2023-2024学年初中数学沪科版八年级上册 14.2 全等三角形的判定 同步分层训练培优卷
一、选择题
1．（2023七下·东源期末）如图，已知BF=DE，AB∥CD，要使△ABF≌△CDE，添加的条件可以是（ ）
A． B． C． D．
2．已知下列条件，不能作出三角形的是 ( )
A．两边及其夹角 B．两角及其夹边
C．三边 D．两边及除夹角外的另一个角
3．（2023七下·梅江期末）如图，，增加下列条件可以判定的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023七下·高碑店期末）如图，和是的高，交于点，且，，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．（2023七下·和平期末）如图，已知是的中线，E、F分别是和延长线上的点，且，连接，下列说法中：①；②；③；④．正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
6．（2023七下·即墨期末）如图，且且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S是（ ）
A．50 B．62 C．65 D．68
7．（2023七下·罗湖期末）如图，小明与小敏玩跷跷板游戏，如果跷跷板的支点（即跷跷板的中点）至地面的距离是，当小敏从水平位置下降时，小明离地面的高度是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023七下·高碑店期末）如图，，点在上，且，点到射线的距离为，点在射线上，．若的形状，大小是唯一确定的，则的取值范围是（ ）
A．或 B． C． D．或
二、填空题
9．（2023七下·东源期末）如图，要测量小金河两岸相对的A、两点之间的距离，可以在与垂直的河岸上取、两点，且使．从点出发沿与河岸垂直的方向移动到点，使点A、、在一条直线上．若测量的长为28米，则A、两点之间的距离为 米．
10．（2023八下·盐湖期末）如图，在中，过点B作的平分线的垂线．连接N与中点M，若，，则 ．
11．（2023七下·禅城期末）如图，在和中，点B，F，C，E在同一直线上，，，请添加一个条件，使得．添加的条件可以是 （只需写一个，不添加辅助线）；
12．（2023七下·山亭期末）如图，A，B两个建筑物分别位于河的两岸，为了测量它们之间的距离，可以沿河岸作射线，且使，在上截取，过D点作，使在一条直线上，测得米，则A，B之间的距离为 米．
13．（2023七下·即墨期末）如图，已知，垂足分别为、，、交于点，且，则图中的全等三角形共有 对．
三、解答题
14．（2022七下·文山期末）如图，点A，B，D，E在同一条直线上，，，，请判断与是否相等？并说明你的理由．
15．（2023七下·即墨期末）如图，在四边形中，，点E是的中点，．求证：．
证明：∵，
∴，（ ）
∵，
∴
∴∠ ▲ =∠ ▲ ．
∵E为中点，
∴
在和中．
∴（ ）
∴（ ）
四、综合题
16．（2023七下·南海期末）在中，平分交于点D．
（1）如图1，，垂足分别为M，N．试说明：；
（2）如图2，点E是线段上一点，过点E作交于点F，与交于点H，平分交于点G；
①若，则 ▲ ；
②若，则 ▲ ；
③探究与之间的数量关系，并说明理由．
17．（2023七下·普宁期末）如图（1），，，垂足分别为、，点在线段上以的速度由点向点运动，同时点在射线上运动．它们运动的时间为当点运动结束时，点运动随之结束．
（1）AP ， 用含的代数式表示；
（2）若点的运动速度与点的运动速度相等，当时，与是否全等，并判断此时线段和线段的位置关系，请分别说明理由；
（3）如图（2），若“，”改为“”，点的运动速度为，其它条件不变，当点、运动到何处时有与全等，求出相应的的值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A、，
，
，
，即，
不能证明，故选项A不符合题意；
B、，
，
又，，
不能证明，故选项B不符合题意；
C、，
，
，
，
，
，
，
，故选项C符合题意；
D、，
，
又，
该条件不能证明，故选项D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】又AB∥CD可得∠B=∠D，又BF=DE，要使△ABF≌△CDE，如果用SAS可以添加：AB=CD；若果要用ASA可以添加能证出∠AFB=∠CED的条件；若果要用AAS可以添加∠A=∠C，从而一一判断得出答案.
2．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【分析】看是否符合所学的全等的公理或定理即可．
【解答】A、B、C分别符合全等三角形的判定SAS、ASA、SSS，故能作出唯一三角形；
D、已知两边及除夹角外的另一个角，不能作出唯一三角形，如等腰三角形底边上的任一点与顶点之间的线段两侧的三角形，错误；
故选D．
3．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：由题意得： ，
A、添加 ，无法判定 ，本项不符合题意；
B、添加 ，可利用角边角判定 ，本项符合题意；
C、添加 ，无法判定 ，本项不符合题意；
D、添加 ，无法判定 ，本项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】由题意已知 ，，根据(ASA)，即可判断B；由A、B、C给的条件，都无法判断 .即可选出答案.
4．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：∵和是的高，
∴∠ADB=∠ADC=90°，∠FCD+∠DFC=90°，∠EAF+∠AFE=90°，
∵∠AFE=∠DFC，
∴∠EAF=∠FCD，
∵BD=FD，
∴△ABD≌△CFD（AAS）
∴AD=CD=7，
∴AF=AD-DF=7-4=3，
故答案为：A.
【分析】证明△ABD≌△CFD（AAS），可得AD=CD=7，根据AF=AD-DF即可求解.
5．【答案】A
【知识点】平行线的性质；三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：是的中线，
，正确；
，
，，
，正确；
，，
， 正确；
条件不足，无法判断，
故答案为：A.
【分析】先通过中线的定义判定正确，再利用平行线的性质通过AAS证得，判定正确，然后利用领补角的定义和三角形的内角和定理判定正确.
6．【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【解答】
解：∵AE⊥AB，EF⊥FH，BG⊥FH
∴∠EAB=∠EFA=∠BGA=90°，
∴∠EAF+∠BAG=90°， ∠ABG+∠BAG=90°
∴∠EAF=∠ABG，
又AE=AB，∠EFA=∠AGB=90°，
∴△EFA≌△ABG
∴AF=BG，EF=AG．
∵EF＝6，BG＝3，∴AG＝6，AF＝3
同理证得△BGC≌△CHD得CG=DH＝4，BG＝CH＝3，
∴FH=AF+AG+CG+CH=3+6+4+3=16
故S=（6+4）×16-×3×4×2-×6×3×2=50．
故答案为50．
故答案为：A.
【分析】证明△EFA≌△ABG，△BGC≌△CHD可得AF，AG，CG，CH的长，再用梯形DHFE的面积减去四个空白三角形面积即可。
7．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：∵∠OCF=∠ODG=90°，∠COF=∠DOG，OF=OG，
∴△COF≌△DOG（AAS），
∴DG=FC=20cm，
∴小明离地面的高度是45+20=65cm.
故答案为：D.
【分析】利用AAS可证明△COF≌△DOG，得到DG=FC=20cm，据此不难求出小明离地面的高度.
8．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：当MP⊥OA时，即MP=x=a时，△OMP是直角三角形，
当a＜x＜6时，MP与OA的交点有2个，即△OMP有两个，
当x≥6时，MP与OA的交点有1个，即△OMP有1个，
∴x的范围是x=a或x≥6；
故答案为：A.
【分析】分别找出x=a，a＜x＜6，x≥6时，三角形是不是唯一的即可.
9．【答案】28
【知识点】三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：，，
，
，，
，
，
的长为28米，
米.
故答案为：28.
【分析】先利用垂直的定义得到∠ABC=∠CDE=90°，再通过ASA判定△ABC≌△EDC，得AB=DE=28，从而求得A、B两点之间的距离.
10．【答案】8
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定（ASA）；角平分线的定义
【解析】【解答】解：如图所示：延长BN交AC于点E，
∵AN 是∠BAC的角平分线，
∴∠BAN =∠EAN，
∵AN = AN，∠ANB = ∠ANE=90°，
∴△BAN≌△EAN(ASA)，
∴BN=EN，AE=AB=5，
∵M是BC的中点，
∴BM=CM，
∴CE=2MN=3，
∴AC=AE+CE=5+3=8，
故答案为：8.
【分析】根据角平分线求出∠BAN =∠EAN，再利用ASA证明△BAN≌△EAN，最后利用全等三角形的性质和线段的中点计算求解即可。
11．【答案】（答案不唯一）
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：添加：∠A=∠D，
在△ABC和△DEF中
∴△ABC≌△DEF（ASA）
故答案为：∠A=∠D.
【分析】已知，， 欲使，可根据ASA、AAS、SAS进行添加即可.
12．【答案】16
【知识点】全等三角形的应用
【解析】【解答】解：根据题意可知，BF⊥AB，DE⊥BF，∴∠ABC＝∠EDC＝90°，
又∵BC＝DC，∠ACB＝∠ECD，
∴△ABC≌△EDC，
∴AB＝ED＝16
故答案为：16.
【分析】证明△ABC≌△EDC可得AB＝ED。
13．【答案】4
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：
∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠ADO＝∠AEO＝90°，
又∵∠BAO＝∠CAO，AO＝AO
∴△ADO≌△AEO
∴OD＝OE，AD＝AE
由OD＝OE，∠BOD＝∠COE，∠ODB＝∠OEC＝90°
可是△ODB≌△OEC；
∴∠B＝∠C，BD＝CE，OB＝OC。
由∠B＝∠C，∠BAO＝∠CAO，AO＝AO可得△AOB≌△AOC。
由∠C＝∠B，∠ADC＝∠AEB＝90°，AD＝AE可得△AOB≌△AOC
综上，共有全等三角形4对。
故答案为：.4
【分析】利用题中已知条件及隐含条件，根据三角形全等的判定方法进行分析判断。
14．【答案】证明：，
理由如下：
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
在和中，
∵，
∴
∴．
【知识点】平行线的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】分析已知条件，由平行可证角相等，易由SAS定理证全等，从而对应角相等。
15．【答案】解：∵，
∴，（两直线平行，内错角相等），
∵，
∴，
∴．
∵E为中点，
∴，
在和中．
∴（）
∴（全等三角形的对应角相等）．
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【分析】由EA＝EB可得∠EAB＝∠EBA，根据平行线的性质可推导出∠AED＝∠BEC，再结合DE＝CE，AE＝BE可推导出结论。
16．【答案】（1）解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：①115°；
②110°；
③∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
又∵
∴
．
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质；三角形全等的判定（AAS）；角平分线的定义
【解析】【解答】解：（2）①∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
故答案为：；
②∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴
；
故答案为：110°；
【分析】（1）由角平分线的定义得∠DCM=∠DCN，由垂直的定义得∠DMC=∠DNC=90°，根据AAS证明△CDM≌△CDN，利用全等三角形的对应边相等即可求解；
（2）①由角平分线的定义可得∠BCD=∠ACB=50°，利用三角形内角和定理求出∠CDB=100°，根据平行线的性质可得∠DEF=∠B=30°，由角平分线的定义可得∠DEG=∠DEF=15°，根据三角形外角的性质求出∠CGE的度数；
②利用三角形内角和定理求出∠B+∠ACB=140°，根据角平分线的定义及平行线的性质可推出∠DEG=∠DEF=∠B，再根据三角形内角和定理求出∠CDB=180°-∠B-∠BCD=180°-∠B-∠ACB，利用三角形外角的性质可得∠CGE=∠CDB+∠DEG，据此计算即可；
③同②方法求解即可.
17．【答案】（1）2t；（7-2t）
（2）解：△CAP≌△PBQ，PC⊥PQ，理由如下：
证明：点Q的运动速度与点P的运动速度相等，
当t=1时，AP=BQ=2cm，BP=7-2=5cm，
∵AC=5cm，
∴AC=BP，
∵AC⊥AB，BD⊥AB，
∴∠A=∠B=90°，
在△CAP与△PBQ中，
∵AC=PB，∠A=∠B=90°，AP=BQ，
∴△CAP≌△PBQ（SAS），
∴∠ACP=∠BPQ，
∵∠ACP+∠CPA=90°，
∴∠BPQ+∠CPA=90°，
∴∠CPQ=90°，
∴PC⊥PQ；
（3）解：由题意得AP=2tcm，BP=AB-AP=（7-2t）cm，BQ=xtcm，
分类讨论：
①当△ACP≌△BPQ时，则AC=BP，AP=BQ，
∴5=7-2t且2t=tx，
解得x=2，t=1；
②若△ACP≌△BQP，则AC=BQ，AP=BP，
∴5=xt且2t=7-2t，
解得t=，x=，
综上当△ACP与△BPQ全等时，x的值为2或.
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：（1）AP=2tcm，BP=AB-AP=（7-2t）cm；
故答案为：2t，（7-2t）；
【分析】（1）根据路程=速度×时间可表示出AP的长，进而根据BP=AB-AP可表示出BP；
（2）△CAP≌△PBQ，PC⊥PQ，理由如下：由题意易得AP=BQ，AC=BP，由垂直定义得∠A=∠B=90°，用SAS判断出△CAP≌△PBQ，得∠ACP=∠BPQ，从而由直角三角形两锐角互余、等量代换及平角定义可得∠CPQ=90°，根据垂直定义可得答案；
（3）由题意得AP=2tcm，BP=AB-AP=（7-2t）cm，BQ=xtcm，分类讨论：①当△ACP≌△BPQ时，则AC=BP，AP=BQ，②若△ACP≌△BQP，则AC=BQ，AP=BP，分别列出方程，求解可得答案.
1 / 12023-2024学年初中数学沪科版八年级上册 14.2 全等三角形的判定 同步分层训练培优卷
一、选择题
1．（2023七下·东源期末）如图，已知BF=DE，AB∥CD，要使△ABF≌△CDE，添加的条件可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A、，
，
，
，即，
不能证明，故选项A不符合题意；
B、，
，
又，，
不能证明，故选项B不符合题意；
C、，
，
，
，
，
，
，
，故选项C符合题意；
D、，
，
又，
该条件不能证明，故选项D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】又AB∥CD可得∠B=∠D，又BF=DE，要使△ABF≌△CDE，如果用SAS可以添加：AB=CD；若果要用ASA可以添加能证出∠AFB=∠CED的条件；若果要用AAS可以添加∠A=∠C，从而一一判断得出答案.
2．已知下列条件，不能作出三角形的是 ( )
A．两边及其夹角 B．两角及其夹边
C．三边 D．两边及除夹角外的另一个角
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【分析】看是否符合所学的全等的公理或定理即可．
【解答】A、B、C分别符合全等三角形的判定SAS、ASA、SSS，故能作出唯一三角形；
D、已知两边及除夹角外的另一个角，不能作出唯一三角形，如等腰三角形底边上的任一点与顶点之间的线段两侧的三角形，错误；
故选D．
3．（2023七下·梅江期末）如图，，增加下列条件可以判定的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：由题意得： ，
A、添加 ，无法判定 ，本项不符合题意；
B、添加 ，可利用角边角判定 ，本项符合题意；
C、添加 ，无法判定 ，本项不符合题意；
D、添加 ，无法判定 ，本项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】由题意已知 ，，根据(ASA)，即可判断B；由A、B、C给的条件，都无法判断 .即可选出答案.
4．（2023七下·高碑店期末）如图，和是的高，交于点，且，，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：∵和是的高，
∴∠ADB=∠ADC=90°，∠FCD+∠DFC=90°，∠EAF+∠AFE=90°，
∵∠AFE=∠DFC，
∴∠EAF=∠FCD，
∵BD=FD，
∴△ABD≌△CFD（AAS）
∴AD=CD=7，
∴AF=AD-DF=7-4=3，
故答案为：A.
【分析】证明△ABD≌△CFD（AAS），可得AD=CD=7，根据AF=AD-DF即可求解.
5．（2023七下·和平期末）如图，已知是的中线，E、F分别是和延长线上的点，且，连接，下列说法中：①；②；③；④．正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】A
【知识点】平行线的性质；三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：是的中线，
，正确；
，
，，
，正确；
，，
， 正确；
条件不足，无法判断，
故答案为：A.
【分析】先通过中线的定义判定正确，再利用平行线的性质通过AAS证得，判定正确，然后利用领补角的定义和三角形的内角和定理判定正确.
6．（2023七下·即墨期末）如图，且且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S是（ ）
A．50 B．62 C．65 D．68
【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【解答】
解：∵AE⊥AB，EF⊥FH，BG⊥FH
∴∠EAB=∠EFA=∠BGA=90°，
∴∠EAF+∠BAG=90°， ∠ABG+∠BAG=90°
∴∠EAF=∠ABG，
又AE=AB，∠EFA=∠AGB=90°，
∴△EFA≌△ABG
∴AF=BG，EF=AG．
∵EF＝6，BG＝3，∴AG＝6，AF＝3
同理证得△BGC≌△CHD得CG=DH＝4，BG＝CH＝3，
∴FH=AF+AG+CG+CH=3+6+4+3=16
故S=（6+4）×16-×3×4×2-×6×3×2=50．
故答案为50．
故答案为：A.
【分析】证明△EFA≌△ABG，△BGC≌△CHD可得AF，AG，CG，CH的长，再用梯形DHFE的面积减去四个空白三角形面积即可。
7．（2023七下·罗湖期末）如图，小明与小敏玩跷跷板游戏，如果跷跷板的支点（即跷跷板的中点）至地面的距离是，当小敏从水平位置下降时，小明离地面的高度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：∵∠OCF=∠ODG=90°，∠COF=∠DOG，OF=OG，
∴△COF≌△DOG（AAS），
∴DG=FC=20cm，
∴小明离地面的高度是45+20=65cm.
故答案为：D.
【分析】利用AAS可证明△COF≌△DOG，得到DG=FC=20cm，据此不难求出小明离地面的高度.
8．（2023七下·高碑店期末）如图，，点在上，且，点到射线的距离为，点在射线上，．若的形状，大小是唯一确定的，则的取值范围是（ ）
A．或 B． C． D．或
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：当MP⊥OA时，即MP=x=a时，△OMP是直角三角形，
当a＜x＜6时，MP与OA的交点有2个，即△OMP有两个，
当x≥6时，MP与OA的交点有1个，即△OMP有1个，
∴x的范围是x=a或x≥6；
故答案为：A.
【分析】分别找出x=a，a＜x＜6，x≥6时，三角形是不是唯一的即可.
二、填空题
9．（2023七下·东源期末）如图，要测量小金河两岸相对的A、两点之间的距离，可以在与垂直的河岸上取、两点，且使．从点出发沿与河岸垂直的方向移动到点，使点A、、在一条直线上．若测量的长为28米，则A、两点之间的距离为 米．
【答案】28
【知识点】三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：，，
，
，，
，
，
的长为28米，
米.
故答案为：28.
【分析】先利用垂直的定义得到∠ABC=∠CDE=90°，再通过ASA判定△ABC≌△EDC，得AB=DE=28，从而求得A、B两点之间的距离.
10．（2023八下·盐湖期末）如图，在中，过点B作的平分线的垂线．连接N与中点M，若，，则 ．
【答案】8
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定（ASA）；角平分线的定义
【解析】【解答】解：如图所示：延长BN交AC于点E，
∵AN 是∠BAC的角平分线，
∴∠BAN =∠EAN，
∵AN = AN，∠ANB = ∠ANE=90°，
∴△BAN≌△EAN(ASA)，
∴BN=EN，AE=AB=5，
∵M是BC的中点，
∴BM=CM，
∴CE=2MN=3，
∴AC=AE+CE=5+3=8，
故答案为：8.
【分析】根据角平分线求出∠BAN =∠EAN，再利用ASA证明△BAN≌△EAN，最后利用全等三角形的性质和线段的中点计算求解即可。
11．（2023七下·禅城期末）如图，在和中，点B，F，C，E在同一直线上，，，请添加一个条件，使得．添加的条件可以是 （只需写一个，不添加辅助线）；
【答案】（答案不唯一）
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：添加：∠A=∠D，
在△ABC和△DEF中
∴△ABC≌△DEF（ASA）
故答案为：∠A=∠D.
【分析】已知，， 欲使，可根据ASA、AAS、SAS进行添加即可.
12．（2023七下·山亭期末）如图，A，B两个建筑物分别位于河的两岸，为了测量它们之间的距离，可以沿河岸作射线，且使，在上截取，过D点作，使在一条直线上，测得米，则A，B之间的距离为 米．
【答案】16
【知识点】全等三角形的应用
【解析】【解答】解：根据题意可知，BF⊥AB，DE⊥BF，∴∠ABC＝∠EDC＝90°，
又∵BC＝DC，∠ACB＝∠ECD，
∴△ABC≌△EDC，
∴AB＝ED＝16
故答案为：16.
【分析】证明△ABC≌△EDC可得AB＝ED。
13．（2023七下·即墨期末）如图，已知，垂足分别为、，、交于点，且，则图中的全等三角形共有 对．
【答案】4
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：
∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠ADO＝∠AEO＝90°，
又∵∠BAO＝∠CAO，AO＝AO
∴△ADO≌△AEO
∴OD＝OE，AD＝AE
由OD＝OE，∠BOD＝∠COE，∠ODB＝∠OEC＝90°
可是△ODB≌△OEC；
∴∠B＝∠C，BD＝CE，OB＝OC。
由∠B＝∠C，∠BAO＝∠CAO，AO＝AO可得△AOB≌△AOC。
由∠C＝∠B，∠ADC＝∠AEB＝90°，AD＝AE可得△AOB≌△AOC
综上，共有全等三角形4对。
故答案为：.4
【分析】利用题中已知条件及隐含条件，根据三角形全等的判定方法进行分析判断。
三、解答题
14．（2022七下·文山期末）如图，点A，B，D，E在同一条直线上，，，，请判断与是否相等？并说明你的理由．
【答案】证明：，
理由如下：
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
在和中，
∵，
∴
∴．
【知识点】平行线的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】分析已知条件，由平行可证角相等，易由SAS定理证全等，从而对应角相等。
15．（2023七下·即墨期末）如图，在四边形中，，点E是的中点，．求证：．
证明：∵，
∴，（ ）
∵，
∴
∴∠ ▲ =∠ ▲ ．
∵E为中点，
∴
在和中．
∴（ ）
∴（ ）
【答案】解：∵，
∴，（两直线平行，内错角相等），
∵，
∴，
∴．
∵E为中点，
∴，
在和中．
∴（）
∴（全等三角形的对应角相等）．
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【分析】由EA＝EB可得∠EAB＝∠EBA，根据平行线的性质可推导出∠AED＝∠BEC，再结合DE＝CE，AE＝BE可推导出结论。
四、综合题
16．（2023七下·南海期末）在中，平分交于点D．
（1）如图1，，垂足分别为M，N．试说明：；
（2）如图2，点E是线段上一点，过点E作交于点F，与交于点H，平分交于点G；
①若，则 ▲ ；
②若，则 ▲ ；
③探究与之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：①115°；
②110°；
③∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
又∵
∴
．
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质；三角形全等的判定（AAS）；角平分线的定义
【解析】【解答】解：（2）①∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
故答案为：；
②∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴
；
故答案为：110°；
【分析】（1）由角平分线的定义得∠DCM=∠DCN，由垂直的定义得∠DMC=∠DNC=90°，根据AAS证明△CDM≌△CDN，利用全等三角形的对应边相等即可求解；
（2）①由角平分线的定义可得∠BCD=∠ACB=50°，利用三角形内角和定理求出∠CDB=100°，根据平行线的性质可得∠DEF=∠B=30°，由角平分线的定义可得∠DEG=∠DEF=15°，根据三角形外角的性质求出∠CGE的度数；
②利用三角形内角和定理求出∠B+∠ACB=140°，根据角平分线的定义及平行线的性质可推出∠DEG=∠DEF=∠B，再根据三角形内角和定理求出∠CDB=180°-∠B-∠BCD=180°-∠B-∠ACB，利用三角形外角的性质可得∠CGE=∠CDB+∠DEG，据此计算即可；
③同②方法求解即可.
17．（2023七下·普宁期末）如图（1），，，垂足分别为、，点在线段上以的速度由点向点运动，同时点在射线上运动．它们运动的时间为当点运动结束时，点运动随之结束．
（1）AP ， 用含的代数式表示；
（2）若点的运动速度与点的运动速度相等，当时，与是否全等，并判断此时线段和线段的位置关系，请分别说明理由；
（3）如图（2），若“，”改为“”，点的运动速度为，其它条件不变，当点、运动到何处时有与全等，求出相应的的值．
【答案】（1）2t；（7-2t）
（2）解：△CAP≌△PBQ，PC⊥PQ，理由如下：
证明：点Q的运动速度与点P的运动速度相等，
当t=1时，AP=BQ=2cm，BP=7-2=5cm，
∵AC=5cm，
∴AC=BP，
∵AC⊥AB，BD⊥AB，
∴∠A=∠B=90°，
在△CAP与△PBQ中，
∵AC=PB，∠A=∠B=90°，AP=BQ，
∴△CAP≌△PBQ（SAS），
∴∠ACP=∠BPQ，
∵∠ACP+∠CPA=90°，
∴∠BPQ+∠CPA=90°，
∴∠CPQ=90°，
∴PC⊥PQ；
（3）解：由题意得AP=2tcm，BP=AB-AP=（7-2t）cm，BQ=xtcm，
分类讨论：
①当△ACP≌△BPQ时，则AC=BP，AP=BQ，
∴5=7-2t且2t=tx，
解得x=2，t=1；
②若△ACP≌△BQP，则AC=BQ，AP=BP，
∴5=xt且2t=7-2t，
解得t=，x=，
综上当△ACP与△BPQ全等时，x的值为2或.
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：（1）AP=2tcm，BP=AB-AP=（7-2t）cm；
故答案为：2t，（7-2t）；
【分析】（1）根据路程=速度×时间可表示出AP的长，进而根据BP=AB-AP可表示出BP；
（2）△CAP≌△PBQ，PC⊥PQ，理由如下：由题意易得AP=BQ，AC=BP，由垂直定义得∠A=∠B=90°，用SAS判断出△CAP≌△PBQ，得∠ACP=∠BPQ，从而由直角三角形两锐角互余、等量代换及平角定义可得∠CPQ=90°，根据垂直定义可得答案；
（3）由题意得AP=2tcm，BP=AB-AP=（7-2t）cm，BQ=xtcm，分类讨论：①当△ACP≌△BPQ时，则AC=BP，AP=BQ，②若△ACP≌△BQP，则AC=BQ，AP=BP，分别列出方程，求解可得答案.
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