2023-2024学年人教版初中数学七年级下册5.2.1 平行线 同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2022九下·磐安期中）如图，工人师傅用角尺画出工件边缘 的垂线 和 ，得到 理由是（ ）
A．连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
B．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行
C．在同一平面内，过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线
D．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
【答案】B
【知识点】平行公理及推论
【解析】【解答】解：由题意 ， ，
∴a∥b（同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 ）.
故答案为：B.
【分析】由同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行进行解答.
2．（2022·鄂尔多斯）下列尺规作图不能得到平行线的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】作图-平行线
【解析】【解答】解：A.根据同位角相等两直线平行可知，能得到平行线，故A不符合题意；
B.根据在同一平面内，垂直于同一直线两直线平行可知，能得到平行线，故B不符合题意；
C.根据内错角相等两直线平行可知，能得到平行线，故C不符合题意；
D.作一个角的平分线和这个角一边的垂线，不一定能够得到平行线，故D符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据作平行线的方法对每个选项一一判断即可。
3．（2022七下·温岭期中）下列命题中：①有公共顶点和一条公共边的两个角一定是邻补角；②垂直于同一条直线的两条直线互相垂直；③相等的角是对顶角；④经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行；其中真命题的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【知识点】垂线；平行公理及推论；对顶角及其性质；邻补角
【解析】【解答】解：①有公共顶点和一条公共边，且另一条边互为反向延长线的两个角一定是邻补角；故①为假命题；
②同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相垂直；故②为假命题；
③两边互为反向延长线的角是对顶角；故③为假命题；
④经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行；故④为真命题；
综上：只有④为真命题，
故答案为：B
【分析】利用邻补角的定义，可对①作出判断；同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相垂直，可对②作出判断；根据相等的角不一定是对顶角，可对③作出判断；利用平行线公理，可对④作出判断；综上所述可得到已知命题中是真命题的个数.
4．（2022七下·环江期中）若直线a，b，c，d有下列关系，则推理正确的是（ ）
A．∵， ，
∴
B．∵，，
∴
C．∵，，
∴
D．∵，，
∴
【答案】C
【知识点】平行公理及推论
【解析】【解答】解：A、a、c都和b平行，应该推出的是，而非，故错误；
B、c、d与不同的直线平行，无法推出两者也平行，故错误；
C、b、c都和a平行，可推出是，故正确；
D、a、c与不同的直线平行，无法推出两者也平行，故错误.
故答案为：C.
【分析】根据平行公理及推论进行判断.
5．（2020七上·南岗期中）下列说法正确的是（ ）
①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
③ 是直线 外一点， 、 、 分别是直线 上的三点， ， ， ，则点 到直线 的距离一定是1；
④相等的角是对顶角；
⑤同旁内角互补．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【知识点】垂线段最短；点到直线的距离；平行公理及推论；对顶角及其性质；同旁内角
【解析】【解答】解：①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；故①符合题意；
②在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；故②不符合题意；
③直线外一点到直线上各点连结所有的线中，垂线段最短；故③错；
④对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角；故④不符合题意；
⑤两直线平行，同旁内角互补；但同旁内角不一定相等；故⑤错；
故答案为：A．
【分析】在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；垂线段最短；对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角；两直线平行，同旁内角互补，据此逐一判断即可.
6．（2020八上·淮南期末）已知直线 及直线 外一点 ，要求利用尺规作图过 点作直线 的平行线．对如图所示的两种作法，下列说法正确的是（ ）
A．两种作法都正确 B．两种作法都错误
C．左边作法正确，右边作法错误 D．右边作法正确，左边作法错误
【答案】A
【知识点】作图-平行线
【解析】【解答】作法1：通过同位角相等来确定平行线的另一点F，
作法2：通过内错角相等来确定平行线的另一点F，
作法2中，先作 的平分线，
∴
再以点D为圆心DA为半径作圆，交 的平分线于点F，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即内错角相等，
连接 ，
∴ （内错角相等，两直线平行）
∴两种作法都符合题意
故答案为：A.
【分析】左边利用同位角相等求平行线，右边利用内错角相等求平行线。
7．（2019七下·兰州期中）如图，笔直的公路一旁是电线杆，若其余电线杆都与电线杆①平行，则判断其余电线杆两两平行的根据是（ ）
A．内错角相等，两直线平行
B．同位角相等，两直线平行
C．同旁内角互补，两直线平行
D．平行于同一条直线的两条直线平行
【答案】D
【知识点】平行公理及推论
【解析】【解答】因为其余电线杆都与电线杆①平行，故其余电杆全都平行于同一直线，故可判断其根据为：平行于同一条直线的两条直线平行.
故答案为：D
【分析】因为其余电线杆都与电线杆①平行，故其余电杆全都平行于同一直线，故可判断其根据.
8．下面给出的四个语句，其中正确的有（ ）
①等角的余角相等；
②一个角的补角一定大于这个角；
③有理数分为正数和负数；
④零是最小的正数；
⑤过直线外一点可以作一条以上的直线与已知直线平行．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【知识点】余角、补角及其性质；平行公理及推论；有理数及其分类
【解析】【解答】解：①等角的余角相等，正确；
②一个角的补角不一定大于这个角，故错误；
③有理数分为正数和负数还有0，故错误；
④零是最小的正数，错误；
⑤过直线外一点能且只能作一条直线与已知直线平行，故错误，
故选A．
【分析】利用余角的定义、补角的定义、有理数的定义等知识分别判断后即可确定正确的选项．
二、填空题
9．张老师出了一道题目“若PC∥AB，QC∥AB．则点P，C，Q在一条直线上”，点点答出了其中的理由，你认为点点的回答是： 。
【答案】经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
【知识点】平行公理及推论
【解析】【解答】∵PC∥AB，QC∥AB，
∴经过直线外一点（点C），有且只有一条直线与这条直线（直线AB）平行，
∴点P，C，Q在一条直线上.
故答案为：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.
【分析】根据题意可知经过直线外一点C，有且只有一条直线与这条直线AB平行，由此可得到点P，C，Q在一条直线上.
10．（2020七上·德惠期末）如图，在直线a外有一点P，经过点P可以画无数条直线，如果 ，那么过点P的其它直线与直线a一定不平行，理由是 ．
【答案】平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.
【知识点】平行公理及推论
【解析】【解答】解：在直线a外有一点P，经过点P可以画无数条直线，但根据平行公理可知，过点P只有一条直线a平行，既然如果 ，那么过点P的其它直线与直线a一定不平行.
故答案是：平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.
【分析】根据平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，解决即可.
11．（2020·渠县模拟）如图，利用三角尺和直尺可以准确的画出直线AB∥CD，下面是某位同学弄乱了顺序的操作步骤：
①沿三角尺的边作出直线CD；
②用直尺紧靠三角尺的另一条边；
③作直线AB，并用三角尺的一条边贴住直线AB；
④沿直尺下移三角尺；正确的操作顺序应是： ．
【答案】③②④①
【知识点】作图-平行线
【解析】【解答】解：根据同位角相等两直线平行则正确的操作步骤是③②④①，
故答案为：③②④①．
【分析】根据同位角相等两直线平行判断即可．
12．（2017七下·宜春期末）如果∠ 与∠ 的两条边分别平行,其中∠ = °；∠ = °，则∠ 的度数为
【答案】50°或70°
【知识点】平行公理及推论
【解析】【解答】解：由题意得：∠A+∠B=180°或∠A=∠B，
即（x+30）+(3x-10)=180或x+30=3x-10，
解得x=40°或x=20°，
∴∠A=（40+30）°=70°或∠A=（20+30）°=50°，
故∠A的度数为50°或70°.
【分析】如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补；如果两个角的两边互相垂直，那么这两个角相等或互补；能够熟练应用来解题是关键.
三、解答题
13．如图点P是∠ABC内一点画图：
①过点P作BC的垂线，D是垂足；
②过点P作BC的平行线交AB于E，过点P作AB的平行线交BC于F．
【答案】解：如图所示：①PD即为所求；②PE，PF即为所求．
【知识点】作图-平行线；作图-垂线
【解析】【分析】①直接利用尺规过点P作PD⊥BC的垂线即可；
②利用尺规通过平移分别作BC，AB的平行线即可．
14．如图，直线a，点B，点C．
（1）过点B画直线a的平行线，能画几条？
（2）过点C画直线a的平行线，它与过点B的平行线平行吗？
【答案】解：（1）如图，过直线a外的一点画直线a的平行线，有且只有一条直线与直线a平行；
（2）过点C画直线a的平行线，它与过点B的平行线平行．理由如下：
如图，∵b∥a，c∥a，
∴c∥b．
【知识点】平行公理及推论
【解析】【分析】根据平行公理及推论进行解答．
四、作图题
15．根据下列要求画图：
（1）如图，
点A， B，C分别表示某公园平地上的三棵树，藏宝的地点D与这三棵树恰好构成一个平行四边形，请在图中作出所有可能的藏宝地点D的位置．
（2）如图，已知点P和∠ABC，以点P为顶点画∠DPE，使得PD∥ BA，PE∥ BC，然用量角器量得：∠ABC= °，∠DPE= °，并猜想∠DPE与∠ABC的关系为 ．
【答案】（1）解：如图，点D1、D2、D3就是宝藏地点的位置；
（2）60；60或120；相等或互补
【知识点】作图-平行线
【解析】【解答】解：（2）此题有两种情况：①如图1，
量得∠DPE=60°，∠ABC=60°，
∴∠ABC=∠DPE；
②如图2，
量得∠DPE=120°，
∴∠ABC+∠DPE=180°，
综上∠DPE与∠ABC是相等或互补的.
故答案为：60，60或120，相等或互补.
【分析】（1）根据平行四边形的对边平行且相等及平行线的作法，分别作出以AB、AC、BC为对角线的平行四边形，该平行四边形的第四个顶点就是所求的点D的位置；
（2）此题有两种情况，根据平行线的作法作出PD∥ BA，PE∥ BC， 然后量出∠ABC与∠DPE的度数，根据其度数可找到∠DPE与∠ABC的关系.
五、综合题
16．如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，P是AB的中点，过P点作AD的平行线交DC于Q点．
（1）PQ与BC平行吗？为什么？
（2）测DQ与CQ的长，DQ与CQ是否相等？
【答案】（1）平行．
∵PQ∥AD，AD∥BC，
∴PQ∥BC．
（2）DQ=CQ．
【知识点】平行公理及推论
【解析】【分析】第（2）问考查了学生的准确作图能力和观察分析能力。虽然不能运用当前所学知识解决，但只要准确作图，通过观察可以解决.
17．（2023七下·西安月考）课题学行线的“等角转化”功能.
（1）阅读理解：如图1，已知点A是外一点，连接、，求的度数.阅读并补充下面推理过程.
解：过点A作，
▲ ， ▲ ，
，
.
（2）方法运用：如图2，已知，求的度数；
（3）深化拓展：已知，点C在点D的右侧，，平分，平分，，所在的直线交于点E，点E在直线与之间.
①如图3，点B在点A的左侧，若，求的度数.
②如图4，点B在点A的右侧，且，.若，求度数.（用含n的代数式表示）
【答案】（1）解：，
，（两直线平行，内错角相等）；
故答案为：；
（2）解：过C作，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：①过E作，
，
，
，
平分，
，
，
平分，
，
，
，
；
②过E作，
，
，
，
平分，，
，
，
，
，
.
【知识点】平行公理及推论；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）过点A作ED∥BC，利用平行线的性质可证得∠B=∠EAB，∠C=∠DAC，利用平角为180° ，可证得结论.
（2）过点C作CF∥AB，可证得CF∥DE，利用平行线的性质可证得∠D+∠FCD=180°，∠B+∠FCB=180°，将两式相加，可证得结论.
（3）①过点E作EG∥AB，可证得EG培训CD，利用平行线的性质可推出∠GED=∠EDC，利用角平分线的定义可求出∠EDC，∠ABE的度数，即可得到∠GED的度数；再利用平行线的性质可求出∠ABE的度数，根据∠BED=∠GED+∠BEG，代入计算求出∠BED的度数；②过点E作PE∥AB，可证得PE∥CD，利用平行线的性质可求出∠PED的度数，利用角平分线的定义表示出∠ABE，然后根据平行线的性质可得到∠ABE+∠PEB=180°，可表示出∠PEB的度数；然后根据∠BED=∠PEB+∠PED，代入计算可表示出∠BED的度数.
1 / 12023-2024学年人教版初中数学七年级下册5.2.1 平行线 同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2022九下·磐安期中）如图，工人师傅用角尺画出工件边缘 的垂线 和 ，得到 理由是（ ）
A．连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
B．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行
C．在同一平面内，过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线
D．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
2．（2022·鄂尔多斯）下列尺规作图不能得到平行线的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022七下·温岭期中）下列命题中：①有公共顶点和一条公共边的两个角一定是邻补角；②垂直于同一条直线的两条直线互相垂直；③相等的角是对顶角；④经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行；其中真命题的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
4．（2022七下·环江期中）若直线a，b，c，d有下列关系，则推理正确的是（ ）
A．∵， ，
∴
B．∵，，
∴
C．∵，，
∴
D．∵，，
∴
5．（2020七上·南岗期中）下列说法正确的是（ ）
①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
③ 是直线 外一点， 、 、 分别是直线 上的三点， ， ， ，则点 到直线 的距离一定是1；
④相等的角是对顶角；
⑤同旁内角互补．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（2020八上·淮南期末）已知直线 及直线 外一点 ，要求利用尺规作图过 点作直线 的平行线．对如图所示的两种作法，下列说法正确的是（ ）
A．两种作法都正确 B．两种作法都错误
C．左边作法正确，右边作法错误 D．右边作法正确，左边作法错误
7．（2019七下·兰州期中）如图，笔直的公路一旁是电线杆，若其余电线杆都与电线杆①平行，则判断其余电线杆两两平行的根据是（ ）
A．内错角相等，两直线平行
B．同位角相等，两直线平行
C．同旁内角互补，两直线平行
D．平行于同一条直线的两条直线平行
8．下面给出的四个语句，其中正确的有（ ）
①等角的余角相等；
②一个角的补角一定大于这个角；
③有理数分为正数和负数；
④零是最小的正数；
⑤过直线外一点可以作一条以上的直线与已知直线平行．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
9．张老师出了一道题目“若PC∥AB，QC∥AB．则点P，C，Q在一条直线上”，点点答出了其中的理由，你认为点点的回答是： 。
10．（2020七上·德惠期末）如图，在直线a外有一点P，经过点P可以画无数条直线，如果 ，那么过点P的其它直线与直线a一定不平行，理由是 ．
11．（2020·渠县模拟）如图，利用三角尺和直尺可以准确的画出直线AB∥CD，下面是某位同学弄乱了顺序的操作步骤：
①沿三角尺的边作出直线CD；
②用直尺紧靠三角尺的另一条边；
③作直线AB，并用三角尺的一条边贴住直线AB；
④沿直尺下移三角尺；正确的操作顺序应是： ．
12．（2017七下·宜春期末）如果∠ 与∠ 的两条边分别平行,其中∠ = °；∠ = °，则∠ 的度数为
三、解答题
13．如图点P是∠ABC内一点画图：
①过点P作BC的垂线，D是垂足；
②过点P作BC的平行线交AB于E，过点P作AB的平行线交BC于F．
14．如图，直线a，点B，点C．
（1）过点B画直线a的平行线，能画几条？
（2）过点C画直线a的平行线，它与过点B的平行线平行吗？
四、作图题
15．根据下列要求画图：
（1）如图，
点A， B，C分别表示某公园平地上的三棵树，藏宝的地点D与这三棵树恰好构成一个平行四边形，请在图中作出所有可能的藏宝地点D的位置．
（2）如图，已知点P和∠ABC，以点P为顶点画∠DPE，使得PD∥ BA，PE∥ BC，然用量角器量得：∠ABC= °，∠DPE= °，并猜想∠DPE与∠ABC的关系为 ．
五、综合题
16．如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，P是AB的中点，过P点作AD的平行线交DC于Q点．
（1）PQ与BC平行吗？为什么？
（2）测DQ与CQ的长，DQ与CQ是否相等？
17．（2023七下·西安月考）课题学行线的“等角转化”功能.
（1）阅读理解：如图1，已知点A是外一点，连接、，求的度数.阅读并补充下面推理过程.
解：过点A作，
▲ ， ▲ ，
，
.
（2）方法运用：如图2，已知，求的度数；
（3）深化拓展：已知，点C在点D的右侧，，平分，平分，，所在的直线交于点E，点E在直线与之间.
①如图3，点B在点A的左侧，若，求的度数.
②如图4，点B在点A的右侧，且，.若，求度数.（用含n的代数式表示）
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】平行公理及推论
【解析】【解答】解：由题意 ， ，
∴a∥b（同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 ）.
故答案为：B.
【分析】由同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行进行解答.
2．【答案】D
【知识点】作图-平行线
【解析】【解答】解：A.根据同位角相等两直线平行可知，能得到平行线，故A不符合题意；
B.根据在同一平面内，垂直于同一直线两直线平行可知，能得到平行线，故B不符合题意；
C.根据内错角相等两直线平行可知，能得到平行线，故C不符合题意；
D.作一个角的平分线和这个角一边的垂线，不一定能够得到平行线，故D符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据作平行线的方法对每个选项一一判断即可。
3．【答案】B
【知识点】垂线；平行公理及推论；对顶角及其性质；邻补角
【解析】【解答】解：①有公共顶点和一条公共边，且另一条边互为反向延长线的两个角一定是邻补角；故①为假命题；
②同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相垂直；故②为假命题；
③两边互为反向延长线的角是对顶角；故③为假命题；
④经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行；故④为真命题；
综上：只有④为真命题，
故答案为：B
【分析】利用邻补角的定义，可对①作出判断；同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相垂直，可对②作出判断；根据相等的角不一定是对顶角，可对③作出判断；利用平行线公理，可对④作出判断；综上所述可得到已知命题中是真命题的个数.
4．【答案】C
【知识点】平行公理及推论
【解析】【解答】解：A、a、c都和b平行，应该推出的是，而非，故错误；
B、c、d与不同的直线平行，无法推出两者也平行，故错误；
C、b、c都和a平行，可推出是，故正确；
D、a、c与不同的直线平行，无法推出两者也平行，故错误.
故答案为：C.
【分析】根据平行公理及推论进行判断.
5．【答案】A
【知识点】垂线段最短；点到直线的距离；平行公理及推论；对顶角及其性质；同旁内角
【解析】【解答】解：①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；故①符合题意；
②在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；故②不符合题意；
③直线外一点到直线上各点连结所有的线中，垂线段最短；故③错；
④对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角；故④不符合题意；
⑤两直线平行，同旁内角互补；但同旁内角不一定相等；故⑤错；
故答案为：A．
【分析】在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；垂线段最短；对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角；两直线平行，同旁内角互补，据此逐一判断即可.
6．【答案】A
【知识点】作图-平行线
【解析】【解答】作法1：通过同位角相等来确定平行线的另一点F，
作法2：通过内错角相等来确定平行线的另一点F，
作法2中，先作 的平分线，
∴
再以点D为圆心DA为半径作圆，交 的平分线于点F，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即内错角相等，
连接 ，
∴ （内错角相等，两直线平行）
∴两种作法都符合题意
故答案为：A.
【分析】左边利用同位角相等求平行线，右边利用内错角相等求平行线。
7．【答案】D
【知识点】平行公理及推论
【解析】【解答】因为其余电线杆都与电线杆①平行，故其余电杆全都平行于同一直线，故可判断其根据为：平行于同一条直线的两条直线平行.
故答案为：D
【分析】因为其余电线杆都与电线杆①平行，故其余电杆全都平行于同一直线，故可判断其根据.
8．【答案】A
【知识点】余角、补角及其性质；平行公理及推论；有理数及其分类
【解析】【解答】解：①等角的余角相等，正确；
②一个角的补角不一定大于这个角，故错误；
③有理数分为正数和负数还有0，故错误；
④零是最小的正数，错误；
⑤过直线外一点能且只能作一条直线与已知直线平行，故错误，
故选A．
【分析】利用余角的定义、补角的定义、有理数的定义等知识分别判断后即可确定正确的选项．
9．【答案】经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
【知识点】平行公理及推论
【解析】【解答】∵PC∥AB，QC∥AB，
∴经过直线外一点（点C），有且只有一条直线与这条直线（直线AB）平行，
∴点P，C，Q在一条直线上.
故答案为：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.
【分析】根据题意可知经过直线外一点C，有且只有一条直线与这条直线AB平行，由此可得到点P，C，Q在一条直线上.
10．【答案】平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.
【知识点】平行公理及推论
【解析】【解答】解：在直线a外有一点P，经过点P可以画无数条直线，但根据平行公理可知，过点P只有一条直线a平行，既然如果 ，那么过点P的其它直线与直线a一定不平行.
故答案是：平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.
【分析】根据平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，解决即可.
11．【答案】③②④①
【知识点】作图-平行线
【解析】【解答】解：根据同位角相等两直线平行则正确的操作步骤是③②④①，
故答案为：③②④①．
【分析】根据同位角相等两直线平行判断即可．
12．【答案】50°或70°
【知识点】平行公理及推论
【解析】【解答】解：由题意得：∠A+∠B=180°或∠A=∠B，
即（x+30）+(3x-10)=180或x+30=3x-10，
解得x=40°或x=20°，
∴∠A=（40+30）°=70°或∠A=（20+30）°=50°，
故∠A的度数为50°或70°.
【分析】如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补；如果两个角的两边互相垂直，那么这两个角相等或互补；能够熟练应用来解题是关键.
13．【答案】解：如图所示：①PD即为所求；②PE，PF即为所求．
【知识点】作图-平行线；作图-垂线
【解析】【分析】①直接利用尺规过点P作PD⊥BC的垂线即可；
②利用尺规通过平移分别作BC，AB的平行线即可．
14．【答案】解：（1）如图，过直线a外的一点画直线a的平行线，有且只有一条直线与直线a平行；
（2）过点C画直线a的平行线，它与过点B的平行线平行．理由如下：
如图，∵b∥a，c∥a，
∴c∥b．
【知识点】平行公理及推论
【解析】【分析】根据平行公理及推论进行解答．
15．【答案】（1）解：如图，点D1、D2、D3就是宝藏地点的位置；
（2）60；60或120；相等或互补
【知识点】作图-平行线
【解析】【解答】解：（2）此题有两种情况：①如图1，
量得∠DPE=60°，∠ABC=60°，
∴∠ABC=∠DPE；
②如图2，
量得∠DPE=120°，
∴∠ABC+∠DPE=180°，
综上∠DPE与∠ABC是相等或互补的.
故答案为：60，60或120，相等或互补.
【分析】（1）根据平行四边形的对边平行且相等及平行线的作法，分别作出以AB、AC、BC为对角线的平行四边形，该平行四边形的第四个顶点就是所求的点D的位置；
（2）此题有两种情况，根据平行线的作法作出PD∥ BA，PE∥ BC， 然后量出∠ABC与∠DPE的度数，根据其度数可找到∠DPE与∠ABC的关系.
16．【答案】（1）平行．
∵PQ∥AD，AD∥BC，
∴PQ∥BC．
（2）DQ=CQ．
【知识点】平行公理及推论
【解析】【分析】第（2）问考查了学生的准确作图能力和观察分析能力。虽然不能运用当前所学知识解决，但只要准确作图，通过观察可以解决.
17．【答案】（1）解：，
，（两直线平行，内错角相等）；
故答案为：；
（2）解：过C作，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：①过E作，
，
，
，
平分，
，
，
平分，
，
，
，
；
②过E作，
，
，
，
平分，，
，
，
，
，
.
【知识点】平行公理及推论；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）过点A作ED∥BC，利用平行线的性质可证得∠B=∠EAB，∠C=∠DAC，利用平角为180° ，可证得结论.
（2）过点C作CF∥AB，可证得CF∥DE，利用平行线的性质可证得∠D+∠FCD=180°，∠B+∠FCB=180°，将两式相加，可证得结论.
（3）①过点E作EG∥AB，可证得EG培训CD，利用平行线的性质可推出∠GED=∠EDC，利用角平分线的定义可求出∠EDC，∠ABE的度数，即可得到∠GED的度数；再利用平行线的性质可求出∠ABE的度数，根据∠BED=∠GED+∠BEG，代入计算求出∠BED的度数；②过点E作PE∥AB，可证得PE∥CD，利用平行线的性质可求出∠PED的度数，利用角平分线的定义表示出∠ABE，然后根据平行线的性质可得到∠ABE+∠PEB=180°，可表示出∠PEB的度数；然后根据∠BED=∠PEB+∠PED，代入计算可表示出∠BED的度数.
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