2023-2024学年初中数学沪科版八年级上册 15.2 线段的垂直平分线 同步分层训练培优卷
一、选择题
1．（2023八下·长春期末）如图，小红作了如下操作：分别以A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别相交于点B，D，依次连接A，B，C，D，则下列说法一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．四边形是正方形
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解：由图可知，BD为线段AC的垂直平分线
故答案为：C
【分析】利用线段的垂直平分线画法即可求出答案。
2．（2023七下·紫金期末）如图，在中，，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线，交于点，连接，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：由作图痕迹可得直线是的垂直平分线，
，
，
，，
，，
.
故答案为：A.
【分析】根据作图痕迹可得直线MN是AC的垂直平分线，进而可得的度数，再通过三角形的内角和定理求得的度数，然后得到的度数.
3．（2023七下·禅城期末）如图，河道l的同侧有M，N两个村庄，计划铺设管道将河水引至M，N两村，下面四个方案中，管道总长度最短的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：作点M关于直线l的对称点M'，连接M'N交直线l于一点Q，则MQ=M'Q，
∴MQ+NQ=M'Q+NQ=M'N，
根据两点之间线段最短可知：此时管道总长度最短；
故答案为：B.
【分析】作点M关于直线l的对称点M'，连接M'N交直线l于一点Q，连接MQ，根据两点之间线段最短可知：此时管道总长度最短，最短值为M'N的长.
4．（2023八下·萍乡期末）如图，在中，，为内一点，过点的直线分别交、于点，，若在的垂直平分线上，在的垂直平分线上，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：在△PMN中，
∵∠ABC=52°，
∴∠BMN+∠BNM=180°-52°=128°，
∵点M在AP的垂直平分线上，
∴MA=MP，
∴∠MAP=∠MPA，
∴∠BMN=2∠MPA，
同理可得：∠BNM=2∠NPC，
∴∠BMN+∠BNM=2∠MPA+2∠NPC=128°，
∴∠MPA+∠NPC=64°，
∴∠APC=180°-（∠MPA+∠NPC）=180°-64°=116°。
故答案为：B。
【分析】首先根据三角形内角和求得∠BMN+∠BNM=128°，然后根据中垂线的性质得出△AMP和△CNP都是等腰三角形，从而得出∠BMN=2∠MPA，∠BNM=2∠NPC，进一步可得∠MPA+∠NPC=64°，最后根据平角定义求得∠APC=116°即可。
5．（2023八下·红谷滩期末）如图，直线与x轴，y轴分别交于点A和点B，C，D分别为线段，的中点，P为上一动点，当的值最小时，点P的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，做点D关于x轴的对称点E
由题意可得：A（-4，0），B（0，4），C（-2，2），则E（0，2）
连接CE交x轴与点P，此时PC+PD的值最小
设直线CE的方程为y=kx-2
带入点C坐标，解得k=-2
所以直线CE方程为y=-2x-2
点P在x轴上，故纵坐标为0，当y=o时，解得x=-1
故P点坐标为（-1，0）
故答案为A
【分析】当P，C，D在同一直线上时，PC+PD的值最小，作点D的对称点，PD=PE，根据直线方程即可求出答案。
6．（2023七下·高碑店期末）使用尺规作线段的垂直平分线的痕迹如图所示，下列说法不正确的是（ ）
A．弧①②的半径长一定相等
B．弧③④的半径长一定相等
C．弧②③的半径长一定相等
D．弧①的半径长大于长度的一半
【答案】C
【知识点】作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：由作图痕迹可得：BD=AD，BC=AC，BD＞AB，
∴ 弧①②的半径长一定相等 ，弧③④的半径长一定相等 ，故A、B、C不符合题意；
∴BC与AD不一定相等，故C不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据尺规作图：线段垂直平分线的作法逐项判断即可.
7．（2023七下·芝罘期末）如图，中，，，是的中线，点、点分别为线段、上的动点，连接、，则的最小值为（ ）
A． B． C．5 D．6
【答案】B
【知识点】垂线段最短；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，∴AD平分∠BAC，
在线段AC上取点G，使AG＝AF，连接FG，则AD是FG的垂直平分线，
连接EG，则EG＝EF，∴BE+EF＝BE+EG。
当B、E、G在同一直线上，且BG⊥AC时，BG的值最小。
由勾股定理可得AD＝
∵＝×BC×AD＝×AC×BG
∴×6×4＝×5×BG
∴BG＝4.8
∴BE+EF的最小值是4.8。
故答案为：B
【分析】在AC上取点G，使AG＝AF，当B、E、G在同一直线上，且BG⊥AC时，BG的值最小。运用三角形面积公式列方程求解即可。
8．（2023七下·渠县期末）如图，在R中，∠ABC=90°，以AC为边，作，满足AD=AC，E为BC上一点，连接AE，2∠BAE=∠CAD，连接DE．下列结论中正确的有( )
①AC⊥DE；②∠ADE=∠ACB；③若CD∥AB，则AE⊥AD；④DE=CE+2BE ．
A．①②③ B．②③④ C．②③ D．①②④
【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解：如图所示：延长EB到点E'，使EB=E'B，连接E'A，如图所示：
∵∠ABC=90°，
∴AB为EE'的垂直平分线，
∴EA=E'A，
∴∠5=∠3，∠2=∠1，
∵2∠BAE=∠CAD，
∴∠EAE'=2∠1=∠CAD，
∴∠DAE=∠CAE'，
∴△E'AC≌△EAD（SAS），
∴∠4=∠5， ∠ADE=∠ACB，
∴结论②正确；
∴∠4=∠3，
当∠6≠∠1时，∠1+∠3≠∠6+∠4，
∴∠EMA≠90°，
∴AC不垂直于DE，
∴结论①错误；
∵CD∥AB，
∴∠CAB=∠7，
∵CA=DA，
∴∠7=∠CDA，
∵∠CDA+∠7+∠DAC=180°，
∴，
∴∠7+∠1=90°，
∴∠7+∠2=90°，
∴∠CAE'=90°，
∵△E'AC≌△EAD（SAS），
∴E'AC=∠DAE=90°，CE'=ED，
∴AE⊥AD，ED=BE'+EB+EC=2BE+CE，
∴结论③④正确；
综上所述：正确的有②③④，
故答案为：B.
【分析】根据线段垂直平分线求出EA=E'A，再利用全等三角形的判定与性质等对每个结论逐一判断求解即可。
二、填空题
9．（2023七下·和平期末）如图，△ABC中，AB的垂直平分线交AC于D，已知AC=10cm，BC=7cm，则△BCD的周长是 cm．
【答案】17
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：是的垂直平分线，
，
，
，
，
，
，
故答案为：17.
【分析】先利用垂直平分线的性质得到AD与BD相等，再通过AC、BC的长度计算的周长.
10．（2023七下·惠来期末）如图，中，，，的垂直平分线分别交，于点，，的垂直平分线分别交，于点，，连接，则 ．
【答案】40°
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】 解：∵DE垂直平分AB，
∴EA=EB，
∴，
同理，
∴，
∵，，
∴，
∴
故答案为：40°．
【分析】 根据E垂直平分AB，可求得，，且可求得，再利用角的和差可求得∠EAG．
11．（2023七下·章丘期末）如图，在中，，是的垂直平分线，分别交，于点，．若，，则的周长是 ．
【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵是的垂直平分线，
∴AD=CD，
∵AC=AB=2，BC=3
∴的周长是AB+BD+AD=AB+BC=2+3=5；
故答案为：5.
【分析】由线段垂直平分线的性质可得AD=CD，根据的周长是AB+BD+AD=AB+BC即可求解.
12．（2023七下·萧县期末）如图，在锐角中，，，的平分线交于点D，点M，N分别是和上的动点，则的最小值是 ．
【答案】6
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】过B点作AC边上的高BE，交AC与E.由已知面积和底，易得高BE=2248=6。因AD是∠BAC的平分线，在AC上易找到N关于AD的对称点N’，只要令AN'=AN即可。由SAS定理证得MN=MN'.BM+MN即BM+MN’的最小值问题转化为求点B到AC的距离问题，即求垂线段BE的长，此时它也是AC边上的高，BM+MN的最小值是6.
【分析】最值问题通常先套用将军饮马模型，转化成求一条线段的问题。
13．（2023七下·高州月考）如图，在中，，，，垂直平分，点为直线上的一个动点，则周长的最小值是 。
【答案】10
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：EF垂直平分BC，
B、C关于EF对称，
设EF交AC于G点，
当D与G点重合时，AD+BD的值最小，这个最小值等于AC的长度，
AB=4，AC=6，
的周长最小值=AB+AC=4+6=10.
故答案为：10.
【分析】根据题意可得B、C两点关于EF对称，再根据对称轴中的最短路径问题分析，D运动到G点为AD+BD的最小值点，再根据已知条件得到周长最小值.
三、解答题
14．（2023七下·白银期末）如图，在中是的垂直平分线，，的周长为，求的周长．
【答案】解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴，．
∵的周长，
∴，
∴的周长．
即的周长为．
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】根据线段垂直平分线的性质求出 ，． 再利用三角形的周长公式计算求解即可。
15．（2022八上·成武期中）如图，在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，点D为的中点，连接，此时，．求证：．
【答案】证明：连接，
∵，，
∴，
∴，
∵点D为的中点，
∴，
∴AD是线段CE的垂直平分线，
∴，
∵EF垂直平分，
∴，
∴．
【知识点】线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定
【解析】【分析】连接AE，先证明AD是线段CE的垂直平分线，可得，再结合，可得。
四、综合题
16．（2023八下·成都期末）如图，直线与坐标轴交于A，B两点，点C坐标为，将B点向右平移4个单位，再向下平移1个单位得到点D，直线交直线于点E．
（1）求直线的表达式；
（2）我们定义：如果一个三角形中有一个内角为，则称这个三角形为“天府三角形”
①点F是直线上第一象限内一点，若为“天府三角形”，求点F的坐标；
②在①的条件下，当点F的横坐标大于时，作点B关于x轴的对称点，点P为直线上的一个动点，连接，点Q为线段的中点，连接，当最小时，求点Q的坐标．
【答案】（1）解：在中，当时，，
∴；
∵将点向右平移4个单位，再向下平移1个单位得到点D，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为；
（2）解：①如图2-1所示，当时，
在中，当时，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点F的横坐标为4，
在中，当时，，
∴；
如图2-2所示，当时，过点作且，过点E作轴，根本过点H，D作的垂线，垂足分别为G、T，
联立，解得，
∴，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理可得直线的解析式为，
联立，解得，
∴；
综上所述，或；
②∵点是点B关于x轴的对称点，
∴，
∵点F的横坐标大于，
∴由（2）①得点F的坐标为，
∴直线即为直线，
∵点P在直线上运动，即点P的横坐标为4，
∵点Q为的中点，
∴点Q的横坐标为1，，
∴点Q在直线上运动，
如图所示，作点关于直线的对称点M，连接，
∴，
由轴对称的性质可得，
∵，
∴当三点共线时，最小，即此时最小，
同理求得直线的解析式为，
在中，当时，，
∴．
【知识点】三角形全等的判定；轴对称的应用-最短距离问题；一次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1） 由求出B的坐标，利用点的平移求出D的坐标，再利用待定系数法求出直线CD解析式即可；
（2）①分两种情况：当时 ，易求， 即得∠EFD=∠OBA，可证FD∥OB，可得点F的横坐标为4，将其代入中求出y值，即得F坐标； ，当时，过点作且，过点E作轴，分别过点H，D作的垂线，垂足分别为G、T，求出E（1，3） ，可得ET=2，DT=3，证明，可得，即得H（3，6），再求出直线DH的解析式，联立直线y=x+2为方程组并解之，即得F坐标；
②求出 ，由①知F（4，6），可得直线即为直线， 由点P在直线上运动，即点P的横坐标为4， 进而得出点Q在直线上运动， 如图所示，作点关于直线的对称点M，连接，则，由轴对称的性质可得， 当三点共线时，最小，即此时最小， 同理求得直线的解析式为 ，据此可求出Q坐标.
17．（2023八下·德化期末）直线和交于点为常数，且，且两直线分别与轴交于两点．
（1）试说明的面积为定值．
（2）当的周长最小时，求点的坐标．
（3）当点恰好在轴上时，将直线绕点逆时针旋转后交轴于点，求的面积．
【答案】（1）解：在中，令=0，得，
在中，令=0，得．
，.
，即点A为直线上的一动点．
（2）解：作点B关于直线的对称点，则点(4，3)，连结交直线于点A，
设，则，
，
令，得，
（3）解：过点B作BEAB交AD于E，过点E作EH轴于H点，
过点B作BG⊥EH于G，过点A作AF⊥GB于F，
，
，
，
，，
.
在和中，
，
.
，
设直线则，
，.
令，得，，
.
提示：本题也过点B作BEAD于E，再过点E作EH轴.
【知识点】坐标与图形性质；待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积；轴对称的应用-最短距离问题；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【分析】（1）由求出B（0，3），由求出C（0，-1），则BC=4，联立与为方程组并解之，解得交点A（2，2t+3），利用三角形的面积公式求值即可判断；
（2）作点B关于直线的对称点，则点(4，3)，连结交直线于点A，此时的周长最小，利用待定系数法求出直线BC：y=x-1，再求出x-2时y=1，即得A的坐标；
（3）过点B作BEAB交AD于E，过点E作EH轴于H点，过点B作BG⊥EH于G，过点A作AF⊥GB于F，证明△GBE≌△FAB，可得GE=BF=2，GB=FA=3，即得E（-3，1），利用待定系数法求出直线AE：，再求出此直线与y轴的交点D（0，），根据 即可求解.
1 / 12023-2024学年初中数学沪科版八年级上册 15.2 线段的垂直平分线 同步分层训练培优卷
一、选择题
1．（2023八下·长春期末）如图，小红作了如下操作：分别以A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别相交于点B，D，依次连接A，B，C，D，则下列说法一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．四边形是正方形
2．（2023七下·紫金期末）如图，在中，，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线，交于点，连接，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023七下·禅城期末）如图，河道l的同侧有M，N两个村庄，计划铺设管道将河水引至M，N两村，下面四个方案中，管道总长度最短的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023八下·萍乡期末）如图，在中，，为内一点，过点的直线分别交、于点，，若在的垂直平分线上，在的垂直平分线上，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023八下·红谷滩期末）如图，直线与x轴，y轴分别交于点A和点B，C，D分别为线段，的中点，P为上一动点，当的值最小时，点P的坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023七下·高碑店期末）使用尺规作线段的垂直平分线的痕迹如图所示，下列说法不正确的是（ ）
A．弧①②的半径长一定相等
B．弧③④的半径长一定相等
C．弧②③的半径长一定相等
D．弧①的半径长大于长度的一半
7．（2023七下·芝罘期末）如图，中，，，是的中线，点、点分别为线段、上的动点，连接、，则的最小值为（ ）
A． B． C．5 D．6
8．（2023七下·渠县期末）如图，在R中，∠ABC=90°，以AC为边，作，满足AD=AC，E为BC上一点，连接AE，2∠BAE=∠CAD，连接DE．下列结论中正确的有( )
①AC⊥DE；②∠ADE=∠ACB；③若CD∥AB，则AE⊥AD；④DE=CE+2BE ．
A．①②③ B．②③④ C．②③ D．①②④
二、填空题
9．（2023七下·和平期末）如图，△ABC中，AB的垂直平分线交AC于D，已知AC=10cm，BC=7cm，则△BCD的周长是 cm．
10．（2023七下·惠来期末）如图，中，，，的垂直平分线分别交，于点，，的垂直平分线分别交，于点，，连接，则 ．
11．（2023七下·章丘期末）如图，在中，，是的垂直平分线，分别交，于点，．若，，则的周长是 ．
12．（2023七下·萧县期末）如图，在锐角中，，，的平分线交于点D，点M，N分别是和上的动点，则的最小值是 ．
13．（2023七下·高州月考）如图，在中，，，，垂直平分，点为直线上的一个动点，则周长的最小值是 。
三、解答题
14．（2023七下·白银期末）如图，在中是的垂直平分线，，的周长为，求的周长．
15．（2022八上·成武期中）如图，在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，点D为的中点，连接，此时，．求证：．
四、综合题
16．（2023八下·成都期末）如图，直线与坐标轴交于A，B两点，点C坐标为，将B点向右平移4个单位，再向下平移1个单位得到点D，直线交直线于点E．
（1）求直线的表达式；
（2）我们定义：如果一个三角形中有一个内角为，则称这个三角形为“天府三角形”
①点F是直线上第一象限内一点，若为“天府三角形”，求点F的坐标；
②在①的条件下，当点F的横坐标大于时，作点B关于x轴的对称点，点P为直线上的一个动点，连接，点Q为线段的中点，连接，当最小时，求点Q的坐标．
17．（2023八下·德化期末）直线和交于点为常数，且，且两直线分别与轴交于两点．
（1）试说明的面积为定值．
（2）当的周长最小时，求点的坐标．
（3）当点恰好在轴上时，将直线绕点逆时针旋转后交轴于点，求的面积．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解：由图可知，BD为线段AC的垂直平分线
故答案为：C
【分析】利用线段的垂直平分线画法即可求出答案。
2．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：由作图痕迹可得直线是的垂直平分线，
，
，
，，
，，
.
故答案为：A.
【分析】根据作图痕迹可得直线MN是AC的垂直平分线，进而可得的度数，再通过三角形的内角和定理求得的度数，然后得到的度数.
3．【答案】B
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：作点M关于直线l的对称点M'，连接M'N交直线l于一点Q，则MQ=M'Q，
∴MQ+NQ=M'Q+NQ=M'N，
根据两点之间线段最短可知：此时管道总长度最短；
故答案为：B.
【分析】作点M关于直线l的对称点M'，连接M'N交直线l于一点Q，连接MQ，根据两点之间线段最短可知：此时管道总长度最短，最短值为M'N的长.
4．【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：在△PMN中，
∵∠ABC=52°，
∴∠BMN+∠BNM=180°-52°=128°，
∵点M在AP的垂直平分线上，
∴MA=MP，
∴∠MAP=∠MPA，
∴∠BMN=2∠MPA，
同理可得：∠BNM=2∠NPC，
∴∠BMN+∠BNM=2∠MPA+2∠NPC=128°，
∴∠MPA+∠NPC=64°，
∴∠APC=180°-（∠MPA+∠NPC）=180°-64°=116°。
故答案为：B。
【分析】首先根据三角形内角和求得∠BMN+∠BNM=128°，然后根据中垂线的性质得出△AMP和△CNP都是等腰三角形，从而得出∠BMN=2∠MPA，∠BNM=2∠NPC，进一步可得∠MPA+∠NPC=64°，最后根据平角定义求得∠APC=116°即可。
5．【答案】A
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，做点D关于x轴的对称点E
由题意可得：A（-4，0），B（0，4），C（-2，2），则E（0，2）
连接CE交x轴与点P，此时PC+PD的值最小
设直线CE的方程为y=kx-2
带入点C坐标，解得k=-2
所以直线CE方程为y=-2x-2
点P在x轴上，故纵坐标为0，当y=o时，解得x=-1
故P点坐标为（-1，0）
故答案为A
【分析】当P，C，D在同一直线上时，PC+PD的值最小，作点D的对称点，PD=PE，根据直线方程即可求出答案。
6．【答案】C
【知识点】作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：由作图痕迹可得：BD=AD，BC=AC，BD＞AB，
∴ 弧①②的半径长一定相等 ，弧③④的半径长一定相等 ，故A、B、C不符合题意；
∴BC与AD不一定相等，故C不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据尺规作图：线段垂直平分线的作法逐项判断即可.
7．【答案】B
【知识点】垂线段最短；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，∴AD平分∠BAC，
在线段AC上取点G，使AG＝AF，连接FG，则AD是FG的垂直平分线，
连接EG，则EG＝EF，∴BE+EF＝BE+EG。
当B、E、G在同一直线上，且BG⊥AC时，BG的值最小。
由勾股定理可得AD＝
∵＝×BC×AD＝×AC×BG
∴×6×4＝×5×BG
∴BG＝4.8
∴BE+EF的最小值是4.8。
故答案为：B
【分析】在AC上取点G，使AG＝AF，当B、E、G在同一直线上，且BG⊥AC时，BG的值最小。运用三角形面积公式列方程求解即可。
8．【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解：如图所示：延长EB到点E'，使EB=E'B，连接E'A，如图所示：
∵∠ABC=90°，
∴AB为EE'的垂直平分线，
∴EA=E'A，
∴∠5=∠3，∠2=∠1，
∵2∠BAE=∠CAD，
∴∠EAE'=2∠1=∠CAD，
∴∠DAE=∠CAE'，
∴△E'AC≌△EAD（SAS），
∴∠4=∠5， ∠ADE=∠ACB，
∴结论②正确；
∴∠4=∠3，
当∠6≠∠1时，∠1+∠3≠∠6+∠4，
∴∠EMA≠90°，
∴AC不垂直于DE，
∴结论①错误；
∵CD∥AB，
∴∠CAB=∠7，
∵CA=DA，
∴∠7=∠CDA，
∵∠CDA+∠7+∠DAC=180°，
∴，
∴∠7+∠1=90°，
∴∠7+∠2=90°，
∴∠CAE'=90°，
∵△E'AC≌△EAD（SAS），
∴E'AC=∠DAE=90°，CE'=ED，
∴AE⊥AD，ED=BE'+EB+EC=2BE+CE，
∴结论③④正确；
综上所述：正确的有②③④，
故答案为：B.
【分析】根据线段垂直平分线求出EA=E'A，再利用全等三角形的判定与性质等对每个结论逐一判断求解即可。
9．【答案】17
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：是的垂直平分线，
，
，
，
，
，
，
故答案为：17.
【分析】先利用垂直平分线的性质得到AD与BD相等，再通过AC、BC的长度计算的周长.
10．【答案】40°
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】 解：∵DE垂直平分AB，
∴EA=EB，
∴，
同理，
∴，
∵，，
∴，
∴
故答案为：40°．
【分析】 根据E垂直平分AB，可求得，，且可求得，再利用角的和差可求得∠EAG．
11．【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵是的垂直平分线，
∴AD=CD，
∵AC=AB=2，BC=3
∴的周长是AB+BD+AD=AB+BC=2+3=5；
故答案为：5.
【分析】由线段垂直平分线的性质可得AD=CD，根据的周长是AB+BD+AD=AB+BC即可求解.
12．【答案】6
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】过B点作AC边上的高BE，交AC与E.由已知面积和底，易得高BE=2248=6。因AD是∠BAC的平分线，在AC上易找到N关于AD的对称点N’，只要令AN'=AN即可。由SAS定理证得MN=MN'.BM+MN即BM+MN’的最小值问题转化为求点B到AC的距离问题，即求垂线段BE的长，此时它也是AC边上的高，BM+MN的最小值是6.
【分析】最值问题通常先套用将军饮马模型，转化成求一条线段的问题。
13．【答案】10
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：EF垂直平分BC，
B、C关于EF对称，
设EF交AC于G点，
当D与G点重合时，AD+BD的值最小，这个最小值等于AC的长度，
AB=4，AC=6，
的周长最小值=AB+AC=4+6=10.
故答案为：10.
【分析】根据题意可得B、C两点关于EF对称，再根据对称轴中的最短路径问题分析，D运动到G点为AD+BD的最小值点，再根据已知条件得到周长最小值.
14．【答案】解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴，．
∵的周长，
∴，
∴的周长．
即的周长为．
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】根据线段垂直平分线的性质求出 ，． 再利用三角形的周长公式计算求解即可。
15．【答案】证明：连接，
∵，，
∴，
∴，
∵点D为的中点，
∴，
∴AD是线段CE的垂直平分线，
∴，
∵EF垂直平分，
∴，
∴．
【知识点】线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定
【解析】【分析】连接AE，先证明AD是线段CE的垂直平分线，可得，再结合，可得。
16．【答案】（1）解：在中，当时，，
∴；
∵将点向右平移4个单位，再向下平移1个单位得到点D，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为；
（2）解：①如图2-1所示，当时，
在中，当时，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点F的横坐标为4，
在中，当时，，
∴；
如图2-2所示，当时，过点作且，过点E作轴，根本过点H，D作的垂线，垂足分别为G、T，
联立，解得，
∴，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理可得直线的解析式为，
联立，解得，
∴；
综上所述，或；
②∵点是点B关于x轴的对称点，
∴，
∵点F的横坐标大于，
∴由（2）①得点F的坐标为，
∴直线即为直线，
∵点P在直线上运动，即点P的横坐标为4，
∵点Q为的中点，
∴点Q的横坐标为1，，
∴点Q在直线上运动，
如图所示，作点关于直线的对称点M，连接，
∴，
由轴对称的性质可得，
∵，
∴当三点共线时，最小，即此时最小，
同理求得直线的解析式为，
在中，当时，，
∴．
【知识点】三角形全等的判定；轴对称的应用-最短距离问题；一次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1） 由求出B的坐标，利用点的平移求出D的坐标，再利用待定系数法求出直线CD解析式即可；
（2）①分两种情况：当时 ，易求， 即得∠EFD=∠OBA，可证FD∥OB，可得点F的横坐标为4，将其代入中求出y值，即得F坐标； ，当时，过点作且，过点E作轴，分别过点H，D作的垂线，垂足分别为G、T，求出E（1，3） ，可得ET=2，DT=3，证明，可得，即得H（3，6），再求出直线DH的解析式，联立直线y=x+2为方程组并解之，即得F坐标；
②求出 ，由①知F（4，6），可得直线即为直线， 由点P在直线上运动，即点P的横坐标为4， 进而得出点Q在直线上运动， 如图所示，作点关于直线的对称点M，连接，则，由轴对称的性质可得， 当三点共线时，最小，即此时最小， 同理求得直线的解析式为 ，据此可求出Q坐标.
17．【答案】（1）解：在中，令=0，得，
在中，令=0，得．
，.
，即点A为直线上的一动点．
（2）解：作点B关于直线的对称点，则点(4，3)，连结交直线于点A，
设，则，
，
令，得，
（3）解：过点B作BEAB交AD于E，过点E作EH轴于H点，
过点B作BG⊥EH于G，过点A作AF⊥GB于F，
，
，
，
，，
.
在和中，
，
.
，
设直线则，
，.
令，得，，
.
提示：本题也过点B作BEAD于E，再过点E作EH轴.
【知识点】坐标与图形性质；待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积；轴对称的应用-最短距离问题；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【分析】（1）由求出B（0，3），由求出C（0，-1），则BC=4，联立与为方程组并解之，解得交点A（2，2t+3），利用三角形的面积公式求值即可判断；
（2）作点B关于直线的对称点，则点(4，3)，连结交直线于点A，此时的周长最小，利用待定系数法求出直线BC：y=x-1，再求出x-2时y=1，即得A的坐标；
（3）过点B作BEAB交AD于E，过点E作EH轴于H点，过点B作BG⊥EH于G，过点A作AF⊥GB于F，证明△GBE≌△FAB，可得GE=BF=2，GB=FA=3，即得E（-3，1），利用待定系数法求出直线AE：，再求出此直线与y轴的交点D（0，），根据 即可求解.
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