2023-2024学年人教版初中数学七年级下册5.3.2 命题、定理、证明 同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2017七下·钦州期末）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．相等的两个角是对顶角
B．有公共顶点的两个角是对顶角
C．一条直线只有一条垂线
D．在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线垂直于已知直线
2．（2021七上·鞍山期末）下列语句，正确的是（ ）
A．两点之间直线最短
B．两点间的线段叫两点之间的距离
C．射线AB与射线BA是同一条射线
D．线段AB与线段BA是同一条线段
3．（2023八上·怀远期中） 下列命题中，①如果|x|=|y|，那么x=y；②如果两个角相等，那么这两个角为内错角；③如果m>n，那么④如果∠A与∠B互补，那么∠A+∠B=180°，真命题有 （ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2023八上·合肥期中）下列命题中，真命题的个数是（ ）
对顶角相等；两直线平行，同旁内角相等；平行于同一条直线的两直线平行；若正数，满足，则．
A．个 B．个 C．个 D．个
5．（2023七下·黄山期中）如图，，，，，给出以下结论： ； ； ； ．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（2023七下·云阳期中）如图，E在线段的延长线上，，，，连交于G，的余角比大，K为线段上一点，连，使，在内部有射线，平分．则下列结论：①；②平分；③；④．其中正确结论的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（2021七下·牡丹江期末）如图，，，，分别是，的平分线，于．下列结论：①；②；③；④平分；⑤．其中正确结论的个数是（ ）
A． B． C． D．
8．（2022七下·左权期中）如图，已知，若按图中规律继续划分下去，则等于（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．（2023八上·榆树期中）命题“内错角相等”是 命题（填“真”或“假”）
10．补全下列命题的条件或结论，使命题成为真命题．
（1）在同一平面内， 两条直线互相平行．
（2）一个锐角的补角比这个锐角的余角大 度．
（3）如果a<0，并且ab>0，那么b 0．
11．（2023·西城模拟） 用一组、的值说明命题“若，则”是假命题，这组值可以是 ， ．
12．（2023七下·佳木斯期末）如图，，的平分线交于点，是上的一点，的平分线交于点，且，下列结论：平分；；若，则；与互余的角有个，其中正确的有 把你认为正确结论的序号都填上
13．（2023七下·福州期中）如图，，，平分，，有下列结论：①；②；③；④.其中正确的结论 .（填写序号）
三、解答题
14． 如图，已知直线，．
（1）与平行吗？请说明理由；
（2）若，求的度数．
15．如图，已知AD⊥BC， FG⊥BC，垂足分别为D，G，∠1=∠2，试猜想∠BDE与∠C的大小关系，并说明理由．
四、综合题
16．（2023七下·东莞期中）如图，已知，于点，．
（1）求证：；
（2）连接，若，且，求的度数．
17．（2023八上·涪城开学考）
（1）已知AB∥CD，点M为平面内一点.如图①，BM⊥CM，小颖说过点M作MP∥AB，很容易说明∠ABM和∠DCM互余.请你帮小颖写出具体的证明过程.
（2）如图②，AB∥CD，点M在射线ED上运动，当点M移动到点A与点D之间时，试判断∠BMC与∠ABM，∠DCM的数量关系，并说明理由.
（3）在(2)的条件下，当点M在射线ED上的其他地方运动时(点M与E，A，D三点不重合)，请直接写出∠BMC与∠ABM，∠DCM之间的数量关系.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】A、相等的两个角不一定是对顶角，故错误；
B、有公共顶点，且一个角的两边的反向延长线是另一角的两边的两角是对顶角；
C、一条直线有无数条垂线；
D、正确，
故答案为：D．
【分析】互为对顶角的两个角共顶点，两边共线；垂线的惟一性条件是在同一平面内.
2．【答案】D
【知识点】直线、射线、线段；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、两点之间线段最短，选项不符合题意；
B、两点间的线段长度叫两点之间的距离，选项不符合题意；
C、射线AB与射线BA不是同一条射线，方向相反，选项不符合题意；
D、线段AB与线段BA是同一条线段，选项符合题意，
故答案为：D．
【分析】根据线段、直线和射线的定义及表示方法逐项判断即可。
3．【答案】A
【知识点】余角、补角及其性质；内错角；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、如果，那么，故该选项是错误的；
B、如果两个角相等，这两个角可能为内错角，也可能是对顶角，故该选项是错误；
C、如果，那么，故该选项是错误的；
D、如果与互补，那么，故该选项是正确的；
所以真命题有1个
故答案为：A.
【分析】根据命题真假的判定方法，结合内错角、互补性质，绝对值的性质求解。
4．【答案】C
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：①∵对顶角相等是真命题，∴①正确，符合题意；
②∵两直线平行，同旁内角互补，∴②不正确，不符合题意；
③∵平行于同一条直线的两直线平行是真命题，∴③正确，符合题意；
④∵若正数，满足，则，∴④正确，符合题意；
综上，正确的结论是①③④，共3个，
故答案为：C.
【分析】利用真命题的定义逐项分析判断即可.
5．【答案】B
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，即，
∴，故①正确，符合题意；
∵，，
∴，
∵，
∴，故③正确，符合题意；
∵，
∴，
∴的大小随的大小变化而变化，
∵的度数不固定，
∴不一定成立，即不一定成立，
∴不一定平分，故②错误，不符合题意；
同理可知，不一定成立，
∴不一定成立，故④错误，不符合题意．
故有①③符合题意，
故答案为：B．
【分析】利用平行线的判定方法和性质及角的运算逐项判断即可。
6．【答案】B
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【解答】①∵∠EAD=∠D，∠B=∠D，∴∠EAD=∠B，∴AD//BC，故①正确；
②∵AD//BC，∴∠AGK=∠CKG，∵∠CKG=∠CGK，∴∠AGK=∠CGK，∴GK平分∠AGC，故②正确；
③延长EF交AD于P，延长CH交AD于点Q，∵EF//CH，∴∠EPQ=∠CQP，∵∠EPQ=∠E+∠EAG，∴∠CQG=∠E+∠EAG，∵AD//BC，∴∠HCK+∠CQG=180°，∴∠E+∠EAG+∠HCK=180°，∵∠FGA的余角比∠DGH大16°，∴90°-∠FGA-∠DGH=16°，∵∠FGA=∠DGH，∴90°-2∠FGA=16°，∴∠FGA=∠DGH=37°，故③不正确；
④设∠AGM=x，∠MGK=y，∴∠AGK=x+y，∵GK平分∠AGC，∴∠FGM=∠CGM，∴∠FGA+∠AGM=∠MGK+∠CGK，∴37°+x=y+x+y，解得y=18.5°，∴∠MGK=18.5°，故④不正确；
综上所述，正确的有①②，共两个，
故答案为：B.
【分析】利用平行线的判定方法和性质，角平分线的定义及角的运算逐项判断即可。
7．【答案】C
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：①∵AB//CD
∴
∴不一定等于180°，故①说法不符合题意；
②∵BF是∠ABC的平分线，CG是∠BCD的平分线，
∴
∵AB//CD
∴
∴，故说法②符合题意；
③∵BF是∠ABC的平分线，CG是∠BCD的平分线，
∴
∵AB//CD
∴
∴∠FBC=∠BCG
∴BF//CG，故③说法符合题意；
④∵BC//DE
∴
∵，即
∴
∴
∵CG平分
∴
∴DG平分∠CDE，故④说法符合题意；
⑤∵AB//CD
∴
又BC//DE
∴
∴
∵BF是∠ABC的平分线
∴
又DG是∠CDE的平分线
∴∠CDE=2∠GDC
∴
∴，故⑤说法符合题意，
综上，说法正确的结论有②③④⑤共4个，
故答案为：C．
【分析】利用平行线的性质，结合图形，对每个结论一一判断即可。
8．【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】（1）∵AB∥CD，
∴∠1+∠2=180°（两直线平行，同旁内角互补）；
（2）过点E作一条直线EF平行于AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥EF，CD∥EF，
∴∠1+∠AEF=180°，∠FEC+∠3=180°，
∴∠1+∠2+∠3=360°；
（3）过点E、F作EM、FN平行于AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥EM∥FN∥CD，
∴∠1+∠AEM=180°，∠MEF+∠EFN=180°，∠NFC+∠4=180°；
∴∠1+∠2+3+∠4=540°；
（4）中，根据上述规律，显然作（n-1）条辅助线，运用（n-1）次两条直线平行，同旁内角互补．即可得到n个角的和是180°（n-1）．
故答案为：C．
【分析】由图1可得∠1+∠2=180°，图2可得∠1+∠2+∠3=360°=180°×2，图3可得∠1+∠2+3+∠4=540°······，从而得出= 180°×（n-1）.
9．【答案】假
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：∵两直线平行，内错角相等，
∴“内错角相等”是假命题，
故答案为：假.
【分析】利用平行线的性质及假命题的定义分析求解即可.
10．【答案】（1）答案不唯一.例如，垂直于同一条直线的；平行于同一条直线的；不相交的
（2）90
（3）<
【知识点】余角、补角及其性质；平行线的判定；真命题与假命题
【解析】【解答】解：(1)答案不唯一，如：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行；
在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线互相平行；
在同一平面内，不相交的两条直线互相平行；
(2) 设一个锐角为x度，则它的补角为(180-x)度，它的余角为(90-x)度，所以一个锐角的补角比这个锐角的余角大(180-x)-(90-x)=90 （ 度）．
(3)当a<0时，若ab>0，则b<0．
故答案为：（1） 答案不唯一.例如，垂直于同一条直线的；平行于同一条直线的；不相交的 ；（2）90；（3）<.
【分析】（1）根据所学相关知识填写；
（2）设一个锐角为x度，分别用x表示出它的补角与余角，相减后得出结论；
（3）当a<0时，根据ab>0，得出b的符号.
11．【答案】答案不唯一；答案不唯一
【知识点】偶次方的非负性；真命题与假命题
【解析】【解答】
取一组非0的相反数，如a=-3，b=3，此时，但3≠-3 。
故答案为：-3，3 (答案不唯一)
【分析】当a和b不等于0且互为相反数时，，但a≠b.，所以本题a，b 的值取一组非0的相反数即可。答案不唯一。
12．【答案】①②③
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵，
∴
∴，，
∵的平分线交于点，
∴，
∴，
∴平分，
∴正确；
∵，
∴，
∵，
∴，
∵的平分线交于点，
∴，
∴，
∴，
∴正确；
∵ ，
∴，
∴，
∵，
∴.
∴正确；
与互余的角有，，，，共4个，
∴不正确.
故答案为：.
【分析】根据垂直和角平分线的定义结合等角的余角相等即可判断的正确性；结合的结果和平行线的性质，以及利用等量转化即可获得的正确性；利用直线的平行性质即可判断的正确性；找出与互余的角即可判断的错误.
13．【答案】①②④
【知识点】垂线；平行线的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
故①正确；
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴（1），
∵，
∴（2），
∴（1）-（2）得，，故②正确；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故③错误.
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴（3），
∵（1），
（3）-（1）得，，故④正确；
综上，正确的结论有：①②④.
故答案为：①②④.
【分析】由角平分线的定义可得，由，，可得AB∥EF，，即得（1），由垂直的定义可得（2），根据（1）-（2）得，据此判断①②；由平行线的性质可得，由垂直的定义可得，从而得出，继而得出，据此判断③；由平行线的性质及角平分线的定义可得（3），结合（1），由（3）-（1）得，据此判断④.
14．【答案】（1）解：证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：∵，，
∴，
∴．
【知识点】平行线的判定与性质；邻补角
【解析】【分析】（1）由平行线的性质可得，利用补角的性质可得，根据内错角相等两直线平行即得结论；
（2）由平行线的性质可得，再利用邻补角的定义即可求解.
15．【答案】解： ∠BDE=∠C ，理由如下：
∵ AD⊥BC， FG⊥BC，
∴AD∥FG（同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行），
∴∠1=∠DAC（两直线平行，同位角相等），
∵∠1=∠2，
∴∠2=∠DAC，
∴ED∥AC（内错角相等，两直线平行），
∴∠EDB=∠C（两直线平行，同位角相等）.
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】 ∠BDE=∠C ，理由如下：由同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行，得AD∥FG，由两直线平行，同位角相等，得∠1=∠DAC，几何已知可推出∠2=∠DAC，从而由内错角相等，两直线平行，得ED∥AC，最后根据两直线平行，同位角相等，得∠EDB=∠C.
16．【答案】（1）证明：，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：由（1）可得，，
，
，
，
，
．
【知识点】垂线；平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）由垂直的定义及已知可得， 根据平行线的判定可得AB∥DE，利用平行线的性质可得 ， 由补角的性质可得 ， 根据平行线的判定定理即证；
（2） 由（1）知，求出∠ABD=150°，由，利用角的和差可求出∠ABD=150°， 再利用平行线的性质即可求解.
17．【答案】（1）解：如图1，过M作MP∥AB，则∠BMP=∠ABM，
∵AB∥CD，
∴MP∥CD，
∴∠PMC=∠MCD，
∵BM⊥CM，
∴∠BMP+∠PMC=90°，
∴∠ABM+∠MCD=90°，
∴∠ABM和∠DCM互余.
（2）解：∠ABM+∠DCM=∠BMC.理由如下：
如图2，过M作MF∥AB，交BC于F，则∠ABM=∠BMF，
∵AB∥CD，∴MF∥CD，∴∠DCM=∠FMC，
∴∠ABM+∠DCM=∠BMF+∠CMF=∠BMC.
（3）解：当点M在E，A两点之间时，如图3，∠BMC=∠DCM-∠ABM；
当点M在点D的右侧时，如图4，∠BMC=∠ABM-∠DCM.
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据题意先求出 MP∥CD， 再根据平行线的性质求出 ∠PMC=∠MCD， 最后求解即可；
（2）根据题意先求出 MF∥CD， 再根据平行线的性质求出 ∠DCM=∠FMC， 最后求解即可；
（3）分类讨论，结合图形求解即可。
1 / 12023-2024学年人教版初中数学七年级下册5.3.2 命题、定理、证明 同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2017七下·钦州期末）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．相等的两个角是对顶角
B．有公共顶点的两个角是对顶角
C．一条直线只有一条垂线
D．在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线垂直于已知直线
【答案】D
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】A、相等的两个角不一定是对顶角，故错误；
B、有公共顶点，且一个角的两边的反向延长线是另一角的两边的两角是对顶角；
C、一条直线有无数条垂线；
D、正确，
故答案为：D．
【分析】互为对顶角的两个角共顶点，两边共线；垂线的惟一性条件是在同一平面内.
2．（2021七上·鞍山期末）下列语句，正确的是（ ）
A．两点之间直线最短
B．两点间的线段叫两点之间的距离
C．射线AB与射线BA是同一条射线
D．线段AB与线段BA是同一条线段
【答案】D
【知识点】直线、射线、线段；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、两点之间线段最短，选项不符合题意；
B、两点间的线段长度叫两点之间的距离，选项不符合题意；
C、射线AB与射线BA不是同一条射线，方向相反，选项不符合题意；
D、线段AB与线段BA是同一条线段，选项符合题意，
故答案为：D．
【分析】根据线段、直线和射线的定义及表示方法逐项判断即可。
3．（2023八上·怀远期中） 下列命题中，①如果|x|=|y|，那么x=y；②如果两个角相等，那么这两个角为内错角；③如果m>n，那么④如果∠A与∠B互补，那么∠A+∠B=180°，真命题有 （ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【知识点】余角、补角及其性质；内错角；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、如果，那么，故该选项是错误的；
B、如果两个角相等，这两个角可能为内错角，也可能是对顶角，故该选项是错误；
C、如果，那么，故该选项是错误的；
D、如果与互补，那么，故该选项是正确的；
所以真命题有1个
故答案为：A.
【分析】根据命题真假的判定方法，结合内错角、互补性质，绝对值的性质求解。
4．（2023八上·合肥期中）下列命题中，真命题的个数是（ ）
对顶角相等；两直线平行，同旁内角相等；平行于同一条直线的两直线平行；若正数，满足，则．
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：①∵对顶角相等是真命题，∴①正确，符合题意；
②∵两直线平行，同旁内角互补，∴②不正确，不符合题意；
③∵平行于同一条直线的两直线平行是真命题，∴③正确，符合题意；
④∵若正数，满足，则，∴④正确，符合题意；
综上，正确的结论是①③④，共3个，
故答案为：C.
【分析】利用真命题的定义逐项分析判断即可.
5．（2023七下·黄山期中）如图，，，，，给出以下结论： ； ； ； ．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，即，
∴，故①正确，符合题意；
∵，，
∴，
∵，
∴，故③正确，符合题意；
∵，
∴，
∴的大小随的大小变化而变化，
∵的度数不固定，
∴不一定成立，即不一定成立，
∴不一定平分，故②错误，不符合题意；
同理可知，不一定成立，
∴不一定成立，故④错误，不符合题意．
故有①③符合题意，
故答案为：B．
【分析】利用平行线的判定方法和性质及角的运算逐项判断即可。
6．（2023七下·云阳期中）如图，E在线段的延长线上，，，，连交于G，的余角比大，K为线段上一点，连，使，在内部有射线，平分．则下列结论：①；②平分；③；④．其中正确结论的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【解答】①∵∠EAD=∠D，∠B=∠D，∴∠EAD=∠B，∴AD//BC，故①正确；
②∵AD//BC，∴∠AGK=∠CKG，∵∠CKG=∠CGK，∴∠AGK=∠CGK，∴GK平分∠AGC，故②正确；
③延长EF交AD于P，延长CH交AD于点Q，∵EF//CH，∴∠EPQ=∠CQP，∵∠EPQ=∠E+∠EAG，∴∠CQG=∠E+∠EAG，∵AD//BC，∴∠HCK+∠CQG=180°，∴∠E+∠EAG+∠HCK=180°，∵∠FGA的余角比∠DGH大16°，∴90°-∠FGA-∠DGH=16°，∵∠FGA=∠DGH，∴90°-2∠FGA=16°，∴∠FGA=∠DGH=37°，故③不正确；
④设∠AGM=x，∠MGK=y，∴∠AGK=x+y，∵GK平分∠AGC，∴∠FGM=∠CGM，∴∠FGA+∠AGM=∠MGK+∠CGK，∴37°+x=y+x+y，解得y=18.5°，∴∠MGK=18.5°，故④不正确；
综上所述，正确的有①②，共两个，
故答案为：B.
【分析】利用平行线的判定方法和性质，角平分线的定义及角的运算逐项判断即可。
7．（2021七下·牡丹江期末）如图，，，，分别是，的平分线，于．下列结论：①；②；③；④平分；⑤．其中正确结论的个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：①∵AB//CD
∴
∴不一定等于180°，故①说法不符合题意；
②∵BF是∠ABC的平分线，CG是∠BCD的平分线，
∴
∵AB//CD
∴
∴，故说法②符合题意；
③∵BF是∠ABC的平分线，CG是∠BCD的平分线，
∴
∵AB//CD
∴
∴∠FBC=∠BCG
∴BF//CG，故③说法符合题意；
④∵BC//DE
∴
∵，即
∴
∴
∵CG平分
∴
∴DG平分∠CDE，故④说法符合题意；
⑤∵AB//CD
∴
又BC//DE
∴
∴
∵BF是∠ABC的平分线
∴
又DG是∠CDE的平分线
∴∠CDE=2∠GDC
∴
∴，故⑤说法符合题意，
综上，说法正确的结论有②③④⑤共4个，
故答案为：C．
【分析】利用平行线的性质，结合图形，对每个结论一一判断即可。
8．（2022七下·左权期中）如图，已知，若按图中规律继续划分下去，则等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】（1）∵AB∥CD，
∴∠1+∠2=180°（两直线平行，同旁内角互补）；
（2）过点E作一条直线EF平行于AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥EF，CD∥EF，
∴∠1+∠AEF=180°，∠FEC+∠3=180°，
∴∠1+∠2+∠3=360°；
（3）过点E、F作EM、FN平行于AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥EM∥FN∥CD，
∴∠1+∠AEM=180°，∠MEF+∠EFN=180°，∠NFC+∠4=180°；
∴∠1+∠2+3+∠4=540°；
（4）中，根据上述规律，显然作（n-1）条辅助线，运用（n-1）次两条直线平行，同旁内角互补．即可得到n个角的和是180°（n-1）．
故答案为：C．
【分析】由图1可得∠1+∠2=180°，图2可得∠1+∠2+∠3=360°=180°×2，图3可得∠1+∠2+3+∠4=540°······，从而得出= 180°×（n-1）.
二、填空题
9．（2023八上·榆树期中）命题“内错角相等”是 命题（填“真”或“假”）
【答案】假
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：∵两直线平行，内错角相等，
∴“内错角相等”是假命题，
故答案为：假.
【分析】利用平行线的性质及假命题的定义分析求解即可.
10．补全下列命题的条件或结论，使命题成为真命题．
（1）在同一平面内， 两条直线互相平行．
（2）一个锐角的补角比这个锐角的余角大 度．
（3）如果a<0，并且ab>0，那么b 0．
【答案】（1）答案不唯一.例如，垂直于同一条直线的；平行于同一条直线的；不相交的
（2）90
（3）<
【知识点】余角、补角及其性质；平行线的判定；真命题与假命题
【解析】【解答】解：(1)答案不唯一，如：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行；
在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线互相平行；
在同一平面内，不相交的两条直线互相平行；
(2) 设一个锐角为x度，则它的补角为(180-x)度，它的余角为(90-x)度，所以一个锐角的补角比这个锐角的余角大(180-x)-(90-x)=90 （ 度）．
(3)当a<0时，若ab>0，则b<0．
故答案为：（1） 答案不唯一.例如，垂直于同一条直线的；平行于同一条直线的；不相交的 ；（2）90；（3）<.
【分析】（1）根据所学相关知识填写；
（2）设一个锐角为x度，分别用x表示出它的补角与余角，相减后得出结论；
（3）当a<0时，根据ab>0，得出b的符号.
11．（2023·西城模拟） 用一组、的值说明命题“若，则”是假命题，这组值可以是 ， ．
【答案】答案不唯一；答案不唯一
【知识点】偶次方的非负性；真命题与假命题
【解析】【解答】
取一组非0的相反数，如a=-3，b=3，此时，但3≠-3 。
故答案为：-3，3 (答案不唯一)
【分析】当a和b不等于0且互为相反数时，，但a≠b.，所以本题a，b 的值取一组非0的相反数即可。答案不唯一。
12．（2023七下·佳木斯期末）如图，，的平分线交于点，是上的一点，的平分线交于点，且，下列结论：平分；；若，则；与互余的角有个，其中正确的有 把你认为正确结论的序号都填上
【答案】①②③
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵，
∴
∴，，
∵的平分线交于点，
∴，
∴，
∴平分，
∴正确；
∵，
∴，
∵，
∴，
∵的平分线交于点，
∴，
∴，
∴，
∴正确；
∵ ，
∴，
∴，
∵，
∴.
∴正确；
与互余的角有，，，，共4个，
∴不正确.
故答案为：.
【分析】根据垂直和角平分线的定义结合等角的余角相等即可判断的正确性；结合的结果和平行线的性质，以及利用等量转化即可获得的正确性；利用直线的平行性质即可判断的正确性；找出与互余的角即可判断的错误.
13．（2023七下·福州期中）如图，，，平分，，有下列结论：①；②；③；④.其中正确的结论 .（填写序号）
【答案】①②④
【知识点】垂线；平行线的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
故①正确；
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴（1），
∵，
∴（2），
∴（1）-（2）得，，故②正确；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故③错误.
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴（3），
∵（1），
（3）-（1）得，，故④正确；
综上，正确的结论有：①②④.
故答案为：①②④.
【分析】由角平分线的定义可得，由，，可得AB∥EF，，即得（1），由垂直的定义可得（2），根据（1）-（2）得，据此判断①②；由平行线的性质可得，由垂直的定义可得，从而得出，继而得出，据此判断③；由平行线的性质及角平分线的定义可得（3），结合（1），由（3）-（1）得，据此判断④.
三、解答题
14． 如图，已知直线，．
（1）与平行吗？请说明理由；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）解：证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：∵，，
∴，
∴．
【知识点】平行线的判定与性质；邻补角
【解析】【分析】（1）由平行线的性质可得，利用补角的性质可得，根据内错角相等两直线平行即得结论；
（2）由平行线的性质可得，再利用邻补角的定义即可求解.
15．如图，已知AD⊥BC， FG⊥BC，垂足分别为D，G，∠1=∠2，试猜想∠BDE与∠C的大小关系，并说明理由．
【答案】解： ∠BDE=∠C ，理由如下：
∵ AD⊥BC， FG⊥BC，
∴AD∥FG（同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行），
∴∠1=∠DAC（两直线平行，同位角相等），
∵∠1=∠2，
∴∠2=∠DAC，
∴ED∥AC（内错角相等，两直线平行），
∴∠EDB=∠C（两直线平行，同位角相等）.
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】 ∠BDE=∠C ，理由如下：由同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行，得AD∥FG，由两直线平行，同位角相等，得∠1=∠DAC，几何已知可推出∠2=∠DAC，从而由内错角相等，两直线平行，得ED∥AC，最后根据两直线平行，同位角相等，得∠EDB=∠C.
四、综合题
16．（2023七下·东莞期中）如图，已知，于点，．
（1）求证：；
（2）连接，若，且，求的度数．
【答案】（1）证明：，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：由（1）可得，，
，
，
，
，
．
【知识点】垂线；平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）由垂直的定义及已知可得， 根据平行线的判定可得AB∥DE，利用平行线的性质可得 ， 由补角的性质可得 ， 根据平行线的判定定理即证；
（2） 由（1）知，求出∠ABD=150°，由，利用角的和差可求出∠ABD=150°， 再利用平行线的性质即可求解.
17．（2023八上·涪城开学考）
（1）已知AB∥CD，点M为平面内一点.如图①，BM⊥CM，小颖说过点M作MP∥AB，很容易说明∠ABM和∠DCM互余.请你帮小颖写出具体的证明过程.
（2）如图②，AB∥CD，点M在射线ED上运动，当点M移动到点A与点D之间时，试判断∠BMC与∠ABM，∠DCM的数量关系，并说明理由.
（3）在(2)的条件下，当点M在射线ED上的其他地方运动时(点M与E，A，D三点不重合)，请直接写出∠BMC与∠ABM，∠DCM之间的数量关系.
【答案】（1）解：如图1，过M作MP∥AB，则∠BMP=∠ABM，
∵AB∥CD，
∴MP∥CD，
∴∠PMC=∠MCD，
∵BM⊥CM，
∴∠BMP+∠PMC=90°，
∴∠ABM+∠MCD=90°，
∴∠ABM和∠DCM互余.
（2）解：∠ABM+∠DCM=∠BMC.理由如下：
如图2，过M作MF∥AB，交BC于F，则∠ABM=∠BMF，
∵AB∥CD，∴MF∥CD，∴∠DCM=∠FMC，
∴∠ABM+∠DCM=∠BMF+∠CMF=∠BMC.
（3）解：当点M在E，A两点之间时，如图3，∠BMC=∠DCM-∠ABM；
当点M在点D的右侧时，如图4，∠BMC=∠ABM-∠DCM.
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据题意先求出 MP∥CD， 再根据平行线的性质求出 ∠PMC=∠MCD， 最后求解即可；
（2）根据题意先求出 MF∥CD， 再根据平行线的性质求出 ∠DCM=∠FMC， 最后求解即可；
（3）分类讨论，结合图形求解即可。
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