2023-2024学年人教版初中数学七年级下册5.3.2 命题、定理、证明 同步分层训练提升题
一、选择题
1．（2023八上·闵行期中）下列命题是真命题的是（ ）
A．同旁内角相等，两直线平行；
B．钝角没有余角；
C．过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
D．若，则.
2．（2023八上·宁远期中）下列命题为真命题的是（ ）
A．相等的角是对顶角
B．两条直线被第三条直线所截，内错角相等
C．和为的两个角互为邻补角
D．邻补角互补
3．（2021·石城模拟）已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）是抛物线y＝ax2﹣2ax上的点，下列命题正确的是（ ）
A．若|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则y1＞y2 B．若|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则y1＜y2
C．若|x1﹣1|＝|x2﹣1|，则y1＝y2 D．若y1＝y2，则x1＝x2
4．（2023八上·铜官期中）下列命题中，属于假命题的是（ ）
A．如果，都是正数，那么
B．如果，那么
C．如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余
D．同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行
5．（2021八上·鹿城期中）下列选项中，可以用来证明命题“若a＞b，则a2＞b2”是假命题的反例是（ ）
A．a＝﹣2，b＝1 B．a＝2，b＝3
C．a＝3，b＝﹣2 D．a＝2，b＝﹣3
6．（2022八上·杭州期中）对于命题“若a＞b，则|a|＞|b|”，能说明它是假命题的反例是（ ）
A．a＝3，b＝2 B．a＝3，b＝4
C．a＝-3，b＝-2 D．a＝2，b＝-2
7．（2023七上·修水期中）下列说法中正确的有（ ）
①若，互为相反数，则；
②在数轴上到原点的距离为4个单位长度的点有两个，它们表示的数分别为4和-4；
③若，则.
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
8．（2023七下·海港期末）如图，，将一副直角三角板作如下摆放，，．下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
9．（2023八上·闵行期中）把命题“关于某个点中心对称的两个三角形全等”改写成“如果……，那么……”的形式是 .
10．（2023八上·榆树期中）以a＝ 为反例可以证明命题“对任意实数a它的平方是正数”是假命题，
11．（2023七下·浙江期末）如图，已知∠1=∠2，∠3=40°，则∠4= °
12．阅读下列句子并填空：①同角的补角相等；②有一个内角是钝角的三角形叫做钝角三角形；③如果∠1＋∠2=90°，∠3＋∠4=90°，那么∠1=∠3，∠2=∠4；④0是偶数.其中定义是 ，命题是 .(填序号)
13．（2023七下·双鸭山期末）如图，于点，于点，平分交于点，为线段延长线上一点，.给出下列结论：①；②；③.其中结论正确的序号有
三、解答题
14．如图，若AB∥CD，且∠1=∠2，试判断AM与CN的位置关系，并说明理由．
15．如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，点E在BC上，EF⊥AB于点F，已知∠1=∠2．
（1）试说明DG∥BC的理由．
（2）若∠B=54°，∠ACD=35°，求∠3的度数．
四、综合题
16．（2021六下·济宁期末）如图，∠AFD＝∠1，AC∥DE．
（1）试说明：DF∥BC；
（2）若∠1＝68°，DF平分∠ADE，求∠B的度数．
17．（2023七下·江岸期末）如图1，，直线与、相交于点、，平分，平分．
（1）求证：；
（2）如图2，为、之间一点（），若，求的度数；
（3）若为直线下方一点，，为直线右侧一点，满足，则、、之间满足的数量关系是 ．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、同旁内角互补，两直线平行，故A是假命题；
B、钝角没有余角，故B是真命题；
C、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故C假命题；
D、，但，故D是假命题；
故答案为：B.
【分析】根据平行线的公理及判定、余角的定义和举反例可逐一判定．
2．【答案】D
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、相等的角不一定是对顶角，故原命题是假命题，不符合题意；
B、两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，故原命题是假命题，不符合题意；
C、和为的两个角不一定是互为邻补角，故原命题是假命题，不符合题意；
D、邻补角互补，是真命题，符合题意；
故答案为：D．
【分析】满足命题的题设，结论成立的命题是真命题。根据对顶角，平行直线的性质，邻补角的定义，分别判断．
3．【答案】C
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：∵抛物线 ，
∴该抛物线的对称轴是直线x＝1，
当a＞0时，若|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则y1＞y2，B不符合题意；
当a＜0时，若|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则y1＜y2，A不符合题意；
若|x1﹣1|＝|x2﹣1|，则y1＝y2，C符合题意；
若y1＝y2，则|x1﹣1|＝|x2﹣1|，D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据题目中的抛物线和二次函数的性质，利用分类讨论的方法可以判断各个选项中的说法是否符合题意，从而可以解答本题．
4．【答案】B
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、∵如果，都是正数，那么是真命题，∴A不符合题意；
B、∵如果，那么或a=-b，∴如果，那么是假命题，∴B符合题意；
C、∵如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余是真命题，∴C不符合题意；
D、∵同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行是真命题，∴D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】利用假命题的定义及真命题的定义逐项分析判断即可.
5．【答案】D
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、a＝﹣2，b＝1，不满足a＞b，所以本选项不符合题意；
B、a＝2，b＝3，不满足a＞b，所以本选项不符合题意；
C、a＝3，b＝﹣2，满足a＞b，但，不满足a2≤b2，所以本选项不符合题意；
D、a＝2，b＝﹣3时， ，满足a＞b，a2≤b2，所以本选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】 命题“若a＞b，则a2＞b2”是假命题应满足a>b，但a2≤b2，据此判断.
6．【答案】D
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：当a＝2，b＝-2时，满足a＞b，但a2＝4，b2＝4，此时|a|＝|b|.
故答案为：D.
【分析】命题“若a＞b，则|a|＞|b|”为假命题时，应满足a>b，但不满足|a|＞|b|，据此判断.
7．【答案】C
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；相反数及有理数的相反数；绝对值及有理数的绝对值；真命题与假命题
【解析】【解答】①∵若，互为相反数，则，∴①正确，符合题意；
②∵在数轴上到原点的距离为4个单位长度的点有两个，它们表示的数分别为4和-4，∴②正确，符合题意；
③∵若，则，∴③不正确，不符合题意；
综上，正确的结论是①②，共2个，
故答案为：C.
【分析】利用相反数的定义、绝对值的性质及数轴上两点之间的关系逐项分析判断即可.
8．【答案】D
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解： ①由题意得：∠G=∠MPN=90°，∴GE//MP，故①正确；
②由题意得∠EFG=30°，∴∠EFN=180°-∠EFG=150°，故②正确；
③过点F作FH//AB， 如图，
∵AB//CD
∴∠BEF+∠EFD=180°，FH//CD
∴∠HFN=∠MNP=45°
∴∠EFH=∠EFN-∠HFN=105°
∴∠BEF=180°-∠EFH=75°，故 ③ 正确；
④∵∠GEF=60°，∠BEF=75°，
∴∠AEG=180°-∠GEF-∠BEF=45°，
∵∠MNP=45°
∴∠AEG+∠MNP=90°，
∵∠GPN=180°-∠MPN=180°-90°=90°，
∴∠AEG+∠MNP=∠GPN，故 ④正确；
综上所述，正确的有4个.
故答案为：D.
【分析】
①由题意可得∠G=∠MPN=90°，利用内错角相等，两直线平行即可判定GE//MP；
②由题意可得∠EFG=30°，利用邻补角即可求∠EFN=150°；
③过点F作FH//AB， 可得FH//CD， 从而得∠HFN=∠MNP=45°，可求得∠EFH=105°， 再利用平行线的性质即可求得∠BEF=75°；
④利用角的计算可求得∠AEG=∠PMN=45°，∠GPM=90°，即可得出答案.
9．【答案】如果两个三角形关于某个点中心对称，那么这两个三角形全等
【知识点】定义、命题及定理的概念
【解析】【解答】解：把命题“关于某个点中心对称的两个三角形全等”改写成“如果……，那么……”的形式是如果两个三角形关于某个点中心对称，那么这两个三角形全等．
故答案为：如果两个三角形关于某个点中心对称，那么这两个三角形全等．
【分析】如果后面是题设，那么后面是结论，据此解答．
10．【答案】0
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：∵当a=0时，a2=0，
∴ “对任意实数a它的平方是正数“的命题为假命题.
故答案为：0.
【分析】根据即可得到反例。
11．【答案】140.
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：解：如图，
∵∠1=∠2，
∴a∥b，
∴∠5=∠3=40°，
∴∠4=180°-∠5=140°；
故答案为：140.
【分析】由同位角相等，两直线平行推得a∥b，根据两直线平行，同位角相等可得∠5=∠3，即可求解.
12．【答案】②；①②③④
【知识点】定义、命题及定理的概念
【解析】【解答】解： ①同角的补角相等，是命题；
②有一个内角是钝角的三角形叫做钝角三角形，是定义也是命题；
③如果∠1＋∠2=90°，∠3＋∠4=90°，那么∠1=∠3，∠2=∠4，是命题；
④0是偶数，是命题，
综上，定义有②，命题是①②③④.
故答案为：②，①②③④.
【分析】一般的在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，命题有明显的判断词是或不是；定义是对一个概念或事物的准确描述，它通过列举事物的基本属性和特征来规范这个词或概念的意义；定义的特点是：准确、简洁、明确；在数学中，定义通常用来描述一个概念的内涵和外延，以便于理解和研究，据此逐个判断得出答案.
13．【答案】①②③
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解： ①∵AB⊥BC于点 B，DC⊥BC于点 C，
∴AB//CF（在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相垂直），
∴∠ADC+∠BAD=180°(两直线平行，同旁内角互补)，
∴①正确；
②∵AB//CF，
∴∠AFD+∠BAF=180°(两直线平行，同旁内角互补)，
∵∠BAF=∠EDF，
∴∠AFD+∠EDF=180°，
∴AF//DE(同旁内角互补，两直线平行)，
∴②正确；
③∵AF//ED（已证），
∴∠DAF=∠ADE（两直线平行，内错角相等），∠F=∠CDE（两直线平行，同位角相等），
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠CDE，
∴∠DAF=∠F，
∴③正确．
故答案为：①②③.
【分析】①先根据“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相垂直”说明AB//CF，再利用平行线的性质得出∠ADC+∠BAD=180°；②先由平行的性质得出∠AFD+∠BAF=180°，结合∠BAF=∠EDF，说明∠AFD+∠EDF=180°，根据“同旁内角互补，两直线平行”，得出AF//DE；③由平行线的性质，得出∠DAF=∠ADE与∠F=∠CDE，结合角平分线的意义，说明∠DAF=∠F.
14．【答案】解：AM∥CN，理由如下：
∵AB∥CD，
∴∠EAB=∠ECD（两直线平行，同位角相等），
∵∠1=∠2，
∴∠EAB-∠1=∠ECD-∠2，
即∠EAM=∠ECN，
∴AM∥CN（同位角相等，两直线平行）.
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】AM∥CN，理由如下：由两直线平行，同位角相等，可得∠EAB=∠ECD，在由等式的性质可推出∠EAM=∠ECN，最后利用同位角相等，两直线平行，可得AM∥CN.
15．【答案】（1）解：∵ CD⊥AB， EF⊥AB ，
∴EF∥CD（同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行），
∴∠2=∠DCB（两直线平行，同位角相等），
又∵∠1=∠2，
∴∠1=∠DCB，
∴DG∥BC（内错角相等，两直线平行）；
（2）解：∵CD⊥AB，
∴∠CDB=90°，
又∵∠B=54°，
∴∠DCB=36°，
又∵ ∠ACD=35° ，
∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=71°，
∵DG∥BC，
∴∠3=∠ACB=71°（两直线平行，同位角相等）.
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）由同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行，得EF∥CD，由两直线平行，同位角相等，得∠2=∠DCB，结合已知，由等量代换得∠1=∠DCB，进而根据内错角相等，两直线平行，得DG∥BC；
（2）由垂直定义及三角形内角和定理得∠DCB=36°，结合已知，由角的和差得∠ACB=∠ACD+∠BCD=71°，最后根据两直线平行，同位角相等，得∠3=∠ACB=71°.
16．【答案】（1）解：∵AC∥DE，
∴∠C＝∠1，
∵∠AFD＝∠1，
∴∠C＝∠AFD，
∴DF∥BC．
（2）解：∵∠1＝68°，DF∥BC，
∴∠EDF＝∠1＝68°，
∵DF平分∠ADE，
∴∠ADF＝∠EDF＝68°，
∵DF∥BC，
∴∠B＝∠ADF＝68°
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质可得∠C＝∠1，再利用等量代换可得∠C＝∠AFD，即可证明DF//BC；
（2）根据平行线的性质可得∠EDF＝∠1＝68°，根据角平分线的定义可以得到∠ADF＝∠EDF＝68°，最后利用平行线的性质可得∠B＝∠ADF＝68°。
17．【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∵，
∴在四边形中，，
∵在中，，
∴，
∵，
∴；
（3）；
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【解答】（3）解： 如图3，
∵AB∥CD，
∴∠AEF=∠EFD，
∵，
∴，
∴，
∵∠MKE=∠FKH，GH⊥MB，
∴，
∴∠AEF+∠FGH-∠EMH=90°．
故答案为：∠AEF+∠FGH-∠EMH=90°．
【分析】（1）由AB∥CD，得出∠AEF=∠EFD，结合角平分线的性质说明∠AEF=∠EFQ，从而有EF∥FQ；
（2）由AB∥CD，得出∠AEF=∠EFD，结合角平分线的性质说明∠AEF=∠EFQ，再依据四边形的内角和定理求得∠M的度数；
（3）由AB∥CD，得到∠AEF=∠EFD，结合∠MKE=∠FKH，GH⊥MB，得到关于∠AEF，∠FGH，∠EMH的关系，将其化简即可.
1 / 12023-2024学年人教版初中数学七年级下册5.3.2 命题、定理、证明 同步分层训练提升题
一、选择题
1．（2023八上·闵行期中）下列命题是真命题的是（ ）
A．同旁内角相等，两直线平行；
B．钝角没有余角；
C．过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
D．若，则.
【答案】B
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、同旁内角互补，两直线平行，故A是假命题；
B、钝角没有余角，故B是真命题；
C、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故C假命题；
D、，但，故D是假命题；
故答案为：B.
【分析】根据平行线的公理及判定、余角的定义和举反例可逐一判定．
2．（2023八上·宁远期中）下列命题为真命题的是（ ）
A．相等的角是对顶角
B．两条直线被第三条直线所截，内错角相等
C．和为的两个角互为邻补角
D．邻补角互补
【答案】D
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、相等的角不一定是对顶角，故原命题是假命题，不符合题意；
B、两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，故原命题是假命题，不符合题意；
C、和为的两个角不一定是互为邻补角，故原命题是假命题，不符合题意；
D、邻补角互补，是真命题，符合题意；
故答案为：D．
【分析】满足命题的题设，结论成立的命题是真命题。根据对顶角，平行直线的性质，邻补角的定义，分别判断．
3．（2021·石城模拟）已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）是抛物线y＝ax2﹣2ax上的点，下列命题正确的是（ ）
A．若|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则y1＞y2 B．若|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则y1＜y2
C．若|x1﹣1|＝|x2﹣1|，则y1＝y2 D．若y1＝y2，则x1＝x2
【答案】C
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：∵抛物线 ，
∴该抛物线的对称轴是直线x＝1，
当a＞0时，若|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则y1＞y2，B不符合题意；
当a＜0时，若|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则y1＜y2，A不符合题意；
若|x1﹣1|＝|x2﹣1|，则y1＝y2，C符合题意；
若y1＝y2，则|x1﹣1|＝|x2﹣1|，D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据题目中的抛物线和二次函数的性质，利用分类讨论的方法可以判断各个选项中的说法是否符合题意，从而可以解答本题．
4．（2023八上·铜官期中）下列命题中，属于假命题的是（ ）
A．如果，都是正数，那么
B．如果，那么
C．如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余
D．同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行
【答案】B
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、∵如果，都是正数，那么是真命题，∴A不符合题意；
B、∵如果，那么或a=-b，∴如果，那么是假命题，∴B符合题意；
C、∵如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余是真命题，∴C不符合题意；
D、∵同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行是真命题，∴D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】利用假命题的定义及真命题的定义逐项分析判断即可.
5．（2021八上·鹿城期中）下列选项中，可以用来证明命题“若a＞b，则a2＞b2”是假命题的反例是（ ）
A．a＝﹣2，b＝1 B．a＝2，b＝3
C．a＝3，b＝﹣2 D．a＝2，b＝﹣3
【答案】D
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、a＝﹣2，b＝1，不满足a＞b，所以本选项不符合题意；
B、a＝2，b＝3，不满足a＞b，所以本选项不符合题意；
C、a＝3，b＝﹣2，满足a＞b，但，不满足a2≤b2，所以本选项不符合题意；
D、a＝2，b＝﹣3时， ，满足a＞b，a2≤b2，所以本选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】 命题“若a＞b，则a2＞b2”是假命题应满足a>b，但a2≤b2，据此判断.
6．（2022八上·杭州期中）对于命题“若a＞b，则|a|＞|b|”，能说明它是假命题的反例是（ ）
A．a＝3，b＝2 B．a＝3，b＝4
C．a＝-3，b＝-2 D．a＝2，b＝-2
【答案】D
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：当a＝2，b＝-2时，满足a＞b，但a2＝4，b2＝4，此时|a|＝|b|.
故答案为：D.
【分析】命题“若a＞b，则|a|＞|b|”为假命题时，应满足a>b，但不满足|a|＞|b|，据此判断.
7．（2023七上·修水期中）下列说法中正确的有（ ）
①若，互为相反数，则；
②在数轴上到原点的距离为4个单位长度的点有两个，它们表示的数分别为4和-4；
③若，则.
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；相反数及有理数的相反数；绝对值及有理数的绝对值；真命题与假命题
【解析】【解答】①∵若，互为相反数，则，∴①正确，符合题意；
②∵在数轴上到原点的距离为4个单位长度的点有两个，它们表示的数分别为4和-4，∴②正确，符合题意；
③∵若，则，∴③不正确，不符合题意；
综上，正确的结论是①②，共2个，
故答案为：C.
【分析】利用相反数的定义、绝对值的性质及数轴上两点之间的关系逐项分析判断即可.
8．（2023七下·海港期末）如图，，将一副直角三角板作如下摆放，，．下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解： ①由题意得：∠G=∠MPN=90°，∴GE//MP，故①正确；
②由题意得∠EFG=30°，∴∠EFN=180°-∠EFG=150°，故②正确；
③过点F作FH//AB， 如图，
∵AB//CD
∴∠BEF+∠EFD=180°，FH//CD
∴∠HFN=∠MNP=45°
∴∠EFH=∠EFN-∠HFN=105°
∴∠BEF=180°-∠EFH=75°，故 ③ 正确；
④∵∠GEF=60°，∠BEF=75°，
∴∠AEG=180°-∠GEF-∠BEF=45°，
∵∠MNP=45°
∴∠AEG+∠MNP=90°，
∵∠GPN=180°-∠MPN=180°-90°=90°，
∴∠AEG+∠MNP=∠GPN，故 ④正确；
综上所述，正确的有4个.
故答案为：D.
【分析】
①由题意可得∠G=∠MPN=90°，利用内错角相等，两直线平行即可判定GE//MP；
②由题意可得∠EFG=30°，利用邻补角即可求∠EFN=150°；
③过点F作FH//AB， 可得FH//CD， 从而得∠HFN=∠MNP=45°，可求得∠EFH=105°， 再利用平行线的性质即可求得∠BEF=75°；
④利用角的计算可求得∠AEG=∠PMN=45°，∠GPM=90°，即可得出答案.
二、填空题
9．（2023八上·闵行期中）把命题“关于某个点中心对称的两个三角形全等”改写成“如果……，那么……”的形式是 .
【答案】如果两个三角形关于某个点中心对称，那么这两个三角形全等
【知识点】定义、命题及定理的概念
【解析】【解答】解：把命题“关于某个点中心对称的两个三角形全等”改写成“如果……，那么……”的形式是如果两个三角形关于某个点中心对称，那么这两个三角形全等．
故答案为：如果两个三角形关于某个点中心对称，那么这两个三角形全等．
【分析】如果后面是题设，那么后面是结论，据此解答．
10．（2023八上·榆树期中）以a＝ 为反例可以证明命题“对任意实数a它的平方是正数”是假命题，
【答案】0
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：∵当a=0时，a2=0，
∴ “对任意实数a它的平方是正数“的命题为假命题.
故答案为：0.
【分析】根据即可得到反例。
11．（2023七下·浙江期末）如图，已知∠1=∠2，∠3=40°，则∠4= °
【答案】140.
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：解：如图，
∵∠1=∠2，
∴a∥b，
∴∠5=∠3=40°，
∴∠4=180°-∠5=140°；
故答案为：140.
【分析】由同位角相等，两直线平行推得a∥b，根据两直线平行，同位角相等可得∠5=∠3，即可求解.
12．阅读下列句子并填空：①同角的补角相等；②有一个内角是钝角的三角形叫做钝角三角形；③如果∠1＋∠2=90°，∠3＋∠4=90°，那么∠1=∠3，∠2=∠4；④0是偶数.其中定义是 ，命题是 .(填序号)
【答案】②；①②③④
【知识点】定义、命题及定理的概念
【解析】【解答】解： ①同角的补角相等，是命题；
②有一个内角是钝角的三角形叫做钝角三角形，是定义也是命题；
③如果∠1＋∠2=90°，∠3＋∠4=90°，那么∠1=∠3，∠2=∠4，是命题；
④0是偶数，是命题，
综上，定义有②，命题是①②③④.
故答案为：②，①②③④.
【分析】一般的在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，命题有明显的判断词是或不是；定义是对一个概念或事物的准确描述，它通过列举事物的基本属性和特征来规范这个词或概念的意义；定义的特点是：准确、简洁、明确；在数学中，定义通常用来描述一个概念的内涵和外延，以便于理解和研究，据此逐个判断得出答案.
13．（2023七下·双鸭山期末）如图，于点，于点，平分交于点，为线段延长线上一点，.给出下列结论：①；②；③.其中结论正确的序号有
【答案】①②③
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解： ①∵AB⊥BC于点 B，DC⊥BC于点 C，
∴AB//CF（在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相垂直），
∴∠ADC+∠BAD=180°(两直线平行，同旁内角互补)，
∴①正确；
②∵AB//CF，
∴∠AFD+∠BAF=180°(两直线平行，同旁内角互补)，
∵∠BAF=∠EDF，
∴∠AFD+∠EDF=180°，
∴AF//DE(同旁内角互补，两直线平行)，
∴②正确；
③∵AF//ED（已证），
∴∠DAF=∠ADE（两直线平行，内错角相等），∠F=∠CDE（两直线平行，同位角相等），
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠CDE，
∴∠DAF=∠F，
∴③正确．
故答案为：①②③.
【分析】①先根据“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相垂直”说明AB//CF，再利用平行线的性质得出∠ADC+∠BAD=180°；②先由平行的性质得出∠AFD+∠BAF=180°，结合∠BAF=∠EDF，说明∠AFD+∠EDF=180°，根据“同旁内角互补，两直线平行”，得出AF//DE；③由平行线的性质，得出∠DAF=∠ADE与∠F=∠CDE，结合角平分线的意义，说明∠DAF=∠F.
三、解答题
14．如图，若AB∥CD，且∠1=∠2，试判断AM与CN的位置关系，并说明理由．
【答案】解：AM∥CN，理由如下：
∵AB∥CD，
∴∠EAB=∠ECD（两直线平行，同位角相等），
∵∠1=∠2，
∴∠EAB-∠1=∠ECD-∠2，
即∠EAM=∠ECN，
∴AM∥CN（同位角相等，两直线平行）.
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】AM∥CN，理由如下：由两直线平行，同位角相等，可得∠EAB=∠ECD，在由等式的性质可推出∠EAM=∠ECN，最后利用同位角相等，两直线平行，可得AM∥CN.
15．如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，点E在BC上，EF⊥AB于点F，已知∠1=∠2．
（1）试说明DG∥BC的理由．
（2）若∠B=54°，∠ACD=35°，求∠3的度数．
【答案】（1）解：∵ CD⊥AB， EF⊥AB ，
∴EF∥CD（同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行），
∴∠2=∠DCB（两直线平行，同位角相等），
又∵∠1=∠2，
∴∠1=∠DCB，
∴DG∥BC（内错角相等，两直线平行）；
（2）解：∵CD⊥AB，
∴∠CDB=90°，
又∵∠B=54°，
∴∠DCB=36°，
又∵ ∠ACD=35° ，
∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=71°，
∵DG∥BC，
∴∠3=∠ACB=71°（两直线平行，同位角相等）.
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）由同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行，得EF∥CD，由两直线平行，同位角相等，得∠2=∠DCB，结合已知，由等量代换得∠1=∠DCB，进而根据内错角相等，两直线平行，得DG∥BC；
（2）由垂直定义及三角形内角和定理得∠DCB=36°，结合已知，由角的和差得∠ACB=∠ACD+∠BCD=71°，最后根据两直线平行，同位角相等，得∠3=∠ACB=71°.
四、综合题
16．（2021六下·济宁期末）如图，∠AFD＝∠1，AC∥DE．
（1）试说明：DF∥BC；
（2）若∠1＝68°，DF平分∠ADE，求∠B的度数．
【答案】（1）解：∵AC∥DE，
∴∠C＝∠1，
∵∠AFD＝∠1，
∴∠C＝∠AFD，
∴DF∥BC．
（2）解：∵∠1＝68°，DF∥BC，
∴∠EDF＝∠1＝68°，
∵DF平分∠ADE，
∴∠ADF＝∠EDF＝68°，
∵DF∥BC，
∴∠B＝∠ADF＝68°
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质可得∠C＝∠1，再利用等量代换可得∠C＝∠AFD，即可证明DF//BC；
（2）根据平行线的性质可得∠EDF＝∠1＝68°，根据角平分线的定义可以得到∠ADF＝∠EDF＝68°，最后利用平行线的性质可得∠B＝∠ADF＝68°。
17．（2023七下·江岸期末）如图1，，直线与、相交于点、，平分，平分．
（1）求证：；
（2）如图2，为、之间一点（），若，求的度数；
（3）若为直线下方一点，，为直线右侧一点，满足，则、、之间满足的数量关系是 ．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∵，
∴在四边形中，，
∵在中，，
∴，
∵，
∴；
（3）；
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【解答】（3）解： 如图3，
∵AB∥CD，
∴∠AEF=∠EFD，
∵，
∴，
∴，
∵∠MKE=∠FKH，GH⊥MB，
∴，
∴∠AEF+∠FGH-∠EMH=90°．
故答案为：∠AEF+∠FGH-∠EMH=90°．
【分析】（1）由AB∥CD，得出∠AEF=∠EFD，结合角平分线的性质说明∠AEF=∠EFQ，从而有EF∥FQ；
（2）由AB∥CD，得出∠AEF=∠EFD，结合角平分线的性质说明∠AEF=∠EFQ，再依据四边形的内角和定理求得∠M的度数；
（3）由AB∥CD，得到∠AEF=∠EFD，结合∠MKE=∠FKH，GH⊥MB，得到关于∠AEF，∠FGH，∠EMH的关系，将其化简即可.
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