2023-2024学年人教版初中数学七年级下册5.2.1 平行线 同步分层训练基础题
一、选择题
1．已知P是直线AB外一点，过点P作直线AB的平行线，这样的平行线（ ）
A．有无数条 B．有且只有一条
C．不存在 D．不存在或只有一条
【答案】B
【知识点】平行公理及推论
【解析】【解答】解：P是直线AB外一点，过点P作直线AB的平行线，这样的平行线有且只有一条.
故答案为：B.
【分析】根据平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线平行于已知直线，可作答.
2．（2023七下·日照期末）下列说法不正确的是（ ）
A．过任意一点可作已知直线的一条平行线
B．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
C．在同一平面内，过直线外一点只能画一条直线与已知直线垂直
D．在同一平面内，平行于同一直线的两直线平行
【答案】A
【知识点】直线、射线、线段；垂线段最短；平行公理及推论
【解析】【解答】过直线外任意一点可作已知直线的一条平行线，故答案为：A。
【分析】根据平行公理即可判断得出答案。
3．（2023七下·石家庄期中）已知，P是任意一点，过点P画一条直线与平行，则这样的直线（ ）
A．有且只有一条 B．有两条
C．不存在 D．有一条或不存在
【答案】D
【知识点】作图-平行线
【解析】【解答】 已知P是任意一点，过点P画一条直线与平行 ，
当点P在直线BC上，则与过点P且与BC平行的直线不存在；
当点P不在直线BC上，则与过点P且与BC平行的直线有一条；
故答案选：D。
【分析】分析在BC上和不在BC上两种情况即可。
4．（2023七下·赵县期末）下列命题：
①经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离；④如果直线，，那么．
其中是真命题的有（ ）个
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】垂线；点到直线的距离；平行公理及推论
【解析】【解答】解：①经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，正确，为真命题；
②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确，为真命题；
③直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，正确，为真命题；
④如果直线a∥b，b⊥c，那么a⊥c，原命题为假命题．
真命题有①②③．
故答案为：C．
【分析】根据平行公理及其推论、垂线的性质、点到直线的距离逐项分析判断即可求解．
5．（2023七下·镇海期中）在数学课上，老师画一条直线a，按如图所示的方法，画一条直线b与直线a平行，再向上推三角尺，画一条直线c也与直线a平行，此时，发现直线b与直线c也平行，这就说明了（ ）
A．如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
B．两直线平行，同位角相等
C．同旁内角相等，两直线平行
D．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线
【答案】A
【知识点】平行公理及推论
【解析】【解答】解：∵a∥b，a∥c，
∴b∥c（ 如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 ）；
故答案为：A.
【分析】根据平行公理的推论"如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行"进行判断即可.
6．（2023七下·顺平期末）如图，在同一平面内，经过直线m外一点O的四条直线中，与直线m相交的直线最少有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【答案】C
【知识点】平行公理及推论
【解析】【解答】解：∵经过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行，
∴经过直线m外一点O的四条直线中，有且只有一条直线和直线m平行，
∴经过直线m外一点O的四条直线中，与直线m相交的直线最少有3条。
故答案为：C.
【分析】根据经过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行即可得出答案。
7．下列说法：①相等的角是对顶角；②同位角相等；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到直线的距离.其中说法正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【知识点】点到直线的距离；平行公理及推论；对顶角及其性质；同位角
【解析】【解答】解：①相等的角不一定是对顶角，①说法错误；
②两条直线平行，同位角相等，②说法错误；
③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，③说法错误；
④直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到直线的距离，④说法正确.
故答案为：B.
【分析】对顶角是指具有公共顶点且两边互为反向延长线，可判断①；两条直线平行，同位角相等可判断②；根据平行公理，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，可判断③；根据点到直线距离是指直线外一点到这条直线的垂线段的长度，可判断④.
8．（2020七下·南康月考）下列说法中：①同位角相等；②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；④三条直线两两相交，总有三个交点；⑤若 ，b//c，则a//c.正确的有（ ）
A．①②③ B．②③⑤ C．②④⑤ D．③④⑤
【答案】B
【知识点】平行公理及推论；同位角
【解析】【解答】两直线平行，同位角相等，故①不符合题意，
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故②符合题意，
过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故③符合题意，
三条直线两两相交，总有三个交点或一个交点，故④不符合题意，
若 ，b//c，则a//c，故⑤符合题意，
综上所述：正确的有②③⑤，
故答案为：B．
【分析】根据平行线的性质，平行公理及推论，对每个选项一一判断求解即可。
二、填空题
9．小戴和小魏分别到黑板上经过点A画直线m与直线n，并且使得m∥p，n∥p，则直线m与n分别必然重合，这是因为
【答案】过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行
【知识点】平行公理及推论
【解析】【解答】解：∵直线m、n都经过点A，且m∥p，n∥p，
∴ 直线m与n分别必然重合 （过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行）.
故答案为：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行.
【分析】根据直线公理：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行可得答案.
10．（2020七下·涟源期末）如图，过点 画直线 的平行线，能画 条，依据是： .
【答案】1；过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
【知识点】平行公理及推论
【解析】【解答】解：过点A画直线l的平行线，能画一条，
依据是经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，
故答案为：1；经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.
【分析】根据：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行进行解答.
11．（2020七下·黄石期中）在同一平面内，若直线a∥c，b∥c，则a b．
【答案】∥
【知识点】平行公理及推论
【解析】【解答】解：∵a∥c，b∥c，
∴a∥b（平行于同一直线的两条直线互相平行）．
故答案为：∥．
【分析】根据“平行于同一直线的两条直线互相平行”判断a，b的关系．
12．（2017七下·泰兴期末）如果∠A与∠B的两边分别平行,∠A比∠B的3倍少36°，则∠A的度数是 .
【答案】18°或126°
【知识点】角的运算；平行公理及推论
【解析】【解答】解：∵∠A与∠B的两边分别平行，
∴∠A与∠B相等或互补。
分两种情况：
①如图1,
当∠A+∠B=180°时,∠A=3∠B 36°，
解得：∠A=126°;
②如图2,
当∠A=∠B,∠A=3∠B 36°，
解得：∠A=18°.
所以∠A=18°或126°.
13．下列说法中：①同位角相等；②过一个点有且只有一条直线与已知直线垂直；③两直线相交成的四个角中相邻两角的角平分线互相垂直；④三条直线两两相交，总有三个交点；⑤若a∥b，b∥c，则a∥c；⑥若a⊥b，b⊥c，则a⊥c．其中正确的说法是 ．
【答案】③⑤
【知识点】垂线；平行公理及推论；同位角
【解析】【解答】解：①应为：两直线平行，同位角相等，故本小题错误；
②应为：在同一平面内，过一个点有且只有一条直线与已知直线垂直，故本小题错误；
③两直线相交成的四个角中相邻两角的角平分线互相垂直，故本小题正确；
④三条直线两两相交，总有一个交点或三个交点，故本小题错误；
⑤若a∥b，b∥c，则a∥c，故本小题正确；
⑥应为：在同一平面内，若a⊥b，b⊥c，则a⊥c，故本小题错误．
综上所述，正确的有③⑤．
故答案为③⑤．
【分析】利用同位角的性质、垂线的性质、垂直的定义，两直线的位置关系以及平行公理的推论等知识分别判断后即可确定正确的答案．
三、解答题
14．（2020七下·庆安期末）如图，已知直线b ∥c，a⊥b ，求证：a⊥c
【答案】证明： ，
，
∵ ，
∴ ，
∴
【知识点】平行公理及推论
【解析】【分析】先求出∠1=90°，再根据平行求出∠2=∠1=90°，即可证明。
15．（2021七下·河西期中）如图，∠AOB内有一点P：
（Ⅰ）过点P画PC∥OB交OA于C；
（Ⅱ）过点P画PD⊥OB于D；
（Ⅲ）连接OP，若OP是∠AOB的平分线，且∠AOB＝60°，求∠AOP和∠CPO的度数．（直接写出答案即可）
【答案】解：（Ⅰ）如图，直线PC即为所求作．
（Ⅱ）如图，线段PD即为所求作．
（Ⅲ）∵∠AOB＝60°，OP平分∠AOB，
∴∠AOP＝∠POD＝30°，
∵PC∥OD，
∴∠CPO＝∠POD＝30°．
【知识点】作图-平行线；作图-垂线
【解析】【分析】（Ⅰ）过点P作PC//OB交OA于点C；
（Ⅱ）过点P作PD垂直OB于D；
（Ⅲ）利用角平分线的定义，角平分线的性质求解即可。
四、作图题
16．（2023七下·西安期末）如图，在中，，是的补角，请用尺规作图法，求作射线，使．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】解：如图，射线CP即为所求．
或
【知识点】作图-平行线；作图-直线、射线、线段
【解析】【分析】利用补角的性质和等腰三角形的性质可求出，再按照角平分线的作图方法即可作出射线CP且 ．
五、综合题
17．（2023七下·番禺期末）如图，是河岸外一点．
（1）过点修一条与河岸平行的绿化带绿化带用直线表示，请画图表示；
（2）现用水管从河岸将水引到处，问：从河岸上的何处开口，才使所用的水管最短？画图表示，并说明设计的理由．
【答案】（1）解：如图，过点C画一条平行于AB的直线l，则l为绿化带；
（2）解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，从河岸AB上的点D处开口，才能使所用的水管最短，设计的理由是垂线段最短．
【知识点】垂线段最短；作图-平行线；作图-垂线
【解析】【分析】（1）根据根据过直线外一点作已知直线的方法即可画出直线l；
（2）根据垂线段最短，由过直线外一点作已知直线的垂线的方法作图即可.
18．（2023七下·槐荫期中）如图，的三个顶点A、B、C在正方形网格中，每个小方格的边长都为1.请在方格纸上画图并回答下列问题：
（1）过C点画直线的垂线，垂足为点E；
（2）过A点画射线，交直线于点F；
（3）点C到直线的距离为线段 的长度；
（4）比较大小：线段 线段（填“>”、“”或“=”）．
【答案】（1）解：如图，直线即为所作；
（2）解：如图，直线即为所作；
（3）
（4）
【知识点】垂线段最短；作图-平行线；作图-垂线
【解析】【解答】解：（3）由题意得点C到直线的距离为线段CE的长度，
故答案为：CE；
（4）由题意得CE＜BC，
故答案为：＜；
【分析】（1）根据作图-垂线段即可求解；
（2）根据作图-平行线即可求解；
（3）直接根据垂线段的定义即可求解；
（4）直接数格子即可比较大小。
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一、选择题
1．已知P是直线AB外一点，过点P作直线AB的平行线，这样的平行线（ ）
A．有无数条 B．有且只有一条
C．不存在 D．不存在或只有一条
2．（2023七下·日照期末）下列说法不正确的是（ ）
A．过任意一点可作已知直线的一条平行线
B．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
C．在同一平面内，过直线外一点只能画一条直线与已知直线垂直
D．在同一平面内，平行于同一直线的两直线平行
3．（2023七下·石家庄期中）已知，P是任意一点，过点P画一条直线与平行，则这样的直线（ ）
A．有且只有一条 B．有两条
C．不存在 D．有一条或不存在
4．（2023七下·赵县期末）下列命题：
①经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离；④如果直线，，那么．
其中是真命题的有（ ）个
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2023七下·镇海期中）在数学课上，老师画一条直线a，按如图所示的方法，画一条直线b与直线a平行，再向上推三角尺，画一条直线c也与直线a平行，此时，发现直线b与直线c也平行，这就说明了（ ）
A．如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
B．两直线平行，同位角相等
C．同旁内角相等，两直线平行
D．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线
6．（2023七下·顺平期末）如图，在同一平面内，经过直线m外一点O的四条直线中，与直线m相交的直线最少有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
7．下列说法：①相等的角是对顶角；②同位角相等；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到直线的距离.其中说法正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
8．（2020七下·南康月考）下列说法中：①同位角相等；②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；④三条直线两两相交，总有三个交点；⑤若 ，b//c，则a//c.正确的有（ ）
A．①②③ B．②③⑤ C．②④⑤ D．③④⑤
二、填空题
9．小戴和小魏分别到黑板上经过点A画直线m与直线n，并且使得m∥p，n∥p，则直线m与n分别必然重合，这是因为
10．（2020七下·涟源期末）如图，过点 画直线 的平行线，能画 条，依据是： .
11．（2020七下·黄石期中）在同一平面内，若直线a∥c，b∥c，则a b．
12．（2017七下·泰兴期末）如果∠A与∠B的两边分别平行,∠A比∠B的3倍少36°，则∠A的度数是 .
13．下列说法中：①同位角相等；②过一个点有且只有一条直线与已知直线垂直；③两直线相交成的四个角中相邻两角的角平分线互相垂直；④三条直线两两相交，总有三个交点；⑤若a∥b，b∥c，则a∥c；⑥若a⊥b，b⊥c，则a⊥c．其中正确的说法是 ．
三、解答题
14．（2020七下·庆安期末）如图，已知直线b ∥c，a⊥b ，求证：a⊥c
15．（2021七下·河西期中）如图，∠AOB内有一点P：
（Ⅰ）过点P画PC∥OB交OA于C；
（Ⅱ）过点P画PD⊥OB于D；
（Ⅲ）连接OP，若OP是∠AOB的平分线，且∠AOB＝60°，求∠AOP和∠CPO的度数．（直接写出答案即可）
四、作图题
16．（2023七下·西安期末）如图，在中，，是的补角，请用尺规作图法，求作射线，使．（保留作图痕迹，不写作法）
五、综合题
17．（2023七下·番禺期末）如图，是河岸外一点．
（1）过点修一条与河岸平行的绿化带绿化带用直线表示，请画图表示；
（2）现用水管从河岸将水引到处，问：从河岸上的何处开口，才使所用的水管最短？画图表示，并说明设计的理由．
18．（2023七下·槐荫期中）如图，的三个顶点A、B、C在正方形网格中，每个小方格的边长都为1.请在方格纸上画图并回答下列问题：
（1）过C点画直线的垂线，垂足为点E；
（2）过A点画射线，交直线于点F；
（3）点C到直线的距离为线段 的长度；
（4）比较大小：线段 线段（填“>”、“”或“=”）．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】平行公理及推论
【解析】【解答】解：P是直线AB外一点，过点P作直线AB的平行线，这样的平行线有且只有一条.
故答案为：B.
【分析】根据平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线平行于已知直线，可作答.
2．【答案】A
【知识点】直线、射线、线段；垂线段最短；平行公理及推论
【解析】【解答】过直线外任意一点可作已知直线的一条平行线，故答案为：A。
【分析】根据平行公理即可判断得出答案。
3．【答案】D
【知识点】作图-平行线
【解析】【解答】 已知P是任意一点，过点P画一条直线与平行 ，
当点P在直线BC上，则与过点P且与BC平行的直线不存在；
当点P不在直线BC上，则与过点P且与BC平行的直线有一条；
故答案选：D。
【分析】分析在BC上和不在BC上两种情况即可。
4．【答案】C
【知识点】垂线；点到直线的距离；平行公理及推论
【解析】【解答】解：①经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，正确，为真命题；
②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确，为真命题；
③直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，正确，为真命题；
④如果直线a∥b，b⊥c，那么a⊥c，原命题为假命题．
真命题有①②③．
故答案为：C．
【分析】根据平行公理及其推论、垂线的性质、点到直线的距离逐项分析判断即可求解．
5．【答案】A
【知识点】平行公理及推论
【解析】【解答】解：∵a∥b，a∥c，
∴b∥c（ 如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 ）；
故答案为：A.
【分析】根据平行公理的推论"如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行"进行判断即可.
6．【答案】C
【知识点】平行公理及推论
【解析】【解答】解：∵经过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行，
∴经过直线m外一点O的四条直线中，有且只有一条直线和直线m平行，
∴经过直线m外一点O的四条直线中，与直线m相交的直线最少有3条。
故答案为：C.
【分析】根据经过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行即可得出答案。
7．【答案】B
【知识点】点到直线的距离；平行公理及推论；对顶角及其性质；同位角
【解析】【解答】解：①相等的角不一定是对顶角，①说法错误；
②两条直线平行，同位角相等，②说法错误；
③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，③说法错误；
④直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到直线的距离，④说法正确.
故答案为：B.
【分析】对顶角是指具有公共顶点且两边互为反向延长线，可判断①；两条直线平行，同位角相等可判断②；根据平行公理，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，可判断③；根据点到直线距离是指直线外一点到这条直线的垂线段的长度，可判断④.
8．【答案】B
【知识点】平行公理及推论；同位角
【解析】【解答】两直线平行，同位角相等，故①不符合题意，
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故②符合题意，
过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故③符合题意，
三条直线两两相交，总有三个交点或一个交点，故④不符合题意，
若 ，b//c，则a//c，故⑤符合题意，
综上所述：正确的有②③⑤，
故答案为：B．
【分析】根据平行线的性质，平行公理及推论，对每个选项一一判断求解即可。
9．【答案】过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行
【知识点】平行公理及推论
【解析】【解答】解：∵直线m、n都经过点A，且m∥p，n∥p，
∴ 直线m与n分别必然重合 （过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行）.
故答案为：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行.
【分析】根据直线公理：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行可得答案.
10．【答案】1；过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
【知识点】平行公理及推论
【解析】【解答】解：过点A画直线l的平行线，能画一条，
依据是经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，
故答案为：1；经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.
【分析】根据：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行进行解答.
11．【答案】∥
【知识点】平行公理及推论
【解析】【解答】解：∵a∥c，b∥c，
∴a∥b（平行于同一直线的两条直线互相平行）．
故答案为：∥．
【分析】根据“平行于同一直线的两条直线互相平行”判断a，b的关系．
12．【答案】18°或126°
【知识点】角的运算；平行公理及推论
【解析】【解答】解：∵∠A与∠B的两边分别平行，
∴∠A与∠B相等或互补。
分两种情况：
①如图1,
当∠A+∠B=180°时,∠A=3∠B 36°，
解得：∠A=126°;
②如图2,
当∠A=∠B,∠A=3∠B 36°，
解得：∠A=18°.
所以∠A=18°或126°.
13．【答案】③⑤
【知识点】垂线；平行公理及推论；同位角
【解析】【解答】解：①应为：两直线平行，同位角相等，故本小题错误；
②应为：在同一平面内，过一个点有且只有一条直线与已知直线垂直，故本小题错误；
③两直线相交成的四个角中相邻两角的角平分线互相垂直，故本小题正确；
④三条直线两两相交，总有一个交点或三个交点，故本小题错误；
⑤若a∥b，b∥c，则a∥c，故本小题正确；
⑥应为：在同一平面内，若a⊥b，b⊥c，则a⊥c，故本小题错误．
综上所述，正确的有③⑤．
故答案为③⑤．
【分析】利用同位角的性质、垂线的性质、垂直的定义，两直线的位置关系以及平行公理的推论等知识分别判断后即可确定正确的答案．
14．【答案】证明： ，
，
∵ ，
∴ ，
∴
【知识点】平行公理及推论
【解析】【分析】先求出∠1=90°，再根据平行求出∠2=∠1=90°，即可证明。
15．【答案】解：（Ⅰ）如图，直线PC即为所求作．
（Ⅱ）如图，线段PD即为所求作．
（Ⅲ）∵∠AOB＝60°，OP平分∠AOB，
∴∠AOP＝∠POD＝30°，
∵PC∥OD，
∴∠CPO＝∠POD＝30°．
【知识点】作图-平行线；作图-垂线
【解析】【分析】（Ⅰ）过点P作PC//OB交OA于点C；
（Ⅱ）过点P作PD垂直OB于D；
（Ⅲ）利用角平分线的定义，角平分线的性质求解即可。
16．【答案】解：如图，射线CP即为所求．
或
【知识点】作图-平行线；作图-直线、射线、线段
【解析】【分析】利用补角的性质和等腰三角形的性质可求出，再按照角平分线的作图方法即可作出射线CP且 ．
17．【答案】（1）解：如图，过点C画一条平行于AB的直线l，则l为绿化带；
（2）解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，从河岸AB上的点D处开口，才能使所用的水管最短，设计的理由是垂线段最短．
【知识点】垂线段最短；作图-平行线；作图-垂线
【解析】【分析】（1）根据根据过直线外一点作已知直线的方法即可画出直线l；
（2）根据垂线段最短，由过直线外一点作已知直线的垂线的方法作图即可.
18．【答案】（1）解：如图，直线即为所作；
（2）解：如图，直线即为所作；
（3）
（4）
【知识点】垂线段最短；作图-平行线；作图-垂线
【解析】【解答】解：（3）由题意得点C到直线的距离为线段CE的长度，
故答案为：CE；
（4）由题意得CE＜BC，
故答案为：＜；
【分析】（1）根据作图-垂线段即可求解；
（2）根据作图-平行线即可求解；
（3）直接根据垂线段的定义即可求解；
（4）直接数格子即可比较大小。
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