2023-2024学年初中数学沪科版八年级上册 15.4 角的平分线 同步分层训练基础卷
一、选择题
1．（2023七下·仙桃期末）如图，直线，平分，，则的度数为（ ）
A．65° B．50° C．40° D．25°
2．（2023七下·云梦期末）如图，在中，，，，两点分别在边，上，平分，.图中的等腰三角形共有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3．（2023七下·榆林期末）如图，在中，的平分线BD交AC于点D，过点D作交AB于点E．若，则点D到AB的距离是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023七下·山亭期末）如图，在中，．按以下步骤作图：①以B为圆心，任意长为半径作弧，交于点M，交于点N；②分别以M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P；③作射线，交边于点D，点E是边上一动点，连接．若，则线段的最小值是（ ）
A． B．3 C． D．2
5．（2023八下·金牛期末）如图，在中，以点B为圆心，适当的长度为半径画弧分别交边于点P、Q，再分别以点P、Q为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于点M，连接交于点E，过点E作交AB于点D，若，，则的周长为（ ）
A．8 B．11 C．10 D．13
6．（2023七下·河源期末）如图，在△ABC中，∠C=90°，按以下步骤作图：①以点A为圆心、适当长为半径作圆弧，分别交边AC、AB于点M、N；②分别以点M和点N为圆心、大于MN的长为半径作圆弧，在∠BAC内，两弧交于点P；③作射线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则△ABD的面积是（ ）
A．15 B．30 C．45 D．60
7．（2023七下·福田期末）在中，，在上取一点，使得，则下列尺规作图选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023七下·仙桃期末）如图，直线，AO，BO分别是，的平分线，那么与之间的大小关系一定为（ ）
A．相等 B．不等 C．互余 D．互补
二、填空题
9．（2023八下·榆树期末）如图，在□ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E．若AB=4，BC=7，则DE的长为 ．
10．（2023七下·礼泉期末）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，若S△BCD=15，BC=10，.则AD的长为 .
11．（2023·湘潭）如图，在中，，按以下步骤作图：①以点为圆心，以小于长为半径作弧，分别交于点，；②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，在内两弧交于点；③作射线，交于点．若点到的距离为，则的长为 ．
12．（2023八下·大埔期末）如图，在中，，是的角平分线，过点D作的平行线，交于点E，已知，，，则的长为 ．
13．（2023·沈阳）如图，直线，直线分别与，交于点，，小明同学利用尺规按以下步骤作图：
⑴点为圆心，以任意长为半径作弧交射线于点，交射线于点；
⑵分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；
⑶作射线交直线于点；若，则 度．
三、解答题
14．（2023七下·前郭尔罗斯期末）已知：如图，直线与相交于点，是的平分线，如果．求的度数．
15．（2023七下·连州期末）工人师傅经常利用角尺平分一个任意角．如图所示，是一个任意角，在边、边上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与D，E重合，这时过角尺顶点Р的射线就是的平分线．请你先说明与全等，再说明平分．
四、综合题
16．（2023七下·宽城期末）如图，在中，，，为边延长线上一点，平分，为射线上一点，连结．
（1）求的度数．
（2）若，求的度数．
（3）若平分，求的度数．
17．（2023八下·萍乡期末）如图，是上一点，于点，于点．，分别是，上的点．，．
（1）求证：是的平分线；
（2）若，，．求的长．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】角平分线的性质；同位角
【解析】【解答】解：对图形进行标注：
∵AB∥CD，
∴∠1=∠ABC=65°，∠2=∠EBD
∵BC平分∠ABD，
∴∠ABD=2∠ABC=130°，
∵∠EBD=180°-∠ABD=50°，
∴∠2=50°，
故选：B.
【分析】根据平行线性质得：∠1=∠ABC=65°，∠2=∠EBD；再根据角平分线性质得：∠ABD=2∠ABC=130°，再根据平角的定义得：∠EBD=180°-∠ABD=50°.
2．【答案】D
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵AB=AC，∠A=36°，
∴，三角形ABC为等腰三角形，
∵BD平分∠ABC，
∴，
∵，
∴，
∴
∴为等腰三角形，
故答案为：D.
【分析】利用AB=AC可以证得三角形ABC为等腰三角形，然后由BD平分∠ABC，DE∥AB，根据角平分线的性质以平行线的性质，即可求出各个内角的度数，然后即可判断有几个等腰三角形.
3．【答案】A
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，CD⊥BC，CD=9，
∴DE=CD=9，
∴ 点D到AB的距离是9；
故答案为：A.
【分析】角平分线上的点到角两边的距离相等，据此即可求解.
4．【答案】B
【知识点】垂线段最短；角平分线的性质
【解析】【解答】
解：当DE⊥AB时，DE的值最小。
∵BD平分∠ABC，DC⊥BC，DE⊥AB，∴DE＝CD＝3。
故答案为：B.
【分析】根据垂线段最短可知DE⊥AB时DE的值最小。结合角平分线的性质可知DE＝CD。
5．【答案】A
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定；作图-角的平分线
【解析】【解答】解：由做图知：BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∵DE∥BC，
∴∠DEB=∠CBE，
∴∠ABE=∠DEB，
∴DB=DE，
∴△ADE的周长=AD+DE+AE=AD+DB+AE=AB+AE=5+3=8。
故答案为：A。
【分析】根据BE平分∠ABC，可得∠ABE=∠CBE，根据DE∥BC，可得∠DEB=∠CBE，从而可得∠ABE=∠DEB，根据等角对等边得出DB=DE，那么△ADE的周长就可转化为AB+AE=5+3=8。
6．【答案】B
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点D作ED⊥AB，由作图知：AD平分∠BAC，
∵ED⊥AB， ∠C=90° ， CD=4
∴DE=CD=4，
∴ △ABD的面积为×AB×DE=×15×4=30；
故答案为：B.
【分析】过点D作ED⊥AB，利用角平分线的性质可得DE=CD=4，再由△ABD的面积为×AB×DE即可求解.
7．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；作图-角的平分线；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：A、由图可得，
，
，A错误；
B、由图可得的垂直平分线交于点，
，
，
，B正确；
C、由图可得平分，C错误；
D、由图可得的垂直平分线交于点，
，
，
，D错误，
故答案为：B.
【分析】线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等.
8．【答案】C
【知识点】角平分线的性质；同旁内角
【解析】【解答】解：∵AC∥BD，
∴∠ABD+∠BAC=180°，
∵AO，BO分别为∠BAC和∠ABD的角平分线，
∴∠ABO=∠BAC，∠BAO=∠ABD
∴∠BAO+∠ABO=（∠ABD+∠BAC）=90°
∴∠BAO和∠ABO是互余，
故选：C.
【分析】根据平行线的性质得：∠ABD+∠BAC=180°；根据角平分线得性质得：∠BAO=∠ABD，∠ABO=∠BAC，继而可以求出∠BAO+∠ABO.
9．【答案】3
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的性质；内错角
【解析】【解答】解：由题意可得：
故答案为：3
【分析】根据角平分线性质和两直线直线平行，内错角相等可得出，则，即三角形ABE为等腰三角形，得AE=AB，继而得到即可求出答案。
10．【答案】3
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】 解：如图，作DE⊥BC于E
∵BD平分∠ABC，DA⊥AB，DE⊥BC，
∴AD=DE，
，BC=10
∴DE=3，
∴AD=DE=3
故答案为：3.
【分析】根据角平分线的性质定理，三角形的面积，并学会添加常用辅助线即可得到答案.
11．【答案】
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：由题意得AD为∠BAC的角平分线，
∵，点到的距离为，
∴CD=1，
故答案为：1
【分析】根据角平分线的性质结合题意即可求解。
12．【答案】
【知识点】平行线的性质；三角形的面积；角平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：过D点作DH⊥AB于H，如图，
∵BD是的角平分线，∠C=90°，
∴DC=DH，
∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠C=90°，
在Rt中，AD=
∵
∴DH=
∴CD=DH=.
故答案为：.
【分析】过点D作DH⊥AB于点H，利用角平分线上的点到角两边的距离相等得DC=DH，由二直线平行，同位角相等得∠ADE=∠C=90°，在Rt△ADE中，由勾股定理计算出AD，然后利用等面积法求出DH的长，从而得到CD的长.
13．【答案】58
【知识点】平行线的性质；角平分线的定义；作图-角的平分线
【解析】【解答】解：由作图可得：EG平分∠BEF，
∴∠BEF=2∠BEG.
∵AB∥CD，
∴∠BEG=∠EGF=29°，
∴∠BEF=2∠BEG=58°.
故答案为：58.
【分析】由作图可得：EG平分∠BEF，则∠BEF=2∠BEG，根据平行线的性质可得∠BEG=∠EGF=29°，据此求解.
14．【答案】解：设，则，，
由题意得：，
解得：，
，，，
是的平分线，
．
∴
．
【知识点】角平分线的性质
【解析】【分析】设，则，，根据平角的定义即可得到x，进而结合题意根据角平分线的性质即可求解。
15．【答案】解：由题意，得：在和中，
，
∴，
∴，
∴平分
【知识点】角平分线的判定；三角形全等的判定（SSS）
【解析】【分析】根据角尺两边相同的刻度分别与D，E重合可得PE=PD，通过SSS判定，进而证得平分.
16．【答案】（1）解：∵在中，，，，
∴．
（2）解：由（1）可知，，
∵平分，
∴，
∵，
∴．
（3）解：∵，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴．
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；角平分线的性质
【解析】【分析】（1）先根据三角形内角和定理得到，进而结合题意即可求解；
（2）由（1）可知，进而根据角平分线的性质结合平行线的性质即可求解；
（3）先根据题意得到∠ACD的度数，进而根据角平分线的性质结合题意即可求解。
17．【答案】（1）证明：在和中，，
∴
∴，
∵于，于，
∴是的平分线
（2）解：∵平分，，
∴
∵，
∴
∴，
∵，，
∴
∵，
∴
【知识点】三角形的外角性质；直角三角形全等的判定（HL）；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；角平分线的判定
【解析】【分析】（1）根据HL可证明 ，得到PE=PD，根据角平分线的判定定理可得出结论；
（2）首先求出∠PFD=30°，然后根据含30°锐角的直角三角形的性质，求出PD的长，即可得出PE的长。
1 / 12023-2024学年初中数学沪科版八年级上册 15.4 角的平分线 同步分层训练基础卷
一、选择题
1．（2023七下·仙桃期末）如图，直线，平分，，则的度数为（ ）
A．65° B．50° C．40° D．25°
【答案】B
【知识点】角平分线的性质；同位角
【解析】【解答】解：对图形进行标注：
∵AB∥CD，
∴∠1=∠ABC=65°，∠2=∠EBD
∵BC平分∠ABD，
∴∠ABD=2∠ABC=130°，
∵∠EBD=180°-∠ABD=50°，
∴∠2=50°，
故选：B.
【分析】根据平行线性质得：∠1=∠ABC=65°，∠2=∠EBD；再根据角平分线性质得：∠ABD=2∠ABC=130°，再根据平角的定义得：∠EBD=180°-∠ABD=50°.
2．（2023七下·云梦期末）如图，在中，，，，两点分别在边，上，平分，.图中的等腰三角形共有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】D
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵AB=AC，∠A=36°，
∴，三角形ABC为等腰三角形，
∵BD平分∠ABC，
∴，
∵，
∴，
∴
∴为等腰三角形，
故答案为：D.
【分析】利用AB=AC可以证得三角形ABC为等腰三角形，然后由BD平分∠ABC，DE∥AB，根据角平分线的性质以平行线的性质，即可求出各个内角的度数，然后即可判断有几个等腰三角形.
3．（2023七下·榆林期末）如图，在中，的平分线BD交AC于点D，过点D作交AB于点E．若，则点D到AB的距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，CD⊥BC，CD=9，
∴DE=CD=9，
∴ 点D到AB的距离是9；
故答案为：A.
【分析】角平分线上的点到角两边的距离相等，据此即可求解.
4．（2023七下·山亭期末）如图，在中，．按以下步骤作图：①以B为圆心，任意长为半径作弧，交于点M，交于点N；②分别以M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P；③作射线，交边于点D，点E是边上一动点，连接．若，则线段的最小值是（ ）
A． B．3 C． D．2
【答案】B
【知识点】垂线段最短；角平分线的性质
【解析】【解答】
解：当DE⊥AB时，DE的值最小。
∵BD平分∠ABC，DC⊥BC，DE⊥AB，∴DE＝CD＝3。
故答案为：B.
【分析】根据垂线段最短可知DE⊥AB时DE的值最小。结合角平分线的性质可知DE＝CD。
5．（2023八下·金牛期末）如图，在中，以点B为圆心，适当的长度为半径画弧分别交边于点P、Q，再分别以点P、Q为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于点M，连接交于点E，过点E作交AB于点D，若，，则的周长为（ ）
A．8 B．11 C．10 D．13
【答案】A
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定；作图-角的平分线
【解析】【解答】解：由做图知：BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∵DE∥BC，
∴∠DEB=∠CBE，
∴∠ABE=∠DEB，
∴DB=DE，
∴△ADE的周长=AD+DE+AE=AD+DB+AE=AB+AE=5+3=8。
故答案为：A。
【分析】根据BE平分∠ABC，可得∠ABE=∠CBE，根据DE∥BC，可得∠DEB=∠CBE，从而可得∠ABE=∠DEB，根据等角对等边得出DB=DE，那么△ADE的周长就可转化为AB+AE=5+3=8。
6．（2023七下·河源期末）如图，在△ABC中，∠C=90°，按以下步骤作图：①以点A为圆心、适当长为半径作圆弧，分别交边AC、AB于点M、N；②分别以点M和点N为圆心、大于MN的长为半径作圆弧，在∠BAC内，两弧交于点P；③作射线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则△ABD的面积是（ ）
A．15 B．30 C．45 D．60
【答案】B
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点D作ED⊥AB，由作图知：AD平分∠BAC，
∵ED⊥AB， ∠C=90° ， CD=4
∴DE=CD=4，
∴ △ABD的面积为×AB×DE=×15×4=30；
故答案为：B.
【分析】过点D作ED⊥AB，利用角平分线的性质可得DE=CD=4，再由△ABD的面积为×AB×DE即可求解.
7．（2023七下·福田期末）在中，，在上取一点，使得，则下列尺规作图选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；作图-角的平分线；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：A、由图可得，
，
，A错误；
B、由图可得的垂直平分线交于点，
，
，
，B正确；
C、由图可得平分，C错误；
D、由图可得的垂直平分线交于点，
，
，
，D错误，
故答案为：B.
【分析】线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等.
8．（2023七下·仙桃期末）如图，直线，AO，BO分别是，的平分线，那么与之间的大小关系一定为（ ）
A．相等 B．不等 C．互余 D．互补
【答案】C
【知识点】角平分线的性质；同旁内角
【解析】【解答】解：∵AC∥BD，
∴∠ABD+∠BAC=180°，
∵AO，BO分别为∠BAC和∠ABD的角平分线，
∴∠ABO=∠BAC，∠BAO=∠ABD
∴∠BAO+∠ABO=（∠ABD+∠BAC）=90°
∴∠BAO和∠ABO是互余，
故选：C.
【分析】根据平行线的性质得：∠ABD+∠BAC=180°；根据角平分线得性质得：∠BAO=∠ABD，∠ABO=∠BAC，继而可以求出∠BAO+∠ABO.
二、填空题
9．（2023八下·榆树期末）如图，在□ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E．若AB=4，BC=7，则DE的长为 ．
【答案】3
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的性质；内错角
【解析】【解答】解：由题意可得：
故答案为：3
【分析】根据角平分线性质和两直线直线平行，内错角相等可得出，则，即三角形ABE为等腰三角形，得AE=AB，继而得到即可求出答案。
10．（2023七下·礼泉期末）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，若S△BCD=15，BC=10，.则AD的长为 .
【答案】3
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】 解：如图，作DE⊥BC于E
∵BD平分∠ABC，DA⊥AB，DE⊥BC，
∴AD=DE，
，BC=10
∴DE=3，
∴AD=DE=3
故答案为：3.
【分析】根据角平分线的性质定理，三角形的面积，并学会添加常用辅助线即可得到答案.
11．（2023·湘潭）如图，在中，，按以下步骤作图：①以点为圆心，以小于长为半径作弧，分别交于点，；②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，在内两弧交于点；③作射线，交于点．若点到的距离为，则的长为 ．
【答案】
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：由题意得AD为∠BAC的角平分线，
∵，点到的距离为，
∴CD=1，
故答案为：1
【分析】根据角平分线的性质结合题意即可求解。
12．（2023八下·大埔期末）如图，在中，，是的角平分线，过点D作的平行线，交于点E，已知，，，则的长为 ．
【答案】
【知识点】平行线的性质；三角形的面积；角平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：过D点作DH⊥AB于H，如图，
∵BD是的角平分线，∠C=90°，
∴DC=DH，
∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠C=90°，
在Rt中，AD=
∵
∴DH=
∴CD=DH=.
故答案为：.
【分析】过点D作DH⊥AB于点H，利用角平分线上的点到角两边的距离相等得DC=DH，由二直线平行，同位角相等得∠ADE=∠C=90°，在Rt△ADE中，由勾股定理计算出AD，然后利用等面积法求出DH的长，从而得到CD的长.
13．（2023·沈阳）如图，直线，直线分别与，交于点，，小明同学利用尺规按以下步骤作图：
⑴点为圆心，以任意长为半径作弧交射线于点，交射线于点；
⑵分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；
⑶作射线交直线于点；若，则 度．
【答案】58
【知识点】平行线的性质；角平分线的定义；作图-角的平分线
【解析】【解答】解：由作图可得：EG平分∠BEF，
∴∠BEF=2∠BEG.
∵AB∥CD，
∴∠BEG=∠EGF=29°，
∴∠BEF=2∠BEG=58°.
故答案为：58.
【分析】由作图可得：EG平分∠BEF，则∠BEF=2∠BEG，根据平行线的性质可得∠BEG=∠EGF=29°，据此求解.
三、解答题
14．（2023七下·前郭尔罗斯期末）已知：如图，直线与相交于点，是的平分线，如果．求的度数．
【答案】解：设，则，，
由题意得：，
解得：，
，，，
是的平分线，
．
∴
．
【知识点】角平分线的性质
【解析】【分析】设，则，，根据平角的定义即可得到x，进而结合题意根据角平分线的性质即可求解。
15．（2023七下·连州期末）工人师傅经常利用角尺平分一个任意角．如图所示，是一个任意角，在边、边上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与D，E重合，这时过角尺顶点Р的射线就是的平分线．请你先说明与全等，再说明平分．
【答案】解：由题意，得：在和中，
，
∴，
∴，
∴平分
【知识点】角平分线的判定；三角形全等的判定（SSS）
【解析】【分析】根据角尺两边相同的刻度分别与D，E重合可得PE=PD，通过SSS判定，进而证得平分.
四、综合题
16．（2023七下·宽城期末）如图，在中，，，为边延长线上一点，平分，为射线上一点，连结．
（1）求的度数．
（2）若，求的度数．
（3）若平分，求的度数．
【答案】（1）解：∵在中，，，，
∴．
（2）解：由（1）可知，，
∵平分，
∴，
∵，
∴．
（3）解：∵，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴．
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；角平分线的性质
【解析】【分析】（1）先根据三角形内角和定理得到，进而结合题意即可求解；
（2）由（1）可知，进而根据角平分线的性质结合平行线的性质即可求解；
（3）先根据题意得到∠ACD的度数，进而根据角平分线的性质结合题意即可求解。
17．（2023八下·萍乡期末）如图，是上一点，于点，于点．，分别是，上的点．，．
（1）求证：是的平分线；
（2）若，，．求的长．
【答案】（1）证明：在和中，，
∴
∴，
∵于，于，
∴是的平分线
（2）解：∵平分，，
∴
∵，
∴
∴，
∵，，
∴
∵，
∴
【知识点】三角形的外角性质；直角三角形全等的判定（HL）；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；角平分线的判定
【解析】【分析】（1）根据HL可证明 ，得到PE=PD，根据角平分线的判定定理可得出结论；
（2）首先求出∠PFD=30°，然后根据含30°锐角的直角三角形的性质，求出PD的长，即可得出PE的长。
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