2023-2024学年人教版初中数学七年级下册5.3.1 平行线的性质 同步分层训练提升题
一、选择题
1．如图，已知l1∥l2，∠1=50°，则∠2等于（ ）
A．135° B．130° C．50° D．40°
2．如果两条直线被第三条直线所截，那么（ ）
A．同位角相等 B．内错角相等
C．同旁内角互补 D．对顶角相等
3．将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置，若∠1=55°，则∠2的度数为（ ）
A．135° B．130° C．45° D．35°
4．如图，平分，求证：.以下是排乱的证明过程：
①(已知)，
②平分(已知)，
③(角平分线的定义)，
④(两直线平行，同位角相等)，
⑤(等量代换).
证明步 顺序正确的是（ ）
A．③②①④⑤ B．①④②③⑤
C．①③④②⑤ D．①④③②⑤
5．（2023九上·贵阳期中）如图，一条街道有两个拐角和，已知，若，则的度数是（ ）
A．30° B．120° C．130° D．150°
6．如图，已知AB∥EF．若∠C=90°，则∠α，∠β，∠γ之间的关系是（ ）
A．∠β=∠α+∠γ B．∠α+∠β+∠γ=180°
C．∠α+∠β-∠γ=90° D．∠β+∠γ-∠α=90°
7．（2023八上·怀宁期中） 一把直尺与一块直角三角板按如图方式摆放，若∠1=46°，则∠2=（ ）
A．46° B．44° C．42° D．40°
8．生活中常见的探照灯、汽车大灯等灯具都与抛物线有关。如图，从光源P点照射到抛物线上的光线PA，PB等反射以后沿着与直线PF平行的方向射出，若∠CAP=α，∠DBP=β，则∠APB的度数为（ ）
A．2α B．2β C．α+β D．(α+β)
二、填空题
9．如图，l1∥l2，直线AB截l1于点A，截l2于点B，BC⊥AB，若∠1=30°，则∠2= °
10．如图，已知∠1=60°，∠2=58°，∠3=60°，则∠4= ．
11．如图，在三角形ABC中，D，E，F分别是三条边上的点，EF∥AC，DF∥AB，∠B=45°，∠C=60°，则∠EFD的度数为 .
12．（2017七下·巨野期中）把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后ED与BC的交点为G，D、C分别在M、N的位置上，若∠EFG=49°，则∠2﹣∠1= ．
13．（2023七下·江汉期末）如图，，在的两边上分别过点A和点C向同方向作射线和，且，若和的角平分线所在的直线交于点P（P与C不重合），则的大小为 ．
三、解答题
14．如图，AB∥CD，CB平分∠ACD，∠A=50°，求∠B的度数．
15．如图，已知∠EPM=∠FQM．∠AEP=∠CFQ．试说明AB∥CD的理由．
四、作图题
16．（2023七下·仓山期末）如图，．【友情提示：尺规作图要用圆规，并保留痕迹；画完图要写完整结论】
（1）尺规作图：在上取一点，使；
（2）画图：过点画直线交于点；
（3）在（1）（2）的条件下，连接，若，求的度数．
五、综合题
17．（2023七下·博罗期末）如图，，．
（1）试判断与的位置关系，并说明理由；
（2）若，，求的度数．
18．（2022七下·密云期末）已知：点C是∠AOB的OA边上一点（点C不与点O重合），点D是∠AOB内部一点，射线CD不与OB相交．
（1）如图1，∠AOB＝90°，∠OCD＝120°，过点O作射线OE，使得OE//CD．（其中点E在∠AOB内部）．
①依据题意，补全图1；
②直接写出∠BOE的度数．
（2）如图2，点F是射线OB上一点，且点F不与点O重合，当时，过点F作射线FH，使得FH//CD（其中点H在∠AOB的外部），用含的代数式表示∠OCD与∠BFH的数量关系，并证明．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵ l1∥l2，
∴∠1+∠2=180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵∠1=50°，
∴∠2=180°-∠1=130°.
故答案为：B.
【分析】由两直线平行，同旁内角互补，得∠1+∠2=180°，进而代入∠1的度数可求出∠2的度数.
2．【答案】D
【知识点】平行线的性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：A、两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，故此选项错误，不符合题意；
B、两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，故此选项错误，不符合题意；
C、两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，故此选项错误，不符合题意；
D、两条直线被第三条直线所截，对顶角相等，故此选项正确，符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补，可判断A、B、C选项；由对顶角相等可判断D选项.
3．【答案】D
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵∠1=55°，
∴∠3=180°-90°-55°=35°，
∵a∥b，
∴∠2=∠3=35°（两直线平行，同位角相等）.
故答案为：D.
【分析】首先由平角定义算出∠3的度数，进而根据两直线平行，同位角相等，得∠2=∠3=35°.
4．【答案】B
【知识点】平行线的判定与性质；证明过程
【解析】【解答】.
平分，
，
.
故正确的证明步聚是①④②③⑤.
【分析】根据两直线平行，同位角相等，可得∠2=∠3；根据角平分线的性质，可得∠1=∠2；根据等量代换原则，可得∠1=∠3.
5．【答案】D
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】 ，
=
，
= .
故答案为：D.
【分析】根据平行线的性质即可求解.
6．【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图，延长CD交EF于点H，延长DC交AB于点G，
∵AB∥EF，
∴∠BGH=∠GHE（两直线平行，内错角相等），
∵∠BCD=90°，
∴∠BCG=90°，
∴∠BGH+∠α=90°①，
∵ ∠β+∠EDH=180°，∠EDH+∠GHE+∠γ=180°，
∴ ∠β=∠γ+∠GHE②，
①+②得∠BGH+∠α+∠β=∠γ+∠GHE+90°，
∴ α+∠β-∠γ=90° .
故答案为：C.
【分析】延长CD交EF于点H，延长DC交AB于点G，由两直线平行，内错角相等，得∠BGH=∠GHE，根据直角三角形的两锐角互余得∠BGH+∠α=90°①，由邻补角、三角形的内角和定理可推出∠β=∠γ+∠GHE②，然后根据等式的性质由①+②并整理可得结论.
7．【答案】B
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图，过点G作GH∥AB，则GH∥AB∥CD
∴∠1=∠EGH，∠2=∠FGH，
∵∠1=46°，
∴∠EGH=46°，
由直角三角板得，∠EGF=90°，
∴∠2=∠FGH=∠EGF-∠EGH=90°-46°=44°.
故答案为：B.
【分析】过点G作GH∥AB，根据平行公理得GH∥AB∥CD，利用平行线的性质得∠1=∠EGH，∠2=∠FGH，由∠1的度数求得∠EGH，由直角三角板得，∠EGF=90°，进行计算即可解答.
8．【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵AC∥EF， ∠CAP=α，
∴∠CAP=∠APE=α（二直线平行，内错角相等），
∵BD∥EF， ∠DBP=β，
∴∠BPE=∠DBP=β（二直线平行，内错角相等），
∴∠APB=∠APE+∠BPE=α+β.
故答案为：α+β.
【分析】由二直线平行，内错角相等，得∠CAP=∠APE=α，∠BPE=∠DBP=β，进而根据角的和差，由∠APB=∠APE+∠BPE可算出答案.
9．【答案】60
【知识点】垂线；平行线的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵BC⊥AB，
∴∠ABC=90°（垂直定义），
∵∠1=30°，
∴∠3=180°-∠ABC-∠1=60°，
∵l1∥l2，
∴∠2=∠3=60°（两直线平行，同位角相等）.
故答案为：60.
【分析】由垂直定义得∠ABC=90°，由平角定义可求出∠3的度数，进而根据两直线平行，同位角相等可求出∠2的度数.
10．【答案】122°
【知识点】平行线的判定与性质；邻补角
【解析】【解答】解：如图：
∵∠1=∠3=60°，
∴a∥b，
∴∠5=∠2=58°，
∴∠4=180°-∠5=180°-58°=122°；
故答案为：122°.
【分析】根据同位角相等，两直线平行可得a∥b，根据两直线平行，同位角相等可得可得∠2=∠5，根据两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，叫做邻补角；一个角与它的邻补角的和等于180°即可求得∠4.
11．【答案】75°
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵EF∥AC， ∠C=60°，
∴∠EFB=∠C=60°（两直线平行，同位角相等），
∵ DF∥AB，∠B=45°，
∴∠DFC=∠B=45°（两直线平行，同位角相等），
∴∠EFD=180°-∠EFB-∠DFC=75°.
故答案为：75°.
【分析】由两直线平行，同位角相等，得∠EFB=∠C=60°，∠DFC=∠B=45°，进而根据平角定义可求出∠EFD得度数.
12．【答案】16°
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠2=∠DEG，∠EFG=∠DEG=49°，
∵长方形纸片ABCD沿EF折叠后ED与BC的交点为G，
∴∠DEF=∠GEF=49°，
∴∠2=2×49°=98°，
∴∠1=180°﹣98°=82°，
∴∠2﹣∠1=98°﹣82°=16°．
故答案为16°．
【分析】先利用平行线的性质得∠2=∠DEG，∠EFG=∠DEG=49°，再根据折叠的性质得∠DEF=∠GEF=49°，所以∠2=98°，接着利用互补计算出∠1，然后计算∠2﹣∠1．
13．【答案】
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：如图：过P作PG∥AB，过E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF∥PG，
∴∠EAB+∠AEF=180°，∠CEF+∠ECD=180°，
∠CPG+∠PCD=180°，∠PAB+∠APG=180°，
而∠AEF=∠AEC+∠CEF，∠APG=∠APC+∠CPG，
∴∠AEC=∠ECD-∠EAB=80°，∠APC=∠PCD-∠PAB，
又∵ ∠EAB和∠ECD的角平分线所在的直线交于点P（P与C不重合） ，
∴∠PAB=∠EAB，∠PCD=∠ECD，
∴∠APC=∠PCD-∠PAB=∠ECD-∠EAB=∠AEC=40°.
故答案为：40°.
【分析】过P作PG∥AB，过E作EF∥AB，由平行线的传递性可得AB∥CD∥EF∥PG，根据平行线的性质和角的构成即可得∠AEC=∠ECD-∠EAB=80°，∠APC=∠PCD-∠PAB，然后由角平分线的定义即可求解.
14．【答案】解：∵AB∥CD，
∴∠A+∠ACD=180°，
又∵∠A=50°，
∴∠ACD=130°，
∵CB平分∠ACD，
∴∠BCD=∠ACD=65°，
∵AB∥CD，
∴∠B=∠BCD=65°.
【知识点】平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【分析】由二直线平行，同旁内角互补可得∠A+∠ACD=180°，代入∠A的度数可以算出∠ACD的度数，进而根据角平分线的定义可算出∠BCD的度数，最后再根据二直线平行，内错角相等，可得∠B的度数.
15．【答案】解：∵ ∠EPM=∠FQM ，
∴PE∥FQ，
∴ ∠PEM=∠QFM ，
又∵ ∠AEP=∠CFQ ，
∴ ∠PEM-∠AEP=∠QFM-∠CFQ ，
即∠AEM=∠CFM，
∴AB∥CD.
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】由同位角相等，两直线平行，得PE∥FQ，由两直线平行，同位角相等，得∠PEM=∠QFM ，结合∠AEP=∠CFQ ，根据等式的性质可以推出∠AEM=∠CFM，最后再根据同位角相等，两直线平行，得出结论.
16．【答案】（1）解：如图所示，点D就是所要作的点；
（2）解：如图所示，DE及点E就是所要画的图；
（3）解：∵，
∴，
∵，点在上
∴
．
【知识点】平行线的性质；作图-平行线
【解析】【分析】（1）以点B为圆心，BC的长为半径画弧，与AB交于点D，点D就是所求的点；
（2）利用尺规作图法以点D为顶点，DA为一边，在△ABC内作∠ADE=∠B，射线DE交AC于点E，由同位角相等，两直线平行可得直线DE就是所求的与BC平行的直线；
（3）首先由二直线平行，内错角相等可得∠CDE=∠BCD=70°，进而根据平角定义即可求出∠ADE的度数.
17．【答案】（1）解：；理由如下：
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴；
故的度数为
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】(1)由∠AGF=∠ABC，可判断GF∥BC，则∠1=∠3，由∠1＋∠2=180°得出∠3＋∠2=180°，判断出BF∥DE，借助内错角相等，两直线平行和等量代换.
(2)由，可知∠BFA=90°，求∠AFG只需要知道∠1即可，而∠1＋2=180°，∠2=132°，从而可以计算.
18．【答案】（1）解：①依据题意，补全图1如下：
②30°
（2）解：∠OCD+∠BFH＝360°﹣α，
证明：过点O作OM∥CD∥FH，
∴∠OCD+∠COM＝180°，∠MOF＝∠OFH，
又∵∠BFH+∠OFH＝180°，
∴180°﹣∠OCD+180°﹣∠BFH＝α，
∴∠OCD+∠BFH＝360°﹣α．
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：(1)②∵CD∥OE，
∴∠OCD+∠COE＝180°，
∵∠OCD＝120°，
∴∠COE＝60°，
∵∠AOB＝90°，
∴∠BOE＝90°﹣∠COE＝90°﹣60°＝30°；
【分析】（1）①根据题意补图即可；②根据平行线的性质求出即可；
（2）过点O作OM∥CD∥FH，根据平行线的性质得出量角的数量关系即可。
1 / 12023-2024学年人教版初中数学七年级下册5.3.1 平行线的性质 同步分层训练提升题
一、选择题
1．如图，已知l1∥l2，∠1=50°，则∠2等于（ ）
A．135° B．130° C．50° D．40°
【答案】B
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵ l1∥l2，
∴∠1+∠2=180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵∠1=50°，
∴∠2=180°-∠1=130°.
故答案为：B.
【分析】由两直线平行，同旁内角互补，得∠1+∠2=180°，进而代入∠1的度数可求出∠2的度数.
2．如果两条直线被第三条直线所截，那么（ ）
A．同位角相等 B．内错角相等
C．同旁内角互补 D．对顶角相等
【答案】D
【知识点】平行线的性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：A、两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，故此选项错误，不符合题意；
B、两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，故此选项错误，不符合题意；
C、两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，故此选项错误，不符合题意；
D、两条直线被第三条直线所截，对顶角相等，故此选项正确，符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补，可判断A、B、C选项；由对顶角相等可判断D选项.
3．将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置，若∠1=55°，则∠2的度数为（ ）
A．135° B．130° C．45° D．35°
【答案】D
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵∠1=55°，
∴∠3=180°-90°-55°=35°，
∵a∥b，
∴∠2=∠3=35°（两直线平行，同位角相等）.
故答案为：D.
【分析】首先由平角定义算出∠3的度数，进而根据两直线平行，同位角相等，得∠2=∠3=35°.
4．如图，平分，求证：.以下是排乱的证明过程：
①(已知)，
②平分(已知)，
③(角平分线的定义)，
④(两直线平行，同位角相等)，
⑤(等量代换).
证明步 顺序正确的是（ ）
A．③②①④⑤ B．①④②③⑤
C．①③④②⑤ D．①④③②⑤
【答案】B
【知识点】平行线的判定与性质；证明过程
【解析】【解答】.
平分，
，
.
故正确的证明步聚是①④②③⑤.
【分析】根据两直线平行，同位角相等，可得∠2=∠3；根据角平分线的性质，可得∠1=∠2；根据等量代换原则，可得∠1=∠3.
5．（2023九上·贵阳期中）如图，一条街道有两个拐角和，已知，若，则的度数是（ ）
A．30° B．120° C．130° D．150°
【答案】D
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】 ，
=
，
= .
故答案为：D.
【分析】根据平行线的性质即可求解.
6．如图，已知AB∥EF．若∠C=90°，则∠α，∠β，∠γ之间的关系是（ ）
A．∠β=∠α+∠γ B．∠α+∠β+∠γ=180°
C．∠α+∠β-∠γ=90° D．∠β+∠γ-∠α=90°
【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图，延长CD交EF于点H，延长DC交AB于点G，
∵AB∥EF，
∴∠BGH=∠GHE（两直线平行，内错角相等），
∵∠BCD=90°，
∴∠BCG=90°，
∴∠BGH+∠α=90°①，
∵ ∠β+∠EDH=180°，∠EDH+∠GHE+∠γ=180°，
∴ ∠β=∠γ+∠GHE②，
①+②得∠BGH+∠α+∠β=∠γ+∠GHE+90°，
∴ α+∠β-∠γ=90° .
故答案为：C.
【分析】延长CD交EF于点H，延长DC交AB于点G，由两直线平行，内错角相等，得∠BGH=∠GHE，根据直角三角形的两锐角互余得∠BGH+∠α=90°①，由邻补角、三角形的内角和定理可推出∠β=∠γ+∠GHE②，然后根据等式的性质由①+②并整理可得结论.
7．（2023八上·怀宁期中） 一把直尺与一块直角三角板按如图方式摆放，若∠1=46°，则∠2=（ ）
A．46° B．44° C．42° D．40°
【答案】B
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图，过点G作GH∥AB，则GH∥AB∥CD
∴∠1=∠EGH，∠2=∠FGH，
∵∠1=46°，
∴∠EGH=46°，
由直角三角板得，∠EGF=90°，
∴∠2=∠FGH=∠EGF-∠EGH=90°-46°=44°.
故答案为：B.
【分析】过点G作GH∥AB，根据平行公理得GH∥AB∥CD，利用平行线的性质得∠1=∠EGH，∠2=∠FGH，由∠1的度数求得∠EGH，由直角三角板得，∠EGF=90°，进行计算即可解答.
8．生活中常见的探照灯、汽车大灯等灯具都与抛物线有关。如图，从光源P点照射到抛物线上的光线PA，PB等反射以后沿着与直线PF平行的方向射出，若∠CAP=α，∠DBP=β，则∠APB的度数为（ ）
A．2α B．2β C．α+β D．(α+β)
【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵AC∥EF， ∠CAP=α，
∴∠CAP=∠APE=α（二直线平行，内错角相等），
∵BD∥EF， ∠DBP=β，
∴∠BPE=∠DBP=β（二直线平行，内错角相等），
∴∠APB=∠APE+∠BPE=α+β.
故答案为：α+β.
【分析】由二直线平行，内错角相等，得∠CAP=∠APE=α，∠BPE=∠DBP=β，进而根据角的和差，由∠APB=∠APE+∠BPE可算出答案.
二、填空题
9．如图，l1∥l2，直线AB截l1于点A，截l2于点B，BC⊥AB，若∠1=30°，则∠2= °
【答案】60
【知识点】垂线；平行线的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵BC⊥AB，
∴∠ABC=90°（垂直定义），
∵∠1=30°，
∴∠3=180°-∠ABC-∠1=60°，
∵l1∥l2，
∴∠2=∠3=60°（两直线平行，同位角相等）.
故答案为：60.
【分析】由垂直定义得∠ABC=90°，由平角定义可求出∠3的度数，进而根据两直线平行，同位角相等可求出∠2的度数.
10．如图，已知∠1=60°，∠2=58°，∠3=60°，则∠4= ．
【答案】122°
【知识点】平行线的判定与性质；邻补角
【解析】【解答】解：如图：
∵∠1=∠3=60°，
∴a∥b，
∴∠5=∠2=58°，
∴∠4=180°-∠5=180°-58°=122°；
故答案为：122°.
【分析】根据同位角相等，两直线平行可得a∥b，根据两直线平行，同位角相等可得可得∠2=∠5，根据两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，叫做邻补角；一个角与它的邻补角的和等于180°即可求得∠4.
11．如图，在三角形ABC中，D，E，F分别是三条边上的点，EF∥AC，DF∥AB，∠B=45°，∠C=60°，则∠EFD的度数为 .
【答案】75°
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵EF∥AC， ∠C=60°，
∴∠EFB=∠C=60°（两直线平行，同位角相等），
∵ DF∥AB，∠B=45°，
∴∠DFC=∠B=45°（两直线平行，同位角相等），
∴∠EFD=180°-∠EFB-∠DFC=75°.
故答案为：75°.
【分析】由两直线平行，同位角相等，得∠EFB=∠C=60°，∠DFC=∠B=45°，进而根据平角定义可求出∠EFD得度数.
12．（2017七下·巨野期中）把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后ED与BC的交点为G，D、C分别在M、N的位置上，若∠EFG=49°，则∠2﹣∠1= ．
【答案】16°
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠2=∠DEG，∠EFG=∠DEG=49°，
∵长方形纸片ABCD沿EF折叠后ED与BC的交点为G，
∴∠DEF=∠GEF=49°，
∴∠2=2×49°=98°，
∴∠1=180°﹣98°=82°，
∴∠2﹣∠1=98°﹣82°=16°．
故答案为16°．
【分析】先利用平行线的性质得∠2=∠DEG，∠EFG=∠DEG=49°，再根据折叠的性质得∠DEF=∠GEF=49°，所以∠2=98°，接着利用互补计算出∠1，然后计算∠2﹣∠1．
13．（2023七下·江汉期末）如图，，在的两边上分别过点A和点C向同方向作射线和，且，若和的角平分线所在的直线交于点P（P与C不重合），则的大小为 ．
【答案】
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：如图：过P作PG∥AB，过E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF∥PG，
∴∠EAB+∠AEF=180°，∠CEF+∠ECD=180°，
∠CPG+∠PCD=180°，∠PAB+∠APG=180°，
而∠AEF=∠AEC+∠CEF，∠APG=∠APC+∠CPG，
∴∠AEC=∠ECD-∠EAB=80°，∠APC=∠PCD-∠PAB，
又∵ ∠EAB和∠ECD的角平分线所在的直线交于点P（P与C不重合） ，
∴∠PAB=∠EAB，∠PCD=∠ECD，
∴∠APC=∠PCD-∠PAB=∠ECD-∠EAB=∠AEC=40°.
故答案为：40°.
【分析】过P作PG∥AB，过E作EF∥AB，由平行线的传递性可得AB∥CD∥EF∥PG，根据平行线的性质和角的构成即可得∠AEC=∠ECD-∠EAB=80°，∠APC=∠PCD-∠PAB，然后由角平分线的定义即可求解.
三、解答题
14．如图，AB∥CD，CB平分∠ACD，∠A=50°，求∠B的度数．
【答案】解：∵AB∥CD，
∴∠A+∠ACD=180°，
又∵∠A=50°，
∴∠ACD=130°，
∵CB平分∠ACD，
∴∠BCD=∠ACD=65°，
∵AB∥CD，
∴∠B=∠BCD=65°.
【知识点】平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【分析】由二直线平行，同旁内角互补可得∠A+∠ACD=180°，代入∠A的度数可以算出∠ACD的度数，进而根据角平分线的定义可算出∠BCD的度数，最后再根据二直线平行，内错角相等，可得∠B的度数.
15．如图，已知∠EPM=∠FQM．∠AEP=∠CFQ．试说明AB∥CD的理由．
【答案】解：∵ ∠EPM=∠FQM ，
∴PE∥FQ，
∴ ∠PEM=∠QFM ，
又∵ ∠AEP=∠CFQ ，
∴ ∠PEM-∠AEP=∠QFM-∠CFQ ，
即∠AEM=∠CFM，
∴AB∥CD.
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】由同位角相等，两直线平行，得PE∥FQ，由两直线平行，同位角相等，得∠PEM=∠QFM ，结合∠AEP=∠CFQ ，根据等式的性质可以推出∠AEM=∠CFM，最后再根据同位角相等，两直线平行，得出结论.
四、作图题
16．（2023七下·仓山期末）如图，．【友情提示：尺规作图要用圆规，并保留痕迹；画完图要写完整结论】
（1）尺规作图：在上取一点，使；
（2）画图：过点画直线交于点；
（3）在（1）（2）的条件下，连接，若，求的度数．
【答案】（1）解：如图所示，点D就是所要作的点；
（2）解：如图所示，DE及点E就是所要画的图；
（3）解：∵，
∴，
∵，点在上
∴
．
【知识点】平行线的性质；作图-平行线
【解析】【分析】（1）以点B为圆心，BC的长为半径画弧，与AB交于点D，点D就是所求的点；
（2）利用尺规作图法以点D为顶点，DA为一边，在△ABC内作∠ADE=∠B，射线DE交AC于点E，由同位角相等，两直线平行可得直线DE就是所求的与BC平行的直线；
（3）首先由二直线平行，内错角相等可得∠CDE=∠BCD=70°，进而根据平角定义即可求出∠ADE的度数.
五、综合题
17．（2023七下·博罗期末）如图，，．
（1）试判断与的位置关系，并说明理由；
（2）若，，求的度数．
【答案】（1）解：；理由如下：
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴；
故的度数为
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】(1)由∠AGF=∠ABC，可判断GF∥BC，则∠1=∠3，由∠1＋∠2=180°得出∠3＋∠2=180°，判断出BF∥DE，借助内错角相等，两直线平行和等量代换.
(2)由，可知∠BFA=90°，求∠AFG只需要知道∠1即可，而∠1＋2=180°，∠2=132°，从而可以计算.
18．（2022七下·密云期末）已知：点C是∠AOB的OA边上一点（点C不与点O重合），点D是∠AOB内部一点，射线CD不与OB相交．
（1）如图1，∠AOB＝90°，∠OCD＝120°，过点O作射线OE，使得OE//CD．（其中点E在∠AOB内部）．
①依据题意，补全图1；
②直接写出∠BOE的度数．
（2）如图2，点F是射线OB上一点，且点F不与点O重合，当时，过点F作射线FH，使得FH//CD（其中点H在∠AOB的外部），用含的代数式表示∠OCD与∠BFH的数量关系，并证明．
【答案】（1）解：①依据题意，补全图1如下：
②30°
（2）解：∠OCD+∠BFH＝360°﹣α，
证明：过点O作OM∥CD∥FH，
∴∠OCD+∠COM＝180°，∠MOF＝∠OFH，
又∵∠BFH+∠OFH＝180°，
∴180°﹣∠OCD+180°﹣∠BFH＝α，
∴∠OCD+∠BFH＝360°﹣α．
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：(1)②∵CD∥OE，
∴∠OCD+∠COE＝180°，
∵∠OCD＝120°，
∴∠COE＝60°，
∵∠AOB＝90°，
∴∠BOE＝90°﹣∠COE＝90°﹣60°＝30°；
【分析】（1）①根据题意补图即可；②根据平行线的性质求出即可；
（2）过点O作OM∥CD∥FH，根据平行线的性质得出量角的数量关系即可。
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