2023-2024学年初中数学沪科版八年级上册 15.4 角的平分线 同步分层训练培优卷
一、选择题
1．（2023八下·荷塘期末）在正方形网格中，的位置如图所示，到两边距离相等的点应是（ ）
A．P点 B．Q点 C．M点 D．N点
2．（2023八下·浏阳期末）如图，在中，，于点E，，，则的度数为（ ）
A．34° B．36° C．38° D．40°
3．（2023八下·潜山期末）如图，在中，平分，且．以下判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023七下·济南期末）如图，在Rt△ABC中，，AC＝6，BC＝8，AB＝10，AD是的平分线，若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC＋PQ的最小值是（ ）
A．2.4 B．4 C．4.8 D．5
5．（2023八下·双鸭山期末）如图，在中，，按以下步骤作图：①以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交BA，BC于M，N两点；②分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P；③作射线BP，交边AC于点D.若，，则线段CD的长为（ ）
A．3 B． C． D．
6．（2023八下·二七期末）甲、乙、丙、丁四位同学解决以下问题，其中作图正确的是（ ）
问题：某旅游景区内有一块三角形绿地ABC，如图所示，先要在道路AB边上建一个休息点M，使它到AC和BC两边的距离相等，在图中确定休息点M的位置．
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
7．（2023八下·渠县期末）如图，点P为定角平分线上的一个定点，且与互补．若在绕点P旋转的过程中，其两边分别与、相交于M、N两点，则以下结论中，不正确的是（ ）
A．的值不变 B．
C．的长不变 D．四边形的面积不变
8．（2023七下·萧县期末）如图，在中，，是角平分线，，，则P到的距离是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题
9．（2023八下·揭东期末）如图，在中，平分，若，则的面积是 ．
10．（2023八下·临汾期末）如图，平分是上一点，过点分别作于点交于点．若，则的长为 ．
11．（2023七下·红桥期末）如图，直线，为直线上一点，、分别交直线于点、，平分，，垂足为点，若，则 .（用含的式子表示）
12．（2023八下·通川期末）如图，在中，，，平分，于E，若的周长为，则的面积为 ．
13．（2023八下·通川期末）已知：如图，为的角平分线，且，E为延长线上的一点，，过E作，F为垂足．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是 ．（只填序号）
三、解答题
14．（2023·泰州）如图，是五边形的一边，若垂直平分，垂足为M，且 ▲ ， ▲ ，则 ▲ ．
给出下列信息：①平分；②；③．请从中选择适当信息，将对应的序号填到横线上方，使之构成真命题，补全图形，并加以证明．
15．（2023八下·岳阳期末）如图，在中，分别平分、，点在线段上，求证：．
四、综合题
16．（2023七下·东城期末）已知：直线被直线截于两点，且，点是直线上一定点，点是射线上一动点，连接，过点作交直线于点．
（1）如图，若点在线段上，和的平分线交于点．
①请写出和的数量关系，并证明；
②的度数为 ；
（2）若点在线段的延长线上，直接写出和的数量关系，不必证明．
17．（2023八下·分宜期末）我们规定：一组邻边相等且对角互补的四边形叫作“完美四边形”．
（1）在①平行四边形，②菱形，③矩形，④正方形中，一定为“完美"四边形的是 （请填序号）；
（2）在“完美”四边形中，，，连接．
①如图1，求证：平分；
小明通过观察、实验，提出以下两种想法，证明平分：
想法一：通过，可延长到，使，通过证明，从而可证平分；
想法二：通过，可将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，可证，，三点在一条直线上，从而可证平分．
请你参考上面的想法，选择其中一种想法帮助小明证明平分；
②如图2，当时，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：由题意得当点位于∠AOB的角平分线上时，到两边距离相等，
∴到两边距离相等的点应是M，
故答案为：C
【分析】根据角平分线的性质结合题意即可求解。
2．【答案】A
【知识点】角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵，，，
∴BD为∠CBA的角平分线，
∴∠CBD=∠EBD=28°，
∴∠CBA=56°，
∴∠A=90°-56°=34°，
故答案为：A
【分析】先根据角平分线的判定与性质即可得到∠CBD=∠EBD=28°，再结合题意即可求解。
3．【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：如图所示，过点E作EH⊥AC于点H，∵AE平分∠BAC，EB⊥AB，∴EB=EH，由AE=AE，∴Rt△ABE≌Rt△AHE（HL），∴AB=AH，又∵EA=EC，EH⊥AC，∴AC=2AH，∴AC=2AB.
故答案为：B。
【分析】首先根据角平分线的性质得出EB=EH，再根据HL判定Rt△ABE≌Rt△AHE，得到AB=AH，最后根据等腰三角形的性质得出AC=2AH，再等量代换为AC=2AB。
4．【答案】C
【知识点】角平分线的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】如图，∵AP平分∠BAC，即由角平分线的对称性可知，在AB边上必然存在一点Q'，使得PQ'=PQ，
此时(PC＋PQ)min=(PC＋PQ')min≥CQ'
此时当C、P、Q'三点共线并垂直时，(PC＋PQ)min，即CQ'⊥AB，垂足为Q'，
∵∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AB=10，
∴，即PC+PE的最小值为4.8.
故C选项符合题意.
故选C.
【分析】本题结合直角三角形和角平分线的性质求最短路径问题，当PC+PQ转化为一条线段CE时，有最小值.
5．【答案】A
【知识点】角平分线的性质；作图-角的平分线
【解析】【解答】解：如图，作DE⊥AB于点E
根据作图特征，射线BD为∠ABC的角平分线，
∵∠C=90°，DE⊥AB，
∴DC=DE
设DC=DE=x，
在Rt△ABC中，AB=10，BC=6
∴AC=8
∴AD=8-x，BE=BC=6，AE=AB-BE=4
在Rt△ADE中，（8-x）2=x2+42
解得x=3，
故答案为A.
【分析】根据作图断这是角平分线尺规作图，所以BD为∠ABC的角平分线，结合∠C=90°（即DC⊥BC），添加角平分线常用辅助线DE⊥AB，根据角平分线的性质，得到DC=DE，进而可判断BE=BC=6，AE=AB-BE=10-6=4.又通过勾股定理可得AC=8，设DC=DE=x，则AD=8-x.所以对于Rt△ADE来说，三边分别为8-x，x，4，利用勾股定理建立方程求解即可. .
6．【答案】C
【知识点】作图-角的平分线
【解析】【解答】解：根据点M到AC和BC两边的距离相等可知，点M在的角平分线上，
故答案为：C.
【分析】角平分线上的点到角两边的距离相等.
7．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的性质；等腰三角形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：过点P作PE⊥OA，PF⊥OB，则∠PFN=∠PEM=90°，
∵OP平分∠AOB，PE⊥OA，PF⊥OB
∴PE=PF，
∵+=180°，
∴∠PMO+∠PNO=180°，
∵∠PNO+∠PNF=180°，
∴∠PMO=∠PNF，
∴△PME≌△PNF（AAS），
∴OE=OF，PM=PN，ME=FN，S△PME=S△PNF，
∴OM+ON=OE+ME+OF-NF=2OE是定值，故A正确；
∴四边形PMON的面积=四边形PEOF的面积=定值，故D正确；
∵PM=PN，
∴在旋转过程中，△PMN始终是等腰三角形，但PM的长度再变化，故MN的长度也会变化，故C错误；
在△PMN中，PM=PN，
∴∠PNM=（180°-∠MPN），
在四边形MONP中，+=180°，
∴∠AOB=180°-∠MPN，
∴∠POB=∠AOP=（180°-∠MPN），
∴∠PNM=∠POB，故B正确；
故答案为：C.
【分析】过点P作PE⊥OA，PF⊥OB，△PME≌△PNF（AAS），可得OE=OF，PM=PN，ME=FN，S△PME=S△PNF，从而求出OM+ON=OE+ME+OF-NF=2OE是定值，四边形PMON的面积=四边形PEOF的面积=定值，据此判断A、D；在旋转过程中，△PMN始终是等腰三角形，但PM的长度再变化，故MN的长度也会变化，据此判断C；由等腰三角形的性质可得∠PNM=（180°-∠MPN），利用四边形内角和及角平分的定义可得∠POB=∠AOP=（180°-∠MPN），即得∠PNM=∠POB，据此判断B.
8．【答案】A
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】角平分线上的点到角两边距离相等，P到AB的距离=PC=2
【分析】角平分线上的点到角两边距离相等.
9．【答案】
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点D作DH⊥AC，
∵AD平分∠BAC，∠B=90°，DH⊥AC，BD=2，
∴DE=BD=2，
∵AC=6，
∴△ACD的面积为×6×2=6，
故答案为：6.
【分析】过点D作DH⊥AC，由角平分线的性质可得DE=BD=2，根据三角形的面积公式计算即可.
10．【答案】3
【知识点】角平分线的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：过点P作PF垂直OA于点F
由题意可得：PF=PC
在直角三角形DFP中
故答案为：3
【分析】过点P作PF垂直OA于点F，根据角平分线性质可得，利用30度角所对的边是斜边的一半即可求出答案。
11．【答案】
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵ AB // CD
∴ ∠AEH = ∠CFH =
∵ EH 平分 ∠AEM
∴∠MEA = 2∠AEH =
∴∠MEN=
∵MN⊥AB
∴∠MNE=90°
∴∠EMN =
=-90°
故答案为：.
【分析】先根据平行线的性质得到∠AEH =∠CFH =，再根据角平分线定义得到∠MEA =2∠AEH=，再根据邻补角的定义得到∠MEN=，最后根据三角形内角和计算∠EMN 的度数。
12．【答案】2
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解： ∵平分，，∠ACB=90°，
∴DE=CD，∠DBC=∠DBE，
∴△DCB≌△DEB（AAS）
∴BE=BC，
∵AC=BC，
∴BE=AC，
∵的周长为，
∴AD+AE+DE=AD+CD+AE=AC+AE=BE+AE=AB=，
∴AC=BC=AB=2，
∴△ABC的面积为=2.
故答案为：2.
【分析】由角平分线的性质可得DE=CD，∠DBC=∠DBE，根据AAS证明△DCB≌△DEB，可得BE=BC=AC，由的周长为，可得AD+AE+DE=AB=，从而求出AC=BC=AB=2，利用三角形的面积公式计算即可.
13．【答案】①②③④
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；等腰三角形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：∵为的角平分线 ，
∴∠ABD=∠DBC，
∵AB=BE，BD=BC，
∴ （SAS），故①正确；
∴∠BCE=∠BDA，AD=CE
∵BD=BC，
∴∠BCD=∠BDC，
∵∠BDA+∠BDC=180°，
∴∠BCE+∠BCD=180°，故②正确；
∵BA=BE，BD=BC，∠ABE=∠DBC，
∴∠BDC=∠BCD=∠BAE=∠AEB，
∵∠ADE=∠BDC，
∴∠ADE=∠AEB，
∴AE=AD，
∴AE=AD=CE，故③正确；
过点E作EG⊥BC，
∵为的角平分线 ，EF⊥AB，
∴EF=EG，
∴Rt△BEG≌Rt△BEF（HL）
∴BG=BF，
∵AE=CE，
Rt△CEG≌Rt△AEF（HL），
∴AF=CG，
∴BA+BC=BF+FA+BG-CG=BF+BG=2BF，故④正确.
故答案为： ①②③④ ；
【分析】根据AAS证明，可得∠BCE=∠BDA，AD=CE，由等腰三角形的性质及邻补角的定义可得∠BCE+∠BCD=∠BDA+∠BDC=180°，据此判断②；根据顶角相等的等腰三角形底角相等可得∠BDC=∠BCD=∠BAE=∠AEB，从而得出∠ADE=∠AEB，可得AE=AD，据此判断③；先证Rt△BEG≌Rt△BEF（HL），可得BG=BF，再证Rt△CEG≌Rt△AEF（HL），可得AF=CG，利用线段的和差可得BA+BC=2BF，据此判断④.
14．【答案】证明：根据题意补全图形如图所示：
垂直平分，
，（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等），
在与中，
，
，
，
在与中，
，
，
，
又，
，
即，
平分．
故答案为：②；③；①．
【知识点】线段垂直平分线的性质；角平分线的判定；三角形全等的判定（SSS）
【解析】【分析】利用垂直平分线的性质证得AC=AD、CM=DM，再通过SSS判定和，然后利用全等三角形的性质证得平分.
15．【答案】证明：如图：过C作，
∵平分， ，
∴，
在和中
，
∴，
∴，
同理可得：，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质
【解析】【分析】过C作，先根据角平分线的性质结合题意即可得到，进而运用三角形全等的判定与性质证明即可得到，同理可得：，从而结合题意即可求解。
16．【答案】（1）解：①；
证明如下：过点C作，如图所示：
∵，
∴，
∴，，
∴
∵，∴，
∴；
②∵，，
∴ ，
∵平分，平分，
∴，，
∴ ，
∴ ．
故答案为：．
（2）解：点在线段的延长线上时，如图所示：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质；角平分线的性质
【解析】【分析】（1） ① 根据平行线的性质可得∠ADC=∠DCF，∠BEC=∠ECF，由垂直的定义可得∠DCE=∠DCF+∠ECF=90°，进而可得∠ADC+∠BEC=90°；
② 根据平角的性质可得∠CDM=180°-∠ADC，∠PEC=180°-∠BEC，进而得到∠CDM+∠PEC=270°，根据角平分线的定义可得∠CDH+∠CEH=（∠CDM+∠PEC）=135°，再根据四边形的内角和即可求解；
（2）根据垂直的定义可得∠DCE=90°，进而得到∠ADC+∠DFC=90°，由平行线的性质可得∠CEB=∠DFC，利用等量代换即可求解。
17．【答案】（1）④
（2）解：①想法一：延长使，连接
∵，
，
∴．
∵，
∴．
∴；．
∴．
∴．
即平分
想法二：将绕点顺时针旋转，使边与边重合，得到，
∴．
∴；；．
∵，
∴．
∴点，，在一条直线上．
∵，
∴．
∴．
即平分
②延长使，连接，
由①得为等腰三角形．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】 （1）①平行四边形的两邻边不一定相等，不符合题意；
②菱形一组邻边相等，但对角相等不一定互补，不符合题意；
③矩形的两邻边不一定相等，不符合题意；
④正方形的组邻边相等且对角互补，符合题意；
故答案为④
【分析】（1）根据“完美四边形”的定义即可求出答案；
（2）①想法一：延长CB使BE=CD，连接AE，证明，再利用全等三角形的性质及等边对等角得出最后根据等量代换即可求出答案。
想法二：将绕点A顺时针旋转，使AD边与AB边重合，得到，得出，根据全等三角形的性质得出；AC=AE，再根据题意和邻补角得出点C，B，E在一条直线上，最后根据等边对等角及等量代换即可求出答案。
②延长CB使BE=CD，连接AE，由①得为等腰三角形.由得出，再根据勾股定理及AE=AC得出CE =2AC ，解得，最后根据线段的和与差及等量代换即可求出答案。
1 / 12023-2024学年初中数学沪科版八年级上册 15.4 角的平分线 同步分层训练培优卷
一、选择题
1．（2023八下·荷塘期末）在正方形网格中，的位置如图所示，到两边距离相等的点应是（ ）
A．P点 B．Q点 C．M点 D．N点
【答案】C
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：由题意得当点位于∠AOB的角平分线上时，到两边距离相等，
∴到两边距离相等的点应是M，
故答案为：C
【分析】根据角平分线的性质结合题意即可求解。
2．（2023八下·浏阳期末）如图，在中，，于点E，，，则的度数为（ ）
A．34° B．36° C．38° D．40°
【答案】A
【知识点】角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵，，，
∴BD为∠CBA的角平分线，
∴∠CBD=∠EBD=28°，
∴∠CBA=56°，
∴∠A=90°-56°=34°，
故答案为：A
【分析】先根据角平分线的判定与性质即可得到∠CBD=∠EBD=28°，再结合题意即可求解。
3．（2023八下·潜山期末）如图，在中，平分，且．以下判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：如图所示，过点E作EH⊥AC于点H，∵AE平分∠BAC，EB⊥AB，∴EB=EH，由AE=AE，∴Rt△ABE≌Rt△AHE（HL），∴AB=AH，又∵EA=EC，EH⊥AC，∴AC=2AH，∴AC=2AB.
故答案为：B。
【分析】首先根据角平分线的性质得出EB=EH，再根据HL判定Rt△ABE≌Rt△AHE，得到AB=AH，最后根据等腰三角形的性质得出AC=2AH，再等量代换为AC=2AB。
4．（2023七下·济南期末）如图，在Rt△ABC中，，AC＝6，BC＝8，AB＝10，AD是的平分线，若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC＋PQ的最小值是（ ）
A．2.4 B．4 C．4.8 D．5
【答案】C
【知识点】角平分线的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】如图，∵AP平分∠BAC，即由角平分线的对称性可知，在AB边上必然存在一点Q'，使得PQ'=PQ，
此时(PC＋PQ)min=(PC＋PQ')min≥CQ'
此时当C、P、Q'三点共线并垂直时，(PC＋PQ)min，即CQ'⊥AB，垂足为Q'，
∵∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AB=10，
∴，即PC+PE的最小值为4.8.
故C选项符合题意.
故选C.
【分析】本题结合直角三角形和角平分线的性质求最短路径问题，当PC+PQ转化为一条线段CE时，有最小值.
5．（2023八下·双鸭山期末）如图，在中，，按以下步骤作图：①以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交BA，BC于M，N两点；②分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P；③作射线BP，交边AC于点D.若，，则线段CD的长为（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】A
【知识点】角平分线的性质；作图-角的平分线
【解析】【解答】解：如图，作DE⊥AB于点E
根据作图特征，射线BD为∠ABC的角平分线，
∵∠C=90°，DE⊥AB，
∴DC=DE
设DC=DE=x，
在Rt△ABC中，AB=10，BC=6
∴AC=8
∴AD=8-x，BE=BC=6，AE=AB-BE=4
在Rt△ADE中，（8-x）2=x2+42
解得x=3，
故答案为A.
【分析】根据作图断这是角平分线尺规作图，所以BD为∠ABC的角平分线，结合∠C=90°（即DC⊥BC），添加角平分线常用辅助线DE⊥AB，根据角平分线的性质，得到DC=DE，进而可判断BE=BC=6，AE=AB-BE=10-6=4.又通过勾股定理可得AC=8，设DC=DE=x，则AD=8-x.所以对于Rt△ADE来说，三边分别为8-x，x，4，利用勾股定理建立方程求解即可. .
6．（2023八下·二七期末）甲、乙、丙、丁四位同学解决以下问题，其中作图正确的是（ ）
问题：某旅游景区内有一块三角形绿地ABC，如图所示，先要在道路AB边上建一个休息点M，使它到AC和BC两边的距离相等，在图中确定休息点M的位置．
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】C
【知识点】作图-角的平分线
【解析】【解答】解：根据点M到AC和BC两边的距离相等可知，点M在的角平分线上，
故答案为：C.
【分析】角平分线上的点到角两边的距离相等.
7．（2023八下·渠县期末）如图，点P为定角平分线上的一个定点，且与互补．若在绕点P旋转的过程中，其两边分别与、相交于M、N两点，则以下结论中，不正确的是（ ）
A．的值不变 B．
C．的长不变 D．四边形的面积不变
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的性质；等腰三角形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：过点P作PE⊥OA，PF⊥OB，则∠PFN=∠PEM=90°，
∵OP平分∠AOB，PE⊥OA，PF⊥OB
∴PE=PF，
∵+=180°，
∴∠PMO+∠PNO=180°，
∵∠PNO+∠PNF=180°，
∴∠PMO=∠PNF，
∴△PME≌△PNF（AAS），
∴OE=OF，PM=PN，ME=FN，S△PME=S△PNF，
∴OM+ON=OE+ME+OF-NF=2OE是定值，故A正确；
∴四边形PMON的面积=四边形PEOF的面积=定值，故D正确；
∵PM=PN，
∴在旋转过程中，△PMN始终是等腰三角形，但PM的长度再变化，故MN的长度也会变化，故C错误；
在△PMN中，PM=PN，
∴∠PNM=（180°-∠MPN），
在四边形MONP中，+=180°，
∴∠AOB=180°-∠MPN，
∴∠POB=∠AOP=（180°-∠MPN），
∴∠PNM=∠POB，故B正确；
故答案为：C.
【分析】过点P作PE⊥OA，PF⊥OB，△PME≌△PNF（AAS），可得OE=OF，PM=PN，ME=FN，S△PME=S△PNF，从而求出OM+ON=OE+ME+OF-NF=2OE是定值，四边形PMON的面积=四边形PEOF的面积=定值，据此判断A、D；在旋转过程中，△PMN始终是等腰三角形，但PM的长度再变化，故MN的长度也会变化，据此判断C；由等腰三角形的性质可得∠PNM=（180°-∠MPN），利用四边形内角和及角平分的定义可得∠POB=∠AOP=（180°-∠MPN），即得∠PNM=∠POB，据此判断B.
8．（2023七下·萧县期末）如图，在中，，是角平分线，，，则P到的距离是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】角平分线上的点到角两边距离相等，P到AB的距离=PC=2
【分析】角平分线上的点到角两边距离相等.
二、填空题
9．（2023八下·揭东期末）如图，在中，平分，若，则的面积是 ．
【答案】
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点D作DH⊥AC，
∵AD平分∠BAC，∠B=90°，DH⊥AC，BD=2，
∴DE=BD=2，
∵AC=6，
∴△ACD的面积为×6×2=6，
故答案为：6.
【分析】过点D作DH⊥AC，由角平分线的性质可得DE=BD=2，根据三角形的面积公式计算即可.
10．（2023八下·临汾期末）如图，平分是上一点，过点分别作于点交于点．若，则的长为 ．
【答案】3
【知识点】角平分线的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：过点P作PF垂直OA于点F
由题意可得：PF=PC
在直角三角形DFP中
故答案为：3
【分析】过点P作PF垂直OA于点F，根据角平分线性质可得，利用30度角所对的边是斜边的一半即可求出答案。
11．（2023七下·红桥期末）如图，直线，为直线上一点，、分别交直线于点、，平分，，垂足为点，若，则 .（用含的式子表示）
【答案】
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵ AB // CD
∴ ∠AEH = ∠CFH =
∵ EH 平分 ∠AEM
∴∠MEA = 2∠AEH =
∴∠MEN=
∵MN⊥AB
∴∠MNE=90°
∴∠EMN =
=-90°
故答案为：.
【分析】先根据平行线的性质得到∠AEH =∠CFH =，再根据角平分线定义得到∠MEA =2∠AEH=，再根据邻补角的定义得到∠MEN=，最后根据三角形内角和计算∠EMN 的度数。
12．（2023八下·通川期末）如图，在中，，，平分，于E，若的周长为，则的面积为 ．
【答案】2
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解： ∵平分，，∠ACB=90°，
∴DE=CD，∠DBC=∠DBE，
∴△DCB≌△DEB（AAS）
∴BE=BC，
∵AC=BC，
∴BE=AC，
∵的周长为，
∴AD+AE+DE=AD+CD+AE=AC+AE=BE+AE=AB=，
∴AC=BC=AB=2，
∴△ABC的面积为=2.
故答案为：2.
【分析】由角平分线的性质可得DE=CD，∠DBC=∠DBE，根据AAS证明△DCB≌△DEB，可得BE=BC=AC，由的周长为，可得AD+AE+DE=AB=，从而求出AC=BC=AB=2，利用三角形的面积公式计算即可.
13．（2023八下·通川期末）已知：如图，为的角平分线，且，E为延长线上的一点，，过E作，F为垂足．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是 ．（只填序号）
【答案】①②③④
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；等腰三角形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：∵为的角平分线 ，
∴∠ABD=∠DBC，
∵AB=BE，BD=BC，
∴ （SAS），故①正确；
∴∠BCE=∠BDA，AD=CE
∵BD=BC，
∴∠BCD=∠BDC，
∵∠BDA+∠BDC=180°，
∴∠BCE+∠BCD=180°，故②正确；
∵BA=BE，BD=BC，∠ABE=∠DBC，
∴∠BDC=∠BCD=∠BAE=∠AEB，
∵∠ADE=∠BDC，
∴∠ADE=∠AEB，
∴AE=AD，
∴AE=AD=CE，故③正确；
过点E作EG⊥BC，
∵为的角平分线 ，EF⊥AB，
∴EF=EG，
∴Rt△BEG≌Rt△BEF（HL）
∴BG=BF，
∵AE=CE，
Rt△CEG≌Rt△AEF（HL），
∴AF=CG，
∴BA+BC=BF+FA+BG-CG=BF+BG=2BF，故④正确.
故答案为： ①②③④ ；
【分析】根据AAS证明，可得∠BCE=∠BDA，AD=CE，由等腰三角形的性质及邻补角的定义可得∠BCE+∠BCD=∠BDA+∠BDC=180°，据此判断②；根据顶角相等的等腰三角形底角相等可得∠BDC=∠BCD=∠BAE=∠AEB，从而得出∠ADE=∠AEB，可得AE=AD，据此判断③；先证Rt△BEG≌Rt△BEF（HL），可得BG=BF，再证Rt△CEG≌Rt△AEF（HL），可得AF=CG，利用线段的和差可得BA+BC=2BF，据此判断④.
三、解答题
14．（2023·泰州）如图，是五边形的一边，若垂直平分，垂足为M，且 ▲ ， ▲ ，则 ▲ ．
给出下列信息：①平分；②；③．请从中选择适当信息，将对应的序号填到横线上方，使之构成真命题，补全图形，并加以证明．
【答案】证明：根据题意补全图形如图所示：
垂直平分，
，（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等），
在与中，
，
，
，
在与中，
，
，
，
又，
，
即，
平分．
故答案为：②；③；①．
【知识点】线段垂直平分线的性质；角平分线的判定；三角形全等的判定（SSS）
【解析】【分析】利用垂直平分线的性质证得AC=AD、CM=DM，再通过SSS判定和，然后利用全等三角形的性质证得平分.
15．（2023八下·岳阳期末）如图，在中，分别平分、，点在线段上，求证：．
【答案】证明：如图：过C作，
∵平分， ，
∴，
在和中
，
∴，
∴，
同理可得：，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质
【解析】【分析】过C作，先根据角平分线的性质结合题意即可得到，进而运用三角形全等的判定与性质证明即可得到，同理可得：，从而结合题意即可求解。
四、综合题
16．（2023七下·东城期末）已知：直线被直线截于两点，且，点是直线上一定点，点是射线上一动点，连接，过点作交直线于点．
（1）如图，若点在线段上，和的平分线交于点．
①请写出和的数量关系，并证明；
②的度数为 ；
（2）若点在线段的延长线上，直接写出和的数量关系，不必证明．
【答案】（1）解：①；
证明如下：过点C作，如图所示：
∵，
∴，
∴，，
∴
∵，∴，
∴；
②∵，，
∴ ，
∵平分，平分，
∴，，
∴ ，
∴ ．
故答案为：．
（2）解：点在线段的延长线上时，如图所示：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质；角平分线的性质
【解析】【分析】（1） ① 根据平行线的性质可得∠ADC=∠DCF，∠BEC=∠ECF，由垂直的定义可得∠DCE=∠DCF+∠ECF=90°，进而可得∠ADC+∠BEC=90°；
② 根据平角的性质可得∠CDM=180°-∠ADC，∠PEC=180°-∠BEC，进而得到∠CDM+∠PEC=270°，根据角平分线的定义可得∠CDH+∠CEH=（∠CDM+∠PEC）=135°，再根据四边形的内角和即可求解；
（2）根据垂直的定义可得∠DCE=90°，进而得到∠ADC+∠DFC=90°，由平行线的性质可得∠CEB=∠DFC，利用等量代换即可求解。
17．（2023八下·分宜期末）我们规定：一组邻边相等且对角互补的四边形叫作“完美四边形”．
（1）在①平行四边形，②菱形，③矩形，④正方形中，一定为“完美"四边形的是 （请填序号）；
（2）在“完美”四边形中，，，连接．
①如图1，求证：平分；
小明通过观察、实验，提出以下两种想法，证明平分：
想法一：通过，可延长到，使，通过证明，从而可证平分；
想法二：通过，可将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，可证，，三点在一条直线上，从而可证平分．
请你参考上面的想法，选择其中一种想法帮助小明证明平分；
②如图2，当时，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）④
（2）解：①想法一：延长使，连接
∵，
，
∴．
∵，
∴．
∴；．
∴．
∴．
即平分
想法二：将绕点顺时针旋转，使边与边重合，得到，
∴．
∴；；．
∵，
∴．
∴点，，在一条直线上．
∵，
∴．
∴．
即平分
②延长使，连接，
由①得为等腰三角形．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】 （1）①平行四边形的两邻边不一定相等，不符合题意；
②菱形一组邻边相等，但对角相等不一定互补，不符合题意；
③矩形的两邻边不一定相等，不符合题意；
④正方形的组邻边相等且对角互补，符合题意；
故答案为④
【分析】（1）根据“完美四边形”的定义即可求出答案；
（2）①想法一：延长CB使BE=CD，连接AE，证明，再利用全等三角形的性质及等边对等角得出最后根据等量代换即可求出答案。
想法二：将绕点A顺时针旋转，使AD边与AB边重合，得到，得出，根据全等三角形的性质得出；AC=AE，再根据题意和邻补角得出点C，B，E在一条直线上，最后根据等边对等角及等量代换即可求出答案。
②延长CB使BE=CD，连接AE，由①得为等腰三角形.由得出，再根据勾股定理及AE=AC得出CE =2AC ，解得，最后根据线段的和与差及等量代换即可求出答案。
1 / 1
