2023-2024学年初中数学沪科版八年级上册 14.2 全等三角形的判定 同步分层训练基础卷
一、选择题
1．（2023七下·长春期末）如图，人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的道理是（ ）
A．三角形具有稳定性 B．垂线段最短
C．两点之间，线段最短 D．两直线平行，内错角相等
【答案】A
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】解：由题意得这样做的道理是三角形具有稳定性，
故答案为：A
【分析】根据三角形的稳定性即可求解。
2．（2023七下·惠来期末）如图，在和中，如果，在下列条件中不能保证≌的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定（SSS）；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】 解：A、∵、，
若，
则（SAS），
故A不符合题意；
B、∵、，
若，
不能判定，
故B符合题意；
C、根据，可得，
又∵、，
则（SAS），
故C不符合题意；
D、∵、，
若
则（SSS），
故D不符合题意．
故选：D．
【分析】 已知AB=DE，BC=EF，只需再找一个夹角或者一条边相等，利用SAS或SSS即可判定．
3．（2023八下·潜山期末）从数学角度看下列四幅图片有一个与众不同，该图片是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】解：A、B、D都是利用了三角形的稳定性，只有C是利用了四边形的不稳定性。
故答案为：C。
【分析】根据图片可知A、B、D都是利用了三角形的稳定性，所以可得出与众不同的是C.
4．（2023七下·天桥期末）如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学的知识很快就画了一个与书上完全一样的三角形，那么小明画图的依据是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】因为小明书上的三角形虽然被污染了，但是其它两角和它们的夹边却还是完整的，只需根据完整的两角和它们的夹边画出三角形即可，因为两角及其夹边对应相等的两个三角形全等。
故答案为：D。
【分析】观察被污染的三角形其它两角和它们的夹边都是完整的，所以根据ASA就可以画出一个 完全一样的三角形 。
5．（2023七下·白银期末）如图，已知，，那么要得到，还应给出的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：∵，，
∴∠E=∠B，不能判定 ， 选项A不符合题意；
ED=AB，能判定 （AAS）， 选项B符合题意；
EF=AB，不能判定 ， 选项C不符合题意；
DF=AB，不能判定 ， 选项D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据三角形的判定方法，结合图形和题意判断求解即可。
6．（2023八下·二道期末）如图，已知，，欲证，不可补充的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵，，
∴当或或时，，
故答案为：B
【分析】根据三角形全等的判定即可求解。
7．（2023七下·高碑店期末）小亮设计了如下测量一池塘两端的距离的方案：先取一个可直接到达点，的点，连接，，延长至点，延长至点，使得，，再测出的长度，即可知道，之间的距离．他设计方案的理由是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：∵OP=OA，∠POQ=∠AOB，OQ=OB，
∴△OPQ≌△OAB（SAS），
故答案为：A.
【分析】根据SAS证明△OPQ≌△OAB.
8．（2023八下·二道期末）小明同学在用直尺和圆规作一个角的平分线，具体过程是这样的：
已知：．
求作：的平分线．
作法：第一步：如图，以点为圆心，适当长为半径画弧交于点，交于点．
第二步：分别以点为圆心，大于的长为半径画孤，两弧在的内部相交于点．
第三步：画射线．
射线就是所要求作的的平分线．
下列关于小明同学作法的理由，叙述正确的是（ ）
A．由可得，进而可证
B．由可得，进而可证
C．由可得，进而可证
D．由“等边对等角”可得
【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【解答】解：由题意得NO=MO，CM=CN，CO=CO，
∴由可得，进而可证，
故答案为：B
【分析】根据三角形全等的判定与性质结合题意即可求解。
二、填空题
9．（2023七下·泰山期末） 如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上．已知左边滑梯的高度与右边滑梯的水平长度相等，那么判定与全等的依据是 ．
【答案】
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：在Rt△ABC和Rt△DEF中：∵∠BAC=∠EDF=90°，BC=EF，AC=DF，∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）.
故第1空答案为：HL.
【分析】在两个直角三角形中，斜边对应相等，一条直角边也对应相等，根据HL即可判定两个直角三角形全等。
10．（2023七下·张店期末）如图，在RtABC与RtDCB中，已知∠A＝∠D＝90°，为了使RtABC≌RtDCB，需添加的条件是 （不添加字母和辅助线）．
【答案】AB=DC(答案不唯一)
【知识点】三角形全等的判定；直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：由已知知 ∠A＝∠D＝90° ，由图形知：BC=CB，∴添加AB=DC，根据斜边直角边公理，可判定 Rt△ABC≌Rt△DCB 。
故第一空答案为：AB=DC（答案不唯一）。
【分析】结合已知和图形，找出两个三角形中已有的对应相等的条件，再根据三角形全等的判定添加条件即可。
11．（2023八下·二道期末）如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽的工具（卡钳）．在图中，若测量得，则工件内槽宽 ．
【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵把两根钢条的中点连在一起，
∴OA=OA'，OB=OB'，
∴△AOB≌△A'OB'（SAS），
∴AB=A'B'=20cm，
故答案为：20
【分析】先根据题意结合对顶角运用三角形全等的判定与性质即可证明△AOB≌△A'OB'（SAS），进而即可求解。
12．（2022七下·文山期末）如图，已知，要用“”说明，则需添加的一个条件是 ．
【答案】
【知识点】三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】已知一组角相等，AC是公用边，要用ASA定理，则须
故填：
【分析】ASA定理中，S是两角的夹边，因此能确定是那组角相等。
三、解答题
13．（2023七下·紫金期末）为了测量一幢高楼的高，在旗杆与楼之间选定一点．测得旗杆顶的视线与地面的夹角，测楼顶的视线与地面的夹角，量得点到楼底距离与旗杆高度相等，等于8米，量得旗杆与楼之间距离为米，求楼高是多少米？
【答案】解：，，，
，
在和中，
，
∴（ASA），
，
米，米，
（米，
答：楼高是25米．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】先利用三角形的内角和定理求得的度数证得，再通过ASA判定得到DP=AB，进而求得AB的长度.
14．（2023七下·连州期末）你还记得怎样用尺规作一个角等于已知角吗？小明回顾了作图的过程，并进行了如下的思考，请填出每一步的理由．
由尺规作图知，，（ ），（ ），
所以（ ），
所以（ ）．
【答案】解：如图，连接，，
由尺规作图知，，（），（），
所以（），
所以（全等三角形对应角相等）．
【知识点】三角形全等的判定（SSS）；作图-角
【解析】【分析】作图步骤：1、以点O'为圆心，OC为半径画弧，可得OC=O'C'；
2、以点C'为圆心，CD为半径画弧，可得CD=C'D'，OD=O'D'；
通过SSS判定，进而利用全等三角形的性质得到.
四、综合题
15．（2023七下·大埔期末）有公共顶点的等腰直角三角形与等腰直角三角形按如图①所示放置，，，，点在上，点在的延长线上．连接，．
（1）【观察猜想】
与之间的数量关系是 ；位置关系是 ．
（2）【探究证明】
将等腰直角三角形绕点逆时针旋转，如图②所示，使点，，在同一条直线上，连接，交于点．与之间的关系是否仍然成立？请说明理由
【答案】（1）；
（2）证明：结论仍然成立，理由如下：如图，
∵，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】（1）延长BD交CE于F，如下图：
在和中
∴
∴
∵，
∴
∵
∴
∴
故答案为： ， .
【分析】（1）由“SAS”可证△ABD≌△ACE，可BD=CE，∠ABD=∠ACE，由直角三角形两锐角互余及三角形的内角和定理可得∠BHE=90°，从而根据垂直的定义证得BD⊥CE；
（2）由“SAS”可证△ABD≌△ACE，可得BD=CE，∠1=∠2，由直角三角形两锐角互余及三角形的内角和定理可得∠HDC=90°，从而根据垂直的定义证得BD⊥CE.
16．（2023八下·越秀期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点是，，，，点P是x轴上一动点，连接．
（1）求直线的解析式；
（2）若，求点P的坐标；
（3）当点P在线段（点P不与点C重合）上运动时，设与线段相交于点D，以为边作平行四边形，连接，求的最小值．
【答案】（1）解：设直线的解析式为，
∵，
∴，
∴，
∴直线的解析式为
（2）解：分两种情况讨论：
①当点P位于原点O的右侧时，如下图，作于点F，交于点G，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，又，
∴，
∴，
∵点G的横坐标为2，
∴，
即点，
∴，
∴，
∴点P的坐标为；
②当点P位于原点O的左侧时，如下图．过点A作的平行线，与x轴交于点P．
∵，
∴．
∵
∴，
故点P的坐标为，
综合①②两种情况，点P的坐标为或
（3）解：作于点F，连接，连接，
∵，，
∴，且，
∴四边形是正方形，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
当时，有最小值，即有最小值，
∵，，
∴，即，
∴，
∴的最小值为．
【知识点】正比例函数的图象和性质；一次函数图象与几何变换；四边形的综合
【解析】【分析】(1)设直线的解析式为，将点B坐标代入解析式，利用待定系数法求得直线OB的函数解析式.
(2)先对点P的位置进行分类讨论，当点P位于原点O的右侧时，利用等腰直角三角形的性质得到，再通过ASA判定得到，然后利用直线OB的函数解析式求得点G坐标进而得到，从而得到OP=1，故点P的坐标为；当点P位于原点O的左侧时，则，故，进而得到点P的坐标为.
(3)利用平行四边形的性质通过SAS判定得到，故当时，有最小值，即有最小值，通过的等面积计算公式求得OB边上的高线DF的长，进而得到的最小值.
1 / 12023-2024学年初中数学沪科版八年级上册 14.2 全等三角形的判定 同步分层训练基础卷
一、选择题
1．（2023七下·长春期末）如图，人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的道理是（ ）
A．三角形具有稳定性 B．垂线段最短
C．两点之间，线段最短 D．两直线平行，内错角相等
2．（2023七下·惠来期末）如图，在和中，如果，在下列条件中不能保证≌的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023八下·潜山期末）从数学角度看下列四幅图片有一个与众不同，该图片是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023七下·天桥期末）如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学的知识很快就画了一个与书上完全一样的三角形，那么小明画图的依据是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023七下·白银期末）如图，已知，，那么要得到，还应给出的条件是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023八下·二道期末）如图，已知，，欲证，不可补充的条件是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023七下·高碑店期末）小亮设计了如下测量一池塘两端的距离的方案：先取一个可直接到达点，的点，连接，，延长至点，延长至点，使得，，再测出的长度，即可知道，之间的距离．他设计方案的理由是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023八下·二道期末）小明同学在用直尺和圆规作一个角的平分线，具体过程是这样的：
已知：．
求作：的平分线．
作法：第一步：如图，以点为圆心，适当长为半径画弧交于点，交于点．
第二步：分别以点为圆心，大于的长为半径画孤，两弧在的内部相交于点．
第三步：画射线．
射线就是所要求作的的平分线．
下列关于小明同学作法的理由，叙述正确的是（ ）
A．由可得，进而可证
B．由可得，进而可证
C．由可得，进而可证
D．由“等边对等角”可得
二、填空题
9．（2023七下·泰山期末） 如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上．已知左边滑梯的高度与右边滑梯的水平长度相等，那么判定与全等的依据是 ．
10．（2023七下·张店期末）如图，在RtABC与RtDCB中，已知∠A＝∠D＝90°，为了使RtABC≌RtDCB，需添加的条件是 （不添加字母和辅助线）．
11．（2023八下·二道期末）如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽的工具（卡钳）．在图中，若测量得，则工件内槽宽 ．
12．（2022七下·文山期末）如图，已知，要用“”说明，则需添加的一个条件是 ．
三、解答题
13．（2023七下·紫金期末）为了测量一幢高楼的高，在旗杆与楼之间选定一点．测得旗杆顶的视线与地面的夹角，测楼顶的视线与地面的夹角，量得点到楼底距离与旗杆高度相等，等于8米，量得旗杆与楼之间距离为米，求楼高是多少米？
14．（2023七下·连州期末）你还记得怎样用尺规作一个角等于已知角吗？小明回顾了作图的过程，并进行了如下的思考，请填出每一步的理由．
由尺规作图知，，（ ），（ ），
所以（ ），
所以（ ）．
四、综合题
15．（2023七下·大埔期末）有公共顶点的等腰直角三角形与等腰直角三角形按如图①所示放置，，，，点在上，点在的延长线上．连接，．
（1）【观察猜想】
与之间的数量关系是 ；位置关系是 ．
（2）【探究证明】
将等腰直角三角形绕点逆时针旋转，如图②所示，使点，，在同一条直线上，连接，交于点．与之间的关系是否仍然成立？请说明理由
16．（2023八下·越秀期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点是，，，，点P是x轴上一动点，连接．
（1）求直线的解析式；
（2）若，求点P的坐标；
（3）当点P在线段（点P不与点C重合）上运动时，设与线段相交于点D，以为边作平行四边形，连接，求的最小值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】解：由题意得这样做的道理是三角形具有稳定性，
故答案为：A
【分析】根据三角形的稳定性即可求解。
2．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定（SSS）；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】 解：A、∵、，
若，
则（SAS），
故A不符合题意；
B、∵、，
若，
不能判定，
故B符合题意；
C、根据，可得，
又∵、，
则（SAS），
故C不符合题意；
D、∵、，
若
则（SSS），
故D不符合题意．
故选：D．
【分析】 已知AB=DE，BC=EF，只需再找一个夹角或者一条边相等，利用SAS或SSS即可判定．
3．【答案】C
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】解：A、B、D都是利用了三角形的稳定性，只有C是利用了四边形的不稳定性。
故答案为：C。
【分析】根据图片可知A、B、D都是利用了三角形的稳定性，所以可得出与众不同的是C.
4．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】因为小明书上的三角形虽然被污染了，但是其它两角和它们的夹边却还是完整的，只需根据完整的两角和它们的夹边画出三角形即可，因为两角及其夹边对应相等的两个三角形全等。
故答案为：D。
【分析】观察被污染的三角形其它两角和它们的夹边都是完整的，所以根据ASA就可以画出一个 完全一样的三角形 。
5．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：∵，，
∴∠E=∠B，不能判定 ， 选项A不符合题意；
ED=AB，能判定 （AAS）， 选项B符合题意；
EF=AB，不能判定 ， 选项C不符合题意；
DF=AB，不能判定 ， 选项D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据三角形的判定方法，结合图形和题意判断求解即可。
6．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵，，
∴当或或时，，
故答案为：B
【分析】根据三角形全等的判定即可求解。
7．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：∵OP=OA，∠POQ=∠AOB，OQ=OB，
∴△OPQ≌△OAB（SAS），
故答案为：A.
【分析】根据SAS证明△OPQ≌△OAB.
8．【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【解答】解：由题意得NO=MO，CM=CN，CO=CO，
∴由可得，进而可证，
故答案为：B
【分析】根据三角形全等的判定与性质结合题意即可求解。
9．【答案】
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：在Rt△ABC和Rt△DEF中：∵∠BAC=∠EDF=90°，BC=EF，AC=DF，∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）.
故第1空答案为：HL.
【分析】在两个直角三角形中，斜边对应相等，一条直角边也对应相等，根据HL即可判定两个直角三角形全等。
10．【答案】AB=DC(答案不唯一)
【知识点】三角形全等的判定；直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：由已知知 ∠A＝∠D＝90° ，由图形知：BC=CB，∴添加AB=DC，根据斜边直角边公理，可判定 Rt△ABC≌Rt△DCB 。
故第一空答案为：AB=DC（答案不唯一）。
【分析】结合已知和图形，找出两个三角形中已有的对应相等的条件，再根据三角形全等的判定添加条件即可。
11．【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵把两根钢条的中点连在一起，
∴OA=OA'，OB=OB'，
∴△AOB≌△A'OB'（SAS），
∴AB=A'B'=20cm，
故答案为：20
【分析】先根据题意结合对顶角运用三角形全等的判定与性质即可证明△AOB≌△A'OB'（SAS），进而即可求解。
12．【答案】
【知识点】三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】已知一组角相等，AC是公用边，要用ASA定理，则须
故填：
【分析】ASA定理中，S是两角的夹边，因此能确定是那组角相等。
13．【答案】解：，，，
，
在和中，
，
∴（ASA），
，
米，米，
（米，
答：楼高是25米．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】先利用三角形的内角和定理求得的度数证得，再通过ASA判定得到DP=AB，进而求得AB的长度.
14．【答案】解：如图，连接，，
由尺规作图知，，（），（），
所以（），
所以（全等三角形对应角相等）．
【知识点】三角形全等的判定（SSS）；作图-角
【解析】【分析】作图步骤：1、以点O'为圆心，OC为半径画弧，可得OC=O'C'；
2、以点C'为圆心，CD为半径画弧，可得CD=C'D'，OD=O'D'；
通过SSS判定，进而利用全等三角形的性质得到.
15．【答案】（1）；
（2）证明：结论仍然成立，理由如下：如图，
∵，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】（1）延长BD交CE于F，如下图：
在和中
∴
∴
∵，
∴
∵
∴
∴
故答案为： ， .
【分析】（1）由“SAS”可证△ABD≌△ACE，可BD=CE，∠ABD=∠ACE，由直角三角形两锐角互余及三角形的内角和定理可得∠BHE=90°，从而根据垂直的定义证得BD⊥CE；
（2）由“SAS”可证△ABD≌△ACE，可得BD=CE，∠1=∠2，由直角三角形两锐角互余及三角形的内角和定理可得∠HDC=90°，从而根据垂直的定义证得BD⊥CE.
16．【答案】（1）解：设直线的解析式为，
∵，
∴，
∴，
∴直线的解析式为
（2）解：分两种情况讨论：
①当点P位于原点O的右侧时，如下图，作于点F，交于点G，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，又，
∴，
∴，
∵点G的横坐标为2，
∴，
即点，
∴，
∴，
∴点P的坐标为；
②当点P位于原点O的左侧时，如下图．过点A作的平行线，与x轴交于点P．
∵，
∴．
∵
∴，
故点P的坐标为，
综合①②两种情况，点P的坐标为或
（3）解：作于点F，连接，连接，
∵，，
∴，且，
∴四边形是正方形，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
当时，有最小值，即有最小值，
∵，，
∴，即，
∴，
∴的最小值为．
【知识点】正比例函数的图象和性质；一次函数图象与几何变换；四边形的综合
【解析】【分析】(1)设直线的解析式为，将点B坐标代入解析式，利用待定系数法求得直线OB的函数解析式.
(2)先对点P的位置进行分类讨论，当点P位于原点O的右侧时，利用等腰直角三角形的性质得到，再通过ASA判定得到，然后利用直线OB的函数解析式求得点G坐标进而得到，从而得到OP=1，故点P的坐标为；当点P位于原点O的左侧时，则，故，进而得到点P的坐标为.
(3)利用平行四边形的性质通过SAS判定得到，故当时，有最小值，即有最小值，通过的等面积计算公式求得OB边上的高线DF的长，进而得到的最小值.
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