∴，
∴点M坐标为；
综上所述：点M坐标为或；
【分析】（1）运用待定系数法即可求出一次函数的解析式；
（2）过点E作x轴垂线交直线于点F，由（1）得：直线的解析式为，进而根据一次函数的性质即可得到点F的坐标，再分类讨论即可求解；
（3）先根据三角形的面积结合一次函数的性质即可得到点E的坐标，M在点E的左侧，过点M作.轴于点H，过点E作.轴于点G，进而根据等腰直角三角形结合题意即可得到，进而根据三角形全等的判定与性质证明即可得到，设，根据题意进行运算即可求解。
17．（2023八下·衡阳期中）
【探索发现】如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点，过作于点．过作于点，则，我们称这种全等模型为“k型全等”．（不需要证明）
【迁移应用】已知：直线的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点．
（1）如图2，当时，在第二象限构造等腰直角，；
①直接写出 ， ；
②点C的坐标是 ；
（2）如图3，当k的取值变化，点A随之在x轴负半轴上运动时，在y轴左侧过点B作，并且，连接，问的面积是否发生变化？若不变，请求出这个定值．若变，请说明理由；
（3）【拓展应用】如图4，在平面直角坐标系，点，过点B作轴于点A，作轴于点C，P为线段上的一个动点，点位于第一象限．问点A，P，Q能否构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，若能，请求出a的值；若不能，请说明理由．
【答案】（1）3；6；
（2）解：当变化时，的面积是定值，，
理由如下：
当变化时，点随之在轴负半轴上运动时，
，
过点作于，如图，
，
，
，
，
，
，
，，
．
，
．
变化时，的面积是定值，定值为18．
（3）解：能，构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，，，
过点Q作于E，交于F，
分两种情况：当点Q在下方时，如图，
∵，，
∴，
由“k型全等”可得，
∴，
∵，，
∴，，
∴
解得：；
当点Q在上方时，如图，
同理得： ，
∴，
∵，，
∴，，
∴
解得：；
综上，当或时，能构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质
【解析】【解答】（1）解：当k=2时，直线y=2x+6，由图像可知：
A点纵坐标为0，则当y=0时，x=-3，则A（-3，0），OA=3
B点横坐标为0，则当x=0时，y=6，则B（0，6），OB=6
如图，作CD垂直x轴与点D
由图1可知，
点C到y轴的距离为9，到x轴的距离为3
点C在第二象限
故第一空答案为3，第二空答案为6，第三空答案为（-9，3）
【分析】（1）由直线与坐标系的交点坐标的特征即可求出OA，OB的长；根据全等三角形的性质即可求出点C坐标。
（2）判断并证明，可得MN=0B，即可求出 的面积为定制18。
（3） 构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形 ，根据 “K型全等”证明三角形全等即可求出答案。
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