2023-2024学年初中数学沪科版八年级上册 15.1 轴对称图形 同步分层训练基础卷
一、选择题
1．（2023七下·白银期末）在一些汉字的美术字中，有一些是轴对称图形，下面四个美术字中，可以近似地看作是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023七下·南海期末）下列轴对称图形中，对称轴最少的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023七下·高碑店期末）将正方形网格图中的某两个白色方格涂上颜色，使整个图形有四条对称轴．正确的涂色位置是（ ）
A．①② B．①④ C．②③ D．①③
4．（2023七下·昌黎期末）如图，在中，，点在边上（如图1），先将沿着翻折，使点落在点处，交于点（如图2），再将沿着翻折，点恰好落在上的点处，此时（如图3），则的度数为（ ）
A．66° B．23° C．46° D．69°
5．（2023七下·东阳期末）一张对边互相平行的纸条折成如图，是折痕，若，则；；以上结论正确的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
6．（2023七下·清远期末）如图，和关于直线对称，下列结论：
①；②；③直线垂直平分；④直线平分.
正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（2023七下·泰山期末）把一张对边互相平行的纸条折成如图所示，是折痕，若，则下列结论正确：①；②；③；④．其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（2023七下·平南期末）如图，和是由分别沿着AB，AC翻折后形成的，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2023八下·分宜期末）在平面镜中看到一辆汽车的车牌号： ，则该汽车的车牌号是 ．
10．（2023七下·长春期末）如图，有一张三角形纸片，，，点D是边上的固定点，在上找一点E．将纸片沿折叠（为折痕），点B落在点F处，当与边平行时，的度数为 °．
11．（2023七下·西城期末）如图，四边形纸片，．折叠纸片，使点D落在上的点处，点C落在点处，折痕为．若，则 ．
12．（2023七下·光明期末）如图，在中，将对折，使和在同一直线上，折痕为，延长至点D，使得，连接，若，则 ．
13．（2023七下·椒江期末）如图1是等宽的纸条，点E、F分别在上，现将纸条沿折叠成图2形状，若此时，再沿折叠成图3，则图3中度数为 ．
三、解答题
14．（2023八下·威海期中）如图，点E，F分别在的边，上，将沿折叠，点B落在点D的位置，与交于点M．写出，，间的数量关系，并证明你的结论．
15．（2022八上·瑞安月考）根据以下素材，探索完成任务．
如何确定箭头形指示牌？
素材1 某校计划在校园里立一块如图1所示的指示牌，图2为其平面设计图．该指示牌是轴对称图形，由长方形EFHD和三角形ABC组成，且点B，F，E，C四点共线．小聪测量了点A到DH的距离为2.7米，DH=0.8米，DE=1.5米．
素材2 因考虑牢固耐用，小聪打算选用甲、乙两种材料分别制作长方形与三角形(两种图形无缝隙拼接)，且甲材料的单价为每平方米85元，乙材料的单价为每平方米100元．
问题解决
任务1 推理最大高度 小聪说：“如果我设计的方案中CB长与C，D两点间的距离相等，那么最高点B到地面的距离就是线段DE长”，他的说法对吗？请判断并说明理由．
任务2 确定箭头形指示牌 小聪发现他设计的方案中，制作广告牌的总费用不超过180元，请你确定CE长度的最大值．
四、作图题
16．（2023七下·普宁期末）如图，在若干个长度为的小正方形组成的网格中，点，，在小正方形的顶点上．
⑴在图中画出与关于直线成轴对称的；
⑵在直线上找到一点，使的长最短，在图中标出这一点的位置．
五、综合题
17．（2023七下·宣化期末）如图，直线AB∥CD，直线l与直线AB、CD相交于点E、F，点P是射线EA上的一个动点（不包括端点E），将△EPF沿PF折叠，使顶点E落在点Q处．
（1）若∠PEF＝48°，点Q恰好落在其中的一条平行线上，求则∠EFP的度数；
（2）若∠PEF＝75°，2∠CFQ＝∠PFC，求∠EFP的度数．
18．（2023八下·东阳期末）在4×4的方格中，选择6个小方格涂上阴影，请仔细观察图1中的六个图案的对称性，按要求回答．
（1）请在六个图案中，选出三个具有相同对称性的图案．
选出的三个图案是 （填写序号）；
它们都是 图形（填写“中心对称”或“轴对称”）；
（2）请在图2中，将1个小方格涂上阴影，使整个4×4的方格也具有（1）中所选图案相同的对称性．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A.不是轴对称图形，不符合题意；
B.不是轴对称图形，不符合题意；
C.可以近似地看作是轴对称图形，符合题意；
D.不是轴对称图形，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】 轴对称图形为平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形。根据轴对称图形的定义对每个选项一一判断即可。
2．【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、有2条对称轴，
B、有3条对称轴，
C、有4条对称轴，
D、有6条对称轴，
∴对称轴最少的是A项.
故答案为：A.
【分析】把一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的图形就是轴对称图形，这条直线就是该轴对称图形的对称轴，据此分别求出各选项中图形的对称轴的条数，再判断即可.
3．【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解： 将正方形网格图中的某两个白色方格涂上颜色，使整个图形有四条对称轴．正确的涂色位置是②③；
故答案为：②③.
【分析】分别将①、②、③、④块涂色，根据题意进行判断即可.
4．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解： 由题意可得
，
设，则
·.·三角形的内角和等于180°
∴在△ABC中，，即；
在△BCE中， ，即
∴
解得：
故答案为：D.
【分析】 根据翻折后对应角相等得到 ，利用已知条件和三角形的内角和等于180°，建立等量关系可求的度数.
5．【答案】B
【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵AC'//BD'
∴∠C'EF=∠EFB=35°，故①正确；
由折叠的性质可知∠C'EF=∠CEF=35°，
∴∠AEC=180°-35°-35°=110°，故②错误；
∵∠GEC'=∠C'EF+∠GEF=70°，AC'//BD'，
∴∠BGE=∠GEC'=70°，故③正确；
∵FD//EC，∠CEF=35°，
∴∠DFE=180°-35°=145°，
∴∠BFD=∠DFE-∠EFB=145°-35°=110°，故④错误，
综上所述结论正确的有2个.
故答案为：B.
【分析】利用平行线的性质、折叠的性质即可对各结论进行判断.
6．【答案】D
【知识点】轴对称的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，
∴△ABC≌△A′B′C′，∠BAC=∠B′A′C′，l垂直平分CC′，直线l平分∠CAC′.
故答案为：D.
【分析】直接根据轴对称的性质进行判断.
7．【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：①∵AC'∥BD'，∴∠C'EF=∠EFB=31°，又由折叠性质知∠CEF=∠C'EF=31°，所以①正确；②∵∠BGE是△EGF的一个外角，∴∠BGE=∠CEF+∠EFB=31°+31°=62°，所以②正确；③∠AEC=180°-∠CEC'=180°-62°=118°，所以③不正确；④∵∠BGE=62°，∴∠CGF=62°，又∵CE∥DF，∴∠BFD=180°-∠CGF=180°-62°=118°，所以④正确。所以共有3个结论正确。
故答案为：C。
【分析】首先根据平行线的性质得出∠C'EF=∠EFB=31°，再由折叠性质得出①正确，再根据三角形外角的性质得出②正确，根据邻补角定义求得∠AEC的度数，得出③不正确，最后对顶角性质，结合平行线的性质得出∠BFD的度数，得出④正确，从而得出正确答案。
8．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由折叠的性质可得，，
，
， ，
，
，
，
，
，
故答案为：A.
【分析】先利用折叠的性质得到角之间的等量关系，再通过三角形的内角和与周角的定义得到的度数.
9．【答案】
【知识点】轴对称的性质
【解析】【解答】解：将号码牌沿右边翻折得到
故答案为
【分析】利用轴对称图形的性质即可求出答案。
10．【答案】
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由题意得CA∥EF，
∴∠BEF=∠C=48°，
由折叠得∠DEB=24°，
故答案为：24
【分析】先根据平行线的性质结合三角形内角和定理即可得到∠BEF=∠C=48°，进而根据折叠的性质即可求解。
11．【答案】24
【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵AD//BC，
∴∠EFC+∠DEF=180°，
∵∠EFC = 102°，
∴∠DEF=180°-102°=78°，
∵折叠纸片ABCD，使点D落在AB上的点D1处，
∴∠DEF =∠D1EF =78°，
∴∠AED1=180°-78°-78°=24°，
故答案为：24.
【分析】根据平行线的性质求出∠EFC+∠DEF=180°，再根据折叠的性质求出∠EFC+∠DEF=180°，最后计算求解即可。
12．【答案】180
【知识点】三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定（ASA）；对顶角及其性质；邻补角
【解析】【解答】解：由折叠可得∠ABE=∠CBE.
∵∠A=∠D，∠1=∠CED，
∴∠ABD=∠ACD=∠CBD.
∵∠A=∠D，AB=BD，∠ABE=∠CBE，
∴△ABE≌△DBC（ASA），
∴BE=BC，
∴∠BEC=∠2.
∵∠1+∠BEC=180°，
∴∠1+∠2=180°.
故答案为：180.
【分析】由折叠可得∠ABE=∠CBE，由已知条件可知∠A=∠D，根据对顶角的性质可得∠1=∠CED，结合内角和定理可得∠ABD=∠ACD=∠CBD，利用ASA证明△ABE≌△DBC，得到BE=BC，则∠BEC=∠2，由邻补角的性质可得∠1+∠BEC=180°，据此解答.
13．【答案】30°
【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：图2中，
∵DE∥FC，
∴∠DFC=∠EGB=180°-∠BFC=180°-40°=140°，
∵AE∥BF，
∴∠AEG=180°-∠EGB=180°-140°=40°，
∵折叠，DE∥FC，
∴∠EFG=∠DEF=（180°-∠BFC）=70°，
图3，∠AEF=∠DEF-∠AEG=70°-40°=30°.
故答案为：30°.
【分析】由图2，利用平行线的性质可求出∠EGB，∠AEG的度数；再利用折叠的性质和平行线的性质可证得∠EFG=∠DEF=70°，然后根据∠AEF=∠DEF-∠AEG，代入计算求出∠AEF的度数.
14．【答案】解：在 中， ，
在 中， ，
∵ 由 沿 折叠所得，
∴ ，
∴ ．
【知识点】三角形的外角性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】根据三角形的外角定理可得∠AED=∠B+∠BME，∠BME=∠D+∠CFD，再根据折叠的性质可得∠B=∠D，即可得出结论．
15．【答案】解：任务一：
小聪说法正确.
理由：过点B作BG⊥DC于点G，
∵矩形DEFH，
∴∠DEC=∠BGC=90°，
∵ CB长与C，D两点间的距离相等，
∴BC=CD，
在△DEC和△BGC中
∴△DEC≌△BGC（AAS），
∴BG=DE，
∴最高点B到地面的距离就是线段DE长.
任务二：
∵△DEC≌△BGC，
∴BF=CE
∵该指示牌是轴对称图形，由长方形EFHD和三角形ABC组成，
∴设BF=CE=x，则BC=2x+0.8，
∵点A到DH的距离为2.7米，DH=0.8米，DE=1.5米，
∴△ABC的BC边上的高为2.7-1.5=1.2米，
∴长方形EFHD的面积为0.8×1.5=1.2，
∴△ABC的面积为×1.2×（2x+0.8）=1.2x+0.48平方米；
∵甲材料的单价为每平方米85元，乙材料的单价为每平方米100元，制作广告牌的总费用不超过180元，
∴1.2×85+100（1.2x+0.48）≤180，
解之：x≤0.25，
∴CE长度的最大值为0.25米
【知识点】一元一次不等式的应用；轴对称的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】任务一：过点B作BG⊥DC于点G，利用矩形的性质可证得∠DEC=∠BGC=90°，利用已知可得到BC=CD，再利用AAS证明△DEC≌△BGC，利用全等三角形的对应边相等，可证得BG=DE，即可求解；任务二：利用全等三角形的性质可证得BF=CE，利用轴对称的性质设BF=CE=x，则BC=2x+0.8，利用已知条件可求出△ABC的BC边上的高，从而可求出矩形和三角形的面积，再根据甲材料的单价为每平方米85元，乙材料的单价为每平方米100元，制作广告牌的总费用不超过180元，可得到关于x的不等式，然后求出不等式的解集，即可求出不等式的最大值.
16．【答案】解：⑴如图所示，即为所求；
⑵如图所示，点即为所求．
【知识点】作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】（1）利用轴对称的性质，作出△ABC关于直线对称的△A1B1C1.
（2）根据题意可知点B和点B1关于直线l对称，因此连接CB1交l于点P，画出图形即可.
17．【答案】（1）解：①当点落在上时，
∵折叠，∴，
∴，
．
②当点落在上时，，
，
，
，
，
，
．
综上所述，满足条件的的值为或．
（2）解：①当点在平行线，之间时．
设，由折叠可知，
，
，
，
，
．
②当点在下方时，
设，由折叠可知，
，
，
，
解得，
．
综上所述，的度数为或．
【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）分两种情况讨论，①当点Q落在AB上时，②当点Q落在CD上时，∠PQF=∠PEF=48°，利用平行线的性质，三角形的内角和定理计算即可．
（2）分两种情形况讨论，①当点Q在平行线AB，CD之间时．②当点Q在CD下方时，根据折叠的性质构造方程即可求解．
18．【答案】（1）①③⑤；轴对称
（2）解：如图所示，
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：（1）根据轴对称图形的概念可得：①③⑤均属于轴对称图形.
故答案为：①③⑤，轴对称.
【分析】（1）根据轴对称图形的概念找出其中的轴对称图形，据此解答；
（2）涂黑第三行最右面的一个小正方形，可以使其为轴对称图形，据此作图.
1 / 12023-2024学年初中数学沪科版八年级上册 15.1 轴对称图形 同步分层训练基础卷
一、选择题
1．（2023七下·白银期末）在一些汉字的美术字中，有一些是轴对称图形，下面四个美术字中，可以近似地看作是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A.不是轴对称图形，不符合题意；
B.不是轴对称图形，不符合题意；
C.可以近似地看作是轴对称图形，符合题意；
D.不是轴对称图形，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】 轴对称图形为平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形。根据轴对称图形的定义对每个选项一一判断即可。
2．（2023七下·南海期末）下列轴对称图形中，对称轴最少的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、有2条对称轴，
B、有3条对称轴，
C、有4条对称轴，
D、有6条对称轴，
∴对称轴最少的是A项.
故答案为：A.
【分析】把一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的图形就是轴对称图形，这条直线就是该轴对称图形的对称轴，据此分别求出各选项中图形的对称轴的条数，再判断即可.
3．（2023七下·高碑店期末）将正方形网格图中的某两个白色方格涂上颜色，使整个图形有四条对称轴．正确的涂色位置是（ ）
A．①② B．①④ C．②③ D．①③
【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解： 将正方形网格图中的某两个白色方格涂上颜色，使整个图形有四条对称轴．正确的涂色位置是②③；
故答案为：②③.
【分析】分别将①、②、③、④块涂色，根据题意进行判断即可.
4．（2023七下·昌黎期末）如图，在中，，点在边上（如图1），先将沿着翻折，使点落在点处，交于点（如图2），再将沿着翻折，点恰好落在上的点处，此时（如图3），则的度数为（ ）
A．66° B．23° C．46° D．69°
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解： 由题意可得
，
设，则
·.·三角形的内角和等于180°
∴在△ABC中，，即；
在△BCE中， ，即
∴
解得：
故答案为：D.
【分析】 根据翻折后对应角相等得到 ，利用已知条件和三角形的内角和等于180°，建立等量关系可求的度数.
5．（2023七下·东阳期末）一张对边互相平行的纸条折成如图，是折痕，若，则；；以上结论正确的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】B
【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵AC'//BD'
∴∠C'EF=∠EFB=35°，故①正确；
由折叠的性质可知∠C'EF=∠CEF=35°，
∴∠AEC=180°-35°-35°=110°，故②错误；
∵∠GEC'=∠C'EF+∠GEF=70°，AC'//BD'，
∴∠BGE=∠GEC'=70°，故③正确；
∵FD//EC，∠CEF=35°，
∴∠DFE=180°-35°=145°，
∴∠BFD=∠DFE-∠EFB=145°-35°=110°，故④错误，
综上所述结论正确的有2个.
故答案为：B.
【分析】利用平行线的性质、折叠的性质即可对各结论进行判断.
6．（2023七下·清远期末）如图，和关于直线对称，下列结论：
①；②；③直线垂直平分；④直线平分.
正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】轴对称的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，
∴△ABC≌△A′B′C′，∠BAC=∠B′A′C′，l垂直平分CC′，直线l平分∠CAC′.
故答案为：D.
【分析】直接根据轴对称的性质进行判断.
7．（2023七下·泰山期末）把一张对边互相平行的纸条折成如图所示，是折痕，若，则下列结论正确：①；②；③；④．其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：①∵AC'∥BD'，∴∠C'EF=∠EFB=31°，又由折叠性质知∠CEF=∠C'EF=31°，所以①正确；②∵∠BGE是△EGF的一个外角，∴∠BGE=∠CEF+∠EFB=31°+31°=62°，所以②正确；③∠AEC=180°-∠CEC'=180°-62°=118°，所以③不正确；④∵∠BGE=62°，∴∠CGF=62°，又∵CE∥DF，∴∠BFD=180°-∠CGF=180°-62°=118°，所以④正确。所以共有3个结论正确。
故答案为：C。
【分析】首先根据平行线的性质得出∠C'EF=∠EFB=31°，再由折叠性质得出①正确，再根据三角形外角的性质得出②正确，根据邻补角定义求得∠AEC的度数，得出③不正确，最后对顶角性质，结合平行线的性质得出∠BFD的度数，得出④正确，从而得出正确答案。
8．（2023七下·平南期末）如图，和是由分别沿着AB，AC翻折后形成的，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由折叠的性质可得，，
，
， ，
，
，
，
，
，
故答案为：A.
【分析】先利用折叠的性质得到角之间的等量关系，再通过三角形的内角和与周角的定义得到的度数.
二、填空题
9．（2023八下·分宜期末）在平面镜中看到一辆汽车的车牌号： ，则该汽车的车牌号是 ．
【答案】
【知识点】轴对称的性质
【解析】【解答】解：将号码牌沿右边翻折得到
故答案为
【分析】利用轴对称图形的性质即可求出答案。
10．（2023七下·长春期末）如图，有一张三角形纸片，，，点D是边上的固定点，在上找一点E．将纸片沿折叠（为折痕），点B落在点F处，当与边平行时，的度数为 °．
【答案】
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由题意得CA∥EF，
∴∠BEF=∠C=48°，
由折叠得∠DEB=24°，
故答案为：24
【分析】先根据平行线的性质结合三角形内角和定理即可得到∠BEF=∠C=48°，进而根据折叠的性质即可求解。
11．（2023七下·西城期末）如图，四边形纸片，．折叠纸片，使点D落在上的点处，点C落在点处，折痕为．若，则 ．
【答案】24
【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵AD//BC，
∴∠EFC+∠DEF=180°，
∵∠EFC = 102°，
∴∠DEF=180°-102°=78°，
∵折叠纸片ABCD，使点D落在AB上的点D1处，
∴∠DEF =∠D1EF =78°，
∴∠AED1=180°-78°-78°=24°，
故答案为：24.
【分析】根据平行线的性质求出∠EFC+∠DEF=180°，再根据折叠的性质求出∠EFC+∠DEF=180°，最后计算求解即可。
12．（2023七下·光明期末）如图，在中，将对折，使和在同一直线上，折痕为，延长至点D，使得，连接，若，则 ．
【答案】180
【知识点】三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定（ASA）；对顶角及其性质；邻补角
【解析】【解答】解：由折叠可得∠ABE=∠CBE.
∵∠A=∠D，∠1=∠CED，
∴∠ABD=∠ACD=∠CBD.
∵∠A=∠D，AB=BD，∠ABE=∠CBE，
∴△ABE≌△DBC（ASA），
∴BE=BC，
∴∠BEC=∠2.
∵∠1+∠BEC=180°，
∴∠1+∠2=180°.
故答案为：180.
【分析】由折叠可得∠ABE=∠CBE，由已知条件可知∠A=∠D，根据对顶角的性质可得∠1=∠CED，结合内角和定理可得∠ABD=∠ACD=∠CBD，利用ASA证明△ABE≌△DBC，得到BE=BC，则∠BEC=∠2，由邻补角的性质可得∠1+∠BEC=180°，据此解答.
13．（2023七下·椒江期末）如图1是等宽的纸条，点E、F分别在上，现将纸条沿折叠成图2形状，若此时，再沿折叠成图3，则图3中度数为 ．
【答案】30°
【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：图2中，
∵DE∥FC，
∴∠DFC=∠EGB=180°-∠BFC=180°-40°=140°，
∵AE∥BF，
∴∠AEG=180°-∠EGB=180°-140°=40°，
∵折叠，DE∥FC，
∴∠EFG=∠DEF=（180°-∠BFC）=70°，
图3，∠AEF=∠DEF-∠AEG=70°-40°=30°.
故答案为：30°.
【分析】由图2，利用平行线的性质可求出∠EGB，∠AEG的度数；再利用折叠的性质和平行线的性质可证得∠EFG=∠DEF=70°，然后根据∠AEF=∠DEF-∠AEG，代入计算求出∠AEF的度数.
三、解答题
14．（2023八下·威海期中）如图，点E，F分别在的边，上，将沿折叠，点B落在点D的位置，与交于点M．写出，，间的数量关系，并证明你的结论．
【答案】解：在 中， ，
在 中， ，
∵ 由 沿 折叠所得，
∴ ，
∴ ．
【知识点】三角形的外角性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】根据三角形的外角定理可得∠AED=∠B+∠BME，∠BME=∠D+∠CFD，再根据折叠的性质可得∠B=∠D，即可得出结论．
15．（2022八上·瑞安月考）根据以下素材，探索完成任务．
如何确定箭头形指示牌？
素材1 某校计划在校园里立一块如图1所示的指示牌，图2为其平面设计图．该指示牌是轴对称图形，由长方形EFHD和三角形ABC组成，且点B，F，E，C四点共线．小聪测量了点A到DH的距离为2.7米，DH=0.8米，DE=1.5米．
素材2 因考虑牢固耐用，小聪打算选用甲、乙两种材料分别制作长方形与三角形(两种图形无缝隙拼接)，且甲材料的单价为每平方米85元，乙材料的单价为每平方米100元．
问题解决
任务1 推理最大高度 小聪说：“如果我设计的方案中CB长与C，D两点间的距离相等，那么最高点B到地面的距离就是线段DE长”，他的说法对吗？请判断并说明理由．
任务2 确定箭头形指示牌 小聪发现他设计的方案中，制作广告牌的总费用不超过180元，请你确定CE长度的最大值．
【答案】解：任务一：
小聪说法正确.
理由：过点B作BG⊥DC于点G，
∵矩形DEFH，
∴∠DEC=∠BGC=90°，
∵ CB长与C，D两点间的距离相等，
∴BC=CD，
在△DEC和△BGC中
∴△DEC≌△BGC（AAS），
∴BG=DE，
∴最高点B到地面的距离就是线段DE长.
任务二：
∵△DEC≌△BGC，
∴BF=CE
∵该指示牌是轴对称图形，由长方形EFHD和三角形ABC组成，
∴设BF=CE=x，则BC=2x+0.8，
∵点A到DH的距离为2.7米，DH=0.8米，DE=1.5米，
∴△ABC的BC边上的高为2.7-1.5=1.2米，
∴长方形EFHD的面积为0.8×1.5=1.2，
∴△ABC的面积为×1.2×（2x+0.8）=1.2x+0.48平方米；
∵甲材料的单价为每平方米85元，乙材料的单价为每平方米100元，制作广告牌的总费用不超过180元，
∴1.2×85+100（1.2x+0.48）≤180，
解之：x≤0.25，
∴CE长度的最大值为0.25米
【知识点】一元一次不等式的应用；轴对称的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】任务一：过点B作BG⊥DC于点G，利用矩形的性质可证得∠DEC=∠BGC=90°，利用已知可得到BC=CD，再利用AAS证明△DEC≌△BGC，利用全等三角形的对应边相等，可证得BG=DE，即可求解；任务二：利用全等三角形的性质可证得BF=CE，利用轴对称的性质设BF=CE=x，则BC=2x+0.8，利用已知条件可求出△ABC的BC边上的高，从而可求出矩形和三角形的面积，再根据甲材料的单价为每平方米85元，乙材料的单价为每平方米100元，制作广告牌的总费用不超过180元，可得到关于x的不等式，然后求出不等式的解集，即可求出不等式的最大值.
四、作图题
16．（2023七下·普宁期末）如图，在若干个长度为的小正方形组成的网格中，点，，在小正方形的顶点上．
⑴在图中画出与关于直线成轴对称的；
⑵在直线上找到一点，使的长最短，在图中标出这一点的位置．
【答案】解：⑴如图所示，即为所求；
⑵如图所示，点即为所求．
【知识点】作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】（1）利用轴对称的性质，作出△ABC关于直线对称的△A1B1C1.
（2）根据题意可知点B和点B1关于直线l对称，因此连接CB1交l于点P，画出图形即可.
五、综合题
17．（2023七下·宣化期末）如图，直线AB∥CD，直线l与直线AB、CD相交于点E、F，点P是射线EA上的一个动点（不包括端点E），将△EPF沿PF折叠，使顶点E落在点Q处．
（1）若∠PEF＝48°，点Q恰好落在其中的一条平行线上，求则∠EFP的度数；
（2）若∠PEF＝75°，2∠CFQ＝∠PFC，求∠EFP的度数．
【答案】（1）解：①当点落在上时，
∵折叠，∴，
∴，
．
②当点落在上时，，
，
，
，
，
，
．
综上所述，满足条件的的值为或．
（2）解：①当点在平行线，之间时．
设，由折叠可知，
，
，
，
，
．
②当点在下方时，
设，由折叠可知，
，
，
，
解得，
．
综上所述，的度数为或．
【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）分两种情况讨论，①当点Q落在AB上时，②当点Q落在CD上时，∠PQF=∠PEF=48°，利用平行线的性质，三角形的内角和定理计算即可．
（2）分两种情形况讨论，①当点Q在平行线AB，CD之间时．②当点Q在CD下方时，根据折叠的性质构造方程即可求解．
18．（2023八下·东阳期末）在4×4的方格中，选择6个小方格涂上阴影，请仔细观察图1中的六个图案的对称性，按要求回答．
（1）请在六个图案中，选出三个具有相同对称性的图案．
选出的三个图案是 （填写序号）；
它们都是 图形（填写“中心对称”或“轴对称”）；
（2）请在图2中，将1个小方格涂上阴影，使整个4×4的方格也具有（1）中所选图案相同的对称性．
【答案】（1）①③⑤；轴对称
（2）解：如图所示，
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：（1）根据轴对称图形的概念可得：①③⑤均属于轴对称图形.
故答案为：①③⑤，轴对称.
【分析】（1）根据轴对称图形的概念找出其中的轴对称图形，据此解答；
（2）涂黑第三行最右面的一个小正方形，可以使其为轴对称图形，据此作图.
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