2023-2024学年初中数学沪科版八年级上册 15.3 等腰三角形 同步分层训练基础卷
一、选择题
1．（2023八下·南海期末）为等边三角形，点 D在线段上，且，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的外角性质；等边三角形的性质
【解析】【解答】 解：∵是等边三角形，
∴，
∵点D在线段BC上，
∴，
∵，
∴．
故选：C．
【分析】 首先根据等边三角形可得∠B，再由三角形外角的性质，可知，求解即可得出的值.
2．（2023七下·宁阳期末）下列命题是假命题的是（ ）.
A．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
B．有两边和一角对应相等的两个三角形全等
C．平面内垂直于同一直线的两条直线平行
D．全等三角形的面积相等
【答案】B
【知识点】平行线的判定；三角形全等及其性质；等边三角形的判定；真命题与假命题
【解析】【解答】A、 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形是正确的，所以A是真命题，不符合题意；
B、 有两边和一角对应相等的两个三角形不一定全等，所以B是假命题，符合题意；
C、 平面内垂直于同一直线的两条直线平行正确，所以C是真命题，不符合题意；
D、 全等三角形的面积相等正确，所以D是真命题，不符合题意。
故答案为：B。
【分析】分别判断各个命题正确与错误，然后选出错误的命题即可。
3．（2023八下·泸县期末）如图，在中，，是的平分线，若，则等于（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AB=AC，AD是∠BAC的平分线，
∴BD=CD，
∵BD=5，
∴CD=5。
故答案为：C。
【分析】根据等腰三角形"三线合一"的性质，得出点D是BC的中点，即可得出答案。
4．（2023八下·呈贡期末）如图，在中，，，的平分线交于点E，则DE的长是（ ）
A．4 B．3 C．3.5 D．2
【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：
∵BE是的平分线，
∴
在中
∵
∴
∴
∴AB=AE(等角对等边)
则ED=AD-AE=8-5=3
故答案为：B
【分析】读题易发现等角，根据等角对等边定理，等量代换即可求。
5．（2023八下·广州期末）如图，点A的坐标为，点B在直线上运动，当线段最短时，点B的坐标为（ ）
A．（0，0） B．
C． D．
【答案】B
【知识点】一次函数的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图，
过点A作AE⊥OB于点E，由垂线段最短可知，当点B与点E重合时，线段AB最短，
∵点B在直线y=-x上运动，
∴△OAE是等腰直角三角形，
∵A（1，0），
∴OA=1，
过点E作EF⊥x轴于点F，
∴OF=EF=OA=，
∴点E（，-），即点B的坐标为（，-）时，线段AB最短.
故答案为：B.
【分析】过点A作AE⊥OB于点E，由垂线段最短可知，当点B与点E重合时，线段AB最短，由于点B在直线y=-x上运动，故△OAE是等腰直角三角形，根据点A的坐标可得OA=1，过点E作EF⊥x轴于点F，进而根据等腰三角形的三线合一可得OF=EF=OA=，从而结合点E所在的象限得出答案.
6．（2022七下·文山期末）等腰三角形的两条边长分别为5和6，则这个等腰三角形的周长是（ ）
A．或 B． C． D．或
【答案】D
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】如果腰为5，则三边为5、5、6，三边可组成三角形，周长为16；
如果腰为6，则三边为6、6、5，三边可组成三角形，周长为17。
故选：D
【分析】根据等腰三角形的定义，考虑有2种情况，但要先验证三边是否能组成三角形。
7．（2023·宿迁）若等腰三角形有一个内角为，则这个等腰三角形的底角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵内角和为180°，
∴110°只能为顶角，
∴底角==35°.
故答案为：C.
【分析】由内角和定理可得110°只能为顶角，然后根据等腰三角形的性质以及内角和定理进行计算.
8．（2023八下·梅州期末）如图，为内一点，过点的直线与边，分别交于点，，若点，点恰好分别在，的垂直平分线上，记，，则，满足的关系式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵点E、F恰好分别在CD、BD的垂直平分线上，
∴FB=FD。ED=EC，
∴∠BDF=∠DBF=α，∠CDE=∠DCE，
∴∠AFE=∠BDF+∠DBF=2α，∠AEF=∠CDE+∠DCE=2∠DCE.
∵∠A+∠AFE+∠AEF=180°，
∴∠A+2α+2∠DCE=180°.
∵∠A+2∠DCE=β，
∴2α+β=180°.
故答案为：C.
【分析】根据垂直平分线的性质可得FB=FD。ED=EC，由等腰三角形的性质可得∠BDF=∠DBF=α，∠CDE=∠DCE，结合外角的性质可得∠AFE=2α，∠AEF=2∠DCE，由内角和定理可得∠A+∠AFE+∠AEF=180°，代入可得∠A+2α+2∠DCE=180°，然后结合已知条件可得结果.
二、填空题
9．（2023七下·南海期末）如图①是一把园林剪刀，把它抽象为图②，其中．若剪刀张开的角为，则 °．
【答案】70
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵∠AOB=40°，OA=OB，
∴∠A=∠B=（180°-∠AOB）=70°；
故答案为：70.
【分析】由对顶角相等求出∠AOB的度数，再利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理即可求解.
10．（2023·锦州）如图，在中，的垂直平分线交于点D．交于点E．连接．若，，则的度数为 ．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：设∠B=x，
∵DE是线段BC的垂直平分线，
∴BE=CE，
∴∠ECB=∠B=x，
∴∠AEC=∠B+∠ECB=2x，
∵AC=CE，
∴∠A=∠AEC=2x，
∵∠ACE=40°，∠A+∠AEC+∠ACE=180°，
∴2x+2x+40°=180°，
∴x=35°，即∠B=35°.
故答案为：35°.
【分析】设∠B=x，由线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得BE=CE，由等边对等角得∠ECB=∠B=x，根据三角形外角相等得∠AEC=∠B+∠ECB=2x，再由等边对等角得∠A=∠AEC=2x，最后根据三角形的内角和定理建立方程，求解可得答案.
11．（2023七下·东源期末）如图，在等边中，，分别为边，的中点，，且为上的动点，连接，，则的最小值为 ．
【答案】6
【知识点】等边三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，连接CP、CE，
在等边中，D，E分别为边BC，AB的中点，，
，，
，
，
当点C、P、E三点在同一直线时，有最小值，此时，
的最小值是6.
故答案为：6.
【分析】由等边三角形的性质可得点B、C关于AD对称，故BP+EP=CP+EP，进而可判定当点C、P、E三点在同一直线时，CP+EP有最小值，即CP+EP=CE，然后得到CP+EP的最小值.
12．（2023七下·平远期末）如图，是的中线，，把沿对折，使点C落在点的位置，则图中的的形状是
【答案】等腰直角三角形
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；翻折变换（折叠问题）；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：由折叠的性质可得，，
，
，
，
是的中线，
，
是等腰直角三角形.
故答案为：等腰直角三角形.
【分析】先利用折叠的性质得到，，再通过中线的性质到，进而判定 是等腰直角三角形.
13．（2023·泰州）如图，中，，，射线从射线开始绕点C逆时针旋转角，与射线相交于点D，将沿射线翻折至处，射线与射线相交于点E．若是等腰三角形，则的度数为 ．
【答案】或
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图1，当时，
，，
，，
由折叠的性质可得，，
，
，
，
，
，
解得，a=0°，此种情况不符合题意，舍去；
如图2，当时，
，
，
；
如图3，当时，
，
，
，
综上所述，或，
故答案为：或.
【分析】首先对等腰三角形的边进行分类讨论画出图形，再利用三角形的内角和与外角和定理表示出和的度数，然后通过折叠的性质表示出的度数，利用等腰三角形的性质求得的度数.
三、解答题
14．（2023七下·榆林期末）如图，BD平分，E是AB上一点，连接DE，使得．DE与BC平行吗？为什么？
【答案】解：因为BD平分，所以．
因为，所以，所以，所以．
【知识点】平行线的判定；等腰三角形的性质；角平分线的定义
【解析】【分析】由角平分的定义可得，由等边对等角可得，从而得出，根据平行线的判定即证.
15．（2023八下·无为期末）已知等边的边长等于4cm，求它的面积是多少？
【答案】解：过A作垂直于
∵等边三角形高线即中线，，
∴，
在中，，，
∴由勾股定理得，，
∴．
【知识点】等边三角形的性质
【解析】【分析】根据三线合一定理，利用勾股定理求出底边上的高，再算面积。已知三边长度，也可以考虑用海伦公式计算三角形面积。
四、作图题
16．（2023七下·陈仓期末）如图，已知中，.请用尺规作图法在边上找一点，使为等腰三角形.（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】解：由题意得，画图如下，则等腰即为所求.
【知识点】等腰三角形的性质；作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】根据等腰三角形的定义和线段垂直平分线的作法，即可求出等腰三角形PAB.
五、综合题
17．（2023八下·梅州期末）如图所示，在等边中，点是的中点，于点，作交于点，．
（1）求证：是等边三角形；
（2）求的周长．
【答案】（1）证明：∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴是等边三角形；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵点是的中点，是等边三角形，
∴，
∴，
∴等边的周长是．
【知识点】平行线的性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形
【解析】【分析】（1）由等边三角形的性质可得∠A=∠B=∠C=60°，根据平行线的性质可得∠AEF=∠B=60°，∠AFE=∠C=60°，则∠A=∠AEF=∠AFE=60°，然后根据等边三角形的判定定理进行证明；
（2）由题意可得∠BDE=30°，则BD=2BE=6cm，由等边三角形的性质可得AB=AC=BC=12cm，则AE=AB-BE=9cm，据此求解.
18．（2023八下·梅州期末）如图，在中，点为直线上一动点，以为直角边在的同一作等腰直角三角形，，．
（1）特例发现：如图1，如果，．当点在线段上时，易证，从而得出结论：线段与的数量关系为 ，位置关系为 ；
（2）探究证明：如图2，如果，条件不变．当点在线段的延长线上时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（3）拓展运用：如图3，若是锐角三角形，，当点在线段上运动时，判断线段与的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）；
（2）解：结论仍然成立
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：过点O作交的延长线于点G，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】等腰直角三角形；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：（1）∵∠BOD=90°-∠BOC，∠COA=90°-∠BOC，
∴∠BOD=∠COA.
又BO=AO，OC=AD，
∴△OBD≌△OAC（SAS），
∴∠OAC=∠OBD=45°，AC=BD.
∵∠ABO=∠OBD=45°，
∴∠ABD=90°，
∴AC⊥BD.
故答案为：BD=AC，BD⊥AC.
【分析】（1）由同角的余角相等可得∠BOD=∠COA，利用SAS证明△OBD≌△OAC，得到∠OAC=∠OBD=45°，AC=BD，则∠ABO=∠OBD=45°，据此解答；
（2）同（1）进行解答；
（3）过点O作OG⊥OB交BA的延长线于点G，易得△GOB是等腰直角三角形，则∠GOB=∠GOC+∠COB=90°，∠COD=∠COB+∠BOD=90°，推出∠GOC=∠BOD，利用SAS证明△COG≌△DOB，得到∠OGC=∠OBD=45°，由∠ABD=∠ABO+∠OBD求出∠ABD的度数，据此解答.
1 / 12023-2024学年初中数学沪科版八年级上册 15.3 等腰三角形 同步分层训练基础卷
一、选择题
1．（2023八下·南海期末）为等边三角形，点 D在线段上，且，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023七下·宁阳期末）下列命题是假命题的是（ ）.
A．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
B．有两边和一角对应相等的两个三角形全等
C．平面内垂直于同一直线的两条直线平行
D．全等三角形的面积相等
3．（2023八下·泸县期末）如图，在中，，是的平分线，若，则等于（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．（2023八下·呈贡期末）如图，在中，，，的平分线交于点E，则DE的长是（ ）
A．4 B．3 C．3.5 D．2
5．（2023八下·广州期末）如图，点A的坐标为，点B在直线上运动，当线段最短时，点B的坐标为（ ）
A．（0，0） B．
C． D．
6．（2022七下·文山期末）等腰三角形的两条边长分别为5和6，则这个等腰三角形的周长是（ ）
A．或 B． C． D．或
7．（2023·宿迁）若等腰三角形有一个内角为，则这个等腰三角形的底角是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023八下·梅州期末）如图，为内一点，过点的直线与边，分别交于点，，若点，点恰好分别在，的垂直平分线上，记，，则，满足的关系式为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．（2023七下·南海期末）如图①是一把园林剪刀，把它抽象为图②，其中．若剪刀张开的角为，则 °．
10．（2023·锦州）如图，在中，的垂直平分线交于点D．交于点E．连接．若，，则的度数为 ．
11．（2023七下·东源期末）如图，在等边中，，分别为边，的中点，，且为上的动点，连接，，则的最小值为 ．
12．（2023七下·平远期末）如图，是的中线，，把沿对折，使点C落在点的位置，则图中的的形状是
13．（2023·泰州）如图，中，，，射线从射线开始绕点C逆时针旋转角，与射线相交于点D，将沿射线翻折至处，射线与射线相交于点E．若是等腰三角形，则的度数为 ．
三、解答题
14．（2023七下·榆林期末）如图，BD平分，E是AB上一点，连接DE，使得．DE与BC平行吗？为什么？
15．（2023八下·无为期末）已知等边的边长等于4cm，求它的面积是多少？
四、作图题
16．（2023七下·陈仓期末）如图，已知中，.请用尺规作图法在边上找一点，使为等腰三角形.（保留作图痕迹，不写作法）
五、综合题
17．（2023八下·梅州期末）如图所示，在等边中，点是的中点，于点，作交于点，．
（1）求证：是等边三角形；
（2）求的周长．
18．（2023八下·梅州期末）如图，在中，点为直线上一动点，以为直角边在的同一作等腰直角三角形，，．
（1）特例发现：如图1，如果，．当点在线段上时，易证，从而得出结论：线段与的数量关系为 ，位置关系为 ；
（2）探究证明：如图2，如果，条件不变．当点在线段的延长线上时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（3）拓展运用：如图3，若是锐角三角形，，当点在线段上运动时，判断线段与的位置关系，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】三角形的外角性质；等边三角形的性质
【解析】【解答】 解：∵是等边三角形，
∴，
∵点D在线段BC上，
∴，
∵，
∴．
故选：C．
【分析】 首先根据等边三角形可得∠B，再由三角形外角的性质，可知，求解即可得出的值.
2．【答案】B
【知识点】平行线的判定；三角形全等及其性质；等边三角形的判定；真命题与假命题
【解析】【解答】A、 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形是正确的，所以A是真命题，不符合题意；
B、 有两边和一角对应相等的两个三角形不一定全等，所以B是假命题，符合题意；
C、 平面内垂直于同一直线的两条直线平行正确，所以C是真命题，不符合题意；
D、 全等三角形的面积相等正确，所以D是真命题，不符合题意。
故答案为：B。
【分析】分别判断各个命题正确与错误，然后选出错误的命题即可。
3．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AB=AC，AD是∠BAC的平分线，
∴BD=CD，
∵BD=5，
∴CD=5。
故答案为：C。
【分析】根据等腰三角形"三线合一"的性质，得出点D是BC的中点，即可得出答案。
4．【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：
∵BE是的平分线，
∴
在中
∵
∴
∴
∴AB=AE(等角对等边)
则ED=AD-AE=8-5=3
故答案为：B
【分析】读题易发现等角，根据等角对等边定理，等量代换即可求。
5．【答案】B
【知识点】一次函数的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图，
过点A作AE⊥OB于点E，由垂线段最短可知，当点B与点E重合时，线段AB最短，
∵点B在直线y=-x上运动，
∴△OAE是等腰直角三角形，
∵A（1，0），
∴OA=1，
过点E作EF⊥x轴于点F，
∴OF=EF=OA=，
∴点E（，-），即点B的坐标为（，-）时，线段AB最短.
故答案为：B.
【分析】过点A作AE⊥OB于点E，由垂线段最短可知，当点B与点E重合时，线段AB最短，由于点B在直线y=-x上运动，故△OAE是等腰直角三角形，根据点A的坐标可得OA=1，过点E作EF⊥x轴于点F，进而根据等腰三角形的三线合一可得OF=EF=OA=，从而结合点E所在的象限得出答案.
6．【答案】D
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】如果腰为5，则三边为5、5、6，三边可组成三角形，周长为16；
如果腰为6，则三边为6、6、5，三边可组成三角形，周长为17。
故选：D
【分析】根据等腰三角形的定义，考虑有2种情况，但要先验证三边是否能组成三角形。
7．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵内角和为180°，
∴110°只能为顶角，
∴底角==35°.
故答案为：C.
【分析】由内角和定理可得110°只能为顶角，然后根据等腰三角形的性质以及内角和定理进行计算.
8．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵点E、F恰好分别在CD、BD的垂直平分线上，
∴FB=FD。ED=EC，
∴∠BDF=∠DBF=α，∠CDE=∠DCE，
∴∠AFE=∠BDF+∠DBF=2α，∠AEF=∠CDE+∠DCE=2∠DCE.
∵∠A+∠AFE+∠AEF=180°，
∴∠A+2α+2∠DCE=180°.
∵∠A+2∠DCE=β，
∴2α+β=180°.
故答案为：C.
【分析】根据垂直平分线的性质可得FB=FD。ED=EC，由等腰三角形的性质可得∠BDF=∠DBF=α，∠CDE=∠DCE，结合外角的性质可得∠AFE=2α，∠AEF=2∠DCE，由内角和定理可得∠A+∠AFE+∠AEF=180°，代入可得∠A+2α+2∠DCE=180°，然后结合已知条件可得结果.
9．【答案】70
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵∠AOB=40°，OA=OB，
∴∠A=∠B=（180°-∠AOB）=70°；
故答案为：70.
【分析】由对顶角相等求出∠AOB的度数，再利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理即可求解.
10．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：设∠B=x，
∵DE是线段BC的垂直平分线，
∴BE=CE，
∴∠ECB=∠B=x，
∴∠AEC=∠B+∠ECB=2x，
∵AC=CE，
∴∠A=∠AEC=2x，
∵∠ACE=40°，∠A+∠AEC+∠ACE=180°，
∴2x+2x+40°=180°，
∴x=35°，即∠B=35°.
故答案为：35°.
【分析】设∠B=x，由线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得BE=CE，由等边对等角得∠ECB=∠B=x，根据三角形外角相等得∠AEC=∠B+∠ECB=2x，再由等边对等角得∠A=∠AEC=2x，最后根据三角形的内角和定理建立方程，求解可得答案.
11．【答案】6
【知识点】等边三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，连接CP、CE，
在等边中，D，E分别为边BC，AB的中点，，
，，
，
，
当点C、P、E三点在同一直线时，有最小值，此时，
的最小值是6.
故答案为：6.
【分析】由等边三角形的性质可得点B、C关于AD对称，故BP+EP=CP+EP，进而可判定当点C、P、E三点在同一直线时，CP+EP有最小值，即CP+EP=CE，然后得到CP+EP的最小值.
12．【答案】等腰直角三角形
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；翻折变换（折叠问题）；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：由折叠的性质可得，，
，
，
，
是的中线，
，
是等腰直角三角形.
故答案为：等腰直角三角形.
【分析】先利用折叠的性质得到，，再通过中线的性质到，进而判定 是等腰直角三角形.
13．【答案】或
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图1，当时，
，，
，，
由折叠的性质可得，，
，
，
，
，
，
解得，a=0°，此种情况不符合题意，舍去；
如图2，当时，
，
，
；
如图3，当时，
，
，
，
综上所述，或，
故答案为：或.
【分析】首先对等腰三角形的边进行分类讨论画出图形，再利用三角形的内角和与外角和定理表示出和的度数，然后通过折叠的性质表示出的度数，利用等腰三角形的性质求得的度数.
14．【答案】解：因为BD平分，所以．
因为，所以，所以，所以．
【知识点】平行线的判定；等腰三角形的性质；角平分线的定义
【解析】【分析】由角平分的定义可得，由等边对等角可得，从而得出，根据平行线的判定即证.
15．【答案】解：过A作垂直于
∵等边三角形高线即中线，，
∴，
在中，，，
∴由勾股定理得，，
∴．
【知识点】等边三角形的性质
【解析】【分析】根据三线合一定理，利用勾股定理求出底边上的高，再算面积。已知三边长度，也可以考虑用海伦公式计算三角形面积。
16．【答案】解：由题意得，画图如下，则等腰即为所求.
【知识点】等腰三角形的性质；作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】根据等腰三角形的定义和线段垂直平分线的作法，即可求出等腰三角形PAB.
17．【答案】（1）证明：∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴是等边三角形；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵点是的中点，是等边三角形，
∴，
∴，
∴等边的周长是．
【知识点】平行线的性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形
【解析】【分析】（1）由等边三角形的性质可得∠A=∠B=∠C=60°，根据平行线的性质可得∠AEF=∠B=60°，∠AFE=∠C=60°，则∠A=∠AEF=∠AFE=60°，然后根据等边三角形的判定定理进行证明；
（2）由题意可得∠BDE=30°，则BD=2BE=6cm，由等边三角形的性质可得AB=AC=BC=12cm，则AE=AB-BE=9cm，据此求解.
18．【答案】（1）；
（2）解：结论仍然成立
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：过点O作交的延长线于点G，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】等腰直角三角形；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：（1）∵∠BOD=90°-∠BOC，∠COA=90°-∠BOC，
∴∠BOD=∠COA.
又BO=AO，OC=AD，
∴△OBD≌△OAC（SAS），
∴∠OAC=∠OBD=45°，AC=BD.
∵∠ABO=∠OBD=45°，
∴∠ABD=90°，
∴AC⊥BD.
故答案为：BD=AC，BD⊥AC.
【分析】（1）由同角的余角相等可得∠BOD=∠COA，利用SAS证明△OBD≌△OAC，得到∠OAC=∠OBD=45°，AC=BD，则∠ABO=∠OBD=45°，据此解答；
（2）同（1）进行解答；
（3）过点O作OG⊥OB交BA的延长线于点G，易得△GOB是等腰直角三角形，则∠GOB=∠GOC+∠COB=90°，∠COD=∠COB+∠BOD=90°，推出∠GOC=∠BOD，利用SAS证明△COG≌△DOB，得到∠OGC=∠OBD=45°，由∠ABD=∠ABO+∠OBD求出∠ABD的度数，据此解答.
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