2023-2024学年人教版初中数学七年级下册5.2.1 平行线 同步分层训练提升题
一、选择题
1．（2023七下·南宁月考）直线a、b、c中，a∥b，b∥c，则直线a与直线c的关系是（ ）
A．相交 B．平行 C．垂直 D．不确定
2．下面四个图是小明用尺规过点C作AB边的平行线所留下的作图痕迹，其中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023八上·河北开学考）如图，点是直线外一点，过点分别作，，则点、、三个点必在同一条直线上，其依据是（ ）
A．两点确定一条直线
B．同位角相等，两直线平行
C．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
D．平行于同一条直线的两条直线平行
4．（2023七下·迪庆期末）下列命题属于真命题的是（ ）
A．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补
B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．垂线段最短
D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
5．（2023七下·西安月考）下列说法正确的个数（ ）
①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②平面内，互相垂直的两条直线一定相交；③有公共顶点且相等的角是对顶角；④直线外一点到已知直线的垂线段，叫做这点到直线的距离；⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行.
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
6．（2022·广阳模拟）图，在同一平面内过点且平行于直线的直线有（ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条
7．（2021七上·东坡期末）已知直线a，b，c是同一平面内的三条不同直线，下面四个结论：
①若 则 ；②若 则 ；③若 则 ；④若 且c与b相交，则a与b相交，其中，结论正确的是（ ）
A．①② B．③④ C．①②③ D．②③④
8．过一点画已知直线的平行线，则( )
A．有且只有一条 B．有两条
C．不存在 D．不存在或只有一条
二、填空题
9．（2023九上·杭州开学考）若平行四边形中两个内角的度数比为：，则其中较大角的度数是 ．
10．（2022·信都模拟）为增强学生体质，某学校将“抖空竹”引入阳光体育一小时活动．图1是一位同学抖空竹时的一个瞬间，数学老师把它抽象成图2的数学问题：已知AB∥CD，∠EAB=80°，∠ECD=110°．求∠AEC的度数．小明在解决过程中，过E点作EF∥CD，则可以得到EF∥AB，其理由是 ，根据这个思路可得∠AEC= °．
11．（2023八上·开福开学考）下列说法：
两条不相交的直线叫平行线；
两条不相交的线段，在同一平面内必平行；
经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；
若直线，，那么，
其中错误的是 只填序号
12．（2021七上·射阳期末）如图，已知 ， ，所以点 三点共线的理由 .
13．直线L同侧有A，B，C三点，若过A，B的直线L1和过B，C的直线L2都与L平行，则A， B，C三点 ，理论根据是 ．
三、解答题
14．直线a∥b，b∥c，直线d与a相交于点A．
（1）判断a与c的位置关系，并说明理由；
（2）判断c与d的位置关系，并说明理由．
15．已知直线a∥b，b∥c，c∥d，则a与d的关系是什么？为什么？
四、作图题
16．（2020七下·和平月考）如图，点M在∠AOB的内部．
画图： ①过点M画AO的平行线，交OB于点C；
②过点M画OB的垂线，交OB于点D；
五、综合题
17．（2022七下·麻章期末）如图，P是∠ABC内一点，按要求完成下列问题：
（1）过点P作AB的垂线，垂足为点D；
（2）过点P作BC的平行线，交AB于点E；
（3）比较线段PD和PE的大小，并说明理由
18．（2022七下·滨海期末）李强同学学完“相交线与平行线”一章后，在一本数学读物上看到一种只利用圆规和无刻度直尺作图的方法：
① 以∠AOB的顶点O为圆心，以适当长为半径画弧，交OA边于点M，交OB边于点N；② 作一条射线CD，以点C为圆心，以OM长为半径画弧，与射线CD交于点E；③ 以点E为圆心，以MN长为半径画弧，与②中所画弧交于点F；④ 过点F作射线CP，则∠PCD=∠BOA．如图1：
李强想利用这种方法过平面内一点Q作直线l的平行线a，如图2．
（1）李强同学能借助上述方法作出直线l的平行线a吗？ （填“能”或“不能”）.
（2）如果能，请在图2中作出直线a， 保留作图痕迹，并说明能够证明这两条直线平行的理由： ▲ ．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】平行公理及推论
【解析】【解答】解：∵a∥b，b∥c，
∴a∥c.
故答案为：B
【分析】根据如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，可得到直线a与直线c之间的关系.
2．【答案】A
【知识点】作图-平行线；作图-角
【解析】【解答】解：根据作一个角等于已知角的步骤，结合平行线的判断定理，即可得解.
故答案为：A.
【分析】由平行线的判定定理，同位角相等，两直线平行，故需要作一个角等于已知角，从而根据根据作图痕迹判断即可得解.
3．【答案】C
【知识点】平行公理及推论
【解析】【解答】解：由题意可得：
点是直线外一点，过点分别作，
由过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行可得： 点、、三个点必在同一条直线上
故答案为：C
【分析】根据直线平行的判定定理及性质即可求出答案。
4．【答案】C
【知识点】垂线；垂线段最短；平行公理及推论；同旁内角
【解析】【解答】解：A. 两条直线被第三条直线所截， 这两条直线不一定平行，不能得出同旁内角互补，故原命题是假命题；
B.命题“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”，缺少“在同一平面内”的限制，故原命题是假命题；
C.垂线段最短是真命题；
D.过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故原命题是假命题.
故答案为：C.
【分析】分别根据平行线的性质、垂直的定义、垂线段最短、平行公理作判断．
5．【答案】B
【知识点】垂线；点到直线的距离；平行公理及推论；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：①同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故该说法不正确；
②平面内，互相垂直的两条直线一定相交，故该说法正确；
③有公共顶点且相等的角不一定是对顶角，故该说法不正确；
④直线外一点到已知直线的垂线段的长度，叫做这点到直线的距离，故该说法不正确；
⑤过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故该说法不正确；
故正确的只有1个，
故答案为：B.
【分析】根据同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，可对①作出判断；利用垂直的定义，可对②作出判断；利用对顶角的定义，可对③作出判断；再利用点到直线的距离的定义，可对④作出判断；然后利用过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，可对⑤作出判断；综上所述可得到正确结论的个数.
6．【答案】B
【知识点】平行公理及推论
【解析】【解答】过点M且平行于直线a的直线只有1条．
故答案为：B．
【分析】根据过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行可得答案。
7．【答案】A
【知识点】垂线；平行公理及推论；相交线
【解析】【解答】解：①根据“同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”判定：若 则 ；故说法正确；
②根据二直线平行，同位角相等结合垂直的定义可以判定：若 则 ，故说法正确；
③根据“在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行”判定：若 则 ；说法错误；
④若 且c与b相交，则a与b不一定相交，故说法错误.
故正确的有：①②.
故答案为：A.
【分析】根据平行公理及其推论：在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行进行分析即可求解.
8．【答案】D
【知识点】平行公理及推论
【解析】【解答】这一点与直线的位置关系不明确，因此可能在直线上或在直线外，故答案为：D。
【分析】平行公理的条件要记牢：过直线外一点。当这一点在直线上时，不能做平行线。
9．【答案】
【知识点】平行公理及推论
【解析】【解答】解：如图不妨设，又，较大角的度数.
故答案为：.
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补结合比例关系求解.
10．【答案】平行于同一直线的两直线平行；30
【知识点】平行公理及推论
【解析】【解答】解：过E点作EF∥CD，
∵AB∥CD，
∴EF∥AB（平行于同一直线的两直线平行），
∴∠EAB+∠AEF=180°，
∵EF∥CD，
∴∠CEF+∠ECD=180°，
∵∠EAB=80°，∠ECD=110°，
∴∠AEF=100°，∠CEF=70°，
∴∠AEC=∠AEF-∠CEF=30°．
故答案为：平行于同一直线的两直线平行；30．
【分析】根据平行公理推论得到EF//AB，再根据平行线的性质求解即可。
11．【答案】①②
【知识点】平行公理及推论
【解析】【解答】解：在同一平面内，两条不相交的直线叫平行线；故错误；
两条不相交的线段，在同一平面内不一定平行；故错误；
经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；故正确；
若直线，，那么，故正确
故答案为：①②
【分析】根据平行线的定义及平行定理即可求出答案。
12．【答案】过直线外一点有一条而且只有一条直线与已知直线平行
【知识点】平行公理及推论
【解析】【解答】解：
∴直线OM应该与直线ON重合，
∴点 三点共线 （过直线外一定，有一条而且只有一条直线平行于已知直线）
故答案为：平行公理.
【分析】由平行公理得直线OM应该与直线ON重合，故O、M、N三点共线.
13．【答案】在一条直线上；直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
【知识点】平行公理及推论
【解析】【解答】由已知过A，B的直线L1和过B，C的直线L2都与L平行，AB与BC又有一个公共点B,因此A， B，C三点共线。
【分析】过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，若出现两条直线，则它们为同一直线.
14．【答案】解：（1）a与c的位置关系是平行，
理由是：∵直线a∥b，b∥c，
∴a∥c；
（2）c与d的位置关系是相交，
理由是：∵c∥a，直线d与a相交于点A，
∴c与d的位置关系是相交．
【知识点】平行公理及推论
【解析】【分析】（1）根平行公理得出即可；
（2）根据c∥a和直线d与a相交推出即可．
15．【答案】a与d平行，理由是平行具有传递性
【知识点】平行公理及推论
【解析】【解答】因为a∥b，b∥c
所以a∥c,
又c∥d,
所以a∥d.
【分析】平行的传递性仍根据“平行于同一条直线的两条直线平行”。
16．【答案】解：①如下图MC//OA；
②如下图AD⊥OB．
【知识点】作图-平行线；作图-垂线
【解析】【分析】①把三角板1的一条边与直线OA重合，将三角板2与三角板1剩余两边中的任意一条重合，按住三角板2不动，沿着三角板2移动三角板1，当三角板1的另一边与M重合时即可画出平行线；②用直角三角板，一条直角边与OB重合，沿BO移动三角板使另一条直角边过点M画直线即可．
17．【答案】（1）解：如图所示： PD 即为所求；
（2）解：如图所示： PE 即为所求；
（3）解：PD＜PE，
理由：直线外一点和直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．
【知识点】作图-平行线；作图-垂线；线段的长短比较
【解析】【分析】根据要求作出图象即可。
18．【答案】（1）能
（2）如图所示，
证明这两条直线平行的理由：同位角相等，两直线平行
【知识点】作图-平行线；作图-角
【解析】【解答】解：（1）根据题目中的方法，作出角与已知角相等，再由平行线的判定从而得到平行线，即可用上述方法作出直线l的平行线a；
【分析】（1）作出角与已知角相等，再由平行线的判定即的结论；
（2）根据同位角相等，两直线平行即可判定.
1 / 12023-2024学年人教版初中数学七年级下册5.2.1 平行线 同步分层训练提升题
一、选择题
1．（2023七下·南宁月考）直线a、b、c中，a∥b，b∥c，则直线a与直线c的关系是（ ）
A．相交 B．平行 C．垂直 D．不确定
【答案】B
【知识点】平行公理及推论
【解析】【解答】解：∵a∥b，b∥c，
∴a∥c.
故答案为：B
【分析】根据如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，可得到直线a与直线c之间的关系.
2．下面四个图是小明用尺规过点C作AB边的平行线所留下的作图痕迹，其中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】作图-平行线；作图-角
【解析】【解答】解：根据作一个角等于已知角的步骤，结合平行线的判断定理，即可得解.
故答案为：A.
【分析】由平行线的判定定理，同位角相等，两直线平行，故需要作一个角等于已知角，从而根据根据作图痕迹判断即可得解.
3．（2023八上·河北开学考）如图，点是直线外一点，过点分别作，，则点、、三个点必在同一条直线上，其依据是（ ）
A．两点确定一条直线
B．同位角相等，两直线平行
C．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
D．平行于同一条直线的两条直线平行
【答案】C
【知识点】平行公理及推论
【解析】【解答】解：由题意可得：
点是直线外一点，过点分别作，
由过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行可得： 点、、三个点必在同一条直线上
故答案为：C
【分析】根据直线平行的判定定理及性质即可求出答案。
4．（2023七下·迪庆期末）下列命题属于真命题的是（ ）
A．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补
B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．垂线段最短
D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
【答案】C
【知识点】垂线；垂线段最短；平行公理及推论；同旁内角
【解析】【解答】解：A. 两条直线被第三条直线所截， 这两条直线不一定平行，不能得出同旁内角互补，故原命题是假命题；
B.命题“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”，缺少“在同一平面内”的限制，故原命题是假命题；
C.垂线段最短是真命题；
D.过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故原命题是假命题.
故答案为：C.
【分析】分别根据平行线的性质、垂直的定义、垂线段最短、平行公理作判断．
5．（2023七下·西安月考）下列说法正确的个数（ ）
①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②平面内，互相垂直的两条直线一定相交；③有公共顶点且相等的角是对顶角；④直线外一点到已知直线的垂线段，叫做这点到直线的距离；⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行.
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【知识点】垂线；点到直线的距离；平行公理及推论；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：①同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故该说法不正确；
②平面内，互相垂直的两条直线一定相交，故该说法正确；
③有公共顶点且相等的角不一定是对顶角，故该说法不正确；
④直线外一点到已知直线的垂线段的长度，叫做这点到直线的距离，故该说法不正确；
⑤过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故该说法不正确；
故正确的只有1个，
故答案为：B.
【分析】根据同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，可对①作出判断；利用垂直的定义，可对②作出判断；利用对顶角的定义，可对③作出判断；再利用点到直线的距离的定义，可对④作出判断；然后利用过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，可对⑤作出判断；综上所述可得到正确结论的个数.
6．（2022·广阳模拟）图，在同一平面内过点且平行于直线的直线有（ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条
【答案】B
【知识点】平行公理及推论
【解析】【解答】过点M且平行于直线a的直线只有1条．
故答案为：B．
【分析】根据过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行可得答案。
7．（2021七上·东坡期末）已知直线a，b，c是同一平面内的三条不同直线，下面四个结论：
①若 则 ；②若 则 ；③若 则 ；④若 且c与b相交，则a与b相交，其中，结论正确的是（ ）
A．①② B．③④ C．①②③ D．②③④
【答案】A
【知识点】垂线；平行公理及推论；相交线
【解析】【解答】解：①根据“同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”判定：若 则 ；故说法正确；
②根据二直线平行，同位角相等结合垂直的定义可以判定：若 则 ，故说法正确；
③根据“在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行”判定：若 则 ；说法错误；
④若 且c与b相交，则a与b不一定相交，故说法错误.
故正确的有：①②.
故答案为：A.
【分析】根据平行公理及其推论：在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行进行分析即可求解.
8．过一点画已知直线的平行线，则( )
A．有且只有一条 B．有两条
C．不存在 D．不存在或只有一条
【答案】D
【知识点】平行公理及推论
【解析】【解答】这一点与直线的位置关系不明确，因此可能在直线上或在直线外，故答案为：D。
【分析】平行公理的条件要记牢：过直线外一点。当这一点在直线上时，不能做平行线。
二、填空题
9．（2023九上·杭州开学考）若平行四边形中两个内角的度数比为：，则其中较大角的度数是 ．
【答案】
【知识点】平行公理及推论
【解析】【解答】解：如图不妨设，又，较大角的度数.
故答案为：.
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补结合比例关系求解.
10．（2022·信都模拟）为增强学生体质，某学校将“抖空竹”引入阳光体育一小时活动．图1是一位同学抖空竹时的一个瞬间，数学老师把它抽象成图2的数学问题：已知AB∥CD，∠EAB=80°，∠ECD=110°．求∠AEC的度数．小明在解决过程中，过E点作EF∥CD，则可以得到EF∥AB，其理由是 ，根据这个思路可得∠AEC= °．
【答案】平行于同一直线的两直线平行；30
【知识点】平行公理及推论
【解析】【解答】解：过E点作EF∥CD，
∵AB∥CD，
∴EF∥AB（平行于同一直线的两直线平行），
∴∠EAB+∠AEF=180°，
∵EF∥CD，
∴∠CEF+∠ECD=180°，
∵∠EAB=80°，∠ECD=110°，
∴∠AEF=100°，∠CEF=70°，
∴∠AEC=∠AEF-∠CEF=30°．
故答案为：平行于同一直线的两直线平行；30．
【分析】根据平行公理推论得到EF//AB，再根据平行线的性质求解即可。
11．（2023八上·开福开学考）下列说法：
两条不相交的直线叫平行线；
两条不相交的线段，在同一平面内必平行；
经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；
若直线，，那么，
其中错误的是 只填序号
【答案】①②
【知识点】平行公理及推论
【解析】【解答】解：在同一平面内，两条不相交的直线叫平行线；故错误；
两条不相交的线段，在同一平面内不一定平行；故错误；
经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；故正确；
若直线，，那么，故正确
故答案为：①②
【分析】根据平行线的定义及平行定理即可求出答案。
12．（2021七上·射阳期末）如图，已知 ， ，所以点 三点共线的理由 .
【答案】过直线外一点有一条而且只有一条直线与已知直线平行
【知识点】平行公理及推论
【解析】【解答】解：
∴直线OM应该与直线ON重合，
∴点 三点共线 （过直线外一定，有一条而且只有一条直线平行于已知直线）
故答案为：平行公理.
【分析】由平行公理得直线OM应该与直线ON重合，故O、M、N三点共线.
13．直线L同侧有A，B，C三点，若过A，B的直线L1和过B，C的直线L2都与L平行，则A， B，C三点 ，理论根据是 ．
【答案】在一条直线上；直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
【知识点】平行公理及推论
【解析】【解答】由已知过A，B的直线L1和过B，C的直线L2都与L平行，AB与BC又有一个公共点B,因此A， B，C三点共线。
【分析】过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，若出现两条直线，则它们为同一直线.
三、解答题
14．直线a∥b，b∥c，直线d与a相交于点A．
（1）判断a与c的位置关系，并说明理由；
（2）判断c与d的位置关系，并说明理由．
【答案】解：（1）a与c的位置关系是平行，
理由是：∵直线a∥b，b∥c，
∴a∥c；
（2）c与d的位置关系是相交，
理由是：∵c∥a，直线d与a相交于点A，
∴c与d的位置关系是相交．
【知识点】平行公理及推论
【解析】【分析】（1）根平行公理得出即可；
（2）根据c∥a和直线d与a相交推出即可．
15．已知直线a∥b，b∥c，c∥d，则a与d的关系是什么？为什么？
【答案】a与d平行，理由是平行具有传递性
【知识点】平行公理及推论
【解析】【解答】因为a∥b，b∥c
所以a∥c,
又c∥d,
所以a∥d.
【分析】平行的传递性仍根据“平行于同一条直线的两条直线平行”。
四、作图题
16．（2020七下·和平月考）如图，点M在∠AOB的内部．
画图： ①过点M画AO的平行线，交OB于点C；
②过点M画OB的垂线，交OB于点D；
【答案】解：①如下图MC//OA；
②如下图AD⊥OB．
【知识点】作图-平行线；作图-垂线
【解析】【分析】①把三角板1的一条边与直线OA重合，将三角板2与三角板1剩余两边中的任意一条重合，按住三角板2不动，沿着三角板2移动三角板1，当三角板1的另一边与M重合时即可画出平行线；②用直角三角板，一条直角边与OB重合，沿BO移动三角板使另一条直角边过点M画直线即可．
五、综合题
17．（2022七下·麻章期末）如图，P是∠ABC内一点，按要求完成下列问题：
（1）过点P作AB的垂线，垂足为点D；
（2）过点P作BC的平行线，交AB于点E；
（3）比较线段PD和PE的大小，并说明理由
【答案】（1）解：如图所示： PD 即为所求；
（2）解：如图所示： PE 即为所求；
（3）解：PD＜PE，
理由：直线外一点和直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．
【知识点】作图-平行线；作图-垂线；线段的长短比较
【解析】【分析】根据要求作出图象即可。
18．（2022七下·滨海期末）李强同学学完“相交线与平行线”一章后，在一本数学读物上看到一种只利用圆规和无刻度直尺作图的方法：
① 以∠AOB的顶点O为圆心，以适当长为半径画弧，交OA边于点M，交OB边于点N；② 作一条射线CD，以点C为圆心，以OM长为半径画弧，与射线CD交于点E；③ 以点E为圆心，以MN长为半径画弧，与②中所画弧交于点F；④ 过点F作射线CP，则∠PCD=∠BOA．如图1：
李强想利用这种方法过平面内一点Q作直线l的平行线a，如图2．
（1）李强同学能借助上述方法作出直线l的平行线a吗？ （填“能”或“不能”）.
（2）如果能，请在图2中作出直线a， 保留作图痕迹，并说明能够证明这两条直线平行的理由： ▲ ．
【答案】（1）能
（2）如图所示，
证明这两条直线平行的理由：同位角相等，两直线平行
【知识点】作图-平行线；作图-角
【解析】【解答】解：（1）根据题目中的方法，作出角与已知角相等，再由平行线的判定从而得到平行线，即可用上述方法作出直线l的平行线a；
【分析】（1）作出角与已知角相等，再由平行线的判定即的结论；
（2）根据同位角相等，两直线平行即可判定.
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