2024年中考数学专题训练——圆的综合（含答案）

2024年中考数学专题训练——圆的综合
1．如图，是的直径，点，在上，，交于点，．
（1）求的度数；
（2）若是的切线，与的延长线交于点，．直接写出图中阴影部分的面积．
2．如图，已知 是 的直径， ， 与圆交于点 ，过点 作 于点 ，与 的延长线交于点 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 半径长为3， ，求 的长；
（3）若 与圆交于点 ， 为 的中点， ，求 的度数．
3．如图，在Rt△ 中， ， 平分∠ ， 交 于点 ，△ 的外接圆⊙ 与边 相交于点 ，过点 作 的垂线交 于 ，交 于 ，交⊙ 于点 ，连接 ．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若sin∠G= ，AB=16，求⊙O的直径．
4．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，0），B是y轴正半轴上的一个动点，以OA为直径作圆，交AB于点C.
（1）求证：△AOB∽△ACO；
（2）当∠OAB＝30°时，求点C到x轴的距离；
（3）求 的最大值.
5．在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点分别为A（0，1），B（-1，0），C（0，-1），D（1，0）.对于图形M，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为正方形ABCD边上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最大值，那么称这个最大值为图形M的“正方距”，记作d（M）.
（1）已知点E（0，4），
①直接写出d（点E）的值；
②直线y=kx+4（k≠0）与x轴交于点F，当d（线段EF）取最小值时，求k的取值范围；
（2）⊙T的圆心为T(7，t)，半径为1.若d(⊙T)＜11，请直接写出t的取值范围.
6．AB是⊙O的直径，C点在⊙O上，F是AC的中点，OF的延长线交⊙O于点D，点E在AB的延长线上，∠A＝∠BCE.
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若BC＝BE，判定四边形OBCD的形状，并说明理由.
7．如图， 是半圆 的直径， 是半圆 上不同于 、 两点的任意一点， 是半圆 上一动点， 与 相交于点 ， 是半圆 所在圆的切线，与 的延长线相交于点 ．
（1）若 ，求证： ；
（2）若 ， ， ．求 ；（答案保留 ）
（3）若 ， 为 的中点，点 从 移动到 时，请直接写出点 移动的长度．（答案保留 ）
8．如图， 是 的直径，点 在 的延长线上， 、 是 上的两点，且 ，连接 ， .
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ， ，求弦 的长.
9．如图，AC是⊙O的直径，PA、PB是⊙O的切线，切点分别是点A、B．
（1）如图1，若∠BAC＝25°，求∠P的度数．
（2）如图2，若M是劣弧AB上一点，∠AMB＝∠AOB，BC＝2，求AP的长．
10．如图，A，B，C是⊙O上三点，其中 ＝2 ，过点B画BD⊥OC于点D.
（1）求证：AB＝2BD；
（2）若AB＝4 ，CD＝2，求图中阴影部分的面积.
11．如图①,AB是圆O的一条弦,点C是优弧 上一点.
（1）若∠ACB=45°,点P是O上一点(不与A． B重合)，则∠APB=　 　；
（2）如图②,若点P是弦AB与 所围成的弓形区域(不含弦AB与 )内一点.求证：∠APB>∠ACB；
（3）请在图③中直接用阴影部分表示出在弦AB与 所围成的弓形区域内满足
的点P所在的范围；
（4）在（1）的条件下，以PB为边，向右作等腰直角三角形PBQ，连结AQ，如图4，已知AB=2，
①当点Q在线段AB的延长线上时，线段AQ的长为　 　
②线段AQ的最小值为　 　
12．如图1，直线l： 与x轴交于点 ，与y轴交于点B，点C是线段OA上一动点 以点A为圆心，AC长为半径作 交x轴于另一点D，交线段AB于点E，连结OE并延长交 于点F．
（1）求直线l的函数表达式和 的值；
（2）如图2，连结CE，当 时，
求证： ∽ ；
求点E的坐标；
（3）当点C在线段OA上运动时，求 的最大值．
13．如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，过点D作DF⊥AC于点F，交 AB 的延长线于点G.
（1）求证：DF 是⊙O的切线；
（2）若CF=1，∠ACB=60°，求图中阴影部分的面积.
14．已知圆O圆心为坐标原点，半径为 ，直线 交x轴负半轴于A点，交y轴正半轴于B点.
（1）求 .
（2）设圆O与x轴的两交点是 ，若从 发出的光线经 上的点M反射后过点 ，求光线从 射出经反射到 经过的路程.
（3）点P是x轴负半轴上一点，从点P发出的光线经 反射后与圆O相切.若光线从射出经反射到相切经过的路程最短，求点P的坐标.
15．已知：△ABC内接于⊙O，连接CO并延长交AB于点E，交⊙O于点D，满足∠BED=3∠ACD．
（1）如图1，求证：AB=AC；
（2）如图2，连接BD，点F为弧BD上一点，连接CF，弧CF=弧BD，过点A作AG⊥CD，垂足为点G，求证：CF+DG=CG；
（3）如图3，在（2）的条件下，点H为AC上一点，分别连接DH、OH，OH⊥DH，过点C作CP⊥AC，交⊙O于点P，OH：CP=1： ，CF=12，连接PF，求PF的长．
16．已知：如图，△ABC内接于⊙O，AF是⊙O的弦，AF⊥BC，垂足为D，点E为弧BF上一点，且BE=CF，
（1）求证：AE是⊙O的直径；
（2）若∠ABC=∠EAC，AE=8，求AC的长．
17．
（1）问题提出
如图1，在 中， ， ， ，求 的外接圆半径R的值；
（2）问题探究
如图2，在 中， ， ， ，点D为边BC上的动点，连接AD以AD为直径作 交边AB、AC分别于点E、F，接E、F，求EF的最小值；
（3）问题解决
如图3，在四边形ABCD中， ， ， ， ，连接AC，线段AC的长是否存在最小值，若存在，求最小值：若不存在，请说明理由.
18．在平面直角坐标系中，对于两个图形X，Y和直线，若在图形X上存在点A，在图形Y上存在点B，使得点A和点B关于直线对称，就称图形X和Y互为m-关联．
（1）若的半径为1，点与为m-关联，则m的值为　 　；
（2）已知点，射线与线段为t-关联，求t的取值范围；
（3）已知的半径为2，直线与x轴，y轴分别交于点C，D，若关于对称的图形S与线段CD互为2m-关联，直接写出m的取值范围．
19．已知 是 的直径，点 为 上一点，点 为 的内心， ．
（1）如图1，连接 并延长交 于点 ，连接 ，若 ，求证： ；
（2）如图2，点 为 的中点，连接 ， ，过点 作 于点 ，若 ，求 的长．
20．对于平面直角坐标系xOy中的图形W1和图形W2．给出如下定义：在图形W1上存在两点A，B（点A，B可以重合），在图形W2上存在两点M，N，（点M于点N可以重合）使得AM=2BN，则称图形W1和图形W2满足限距关系
（1）如图1，点C(1，0)，D(-1，0)，E(0， )，点P在线段DE上运动(点P可以与点D，E重合)，连接OP，CP．
①线段OP的最小值为　 　，最大值为　 　；线段CP的取值范直范围是　 　；
②在点O，点C中，点　 　与线段DE满足限距关系；
（2）如图2，⊙O的半径为1，直线 (b>0)与x轴、y轴分别交于点F，G．若线段FG与⊙O满足限距关系，求b的取值范围；
（3）⊙O的半径为r(r>0)，点H，K是⊙O上的两个点，分别以H，K为圆心，1为半径作圆得到⊙H和¤K，若对于任意点H，K，⊙H和⊙K都满足限距关系，直接写出r的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】（1）解：∵为的直径，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
（2）解：所求阴影面积==．
2．【答案】（1）证明：如图，连接 ，
∵ ，∴ ，
又∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，
又∵ 在圆上（ 为半径），∴ 是 的切线
（2）解：由（1）得 ，∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∵ ，∴ ，
∴ ，∴
（3）解：如图，连接 ，
∵ 为 的中点，且 ，
∴ 垂直平分 ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∴
3．【答案】（1）证明：连结OD，
∵DE⊥AD，
∴AE是⊙O的直径，即点O在AE上．
∵AD是角平分线，
∴∠CAD=∠BAD，
∵OA=OD，
∴∠BAD=∠ADO．
∴∠CAD=∠ADO．
∴OD∥AC．
∴∠ODB=∠C=90°．
∴OD⊥BC．
∵点D在⊙O上，
∴BC是⊙O的切线．
（2）解：∵OD∥AC，
∴∠DOB=∠EAF．
∵∠G=∠EAF，
∴∠DOB=∠G．
∴sin∠DOB=sin∠G= ．
设BD=4k，则 OD=OE =3k，
在Rt△OBD中，由勾股定理得 ，
解得， ， (舍去)，
∴3k=6，即OD=6．
∴⊙O的直径为12．
4．【答案】（1）证明：∵OA为直径，
∴∠OCA＝90°，
又∵∠BAO＝∠OAC，∠BOA＝90°，
∴△AOB∽△ACO；
（2）解：过点C作CD⊥x轴，垂足为D，如图：
∵A（4，0），
∴OA＝4.
在Rt△OAC中，∠OAC＝30°，
∴ ，
在Rt△DAC中，∠DAC＝30°，
∴ ，
即点C到x轴的距离为 ；
（3）解：过点C作CD⊥x轴，垂足为D，如图：
∵∠ABO＝90°﹣∠BOC，∠COD＝90°﹣∠BOC，
∴∠ABO＝∠COD，
且∠CDO＝∠AOB＝90°，
∴△COD∽△ABO，
∴ .
∵直径OA＝4为定值，
∴当CD最大，即CD为半径时， 取得最大值，此时CD的最大值为2，
∴ 的最大值为 .
5．【答案】（1）解：①∵正方形ABCD的顶点分别为A（0，1），B（-1，0），C（0，-1），D（1，0），点E（0，4）在y轴上，
∴点E到正方形ABCD边上C点间的距离最大值，EC=5，
即d（点E）的值为5；
②如图1所示：∵d（点E）=5，
∴d（线段EF）的最小值是5，
∴符合题意的点F满足d（点F）≤5，
当d（点F）=5时，BF1=DF2=5，
∴点F1的坐标为（4，0），点F2的坐标为（-4，0），
将点F1的坐标代入y=kx+4得：0=4k+4，
解得：k=-1，
将点F2的坐标代入y=kx+4得：0=-4k+4，
解得：k=1，
∴k=-1或k=1.
∴当d（线段EF）取最小值时，EF1直线y=kx+4中k≤-1，EF2直线y=kx+4中k≥1，
∴当d（线段EF）取最小值时，k的取值范围为：k≤-1或k≥1；
（2）解：⊙T的圆心为T（7，t），半径为1，
当d（⊙T）=11时，如图2所示：
BM=BN=11，OH=7，
∴T1B=T2B=10，BH=OB+OH=1+7=8，
∴T1H= ，T2H= ，
∴t的取值范围为：-6＜t＜6.
6．【答案】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACO+∠BCO＝90°，
∵OC＝OA，
∴∠A＝∠ACO，
∴∠A+∠BCO＝90°，
∵∠A＝∠BCE，
∴∠BCE+∠BCO＝90°，
∴∠OCE＝90°，
∴CE是⊙O的切线
（2）解：四边形OBCD是菱形，
理由：∵BC＝BE，
∴∠E＝∠ECB，
∵∠BCO+∠BCE＝∠COB+∠E＝90°，
∴∠BCO＝∠BOC，
∴BC＝OB，
∴△BCO是等边三角形，
∴∠AOC＝120°，
∵F是AC的中点，
∴AF＝CF，
∵OA＝OC，
∴∠AOD＝∠COD＝60°，
∵OD＝OC，
∴△COD是等边三角形，
∴CD＝OD＝OB＝BC，
∴四边形OBCD是菱形.
7．【答案】（1）证明：∵ 是半圆 的直径
∴
在 和 中
∴ ，
∴ ；
（2）解：连接 ．
∵ ，由（1）知 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵ 是半圆 所在圆的切线，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∴ ．
（3）解：连接OH，
∵H是AC中点，则OH⊥AC，
故H在以AO为直径的圆上运动，
当点 在 点时，点H与点O重合，
当点C在A点时，点H与点A重合，
所以，点 移动的长度是以 为直径的圆的周长一半，
即L= ．
8．【答案】（1）证明：如图，连接 ，
∵ 是 的直径，
∴ 。
∴ .
∵
∴ .
∵ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ .
∵ ，
∴ ，∴ ，
又∵ 为 的半径，
∴ 是 的切线；
（2）解：∵ ，
∴
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
得 ，
在 中，由勾股定理可得： ，
解得： ，
∴
9．【答案】（1）解：∵PA、PB是的切线，AC是的直径，
∴，，
∴，．
∵，
∴，
在中，．
（2）解：∵四边形ACBM内接于，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∵AC为的直径，
∴，，
∴．
又∵，
∴为等边三角形，
∴，
在中，，，，
∴，则，
∴.
10．【答案】（1）证明：如图，延长BD交⊙O于E，
∵BD⊥OC，
∴BE＝2BD， ＝2 ，
∵ ＝2 ，
∴ ＝ ，
∴AB＝BE，
∴AB＝2BD；
（2）解：如图，连接OB，
设⊙O 的半径为r，
∵AB＝4 ，CD＝2，
∴BD＝2 ，
在Rt△OBD中，r2＝（r﹣2）2+（2 ）2，
解得：r＝4，
∵sin∠BOC＝ ＝ ，
∴∠BOC＝60°，
∴阴影部分的面积＝ ﹣ ×2＝ π﹣2 .
11．【答案】（1）45°或135°
（2）解：如图②所示，
延长AP交圆O于点Q，连接BQ，则 ，
∵
∴∠APB＞∠PQB，即∠APB＞∠ACB；
（3）解：连接AO，BO，作 的外接圆，即可得到所求的阴影部分；
（4）4；
12．【答案】（1）解： 直线l： 与x轴交于点 ，
， ，
直线l的函数表达式 ， ， ， ，
在 中，
（2）解： 如图2，连接DF，
， ， ，
， ，
四边形CEFD是 的圆内接四边形， ， ，
， ∽ ，
过点 EM⊥OA于M，由 知， ，
设 ，则 ， ， ， ， ，
，由 知， ∽ ， ，
，
，
，
，
舍 或 ，
， ，
（3）解：如图，
设 的半径为r，过点O作 于G，
， ，
， ，
，
，
，
，
，
连接FH，
是 直径，
， ，
，
∽ ，
，
，
时， 最大值为 ．
13．【答案】（1）证明：如图，连接，
由题意知，
∵
∴是线段的中点
∴是的中位线
∴
∵
∴
∴
又∵是半径
∴DF 是⊙O的切线.
（2）解：∵，
∴，
∴，是等边三角形
∵
∴
∵
∴，
∴，
∴
∵，
∴
∴，即
解得
∵
∴阴影部分的面积为.
14．【答案】（1）解： 直线 交 轴负半轴于 点，交 轴正半轴于 点，
令 ，则 ，
令 ，则 ，
， ，
， ，
在 中， ，
（2）解： 圆 与 轴的两交点是 ， ，半径为 ，
，
由对称性可知，点 关于 的对称点 在过点 且倾斜角为 的直线 上，如图1所示：
则 ，
在△ 中， ， ， ，
△ 为直角三角形，
，
光线从 射出经反射到 经过的路程为：
（3）解：由对称性可知，点 关于 的对称点 在过点 且倾斜角为 的直线 上，
设光线经 上的点 反射后切点为 ，如图2所示：
则 ，
路程最短即为 上点 到切点 的切线长最短，
连接 、 ，
在 中， 是定值，只有 最短时， 长最短，
此时 应为过原点 且与 垂直的直线与 的交点，这一点又与点 关于 对称，
，
点 的坐标为
15．【答案】（1）证明：如图1，设∠BEC=3
∴∠BAC=∠BEC-∠ACD=3 - =2
连接AD，∵∠DAC=90°
∴∠D=90°-
∴∠B=∠D=90°-
∵∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=180°-2 -（90°- ）=90°-
∴∠ABC=∠ACB
∴AB=AC
（2）解：如图2，在CD上取一点Z，使CZ=BD
∵BD=CD，∴DB=CF
∵∠DBA=∠DCA，CZ=BD，AB=AC，
∴
∴AD=AZ，∵AG⊥CD，∴DG=GZ
∴CG=CZ+GZ=CF+DG
（3）解：如图3,连接AP，∵∠ACP=90°
∴AP为直径
作PR⊥PC，∴PR=RC，∠ORC=90°；作OK⊥AC，∴∠OKC=90°
∴∠OKC=∠ORC=∠ACP=90°
∴四边形OKCR为矩形
∴RC=OK
∵OH：CP=1：
设OH= ，PC=2a，∴RC=OK=a，sin∠OHK= =
∴∠OHK=45°
∵OH⊥DH，∴∠DHO=90°
∴∠DHA=180°-90°-45°=45°
∵CD为直径，∴∠DAC=90°
∴∠ADH=90°-45°=45°
∴∠DHA=∠ADH，∴AD=AH，∵∠COP=∠AOD
∴AD=PC，∴AH=AD=PC=2a
∴AK=AH+HK=2a+a=3a，在 中
tan∠OAK=
AO= = =
∴sin∠OAK=
∵∠ADG+∠DAG=90°，∴tan∠ACD=tan∠DAG=tan∠OAK=
∴AG=3DG，CG=3AG
∴CG=9DG
由（2）可知，CG=DG+CF，∴DG+12=9DG
∴DG= ,
∴
又∵sin∠F=sin∠OAK，作CT⊥FP，垂足为T
∴sin∠F= =
∴CT=
16．【答案】（1）证明：∵BE=CF，
∴弧BE=弧CF，
∴∠BAE=∠CAF，
∵AF⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴∠FAC+∠ACD=90°，
∵∠E=∠ACD，
∴∠BAE+∠E=90°，
∴∠ABE=90°，
∴ AE是⊙O的直径 .
（2）解：连结OC，
∴∠AOC=2∠ABC，
∵∠ABC=∠CAE，
∴∠AOC=2∠CAE，
∵OA=OA，
∴∠CAO=∠ACO=∠AOC，
∴△AOC为等腰直角三角形，
∵AE=8，
∴AO=CO=4，
∴AC=.
17．【答案】（1）解：如图1中，作 的外接圆，连接OA，OC.
，
又 ，
，
又∵ ，
，
的外接圆的R为6；
（2）解：如图2中，作 于H.
， ，
，
，
当直径AD的值一定时，EF的值也确定，
根据垂线段最短可知当AD与AH重合时，AD的值最短，此时EF的值也最短，
如图 中，当 时，作 于H，连接OE，OF.
， ， ，
， ，
，
，
的最小值为12；
（3）解：如图3中，将 绕点A顺时针旋转 得到 ，连接EC，作 交CB的延长线于H，设 .
， ，
， ，
的值最小时，AC的值最小，
，
，
，
，
，
， ，
， ，
，
，
当 时，EC的长最小，
此时 ，
，
的最小值为 .
18．【答案】（1）1.5或0.5
（2）解：如图所示：
设线段l：的左右两个端点分别为，，与轴交于点，
设的解析式为：，
则：，解得：，
∴OA的解析式为：，
设点Q为上的一个动点，在点Q从左到右运动过程中，
在射线上存在一点P，使得P和Q关于直线对称，
当点与点G重合时，为第一个临界位置，此时，
当时，直线上对应点为点H，可得，
在第二个临界位置，点P和点H重合时，此时可得，
综上可知：t的取值范围为；
（3）解：∵直线与x轴，y轴分别交于C，D，
令，则，令，则，
∴，
∴，，
∴，
设关于对称的图形为S，则S的圆心为，半径为2的圆，
圆S与线段互为-关联，如图所示：
若线段CD上存在一点P，圆S上存在一点Q，
则P、Q关于直线对称，
即过圆心的直线是线段的垂直平分线，
∴根据垂径定理，只要圆S与线段CD相交，则交点为点P，
此时在圆S上一定存在一点Q与点P关于直线对称，
当圆S向下运动时，如图所示：
当圆S经过点时，圆S的圆心为，半径为2，
此时，解得：，
圆S在上图基础上继续向上运动，如图所示：
当圆S经过点C时，
∵，
∴点S与点D重合，
此时，解得：，
∴m的取值范围为：；
当圆S从上图位置继续向上运动时，如图所示：
当圆S经过点D时，
∵，
∴为等边三角形，
∴，解得：，
当圆S从上图位置继续向上运动时，如图所示，
当圆S与线段CD相切时，设切点为K，
在中，，，
∴，
解得：，
又∵，
∴，
∴，
解得：，
∴m的取值范围为：；
综上可知，m的取值范围为：或．
19．【答案】（1）证明：∵ 是直径，
∴ ．
∵ 是 的内心，
∴ ，
．
∴ ．
∴ ，
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴
（2）解：连接 ，过点 作 于点 ，
∵ 为 的直径，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵点 为 的中点，
∴ ，
∵点 是 的内心，
∴点 在 上，
∵ ，
∴ ，GE是 的内切圆半径，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵点 为 的中点，
∴ ，
∵点 是 的内心，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
20．【答案】（1）；；；O
（2）解：直线 与x轴、y轴分别交于点F，G（0，b），
当0＜b＜1时，线段FG在⊙O内部，与⊙O无公共点，
此时⊙O上的点到线段FG的最小距离为1-b，最大距离为1+b，
∵线段FG与⊙O满足限距关系，
∴1+b≥2（1-b），
解得 ，
∴b的取值范围为 ．
当1≤b≤2时，线段FG与⊙O有公共点，线段FG与⊙O满足限距关系，
当b＞2时，线段FG在⊙O的外部，与⊙O没有公共点，
此时⊙O上的点到线段FG的最小距离为 ，最大距离为b+1，
∵线段FG与⊙O满足限距关系，
∴ ，
而 总成立，
∴b＞2时，线段FG 与⊙O满足限距关系，综上所述，b的取值范围为
（3）解：r的取值范围为0＜r≤3