2023-2024学年人教版初中数学七年级下册5.1.2 垂线 同步分层训练培优题
一、选择题
1．如图，直线m，n，l相交，并且m⊥n，∠1=48°，则∠3的度数为（ ）
A．52° B．42° C．48° D．58°
【答案】B
【知识点】垂线；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵直线m与n相交，
∴∠1=∠2=48°，
∵m⊥n，
∴∠2+∠3=90°，
∴∠3=90°-48°=42°.
故答案为：B.
【分析】根据对顶角相等得出∠2=∠1=48°，再根据垂直的定义得出∠2+∠3=90°，即可求出∠3=42°.
2．如图，直线AB，CD相交于点E，EF⊥AB于点E，若∠FEC-∠AEC=20°，那么∠AED的度数为（ ）
A．125° B．135° C．140° D．145°
【答案】D
【知识点】角的运算；垂线；邻补角
【解析】【解答】解：设∠'AEC为x，则∠FEC=x+20°．
∵EF⊥AB，
∴∠AEF=90°，
∴∠AEC+∠FEC= 90°，
∴x+x+20°=90°，
解得：x=35°，
即∠AEC=35°，
∴∠AED=180°-35°=145°．
故答案为：D.
【分析】设∠AEC为x，则∠FEC=x+20°；由垂直可得∠AEC+∠FEC=90°，得出x+x+20°=90°，求出x=35°，根据两个角有一条公共边，他们的另一条边互为反向延长线。具有这种关系的两个角叫做邻补角， 互为邻补角的两个角相加的和为180°；即可求出∠AED=180°-35°=145°．
3．（2023七下·花都期末）如图，在三角形ABC中，∠C=90°，AC=5，点P是BC边上的动点，则AP的长不可能是（ ）
A．4.5 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【知识点】垂线段最短
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，AC=5，P是BC边上的动点，
∴AP≥5，
∴AP的长不可能为4.5.
故答案为：A.
【分析】根据垂线段最短的性质可得：AP≥5，据此判断.
4．（2023七下·濮阳期末）如图，在测量跳远成绩的示意图中，直线是起跳线，则需要测量的线段是（ ）
A．AE B．AC C．AD D．BE
【答案】B
【知识点】垂线段最短
【解析】【解答】解：需要测量的线段是AC.
故答案为：B.
【分析】跳远成绩的测量方法：后脚跟到起跳线的距离，据此解答.
5．（2023七下·柳州期末）直线上有A、B、C三点，直线外有一点，若，那么点到直线的距离（ ）
A．等于 B．小于
C．不大于 D．大于且小于
【答案】C
【知识点】垂线段最短；点到直线的距离
【解析】【解答】解：∵2＜5，2＜3，
∴点P到直线l的距离最大可能是2，
也可能小于2，（大于0），
故答案选C.
【分析】根据“过直线外一点，和直线上所有点的连线段中，垂线段最短”，结合题目，垂线段最大可能是2，也可能小于2.
6．（2023七下·石家庄期中）如图，点A在直线l1上，点B，C在直线l2上，AB⊥l2于点B，AC⊥l1于点A，AB＝4，AC＝5，则下列说法正确的是（ ）
A．点B到直线l1的距离等于4 B．点A到直线l2的距离等于5
C．点B到直线l1的距离等于5 D．点C到直线l1的距离等于5
【答案】D
【知识点】点到直线的距离
【解析】【解答】解：∵AB⊥l2于点B，AC⊥11于点A，AB＝4，AC＝5，
∴点A到直线 l2 的距离等于4，点C到直线 l1 的距离等于5，
故答案为：D.
【分析】根据点到直线的距离的定义，结合图形判断求解即可。
7．（2023七下·龙马潭期中）下列说法中正确的是（ ）
A．有且只有一条直线与已知直线垂直；
B．从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线距离；
C．互相垂直的两条线段一定相交；
D．直线外一点与直线上各点连接而成的所有线段中，最短线段的长度是，则点到直线的距离是.
【答案】D
【知识点】垂线；相交线
【解析】【解答】 A：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，选项错误；
B：从直线外一点到这条直线的垂线的距离，叫做这点到这条直线距离，选项错误；
C：互相垂直的两条线段一定相交，线段有长度限制，不一定相交，选项错误；
D：直线外一点与直线上各点连接而成的所有线段中，最短线段的长度是， 则点到直线的距离是，选项正确.
故选：D.
【分析】
根据垂直的概念，垂线段距离的概念，逐项判断即可.
8．如图所示，OA⊥OC，OB⊥OD，下面结论中，其中说法正确的是（ ）
①∠AOB＝∠COD；②∠AOB＋∠COD＝90°；③∠BOC＋∠AOD＝180°；④∠AOC－∠COD＝∠BOC.
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】C
【知识点】垂线
【解析】【解答】由题意可知，OA⊥OC，所以∠AOC＝90°，即∠AOB＋∠BOC＝90°．同时，OB⊥OD，所以∠BOD＝90°，即∠COD＋∠BOC＝90°．依次，可以判定∠AOB＝∠COD，所以①正确．又因为不能推断出∠AOB与∠COD的具体角度，所以②不正确．∠AOD＝∠AOB＋∠BOC＋∠COD，所以∠BOC＋∠AOD＝∠BOC＋∠AOB＋∠BOC＋∠COD＝90°＋90°＝180°．因为∠AOB＝∠COD，所以∠AOC－∠COD＝∠AOC－∠AOB＝∠BOC，所以④正确．为此，选C．
【分析】在掌握两直线相互垂直，夹角为直角的基础上，学会角度转换，就能轻松找到正确答案．本题考查垂线．
二、填空题
9．（2023·西山模拟）如图，已知，，则 ．
【答案】
【知识点】角的运算；垂线
【解析】【解答】
∵OC⊥AB，∴∠BOC=90°，
∴∠2=∠BOC-∠1=90°-58°24′=31°36′
故答案为：31°36′
【分析】根据图示可知，∠2=∠BOC-∠1，结合垂直的定义和∠1的度数可以求出结果。
10．在直线AB上任取一点O，过点O作射线OC，OD，使OC⊥OD．当∠AOC= 30°时，∠BOD=
【答案】60°或 120°
【知识点】角的运算；垂线
【解析】【解答】解：分两种情况讨论：
①当OC，OD在直线AB的同侧时，如图1，
∵OC⊥OD，
∴∠COD= 90°，
又∵∠AOC=30°，
∴∠BOD= =180°-∠COD-∠AOC= 60°；
②当OC，OD在直线AB的异侧时，如图2，
∵OC⊥OD，∠AOC=30°，
∴∠AOD= 60°，
∴∠BOD=180°-∠AOD= 120°，
∴∠BOD=60°或 120°.
故答案为：60°或 120°.
【分析】分两种情况讨论：①当OC，OD在直线AB的同侧时，②当OC，OD在直线AB的异侧时，分别根据垂线的定义和平角的定义求出∠BOD的度数，即可得出答案.
11．（2023七下·西城期末）如图，在三角形中，，点到直线的距离是线段 的长，的依据是 ．
【答案】；垂线段最短
【知识点】垂线段最短；点到直线的距离
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，
∴BC⊥AC，
∴点B到直线AC的距离是线段BC的长，
根据垂线段最短可得：BC＜BA，
故答案为：BC；垂线段最短。
【分析】结合图形，根据点到直线的距离，垂线段最短求解即可。
12．（2023七下·綦江期中）如图，已知的面积为25，，在直线上有一动点P，连接点C、P，则线段的最小值为： ．
【答案】5
【知识点】垂线段最短
【解析】【解答】解：当CP⊥AB时，CP的值最小，
此时S△ABC＝AB·CP，
∵△ABC的面积为25，AB＝10，
∴×10·CP＝25，
∴CP＝5，
即线段的最小值为5，
故答案为：5.
【分析】根据垂线段最短，可得当CP⊥AB时线段CP的值最小，再利用三角形的面积公式求出CP的值即可。
13．（2020七上·朝阳期末）如图，在平面内，两条直线l1，l2相交于点O，对于平面内任意一点M，若p，q分别是点M到直线l1，l2，的距离，则称（p，q）为点M的“距离坐标”．根据上述规定，“距离坐标”是（3，2）的点共有 个．
【答案】4
【知识点】点到直线的距离
【解析】【解答】因为两条直线相交有四个角，因此每一个角内就有一个到直线l1，l2的距离分别是3，2的点，即距离坐标是（3，2）的点，因而共有4个，
故答案为4．
【分析】由于两条直线相交有四个角，因此每一个角内就有一个到直线l1，l2的距离分别是3，2的点，据此解答即可.
14．（2016七下·江阴期中）如图，将一副直角三角板放在同一条直线AB上，其中∠ONM=30°，∠OCD=45°．将三角尺OCD绕点O按每秒30°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，当第 秒时，直线CD恰好与直线MN垂直．
【答案】5.5或11.5
【知识点】垂线
【解析】【解答】解：如图，CD在OM的右边时，设CD与AB相交于G，
∵CD⊥MN，
∴∠NGC=90°﹣∠MNO=90°﹣30°=60°，
∴∠CON=∠NGC﹣∠OCD=60°﹣45°=15°，
∴旋转角为180°﹣∠CON=180°﹣15°=165°，
t=165°÷30°=5.5秒，
CD在OM的左边时，设CD与AB相交于G，
∵CD⊥MN，
∴∠NGD=90°﹣∠MNO=90°﹣30°=60°，
∴∠AOC=∠NGD﹣∠C=60°﹣45°=15°，
∴旋转角为360°﹣∠AOC=360°﹣15°=345°，
t=345°÷30°=11.5秒，
综上所述，第5.5或11.5秒时，直线CD恰好与直线MN垂直．
故答案为：5.5或11.5．
【分析】分CD在OM的右边时，设CD与AB相交于G，根据直角三角形两锐角互余求出∠CGN，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠CON，再求出旋转角即可，CD在OM的左边时，设CD与AB相交于G，根据直角三角形两锐角互余求出∠NGD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出∠AOC，然后求出旋转角，计算即可得解．
三、解答题
15．如图，在正方形纸片的四角各剪去一个边长相等的小正方形，然后折成一个无盖的长方体盒子．一只蚂蚁要从长方体盒子的顶点A爬到顶点B，在下面左边的图中画出它爬行的最短路线，并说明理由．
【答案】解：最短路线如图线段AB所示，
理由：两点之间线段最短
【知识点】几何体的展开图；垂线段最短
【解析】【分析】根据两点之间线段最短，连接线段AB，即可得出蚂蚁爬行的最短路线.
16．如图，已知A，O，E三点在一条直线上，OB平分∠AOC，∠AOB＋∠DOE＝90°，试问：∠COD与∠DOE之间有怎样的关系 说明理由.－com
【答案】相等，理由：∠AOB＋∠DOE＝90°，且A、O、E三点共线，所以∠BOC＋∠COD＝90°．因为OB平分∠AOC，所以∠AOB＝∠BOC，通过等量代换，可以得知∠COD与∠DOE相等．
【知识点】垂线
【解析】【解答】由题意可知，∠AOB＋∠DOE＝90°，且A、O、E三点共线，所以∠BOC＋∠COD＝90°．因为OB平分∠AOC，所以∠AOB＝∠BOC，通过等量代换，可以得知∠COD与∠DOE相等．
【分析】掌握相交线相关知识，是解答本题的关键．本题考查垂线．
四、综合题
17．（2023七下·增城期中）如图所示，直线AB，CD相交于点O，，OF平分．
（1）判断OF与OB的位置关系，并说明理由．
（2） ，求的度数．
【答案】（1）解：OF⊥OB
理由如下：
∵∠BOD＝∠BOE
∴OB平分∠DOE
∴∠BOE＝∠BOD＝ ∠DOE
∵OF平分∠COE
∴∠COF＝∠EOF＝ ∠COE
∴∠BOF＝∠BOE＋∠EOF
＝ ∠DOE＋ ∠COE
＝ （∠DOE＋∠COE）
＝ ∠COD
＝ ×180°
＝90°
∴OF⊥OB
（2）解：设∠AOC＝x°，∠AOD＝5x°
∵∠AOC＋∠AOD＝180°
∴x＋5x＝180
x＝30
∴∠AOC＝30°，∠AOD＝150°
∴∠BOE＝∠BOD＝∠AOC＝30°
由（1）得∠BOF＝90°
∴∠EOF＝∠BOF－∠BOE
＝90°－30°
＝60°
【知识点】垂线；邻补角；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）利用已知可证得OB平分∠DOE，可证得∠BOE=∠DOE，由OF平分∠COE，可证得∠EOF=∠COE；再证明∠BOF＝∠BOE＋∠EOF=∠COD，可推出∠BOF=90°，利用垂直的定义可证得结论.
（2）利用已知设∠AOC＝x°，∠AOD＝5x°，利用邻补角的定义可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到∠AOC，∠AOD的度数，利用对顶角相等可求出∠BOD，∠BOE的度数；然后根据∠EOF＝∠BOF－∠BOE，代入计算可求出∠EOF的度数.
18．（2021七上·卫辉期末）如图（1）， 点 为直线 上一点，过点 作射线 ， 将一直角的直角顶点放在点 处，即 反向延长射线 ，得到射线 .
（1）当 的位置如图（1）所示时，使 ，若 ，求 的度数.
（2）当 的位置如图（2）所示时，使一边 在 的内部，且恰好平分 ，
问：射线 的反向延长线 是否平分 请说明理由：注意：不能用问题 中的条件
（3）当 的位置如图 所示时，射线 在 的内部，若 .试探究 与 之间的数量关系，不需要证明，直接写出结论.
【答案】（1）解：∵∠NOB=20°，∠BOC=120°
∠NOB+∠BOC+∠COD=180°
∴∠COD=180°-20°-120°=40°
（2）解：OD平分∠AOC
∵∠MON=∠MOD=90°
∴∠DOC+COM=∠MOB+∠BON
∵OM平分∠BOC
∴∠COM=∠MOB
∴∠DOC=∠BON
∵∠BON=∠AOD（对顶角相等）
∴∠AOD=∠DOC
∴OD平分∠AOC
（3）解：∵∠BOC=120°
∴∠AOC=180°-120°=60°
∵∠MON=90°
∴∠MON-∠AOC=30°
∴∠AOM+∠AON-∠AON-∠NOC=30°
∴∠AOM-∠NOC=30°
【知识点】垂线；对顶角及其性质；邻补角；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）根据∠NOB+∠BOC+∠COD=180°，代入计算可求出∠COD的度数.
（2）利用已知条件可证得∠DOC+COM=∠MOB+∠BON，利用角平分线的定义可证得∠COM=∠MOB，由此可推出∠DOC=∠BON，然后利用对顶角相等，可推出∠AOD=∠DOC，由此可证得OD平分∠AOC.
（3）利用邻补角的定义可求出∠AOC的度数，再由∠MON=90°，可得到∠MON-∠AOC=30°，然后可求出∠AOM-∠NOC的值.
1 / 12023-2024学年人教版初中数学七年级下册5.1.2 垂线 同步分层训练培优题
一、选择题
1．如图，直线m，n，l相交，并且m⊥n，∠1=48°，则∠3的度数为（ ）
A．52° B．42° C．48° D．58°
2．如图，直线AB，CD相交于点E，EF⊥AB于点E，若∠FEC-∠AEC=20°，那么∠AED的度数为（ ）
A．125° B．135° C．140° D．145°
3．（2023七下·花都期末）如图，在三角形ABC中，∠C=90°，AC=5，点P是BC边上的动点，则AP的长不可能是（ ）
A．4.5 B．5 C．6 D．7
4．（2023七下·濮阳期末）如图，在测量跳远成绩的示意图中，直线是起跳线，则需要测量的线段是（ ）
A．AE B．AC C．AD D．BE
5．（2023七下·柳州期末）直线上有A、B、C三点，直线外有一点，若，那么点到直线的距离（ ）
A．等于 B．小于
C．不大于 D．大于且小于
6．（2023七下·石家庄期中）如图，点A在直线l1上，点B，C在直线l2上，AB⊥l2于点B，AC⊥l1于点A，AB＝4，AC＝5，则下列说法正确的是（ ）
A．点B到直线l1的距离等于4 B．点A到直线l2的距离等于5
C．点B到直线l1的距离等于5 D．点C到直线l1的距离等于5
7．（2023七下·龙马潭期中）下列说法中正确的是（ ）
A．有且只有一条直线与已知直线垂直；
B．从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线距离；
C．互相垂直的两条线段一定相交；
D．直线外一点与直线上各点连接而成的所有线段中，最短线段的长度是，则点到直线的距离是.
8．如图所示，OA⊥OC，OB⊥OD，下面结论中，其中说法正确的是（ ）
①∠AOB＝∠COD；②∠AOB＋∠COD＝90°；③∠BOC＋∠AOD＝180°；④∠AOC－∠COD＝∠BOC.
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
二、填空题
9．（2023·西山模拟）如图，已知，，则 ．
10．在直线AB上任取一点O，过点O作射线OC，OD，使OC⊥OD．当∠AOC= 30°时，∠BOD=
11．（2023七下·西城期末）如图，在三角形中，，点到直线的距离是线段 的长，的依据是 ．
12．（2023七下·綦江期中）如图，已知的面积为25，，在直线上有一动点P，连接点C、P，则线段的最小值为： ．
13．（2020七上·朝阳期末）如图，在平面内，两条直线l1，l2相交于点O，对于平面内任意一点M，若p，q分别是点M到直线l1，l2，的距离，则称（p，q）为点M的“距离坐标”．根据上述规定，“距离坐标”是（3，2）的点共有 个．
14．（2016七下·江阴期中）如图，将一副直角三角板放在同一条直线AB上，其中∠ONM=30°，∠OCD=45°．将三角尺OCD绕点O按每秒30°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，当第 秒时，直线CD恰好与直线MN垂直．
三、解答题
15．如图，在正方形纸片的四角各剪去一个边长相等的小正方形，然后折成一个无盖的长方体盒子．一只蚂蚁要从长方体盒子的顶点A爬到顶点B，在下面左边的图中画出它爬行的最短路线，并说明理由．
16．如图，已知A，O，E三点在一条直线上，OB平分∠AOC，∠AOB＋∠DOE＝90°，试问：∠COD与∠DOE之间有怎样的关系 说明理由.－com
四、综合题
17．（2023七下·增城期中）如图所示，直线AB，CD相交于点O，，OF平分．
（1）判断OF与OB的位置关系，并说明理由．
（2） ，求的度数．
18．（2021七上·卫辉期末）如图（1）， 点 为直线 上一点，过点 作射线 ， 将一直角的直角顶点放在点 处，即 反向延长射线 ，得到射线 .
（1）当 的位置如图（1）所示时，使 ，若 ，求 的度数.
（2）当 的位置如图（2）所示时，使一边 在 的内部，且恰好平分 ，
问：射线 的反向延长线 是否平分 请说明理由：注意：不能用问题 中的条件
（3）当 的位置如图 所示时，射线 在 的内部，若 .试探究 与 之间的数量关系，不需要证明，直接写出结论.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】垂线；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵直线m与n相交，
∴∠1=∠2=48°，
∵m⊥n，
∴∠2+∠3=90°，
∴∠3=90°-48°=42°.
故答案为：B.
【分析】根据对顶角相等得出∠2=∠1=48°，再根据垂直的定义得出∠2+∠3=90°，即可求出∠3=42°.
2．【答案】D
【知识点】角的运算；垂线；邻补角
【解析】【解答】解：设∠'AEC为x，则∠FEC=x+20°．
∵EF⊥AB，
∴∠AEF=90°，
∴∠AEC+∠FEC= 90°，
∴x+x+20°=90°，
解得：x=35°，
即∠AEC=35°，
∴∠AED=180°-35°=145°．
故答案为：D.
【分析】设∠AEC为x，则∠FEC=x+20°；由垂直可得∠AEC+∠FEC=90°，得出x+x+20°=90°，求出x=35°，根据两个角有一条公共边，他们的另一条边互为反向延长线。具有这种关系的两个角叫做邻补角， 互为邻补角的两个角相加的和为180°；即可求出∠AED=180°-35°=145°．
3．【答案】A
【知识点】垂线段最短
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，AC=5，P是BC边上的动点，
∴AP≥5，
∴AP的长不可能为4.5.
故答案为：A.
【分析】根据垂线段最短的性质可得：AP≥5，据此判断.
4．【答案】B
【知识点】垂线段最短
【解析】【解答】解：需要测量的线段是AC.
故答案为：B.
【分析】跳远成绩的测量方法：后脚跟到起跳线的距离，据此解答.
5．【答案】C
【知识点】垂线段最短；点到直线的距离
【解析】【解答】解：∵2＜5，2＜3，
∴点P到直线l的距离最大可能是2，
也可能小于2，（大于0），
故答案选C.
【分析】根据“过直线外一点，和直线上所有点的连线段中，垂线段最短”，结合题目，垂线段最大可能是2，也可能小于2.
6．【答案】D
【知识点】点到直线的距离
【解析】【解答】解：∵AB⊥l2于点B，AC⊥11于点A，AB＝4，AC＝5，
∴点A到直线 l2 的距离等于4，点C到直线 l1 的距离等于5，
故答案为：D.
【分析】根据点到直线的距离的定义，结合图形判断求解即可。
7．【答案】D
【知识点】垂线；相交线
【解析】【解答】 A：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，选项错误；
B：从直线外一点到这条直线的垂线的距离，叫做这点到这条直线距离，选项错误；
C：互相垂直的两条线段一定相交，线段有长度限制，不一定相交，选项错误；
D：直线外一点与直线上各点连接而成的所有线段中，最短线段的长度是， 则点到直线的距离是，选项正确.
故选：D.
【分析】
根据垂直的概念，垂线段距离的概念，逐项判断即可.
8．【答案】C
【知识点】垂线
【解析】【解答】由题意可知，OA⊥OC，所以∠AOC＝90°，即∠AOB＋∠BOC＝90°．同时，OB⊥OD，所以∠BOD＝90°，即∠COD＋∠BOC＝90°．依次，可以判定∠AOB＝∠COD，所以①正确．又因为不能推断出∠AOB与∠COD的具体角度，所以②不正确．∠AOD＝∠AOB＋∠BOC＋∠COD，所以∠BOC＋∠AOD＝∠BOC＋∠AOB＋∠BOC＋∠COD＝90°＋90°＝180°．因为∠AOB＝∠COD，所以∠AOC－∠COD＝∠AOC－∠AOB＝∠BOC，所以④正确．为此，选C．
【分析】在掌握两直线相互垂直，夹角为直角的基础上，学会角度转换，就能轻松找到正确答案．本题考查垂线．
9．【答案】
【知识点】角的运算；垂线
【解析】【解答】
∵OC⊥AB，∴∠BOC=90°，
∴∠2=∠BOC-∠1=90°-58°24′=31°36′
故答案为：31°36′
【分析】根据图示可知，∠2=∠BOC-∠1，结合垂直的定义和∠1的度数可以求出结果。
10．【答案】60°或 120°
【知识点】角的运算；垂线
【解析】【解答】解：分两种情况讨论：
①当OC，OD在直线AB的同侧时，如图1，
∵OC⊥OD，
∴∠COD= 90°，
又∵∠AOC=30°，
∴∠BOD= =180°-∠COD-∠AOC= 60°；
②当OC，OD在直线AB的异侧时，如图2，
∵OC⊥OD，∠AOC=30°，
∴∠AOD= 60°，
∴∠BOD=180°-∠AOD= 120°，
∴∠BOD=60°或 120°.
故答案为：60°或 120°.
【分析】分两种情况讨论：①当OC，OD在直线AB的同侧时，②当OC，OD在直线AB的异侧时，分别根据垂线的定义和平角的定义求出∠BOD的度数，即可得出答案.
11．【答案】；垂线段最短
【知识点】垂线段最短；点到直线的距离
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，
∴BC⊥AC，
∴点B到直线AC的距离是线段BC的长，
根据垂线段最短可得：BC＜BA，
故答案为：BC；垂线段最短。
【分析】结合图形，根据点到直线的距离，垂线段最短求解即可。
12．【答案】5
【知识点】垂线段最短
【解析】【解答】解：当CP⊥AB时，CP的值最小，
此时S△ABC＝AB·CP，
∵△ABC的面积为25，AB＝10，
∴×10·CP＝25，
∴CP＝5，
即线段的最小值为5，
故答案为：5.
【分析】根据垂线段最短，可得当CP⊥AB时线段CP的值最小，再利用三角形的面积公式求出CP的值即可。
13．【答案】4
【知识点】点到直线的距离
【解析】【解答】因为两条直线相交有四个角，因此每一个角内就有一个到直线l1，l2的距离分别是3，2的点，即距离坐标是（3，2）的点，因而共有4个，
故答案为4．
【分析】由于两条直线相交有四个角，因此每一个角内就有一个到直线l1，l2的距离分别是3，2的点，据此解答即可.
14．【答案】5.5或11.5
【知识点】垂线
【解析】【解答】解：如图，CD在OM的右边时，设CD与AB相交于G，
∵CD⊥MN，
∴∠NGC=90°﹣∠MNO=90°﹣30°=60°，
∴∠CON=∠NGC﹣∠OCD=60°﹣45°=15°，
∴旋转角为180°﹣∠CON=180°﹣15°=165°，
t=165°÷30°=5.5秒，
CD在OM的左边时，设CD与AB相交于G，
∵CD⊥MN，
∴∠NGD=90°﹣∠MNO=90°﹣30°=60°，
∴∠AOC=∠NGD﹣∠C=60°﹣45°=15°，
∴旋转角为360°﹣∠AOC=360°﹣15°=345°，
t=345°÷30°=11.5秒，
综上所述，第5.5或11.5秒时，直线CD恰好与直线MN垂直．
故答案为：5.5或11.5．
【分析】分CD在OM的右边时，设CD与AB相交于G，根据直角三角形两锐角互余求出∠CGN，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠CON，再求出旋转角即可，CD在OM的左边时，设CD与AB相交于G，根据直角三角形两锐角互余求出∠NGD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出∠AOC，然后求出旋转角，计算即可得解．
15．【答案】解：最短路线如图线段AB所示，
理由：两点之间线段最短
【知识点】几何体的展开图；垂线段最短
【解析】【分析】根据两点之间线段最短，连接线段AB，即可得出蚂蚁爬行的最短路线.
16．【答案】相等，理由：∠AOB＋∠DOE＝90°，且A、O、E三点共线，所以∠BOC＋∠COD＝90°．因为OB平分∠AOC，所以∠AOB＝∠BOC，通过等量代换，可以得知∠COD与∠DOE相等．
【知识点】垂线
【解析】【解答】由题意可知，∠AOB＋∠DOE＝90°，且A、O、E三点共线，所以∠BOC＋∠COD＝90°．因为OB平分∠AOC，所以∠AOB＝∠BOC，通过等量代换，可以得知∠COD与∠DOE相等．
【分析】掌握相交线相关知识，是解答本题的关键．本题考查垂线．
17．【答案】（1）解：OF⊥OB
理由如下：
∵∠BOD＝∠BOE
∴OB平分∠DOE
∴∠BOE＝∠BOD＝ ∠DOE
∵OF平分∠COE
∴∠COF＝∠EOF＝ ∠COE
∴∠BOF＝∠BOE＋∠EOF
＝ ∠DOE＋ ∠COE
＝ （∠DOE＋∠COE）
＝ ∠COD
＝ ×180°
＝90°
∴OF⊥OB
（2）解：设∠AOC＝x°，∠AOD＝5x°
∵∠AOC＋∠AOD＝180°
∴x＋5x＝180
x＝30
∴∠AOC＝30°，∠AOD＝150°
∴∠BOE＝∠BOD＝∠AOC＝30°
由（1）得∠BOF＝90°
∴∠EOF＝∠BOF－∠BOE
＝90°－30°
＝60°
【知识点】垂线；邻补角；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）利用已知可证得OB平分∠DOE，可证得∠BOE=∠DOE，由OF平分∠COE，可证得∠EOF=∠COE；再证明∠BOF＝∠BOE＋∠EOF=∠COD，可推出∠BOF=90°，利用垂直的定义可证得结论.
（2）利用已知设∠AOC＝x°，∠AOD＝5x°，利用邻补角的定义可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到∠AOC，∠AOD的度数，利用对顶角相等可求出∠BOD，∠BOE的度数；然后根据∠EOF＝∠BOF－∠BOE，代入计算可求出∠EOF的度数.
18．【答案】（1）解：∵∠NOB=20°，∠BOC=120°
∠NOB+∠BOC+∠COD=180°
∴∠COD=180°-20°-120°=40°
（2）解：OD平分∠AOC
∵∠MON=∠MOD=90°
∴∠DOC+COM=∠MOB+∠BON
∵OM平分∠BOC
∴∠COM=∠MOB
∴∠DOC=∠BON
∵∠BON=∠AOD（对顶角相等）
∴∠AOD=∠DOC
∴OD平分∠AOC
（3）解：∵∠BOC=120°
∴∠AOC=180°-120°=60°
∵∠MON=90°
∴∠MON-∠AOC=30°
∴∠AOM+∠AON-∠AON-∠NOC=30°
∴∠AOM-∠NOC=30°
【知识点】垂线；对顶角及其性质；邻补角；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）根据∠NOB+∠BOC+∠COD=180°，代入计算可求出∠COD的度数.
（2）利用已知条件可证得∠DOC+COM=∠MOB+∠BON，利用角平分线的定义可证得∠COM=∠MOB，由此可推出∠DOC=∠BON，然后利用对顶角相等，可推出∠AOD=∠DOC，由此可证得OD平分∠AOC.
（3）利用邻补角的定义可求出∠AOC的度数，再由∠MON=90°，可得到∠MON-∠AOC=30°，然后可求出∠AOM-∠NOC的值.
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