苏州市2023-2024学年第一学期学业质量阳光指标调研卷数学试题（含解析）

苏州市2023-2024学年第一学期学业质量阳光指标调研卷数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设全集，集合，则
( )
A. B. C. D.
2.已知幂函数的图象过点，则函数的定义域为
( )
A. B. C. D.
3.“实数”是“函数在上具有单调性”的
( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.某数学兴趣小组为研究指数函数的“爆炸性增长”进行了折纸活动．一张纸每对折一次，纸张变成两层，纸张厚度会翻一倍．现假定对一张足够大的纸张其厚度等同于毫米的胶版纸进行无限次的对折．借助计算工具进行运算，整理记录了其中的三次数据如下：
折纸次数 纸张厚度 参照物
米 苏州东方之门的高度约为米
米 珠穆朗玛峰的高度约为米
万公里 地球直径约为万公里
已知地球到月亮的距离约为万公里，问理论上至少对折
次，纸张的厚度会超过地球到月亮的距离．( )
A. B. C. D.
5.已知一个扇形的周长为，面积为，则该扇形的圆心角的弧度数为
．( )
A. B. C. D.
6.已知，其中为第一象限角，则
( )
A. B. C. D.
7.已知为偶函数，对任意实数都有，当时，若函数的图象与函数的图象恰有个交点，则的取值范围是
．( )
A. B. C. D.
8.已知函数的图象过点，且在区间上具有单调性，则的最大值为
．( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，则
．( )
A. 当时，的值域为
B. 当时，的值域为
C. 当时，在上单调递增
D. 当时，在上单调递增
10.下列关系式成立的有．( )
A. B.
C. D.
11.已知，且，则
．( )
A. B. C. D.
12.已知，则
．( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.命题“，”的否定是 ．
14.写出满足条件“存在，使得”的一个实数的值为 ．
15.已知正数，满足，则的最小值为 ．
16.已知不等式对恒成立，则 ．
四、解答题：本题共6小题，共63分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知全集，集合，．
若，求；
若，求的取值范围．
18.本小题分
在平面直角坐标系中，已知角的终边经过点，其中．
求的值；
若为第二象限角，求的值．
19.本小题分
已知函数的图象过点，且相邻两条对称轴之间的距离为．
求函数的图象的所有对称轴方程；
若将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，求的单调递减区间．
20.本小题分
已知函数在上的最大值与最小值之积等于，设函数．
求的值，并证明为奇函数；
若不等式对恒成立，求实数的取值范围．
21.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，锐角的始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，过作单位圆的切线，与轴和轴分别交于两点．
若，求的周长；
若，求的面积．
22.本小题分
已知函数，其中．
判断的奇偶性直接写出结论，不必说明理由；
证明：当时，；
若函数有三个零点，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了集合的交，补混合运算，属于基础题．
先计算集合，再计算集合
【解答】
解：，
．
故答案选C．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查幂函数和函数的定义域，为基础题．
设幂函数为，代入得出，再由函数的解析式列出关于的不等式即可求解．
【解答】
解：设幂函数为 ，则 ，故 ， ，
则的定义域为，
故满足，解得
即的定义域为．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了充分、必要、充要条件的判断，以及二次函数的性质，属于基础题．
求出函数的对称轴，求出的范围，根据集合的包含关系求出答案即可．
【解答】
解：的对称轴是，
当在上具有单调性，则，即，
故“实数”是“函数在上具有单调性”的充分不必要条件．
故选A．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了指数函数模型的应用，属于中档题．
【解答】
解：设理论上对折次，纸张的厚度会超过地球到月亮的距离．
即，
由表格中的数据可知：万公里，
所以，
所以，即，
所以的最小值为．
则理论上至少对折次，纸张的厚度会超过地球到月亮的距离．
故选B．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查扇形的弧长公式与面积公式应用，属基础题．
设半径为 ，弧长为 ，由已知得出方程组 ，解方程组，然后根据弧长公式，求出圆心角，检验，即可得出答案．
【解答】
解：设扇形圆心角为 ，半径为 ，弧长为 ．
由已知可得， ，解得 ．
所以 ．
故选：．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查同角三角函数的基本关系，属于基础题．
等式两边同时除以，得到的方程，结合的范围即得．
【解答】
解：因为为第一象限角，所以，
原等式两边同时除以，得，
即，即，
所以或，
因为为第一象限角，，所以．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查函数性质以及图像交点问题，是中档题．
根据题意得到函数的周期以及对称性，从而得到其与的交点个数所需限制范围，解不等式即可得到．
【解答】
解：由题意为偶函数，对任意实数都有，则有的周期为，
又，函数关于对称
而，且则即为偶函数，
则函数的图象与函数，且的图象恰有个交点，
只需考虑时有三个交点即可，
因此有解得．
故选A．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查三角函数的图象与性质，意在考查逻辑推理能力、运算求解能力，属于中档题．
由的图象过点，知，在区间上单调递增，可得，或，即可得答案．
【解答】
解： 由的图象过点，得，即 ，
结合 ，知 ，
则 ，
所以有 ，或．
即 ，或，．
时，不合题意，
所以的最大值为．
故选C．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查函数的单调性与值域求解，属于基础题．
当时，由“双勾”函数的性质求解即可；当时有“双刀”函数的性质求解即可．
【解答】
解：当时，的定义域为，
结合对勾函数的性质可得：值域为或，
单调递减区间为，，单调递增区间为，
故A，C错误；
当时，的定义域为，
值域为，单调递增区间为，故BD正确．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查角与弧度制的互化，考查同角三角函数关系及诱导公式、比较大小，属于基础题．
通过弧度的三角函数值的范围，直接判断，，的大小关系即可判断，；利用同角三角函数关系及诱导公式，判断，．
【解答】
解： ，
，，故A正确、B错误．
，C正确；
，D错误．
故选：．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了基本不等式，对数函数，指数函数的单调性，属于中档题．
利用基本不等式和对数函数的单调性判断；利用基本不等式和指数幂的运算法则判断；利用基本不等式“乘法”判断；利用基本不等式以及指数函数的单调性判断．
【解答】
解：因为，，且，则，当且仅当，即，时取等号，
所以，则，
，当且仅当，时取等号，故A正确；
B.，当且仅当，即，时取等号，故B错误；
C.，当且仅当，即，时取等号，故C正确；
D.因为，当且仅当，即，时取等号，
所以，则，
所以，则，故D正确．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了对数的运算，对数函数的单调性，属于中档题．
利用对数的换底公式判断A正确，利用对数函数的单调性以及对数的运算得出，，的大小关系，即可得出选项．
【解答】
解：，故A正确；
因为，，故；
，故，
所以，故D正确．
故答案选
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查全称量词命题的否定，属于基础题；
根据全称量词命题的否定为存在量词命题即可得解．
【解答】
解：命题“，”是全称量词命题，其否定是．
故答案为：．
14.【答案】满足的的值均可
【解析】【分析】
本题考查函数最值，属于基础题．
令，，将条件转化为即得．
【解答】
解：即，
令，，
由单调性的运算，单调递增，，
条件可转化为，即，
故可取满足的的值均可．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查利用基本不等式求最值，属于基础题．
直接利用基本不等式即可求解．
【解答】
解：由题意，得，
当且仅当时，取等号，
故的最小值为．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查恒成立问题，考查解析式的确定，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
分类讨论，求出的范围，再结合正弦函数的性质得出结论．
【解答】
解：若，，所以，
所以，
又恒成立，
所以且，解得，
若，，所以，
则有 ，此时，
综上所述，．
故答案为：．
17.【答案】解：集合，时，，
，或
．
，，
因为，所以，
则
所以，．
【解析】本题考查集合的运算和含参数的并集运算问题，属于基础题．
求出，，由集合的运算即可求解
由题意得，然后列出不等式组，即可求解．
18.【答案】或
【解析】【分析】
本题考查了任意角的三角函数定义，属于中档题．
由题意求出点到坐标原点的距离，根据三角函数的定义，可得的值
根据三角函数的定义，为第二象限角，所以，，代入计算即可求解．
【解答】
解：点到坐标原点的距离，
根据三角函数的定义，可得或．
根据三角函数的定义，为第二象限角，所以，，
所以．
19.【答案】解： 相邻两条对称轴间的距离为，
周期为，即 ，所以 ，
又的图象过点， ，
又， ，

由，得
函数的图象的所有对称轴方程为．
将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，得：，
即．
由，得，
又，所以或．
在上的单调递减区间为或．

【解析】本题考查三角函数的图象和性质，包含函数图像的平移变换，属一般题．
根据相邻对称轴间的距离等于半个周期，求出，根据经过的特殊点坐标，求出，进而确定函数的解析式，求出函数的图象的所有对称轴方程；
根据图象平移变换法则得到的解析式，然后根据三角函数的性质求解．
20.【答案】解：因为函数，且在上的最大值与最小值之积等于，
所以，解得；
时，，所以，
所以，所以为奇函数；
，
因为，所以，
所以，所以，
因为不等式对恒成立，
所以，
所以．
【解析】本题考查指数函数的最值，考查函数奇偶性的判断，考查恒成立问题，属于中档题．
利用指数函数的性质求出，利用函数的奇偶性判断得出结论；
求出的最大值，进而可得结论．
21.【答案】解：由题意可得，，
所以直线：，即，
则，，
所以的周长
因为，
所以且，
解得负值舍去，
所以，
所以的面积为．
【解析】本题考查任意角的三角函数的应用，属于中档题．
根据题意得出点坐标，得出直线的斜率，进而得到直线的方程，求出，点坐标，得出即可；
由，可得，求出，，计算三角形面积即可．
22.【答案】解：当时，函数是上的偶函数；
当时，在上是非奇非偶函数；
因为，
当且仅当即时取“”，
所以，
当且仅当时取“”．
综上所述，当时，
令，则由，得：，
因为当时，方程有唯一根，这时方程无解；
当时，方程无解；
所以不合条件．
当时，
因为图象的对称轴为，所以在上递增，
所以在上至多有个零点
因为图象的对称轴为，
所以在上至多有个零点．
问题等价于在上有且仅有个零点，在上有且仅有个零点，
所以且，解得．
即实数的取值范围为
【解析】本题考查函数的奇偶性，绝对值的性质，函数与方程的解，属于较难题．
根据和分别写出即可；
利用绝对值不等式的性质即可完成证明；
令，则由，得：，所以问题等价于方程有三个不等正实根，讨论可知不合条件，当时，且，即可求出实数的取值范围．
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