2023-2024学年人教版初中数学七年级下册5.3.1 平行线的性质 同步分层训练培优题
一、选择题
1．如图，已知∠1=70°，CD∥BE，则∠B的度数为（ ）
A．70° B．100° C．110° D．120°
【答案】C
【知识点】平行线的性质；邻补角
【解析】【解答】解：如图，
∵∠1=70°，∠1+∠2=180°，
∴∠2=180°-∠1=110°，
∵BE∥CD，
∴∠B=∠2=110°（两直线平行，同位角相等）.
故答案为：C.
【分析】由邻补角算出∠2的度数，进而根据二直线平行，同位角相等，可得∠B的度数.
2．（2024八上·交城期中）如图，∠ACD是△ABC的外角，CE∥AB，若∠ACB=75°，∠ECD=50°，则∠A的度数为（ ）
A．50° B．55° C．70° D．75°
【答案】B
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图：
∵∠ACB=75°，
∴∠ACD=180°-75°=105°，
∴∠ACE=∠ACD-∠ECD=55°，
∵CE∥AB，
∴∠A=∠ACE=55°.
∴A，C，D错误，B正确。
故答案为：B.
【分析】先求∠ACD，再求∠ACE，最后根据平行线性质求∠A。
3．（2018·河北）如图，快艇从P处向正北航行到A处时，向左转50°航行到B处，再向右转80°继续航行，此时的航行方向为（ ）
A．北偏东30° B．北偏东80° C．北偏西30° D．北偏西50°
【答案】A
【知识点】钟面角、方位角；平行线的性质
【解析】【解答】如图，
AP∥BC，
∴∠2=∠1=50°，
∵∠EBF=80°=∠2+∠3，
∴∠3=∠EBF﹣∠2=80°﹣50°=30°，
∴此时的航行方向为北偏东30°，
故答案为：A．
【分析】由题意可知：∠1=50°，∠2+∠3=80°，根据正北方向线平行，可求出∠2的度数，从而可求出∠3的度数，再根据方位角的定义，可求解。
4．（2023八上·鹿城开学考）如图，下列结论不正确的是（ ）
A．若∠2＝∠C，则AE∥CD B．若AD∥BC，则∠1＝∠B
C．若AE∥CD，则∠1＋∠3＝180° D．若∠1＝∠2，则AD∥BC
【答案】B
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：A、若∠2＝∠C，则AE∥CD，故选项A正确，不符合题意；
B、若AD∥BC，则∠1＝∠2，故选项B错误，符合题意；
C、若AE∥CD，则∠1＋∠3＝180°，故选项C正确，不符合题意；
D、若∠1＝∠2，则AD∥BC，故选项D正确，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】由同位角相等，两直线平行，可判断A选项；由内错角相等，两直线平行，可判断D选项；由两直线平行，内错角相等，可判断B选项；由两直线平行，同旁内角互补，可判断C选项.
5．（2023八上·成武开学考）如图，将三角形纸片ABC沿虚线剪掉两角得五边形CDEFG，若，，根据所标数据，则的度数为（ ）
A．54° B．64° C．66° D．72°
【答案】B
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：如图所示：
根据题意可得：∠DEF=126°，∠FGC=118°，
∴∠AED=180°-126°=54°，∠BGF=180°-118°=62°，
∵DE//CG，FG//CD，
∴∠B=∠AED=54°，∠C=∠BGF=62°，
∴∠A=180°-∠B-∠C=64°，
故答案为：B.
【分析】利用平行线的性质可得∠B=∠AED=54°，∠C=∠BGF=62°，再利用角的运算求出∠A=180°-∠B-∠C=64°即可.
6．（2023八上·大名月考）下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容，则回答正确的是（ ）
已知：如图，，，垂足为D，F，． 求证：． 证明：∵，， ∴ ◎ ， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴ @ （两直线平行，同旁内角互补）． 又∵， ∴ ▲ （同角的补角相等）， ∴（ ※ 相等，两直线平行）．
A．◎代表 B．@代表
C．▲代表 D．※代表同位角
【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：A： ∵，，∴∠BDC=∠EFC=90°（虽然∠BDC=∠EFD=90°也正确，但是∠BDC与∠EFD不是同位角），所以A不正确；
B：@代表的是∠DBC，∠CEF与∠2不是同旁内角，所以B不正确；
C：因为∠2+∠DBC=180°， ，所以∠1=∠DBC，所以C正确；
D：因为∠1和∠DBC是一对内错角，所以 ※ 代表的是内错角，所以D不正确。
故答案为：C。
【分析】首先根据 （同位角相等，两直线平行）， 判定A不正确；根据 @ （两直线平行，同旁内角互补），判定B不正确；再根据∠2+∠DBC=180°， ，根据不叫的性质得出∠1=∠DBC，所以C正确；由示意图知道∠1与∠DBC是一对内错角，故而得出D不正确，从而得到正确答案。
7．（2023七下·黄岩期末）如图，将一副直角三角尺的其中两个顶点重合叠放．其中含角的三角尺固定不动，将含角的三角尺绕顶点B顺时针转动（转动角度小于）．当与三角尺的其中一条边所在的直线互相平行时，的度数是（ ）
A．或或 B．或或
C．或或 D．或或
【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC是含有30°角的三角板，
∴∠A=30°，∠ABC=60°，∠C=90°.
∵△DBE是含45°角的三角板，
∴∠BED=∠D=45°，∠EBD=90°.
①当DE∥AC时，BC⊥DE.
∵BE=BD，∠EBD=90°，
∴BC平分∠DBE，
∴∠EBC=45°，
∴∠ABE=∠ABC-∠EBC=15°；
②当DE∥AB时，∠ABE=∠E=45°.
③当DE∥BC时，∠CBE=∠E=45°，
∴∠ABE=∠ABC+∠CBE=60°+45°=105°，
综上∠ABE的度数为：15°或45°或105°.
故答案为：C.
【分析】画出示意图，然后根据平行线的性质以及角的和差关系进行计算.
8．（2023七下·上虞期末）将一副三角板如图放置，则下列结论中，正确的是（ ）
①；②如果，则有；③如果，则有；④如果，则有．
A．①②③④ B．③④ C．①②④ D．①②③
【答案】D
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：∵∠CAB＋∠DAE=180°，
∴∠1+∠2+∠2+∠3=180°，即∠1+2∠2+∠3=180°，故①正确；
∵BC∥DA，
∴∠3=∠B=45°，
∴∠2=90°-∠3=45°，故②正确；
∵∠3=60°，
∴∠2=90°-60°=30°，∠1=90°-∠2=60°，
∴∠E=∠1，
∴AC∥DE，故③正确；
∵∠1+∠3=90°，∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3=45°，
∴∠3=∠B，
∴AD∥BC，
∴∠4=∠D=30°，故④错误.
故答案为：D.
【分析】根据三角板中的角度进行计算即可得∠CAB＋∠DAE=180°即可判断①；根据平行线得性质可得∠3=∠B，可得∠2=90°-∠3=45°，即可判断② ；根据∠3=60°，可得∠1=60°，进而根据内错角相等即可判断③ ；根据题意可得∠3=45°，进而可得AD∥BC，则∠4=30°，即可判断④ .
二、填空题
9．如图，∠BAF=46°，∠ACE=136°.CE⊥CD，则CD与AB 平行的(填“是”或“不是”).
【答案】是
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：∵∠BAF=46°
∴∠BAC=180°-46°=134°
∵∠ACE=136° ，CE⊥CD
∴∠ACD=360°-90°-136°=134°
∴∠BAC=∠ACD
∴AB∥CD
故答案为：是.
【分析】根据平角和周角的性质，可分别计算出∠BAC和∠ACD的度数；根据内错角相等，两直线平行，可得AB∥CD.
10．将一副三角尺和一张对边平行的纸条按如图所示的方式摆放，两块三角尺的一条直角边重合，含30°角的三角尺的斜边与纸条的一边重合，含45°角的三角尺的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是
【答案】15°
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：如图进行字母标注，延长AC交ED于点F，
∵在△BDE中，∠DBE=90°，∠BED=30°，
∴∠D=60°，
∵∠DBE=∠BCA=90°，
∴BD∥AC（内错角相等，两直线平行），
∴∠D=∠AFE=60°（两直线平行，同位角相等），
∵AG∥ED，
∴∠GAF=∠AFE=60°（两直线平行，内错角相等），
∵∠BAC=45°，
∴∠1=∠GAF-∠BAC=15°.
故答案为：15°.
【分析】如图进行字母标注，延长AC交ED于点F，由三角形内角和定理求出∠D=60°，由内错角相等，两直线平行，得BD∥AC，由两直线平行，同位角相等，得∠D=∠AFE=60°，由两直线平行，内错角相等，得∠GAF=∠AFE=60°，最后根据角的和差，由∠1=∠GAF-∠BAC可算出答案.
11．如图，若∠1+∠2=240°，b∥c，则∠3= .
【答案】60°
【知识点】平行线的判定与性质；对顶角及其性质；邻补角
【解析】【解答】解：∵∠1=∠2，∠1+∠2=240°，
∴∠1=∠2=120°，
∵b∥c，
∴∠3=180°-∠2=180°-120°=60°.
故答案为：60°.
【分析】先根据对顶角相等求出∠2的度数，再由两直线平行，同旁内角互补求出∠3的度数即可.
12．（2023七下·九江期末）如图，已知直线被直线所截，，点是平面内位于直线右侧的一动点（点不在直线上），设，在点运动过程中，的度数可能是 ．（结果用含的式子表示）
【答案】或或
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：第一种情况：
当点P在AB，CD之间时，过点P作PM//AB，
∵AB//PM，
∴∠BGP=∠GPM=，
∵AB//CD，AB//PM，
∴PM//CD，
∴∠DHP=∠MPH=，
∵∠GPH=∠GPM+∠MPH，
∴∠GPH=；
第二种情况：
当点P在AB上方时，过点P作PM//AB，
∵PM//AB，
∴∠BGP=∠MPG，
∵∠BGP=，
∴∠MPG=，
∵AB//CD，
∴CD//PM，
∴∠DHP=∠MPH，
∵∠DHP=，
∴∠MPH=，
∵∠MPH=∠MPG+∠GPH，
∴=+∠GPH，
∴∠GPH=；
第三种情况：
当点P在CD下方时，过点P作PM//AB，
∵PM//AB，
∴∠BGP=∠MPG，
∵∠BGP=，
∴∠MPG=，
∵AB//CD，
∴CD//PM，
∴∠DHP=∠MPH，
∵∠DHP=，
∴∠MPH=，
∵∠MPG=∠MPH+∠GPH，
∴=+∠GPH，
∴∠GPH=；
综上，∠GPH的值为 或或 ，
故答案为： 或或 .
【分析】分类讨论：①当点P在AB，CD之间时，过点P作PM//AB，②当点P在AB上方时，过点P作PM//AB，③当点P在CD下方时，过点P作PM//AB，再分别利用平行线的性质及角的运算求解即可.
13．（2023七下·长沙期末）如图
（1）如图一，，，，则 ．
（2）如图二，，，，，分别平分和，则，满足的数量关系为 ．
【答案】（1）
（2）
【知识点】角的运算；平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：（1）过点E作EF//AB，如图所示：
∵AB//CD，
∴EF//AB//CD，
∴∠B=∠FEB=70°，∠D=∠DEF=30°，
∴∠DEB=∠DEF+∠FEB=70°+30°=100°，
故答案为：100°；
（2）过点F作FT//CD，过点Q作QK//AB，如图所示：
∵AB//CD，
∴CD//FT//QK//AB，
∴∠DFT=∠CDF，∠TFB=∠ABF，∠DQK=∠GDQ，∠KQB=∠QBH，
∴∠DFB=∠DFT+∠TFB=∠CDF+∠ABF=∠GDQ+∠QBH，
∵，，
∴∠DFB=∠CDF+∠ABF=，
∴，
∵，分别平分和，
∴∠DQB=∠GDQ+∠QBH=，
∵∠GDE+∠CDE=180°，∠HBE+∠ABE=180°，
∴∠DQB=，
∴∠DQB=180°-，
∴∠DQB=180°-，
∴∠DQB+，
∴，
故答案为：.
【分析】（1）利用平行线的性质可得∠B=∠FEB=70°，∠D=∠DEF=30°，再利用角的运算求出∠DEB的度数即可；
（2）先利用角的运算和等量代换可得，再利用角平分线的定义可得∠DQB=∠GDQ+∠QBH=，再结合∠GDE+∠CDE=180°，∠HBE+∠ABE=180°，利用角的运算和等量代换可得∠DQB+，再求出即可.
三、解答题
14．如图，AB∥CD，BO与CD相交于点O，OE⊥BO，OF平分∠BOD．若∠ABO=50°，求∠EOF的度数．
【答案】解：∵AB∥CD， ∠ABO=50°，
∴∠BOD=∠ABO=50°，
∵OF平分∠BOD，
∴∠BOF=∠BOD=25°，
∵EO⊥BO，
∴∠BOE=90°，
∴∠EOF=∠BOE+∠BOF=115°.
【知识点】垂线；平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【分析】由二直线平行，内错角相等得∠BOD=∠ABO=50°，由角平分线的定义得∠BOF=∠BOD=25°，由垂直定义得∠BOE=90°，进而根据角的和差，由∠EOF=∠BOE+∠BOF可算出答案.
15．（2024八上·交城期中） 探究三角形的内角和
（1）下面是证明三角形内角和定理的一种添加辅助线的方法，请完成证明.
三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°.
已知：如图，△ABC
求证：∠A+∠B+∠C=180°
证明：在BC上任取一点D，过点D作DE∥AB，交AC于点E，过点D作DF∥AC，交AB于点F.
（2）请再用一种不同的方法证明三角形内角和定理.
【答案】（1）解：证明：∵DE∥AB
∴∠B=∠EDC，∠A=∠CED
∵DF∥AC
∴∠C=∠BDF，∠CED=∠EDF
∴∠A=∠EDF
∵∠BDF+∠EDF+∠EDC=180°
∴∠A+∠B+∠C=180°
（2）解： 如图，过点A作DE∥BC，
则∠B=∠BAD，∠C=∠EAC．（两直线平行，内错角相等）
∵点D，A，E在同一条直线上，
∴∠DAB+∠BAC+∠C=180°．（平角的定义）
∴∠B+∠BAC+∠C=180°．
即三角形的内角和为180°．
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【分析】(1)根据平行线性质和平角定义，通过等量代换即可证明.
(2)通过作平行线，利用角的等量代换证明即可.
四、作图题
16．（2023七下·房山期末）线段，交于点，为直线上一点（不与点，重合）．过点在的右侧作射线，过点作直线，交于点（与不重合）．
（1）如图1，若点在线段上，且为钝角．
①按要求补全图形；
②判断与的数量关系，并证明．
（2）若点在线段的延长线上，请直接写出与的数量关系
【答案】（1）解：①补全图形如图：
②判断：．
证明：过点C作，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴，
即．
（2）
【知识点】垂线；平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：（2）过点C作CH∥AB，则CH∥AB∥DF，
∴∠B=∠BCH，∠HCG+∠ CGD=180°，
∵BC⊥CE，
∴∠BCG=90°，
∴∠HCG+∠CGD=∠HCB+∠BCG+∠CGD=∠B+90°+∠CGD=180°，
∴∠B+∠CGD=90°，
故答案为：∠B+∠CGD=90°，
【分析】（1）①依据题意补图即可；
②，理由： 过点C作， 则CH∥AB∥DF，利用平行线的性质可得 ， ，由垂直的定义可得，从而求解；
（2）根据题意先画出图形，过点C作CH∥AB，则CH∥AB∥DF，利用平行线的性质可得∠B=∠BCH，∠HCG+∠ CGD=180°，由垂直的定义可得∠BCG=90°，从而得出∠HCG+∠CGD=∠HCB+∠BCG+∠CGD=∠B+90°+∠CGD=180°，继而得解.
五、综合题
17．（2023八上·长沙开学考）如图1，ADBC，∠BAD的平分线交BC于点G，∠BCD=90°．
（1）如图1，若∠ABG=48°，∠BCD的平分线交AD于点E、交射线GA于点F．求∠AFC的度数；
（2）如图2，线段AG上有一点P，满足∠ABP=3∠PBG，若在直线AG上取一点M，使∠PBM+∠DAG=90°，求的值．
【答案】（1）解：∵CF平分∠BCD，∠BCD＝90°，
∴∠GCF＝45°，
∵AD∥BC，
∴∠AEF＝∠GCF＝45°，
∵∠ABG＝48°，
∴∠DAB＝180° 48°＝132°，
∵AG平分∠BAD，
∴∠BAG＝∠GAD＝66°，
∵∠GAD＝∠AFC＋∠AEF，
∴∠AFC＝66° 45°＝21°；
（2）解：分两种情况：
①当M在BP的下方时，如图：
设∠PBG＝x，
∵∠ABP＝3∠PBG，
∴∠ABG＝4x，
∵AD∥BC，
∴∠DAB＋∠ABG＝180°，
∵AG平分∠BAD，
∴2∠DAG＋4x＝180°，
∴2x＋∠DAG＝90°，
∵∠PBM＋∠DAG＝90°，
∴∠PBM＝2x，
∴∠GBM＝x，∠ABM＝4x＋x＝5x，
∴＝5；
②当M在BP的上方时，如图：
设∠PBG＝x，则∠ABP＝3x，
同理可得：∠PBM＝2x，
∴∠GBM＝3x，∠ABM＝x，
∴．
【知识点】角的运算；平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）先利用平行线的性质求出∠DAB＝180° 48°＝132°，再利用角平分线的定义求出∠BAG＝∠GAD＝66°，再结合∠GAD＝∠AFC＋∠AEF，求出∠AFC＝66° 45°＝21°即可；
（2）分类讨论：①当M在BP的下方时，②当M在BP的上方时，再分别画出图形并利用角的运算求解即可.
18．（2023七下·黄陂期末）如图1，点A是直线上一点，C是直线上一点，B是直线之间的一点，．
（1）求证：；
（2）如图2，作，与的角平分线交于点F．若，求的度数；
（3）如图3，平分，平分，，已知，则 （直接写出结果）．
【答案】（1）证明：如图所示，过B点作，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图，过B点作，过F点作，
则，
∴，，
∵，是的角平分线，
∴，，，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
即的度数为；
（3）
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：（3）∵平分，平分，
∴∠BCG=2∠BCR，∠ABC=2∠NBC，
∵ ，
∴∠MBC=∠BCR，即∠BCG=2∠MBC，
∵∠ABC=∠HAB+∠BCG， ，
∴∠BAH=∠ABC-∠BCG=2∠NBC-2∠MBC=2∠NBM，
∴∠NBM=25°，
故答案为：25°.
【分析】（1）过B点作，利用平行线的性质及角的和差可推出，可得，即得；
（2）过B点作，过F点作，则，利用平行线的性质及角平分线的定义可得，，由，，可得，继而得解；
（3）由角平分线的定义可得∠BCG=2∠BCR，∠ABC=2∠NBC，再利用平行线的性质可得∠MBC=∠BCR，即∠BCG=2∠MBC，根据∠BAH=∠ABC-∠BCG=2∠NBC-2∠MBC=2∠NBM即可求解.
1 / 12023-2024学年人教版初中数学七年级下册5.3.1 平行线的性质 同步分层训练培优题
一、选择题
1．如图，已知∠1=70°，CD∥BE，则∠B的度数为（ ）
A．70° B．100° C．110° D．120°
2．（2024八上·交城期中）如图，∠ACD是△ABC的外角，CE∥AB，若∠ACB=75°，∠ECD=50°，则∠A的度数为（ ）
A．50° B．55° C．70° D．75°
3．（2018·河北）如图，快艇从P处向正北航行到A处时，向左转50°航行到B处，再向右转80°继续航行，此时的航行方向为（ ）
A．北偏东30° B．北偏东80° C．北偏西30° D．北偏西50°
4．（2023八上·鹿城开学考）如图，下列结论不正确的是（ ）
A．若∠2＝∠C，则AE∥CD B．若AD∥BC，则∠1＝∠B
C．若AE∥CD，则∠1＋∠3＝180° D．若∠1＝∠2，则AD∥BC
5．（2023八上·成武开学考）如图，将三角形纸片ABC沿虚线剪掉两角得五边形CDEFG，若，，根据所标数据，则的度数为（ ）
A．54° B．64° C．66° D．72°
6．（2023八上·大名月考）下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容，则回答正确的是（ ）
已知：如图，，，垂足为D，F，． 求证：． 证明：∵，， ∴ ◎ ， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴ @ （两直线平行，同旁内角互补）． 又∵， ∴ ▲ （同角的补角相等）， ∴（ ※ 相等，两直线平行）．
A．◎代表 B．@代表
C．▲代表 D．※代表同位角
7．（2023七下·黄岩期末）如图，将一副直角三角尺的其中两个顶点重合叠放．其中含角的三角尺固定不动，将含角的三角尺绕顶点B顺时针转动（转动角度小于）．当与三角尺的其中一条边所在的直线互相平行时，的度数是（ ）
A．或或 B．或或
C．或或 D．或或
8．（2023七下·上虞期末）将一副三角板如图放置，则下列结论中，正确的是（ ）
①；②如果，则有；③如果，则有；④如果，则有．
A．①②③④ B．③④ C．①②④ D．①②③
二、填空题
9．如图，∠BAF=46°，∠ACE=136°.CE⊥CD，则CD与AB 平行的(填“是”或“不是”).
10．将一副三角尺和一张对边平行的纸条按如图所示的方式摆放，两块三角尺的一条直角边重合，含30°角的三角尺的斜边与纸条的一边重合，含45°角的三角尺的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是
11．如图，若∠1+∠2=240°，b∥c，则∠3= .
12．（2023七下·九江期末）如图，已知直线被直线所截，，点是平面内位于直线右侧的一动点（点不在直线上），设，在点运动过程中，的度数可能是 ．（结果用含的式子表示）
13．（2023七下·长沙期末）如图
（1）如图一，，，，则 ．
（2）如图二，，，，，分别平分和，则，满足的数量关系为 ．
三、解答题
14．如图，AB∥CD，BO与CD相交于点O，OE⊥BO，OF平分∠BOD．若∠ABO=50°，求∠EOF的度数．
15．（2024八上·交城期中） 探究三角形的内角和
（1）下面是证明三角形内角和定理的一种添加辅助线的方法，请完成证明.
三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°.
已知：如图，△ABC
求证：∠A+∠B+∠C=180°
证明：在BC上任取一点D，过点D作DE∥AB，交AC于点E，过点D作DF∥AC，交AB于点F.
（2）请再用一种不同的方法证明三角形内角和定理.
四、作图题
16．（2023七下·房山期末）线段，交于点，为直线上一点（不与点，重合）．过点在的右侧作射线，过点作直线，交于点（与不重合）．
（1）如图1，若点在线段上，且为钝角．
①按要求补全图形；
②判断与的数量关系，并证明．
（2）若点在线段的延长线上，请直接写出与的数量关系
五、综合题
17．（2023八上·长沙开学考）如图1，ADBC，∠BAD的平分线交BC于点G，∠BCD=90°．
（1）如图1，若∠ABG=48°，∠BCD的平分线交AD于点E、交射线GA于点F．求∠AFC的度数；
（2）如图2，线段AG上有一点P，满足∠ABP=3∠PBG，若在直线AG上取一点M，使∠PBM+∠DAG=90°，求的值．
18．（2023七下·黄陂期末）如图1，点A是直线上一点，C是直线上一点，B是直线之间的一点，．
（1）求证：；
（2）如图2，作，与的角平分线交于点F．若，求的度数；
（3）如图3，平分，平分，，已知，则 （直接写出结果）．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】平行线的性质；邻补角
【解析】【解答】解：如图，
∵∠1=70°，∠1+∠2=180°，
∴∠2=180°-∠1=110°，
∵BE∥CD，
∴∠B=∠2=110°（两直线平行，同位角相等）.
故答案为：C.
【分析】由邻补角算出∠2的度数，进而根据二直线平行，同位角相等，可得∠B的度数.
2．【答案】B
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图：
∵∠ACB=75°，
∴∠ACD=180°-75°=105°，
∴∠ACE=∠ACD-∠ECD=55°，
∵CE∥AB，
∴∠A=∠ACE=55°.
∴A，C，D错误，B正确。
故答案为：B.
【分析】先求∠ACD，再求∠ACE，最后根据平行线性质求∠A。
3．【答案】A
【知识点】钟面角、方位角；平行线的性质
【解析】【解答】如图，
AP∥BC，
∴∠2=∠1=50°，
∵∠EBF=80°=∠2+∠3，
∴∠3=∠EBF﹣∠2=80°﹣50°=30°，
∴此时的航行方向为北偏东30°，
故答案为：A．
【分析】由题意可知：∠1=50°，∠2+∠3=80°，根据正北方向线平行，可求出∠2的度数，从而可求出∠3的度数，再根据方位角的定义，可求解。
4．【答案】B
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：A、若∠2＝∠C，则AE∥CD，故选项A正确，不符合题意；
B、若AD∥BC，则∠1＝∠2，故选项B错误，符合题意；
C、若AE∥CD，则∠1＋∠3＝180°，故选项C正确，不符合题意；
D、若∠1＝∠2，则AD∥BC，故选项D正确，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】由同位角相等，两直线平行，可判断A选项；由内错角相等，两直线平行，可判断D选项；由两直线平行，内错角相等，可判断B选项；由两直线平行，同旁内角互补，可判断C选项.
5．【答案】B
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：如图所示：
根据题意可得：∠DEF=126°，∠FGC=118°，
∴∠AED=180°-126°=54°，∠BGF=180°-118°=62°，
∵DE//CG，FG//CD，
∴∠B=∠AED=54°，∠C=∠BGF=62°，
∴∠A=180°-∠B-∠C=64°，
故答案为：B.
【分析】利用平行线的性质可得∠B=∠AED=54°，∠C=∠BGF=62°，再利用角的运算求出∠A=180°-∠B-∠C=64°即可.
6．【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：A： ∵，，∴∠BDC=∠EFC=90°（虽然∠BDC=∠EFD=90°也正确，但是∠BDC与∠EFD不是同位角），所以A不正确；
B：@代表的是∠DBC，∠CEF与∠2不是同旁内角，所以B不正确；
C：因为∠2+∠DBC=180°， ，所以∠1=∠DBC，所以C正确；
D：因为∠1和∠DBC是一对内错角，所以 ※ 代表的是内错角，所以D不正确。
故答案为：C。
【分析】首先根据 （同位角相等，两直线平行）， 判定A不正确；根据 @ （两直线平行，同旁内角互补），判定B不正确；再根据∠2+∠DBC=180°， ，根据不叫的性质得出∠1=∠DBC，所以C正确；由示意图知道∠1与∠DBC是一对内错角，故而得出D不正确，从而得到正确答案。
7．【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC是含有30°角的三角板，
∴∠A=30°，∠ABC=60°，∠C=90°.
∵△DBE是含45°角的三角板，
∴∠BED=∠D=45°，∠EBD=90°.
①当DE∥AC时，BC⊥DE.
∵BE=BD，∠EBD=90°，
∴BC平分∠DBE，
∴∠EBC=45°，
∴∠ABE=∠ABC-∠EBC=15°；
②当DE∥AB时，∠ABE=∠E=45°.
③当DE∥BC时，∠CBE=∠E=45°，
∴∠ABE=∠ABC+∠CBE=60°+45°=105°，
综上∠ABE的度数为：15°或45°或105°.
故答案为：C.
【分析】画出示意图，然后根据平行线的性质以及角的和差关系进行计算.
8．【答案】D
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：∵∠CAB＋∠DAE=180°，
∴∠1+∠2+∠2+∠3=180°，即∠1+2∠2+∠3=180°，故①正确；
∵BC∥DA，
∴∠3=∠B=45°，
∴∠2=90°-∠3=45°，故②正确；
∵∠3=60°，
∴∠2=90°-60°=30°，∠1=90°-∠2=60°，
∴∠E=∠1，
∴AC∥DE，故③正确；
∵∠1+∠3=90°，∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3=45°，
∴∠3=∠B，
∴AD∥BC，
∴∠4=∠D=30°，故④错误.
故答案为：D.
【分析】根据三角板中的角度进行计算即可得∠CAB＋∠DAE=180°即可判断①；根据平行线得性质可得∠3=∠B，可得∠2=90°-∠3=45°，即可判断② ；根据∠3=60°，可得∠1=60°，进而根据内错角相等即可判断③ ；根据题意可得∠3=45°，进而可得AD∥BC，则∠4=30°，即可判断④ .
9．【答案】是
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：∵∠BAF=46°
∴∠BAC=180°-46°=134°
∵∠ACE=136° ，CE⊥CD
∴∠ACD=360°-90°-136°=134°
∴∠BAC=∠ACD
∴AB∥CD
故答案为：是.
【分析】根据平角和周角的性质，可分别计算出∠BAC和∠ACD的度数；根据内错角相等，两直线平行，可得AB∥CD.
10．【答案】15°
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：如图进行字母标注，延长AC交ED于点F，
∵在△BDE中，∠DBE=90°，∠BED=30°，
∴∠D=60°，
∵∠DBE=∠BCA=90°，
∴BD∥AC（内错角相等，两直线平行），
∴∠D=∠AFE=60°（两直线平行，同位角相等），
∵AG∥ED，
∴∠GAF=∠AFE=60°（两直线平行，内错角相等），
∵∠BAC=45°，
∴∠1=∠GAF-∠BAC=15°.
故答案为：15°.
【分析】如图进行字母标注，延长AC交ED于点F，由三角形内角和定理求出∠D=60°，由内错角相等，两直线平行，得BD∥AC，由两直线平行，同位角相等，得∠D=∠AFE=60°，由两直线平行，内错角相等，得∠GAF=∠AFE=60°，最后根据角的和差，由∠1=∠GAF-∠BAC可算出答案.
11．【答案】60°
【知识点】平行线的判定与性质；对顶角及其性质；邻补角
【解析】【解答】解：∵∠1=∠2，∠1+∠2=240°，
∴∠1=∠2=120°，
∵b∥c，
∴∠3=180°-∠2=180°-120°=60°.
故答案为：60°.
【分析】先根据对顶角相等求出∠2的度数，再由两直线平行，同旁内角互补求出∠3的度数即可.
12．【答案】或或
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：第一种情况：
当点P在AB，CD之间时，过点P作PM//AB，
∵AB//PM，
∴∠BGP=∠GPM=，
∵AB//CD，AB//PM，
∴PM//CD，
∴∠DHP=∠MPH=，
∵∠GPH=∠GPM+∠MPH，
∴∠GPH=；
第二种情况：
当点P在AB上方时，过点P作PM//AB，
∵PM//AB，
∴∠BGP=∠MPG，
∵∠BGP=，
∴∠MPG=，
∵AB//CD，
∴CD//PM，
∴∠DHP=∠MPH，
∵∠DHP=，
∴∠MPH=，
∵∠MPH=∠MPG+∠GPH，
∴=+∠GPH，
∴∠GPH=；
第三种情况：
当点P在CD下方时，过点P作PM//AB，
∵PM//AB，
∴∠BGP=∠MPG，
∵∠BGP=，
∴∠MPG=，
∵AB//CD，
∴CD//PM，
∴∠DHP=∠MPH，
∵∠DHP=，
∴∠MPH=，
∵∠MPG=∠MPH+∠GPH，
∴=+∠GPH，
∴∠GPH=；
综上，∠GPH的值为 或或 ，
故答案为： 或或 .
【分析】分类讨论：①当点P在AB，CD之间时，过点P作PM//AB，②当点P在AB上方时，过点P作PM//AB，③当点P在CD下方时，过点P作PM//AB，再分别利用平行线的性质及角的运算求解即可.
13．【答案】（1）
（2）
【知识点】角的运算；平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：（1）过点E作EF//AB，如图所示：
∵AB//CD，
∴EF//AB//CD，
∴∠B=∠FEB=70°，∠D=∠DEF=30°，
∴∠DEB=∠DEF+∠FEB=70°+30°=100°，
故答案为：100°；
（2）过点F作FT//CD，过点Q作QK//AB，如图所示：
∵AB//CD，
∴CD//FT//QK//AB，
∴∠DFT=∠CDF，∠TFB=∠ABF，∠DQK=∠GDQ，∠KQB=∠QBH，
∴∠DFB=∠DFT+∠TFB=∠CDF+∠ABF=∠GDQ+∠QBH，
∵，，
∴∠DFB=∠CDF+∠ABF=，
∴，
∵，分别平分和，
∴∠DQB=∠GDQ+∠QBH=，
∵∠GDE+∠CDE=180°，∠HBE+∠ABE=180°，
∴∠DQB=，
∴∠DQB=180°-，
∴∠DQB=180°-，
∴∠DQB+，
∴，
故答案为：.
【分析】（1）利用平行线的性质可得∠B=∠FEB=70°，∠D=∠DEF=30°，再利用角的运算求出∠DEB的度数即可；
（2）先利用角的运算和等量代换可得，再利用角平分线的定义可得∠DQB=∠GDQ+∠QBH=，再结合∠GDE+∠CDE=180°，∠HBE+∠ABE=180°，利用角的运算和等量代换可得∠DQB+，再求出即可.
14．【答案】解：∵AB∥CD， ∠ABO=50°，
∴∠BOD=∠ABO=50°，
∵OF平分∠BOD，
∴∠BOF=∠BOD=25°，
∵EO⊥BO，
∴∠BOE=90°，
∴∠EOF=∠BOE+∠BOF=115°.
【知识点】垂线；平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【分析】由二直线平行，内错角相等得∠BOD=∠ABO=50°，由角平分线的定义得∠BOF=∠BOD=25°，由垂直定义得∠BOE=90°，进而根据角的和差，由∠EOF=∠BOE+∠BOF可算出答案.
15．【答案】（1）解：证明：∵DE∥AB
∴∠B=∠EDC，∠A=∠CED
∵DF∥AC
∴∠C=∠BDF，∠CED=∠EDF
∴∠A=∠EDF
∵∠BDF+∠EDF+∠EDC=180°
∴∠A+∠B+∠C=180°
（2）解： 如图，过点A作DE∥BC，
则∠B=∠BAD，∠C=∠EAC．（两直线平行，内错角相等）
∵点D，A，E在同一条直线上，
∴∠DAB+∠BAC+∠C=180°．（平角的定义）
∴∠B+∠BAC+∠C=180°．
即三角形的内角和为180°．
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【分析】(1)根据平行线性质和平角定义，通过等量代换即可证明.
(2)通过作平行线，利用角的等量代换证明即可.
16．【答案】（1）解：①补全图形如图：
②判断：．
证明：过点C作，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴，
即．
（2）
【知识点】垂线；平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：（2）过点C作CH∥AB，则CH∥AB∥DF，
∴∠B=∠BCH，∠HCG+∠ CGD=180°，
∵BC⊥CE，
∴∠BCG=90°，
∴∠HCG+∠CGD=∠HCB+∠BCG+∠CGD=∠B+90°+∠CGD=180°，
∴∠B+∠CGD=90°，
故答案为：∠B+∠CGD=90°，
【分析】（1）①依据题意补图即可；
②，理由： 过点C作， 则CH∥AB∥DF，利用平行线的性质可得 ， ，由垂直的定义可得，从而求解；
（2）根据题意先画出图形，过点C作CH∥AB，则CH∥AB∥DF，利用平行线的性质可得∠B=∠BCH，∠HCG+∠ CGD=180°，由垂直的定义可得∠BCG=90°，从而得出∠HCG+∠CGD=∠HCB+∠BCG+∠CGD=∠B+90°+∠CGD=180°，继而得解.
17．【答案】（1）解：∵CF平分∠BCD，∠BCD＝90°，
∴∠GCF＝45°，
∵AD∥BC，
∴∠AEF＝∠GCF＝45°，
∵∠ABG＝48°，
∴∠DAB＝180° 48°＝132°，
∵AG平分∠BAD，
∴∠BAG＝∠GAD＝66°，
∵∠GAD＝∠AFC＋∠AEF，
∴∠AFC＝66° 45°＝21°；
（2）解：分两种情况：
①当M在BP的下方时，如图：
设∠PBG＝x，
∵∠ABP＝3∠PBG，
∴∠ABG＝4x，
∵AD∥BC，
∴∠DAB＋∠ABG＝180°，
∵AG平分∠BAD，
∴2∠DAG＋4x＝180°，
∴2x＋∠DAG＝90°，
∵∠PBM＋∠DAG＝90°，
∴∠PBM＝2x，
∴∠GBM＝x，∠ABM＝4x＋x＝5x，
∴＝5；
②当M在BP的上方时，如图：
设∠PBG＝x，则∠ABP＝3x，
同理可得：∠PBM＝2x，
∴∠GBM＝3x，∠ABM＝x，
∴．
【知识点】角的运算；平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）先利用平行线的性质求出∠DAB＝180° 48°＝132°，再利用角平分线的定义求出∠BAG＝∠GAD＝66°，再结合∠GAD＝∠AFC＋∠AEF，求出∠AFC＝66° 45°＝21°即可；
（2）分类讨论：①当M在BP的下方时，②当M在BP的上方时，再分别画出图形并利用角的运算求解即可.
18．【答案】（1）证明：如图所示，过B点作，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图，过B点作，过F点作，
则，
∴，，
∵，是的角平分线，
∴，，，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
即的度数为；
（3）
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：（3）∵平分，平分，
∴∠BCG=2∠BCR，∠ABC=2∠NBC，
∵ ，
∴∠MBC=∠BCR，即∠BCG=2∠MBC，
∵∠ABC=∠HAB+∠BCG， ，
∴∠BAH=∠ABC-∠BCG=2∠NBC-2∠MBC=2∠NBM，
∴∠NBM=25°，
故答案为：25°.
【分析】（1）过B点作，利用平行线的性质及角的和差可推出，可得，即得；
（2）过B点作，过F点作，则，利用平行线的性质及角平分线的定义可得，，由，，可得，继而得解；
（3）由角平分线的定义可得∠BCG=2∠BCR，∠ABC=2∠NBC，再利用平行线的性质可得∠MBC=∠BCR，即∠BCG=2∠MBC，根据∠BAH=∠ABC-∠BCG=2∠NBC-2∠MBC=2∠NBM即可求解.
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