1.1 锐角三角函数 预习自测(含解析)北师大版九年级数学下册

1.1 锐角三角函数
一、选择题：
1.在中，，，，则的值为( )
A. B. C. D.
2.在中，，，，则的值为( )
A. B. C. D.
3.在中，，，，那么的值等于( )
A. B. C. D.
4.如图，在中，，于点，则下列结论中不正确的是( )
A. B. C. D.
5.如图，在平面直角坐标中，点的坐标为，则射线与轴正方向所夹锐角的余弦值为：( )
A. B. C. D.
6.如图，在中，，，则( )
A. B. C. D.
7.如图，的顶点均在正方形网格的格点上，则的值为( )
A.
B.
C.
D.
8.中，，，，那么等于( )
A. B. B. C. D.
9.如图，在矩形中，点在上，将矩形沿折叠，使点落在边上的点处．若，，则的值为( )
A. B. C. D.
10.如图是拦水坝的横断面，斜坡的水平宽度为米，斜面坡度为，则斜坡的长为( )
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
二、填空题：
11.在中，，若，则的值为______ ．
12.如图，在中，，，则 ______ ．
13.在中，，，，则 ．
14.如图，在正方形网格中，的顶点均在格点网格线交点上，则的值为______ ．
15.如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形，其中，，，则高约为 结果精确到，参考数据：，，．
16.如图，在中，，，，则____．
17.如图，在中，，点为边的中点，连结若，，则的值为 ．
18.如图，在中，，，直尺的一边与重合，另一边分别交，于点，点，，，处的读数分别为，，，，则直尺宽的长为 ．
19.如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点．点、、、均在格点上，与相交于点，则的余弦值为____．
20.如图，的三个顶点分别在边长为的正方形网格的格点上，则______ 填“”“”“”
三、解答题：
21.在中，，求的正弦、余弦和正切值．
22.如图，已知在中，，，求的长和的值．
23.如图，在中，，为上的一点，，求的三个三角函数值．
24.如图，已知在中，为锐角，是边上的高，， ．
求的长；
求的正弦值．
25.如图，在中，，为上一点，，点为中点．
求证：∽；
若，，求的长．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】直接利用锐角三角函数关系得出答案．
【详解】解：在 中， ， ， ，

故选D．
【点睛】此题主要考查了锐角三角函数关系，正确掌握边角关系是解题关键．
2.【答案】
【解析】解：，，，
，
．
故选：．
本题需先根据已知条件，得出的长，再根据正切公式即可求出答案．
本题主要考查了锐角三角函数的定义，在解题时要根据在直角三角形中，正切等于对边比邻边这个公式计算是本题的关键．
3.【答案】
【解析】【分析】
根据锐角三角函数的定义解答即可．
本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的正弦，余弦，正切，余切是解题的关键．
【解答】
解：在中，，，，，
故选：．
4.【答案】
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了勾股定理和锐角三角函数的定义的应用，主要考查学生的计算能力．画出图形，根据勾股定理求出，根据锐角三角函数的定义求出即可．【解答】
解：过作轴于，
，
，，
由勾股定理得：，
的余弦值是，
故选C．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了勾股定理，锐角三角函数的定义，熟练掌握勾股定理，能根据锐角三角函数的定义得出是解题的关键．
设，则，根据勾股定理求出，再根据锐角三角函数的定义求出答案即可．
【解答】
解：设，则，
在中，，，
，
．
故选C．
7.【答案】
【解析】解：如图，连接小正方形的对角线，
设每个小正方形的边长为，
则由勾股定理得，，
，
即，
是直角三角形，
．
故选：．
连接小正方形的对角线，证明是直角三角形，再利用正切的定义求解即可．
本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．灵活运用勾股定理和锐角三角函数是解决问题的关键．
8.【答案】
【解析】【分析】
首先利用锐角三角函数的定义求出斜边的长度，再运用勾股定理即可求解．
本题主要考查了锐角三角函数的定义：在直角三角形中，锐角的余弦为邻边比斜边，同时考查了勾股定理．
【解答】
解：在中，，，，
，
．
故选：．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了锐角三角函数的定义，翻折变换，矩形的性质，勾股定理，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
先根据矩形的性质得，，再根据折叠的性质得，，在中，利用勾股定理计算出，则，设，则，然后在中根据勾股定理得到，解方程即可得到，进一步得到的长，再根据正切的定义即可求解．
【解答】
解：四边形为矩形，
，，
矩形沿直线折叠，顶点恰好落在边上的处，
，，
在中，，
，
设，则，
在中，
，
，
解得，
，
，
故选：．
10.【答案】
【解析】如图，过作于点．斜面坡度为，米，米在中，米故选B．
11.【答案】
【解析】解：，，
，
故答案为：．
由正弦的定义可直接求解．
本题考查了锐角三角函数，掌握正弦的定义是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：，，
设，则，
，
．
故答案为：．
设，则：，勾股定理求出的长，利用，求解即可．
本题考查求一个角的正弦值．牢记正弦的定义是解题的关键．
13.【答案】
【解析】由勾股定理得，，所以，故答案为．
14.【答案】
【解析】解：正方形网格中，的顶点均在格点上，
，，，
，
，
故答案为：．
直接根据图象计算即可．
本题考查了锐角三角函数的概念，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查等腰三角形的性质、锐角三角函数，熟练掌握等腰三角形的性质是解答的关键．
先根据等腰三角形的三线合一性质得到的长，再利用正切定义求解即可．
【解答】
解：，，，
，
在中，，
，
故答案为：．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐角的对边与斜边的比叫做的正弦是解题的关键．
根据正弦的定义解答即可．
【解答】
解：在中，，，，
则，
故答案为：．
17.【答案】
【解析】解：过点作，垂足为，
，，
，
又点为边的中点，
，
在中，，
故答案为：．
过点作，由平行线平分线段定理可得是的中点，再根据三角函数的定义，可求出答案．
本题考查直角三角形的边角关系，理解直角三角形的边角关系是得出正确答案的前提，作高构造直角三角形是常用的方法．
18.【答案】
【解析】【分析】
本题考查锐角三角函数，二次根式的减法运算，正确求出，的长是解本题的关键．
先利用锐角三角函数求解 再利用线段的和差可得答案．
【解答】
解：由题意可得：

同理：

故答案为：
19.【答案】
【解析】【分析】
此题考查了勾股定理，锐角三角函数的定义，相似三角形的判定及性质等知识点，作于，由可证∽，则可得，由此可求出的长，再在中根据面积法求出的长，再根据勾股定理求出的长，即可求出的余弦值，由于，因此可得的余弦值．
【解答】
解：作于，
，
，，
∽，
，
．
中，，
．
，
，
解得，
．
，
．
20.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是特殊角的三角函数值、锐角三角函数的定义以及等腰直角三角形的性质，熟记特殊角的三角函数值、正确理解锐角三角函数的定义是解题的关键．
根据正切的概念和正方形网格图求出和，根据等腰直角三角形的性质和的值求出，比较即可．
【解答】
解：由正方形网格图可知，，，
则，
，，
，
，
，
故答案为：．
21.【答案】，，
22.【答案】解：，，，
，
．
答：的长为，的值为．
【解析】根据勾股定理求的长，根据正弦的定义求的值．
本题考查了勾股定理，锐角三角函数的定义，掌握锐角三角函数中正弦函数定义是解题的关键．
23.【答案】解：在中，、，
，
又，
，
则，
，
．
【解析】在中由勾股定理求得，在中求得，再根据三角函数的定义求解可得．
本题主要考查锐角的三角函数的定义，解题的关键是掌握勾股定理及三角函数的定义．
24.【答案】解：是边上的高，
，
在中，，，
，
，
，
，
；
过点作于，
，，，，
，
．
【解析】本题主要考查勾股定理，三角形的面积，锐角三角函数的定义．
利用锐角三角函数的定义求解，再通过勾股定理可求解，的长；
过点作于，利用三角形的面积可求解的长，再利用锐角三角函数的定义可求解．
25.【答案】证明：，为的的中点，
，
又，
∽
在中，，设，则，
，
，
，
在中，，
，则，
，为的的中点，
，
．
【解析】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
根据相似三角形的判定求解
根据锐角三角函数的定义求解