2023-2024学年人教版初中数学七年级下册6.1 平方根 同步分层训练提升题
一、选择题
1．的平方根是 （ ）
A．4 B．2 C．±4 D．±2
2．（2023七下·硚口期末）式子中，x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023七下·台江期末）已知两个不相等的实数x，y满足：，，则的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．
4．（2023七下·二道期末）若，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2023七下·鞍山期末）某中学要修建一个面积约为平方米的正方形花圃，它的边长大约是（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
6．（2023七下·商南期末）若与是同一个数两个不同的平方根，则为（ ）
A． B．3 C． D．1
7．（2023七下·澄海期末）若一个正数a的平方根是与，则a的值是（ ）
A．5 B．3 C． D．9
8．（2023七上·瑞安期中）已知一个正方形的面积等于两个边长分别为6cm和8cm的正方形的面积之和，则这个正方形的边长为（ ）
A．7cm B．10cm C．12cm D．14cm
二、填空题
9．（2023七上·余姚期中）已知，，且．则x＋y的值为 ．
10．（2023八上·阳泉月考）一个正数的平方根分别是和，则这个数是 ．
11．
（1）∵ 2=64，∴= ．
（2）∵ 2=0.81，∴0.81的平方根是 ，算术平方根是
（3）∵（）2=7，∴7的平方根是
12．（2023七上·龙泉期中）如图1，一个边长为6的正方形被分割成四个完全相同的直角三角形和一个阴影小正方形(无缝隙、不重叠)，现将这四个直角三角形分别沿着正方形四条边向外翻折，翻折后得到图2所示的大正方形.
（1）若阴影小正方形的边长为1，则图2中大正方形的面积为 .
（2）若图2中大正方形的边长为正整数，则阴影小正方形的边长为 .
13．（2018八上·埇桥期末） =a， =b，则 = ．
三、解答题
14．将一块长、宽、高分别为2 cm，1.5 cm，6 cm的长方体形状的橡皮泥捏成一个高为3cm的圆柱体，这个圆柱体的底面半径是多少？（长方体体积=长×宽×高，圆柱体体积=π×底面半径的平方×高，π取3，结果保留根号）
15．已知一个正方形的面积等于两个边长分别为3cm和4 cm的正方形的面积之和，求这个正方形的边长．
四、计算题
16．（2023八上·长春月考） 计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
五、综合题
17．（2023七下·南川期中）已知：和互为相反数，
（1）求a、b的值；
（2）求的平方根．
18．（2023七下·遵义月考）列方程解应用题．小丽给了小明一张长方形的纸片，告诉他，纸片的长宽之比为3：2，纸片面积为294 cm2．
（1）请你帮小明求出纸片的周长．
（2）小明想利用这张纸片裁出一张面积为157cm2的完整圆形纸片，他能够裁出想要的圆形纸片吗？请说明理由．(π取3.14)
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】平方根
【解析】【分析】首先根据平方根的定义求出4的平方根，然后就可以解决问题．
【解答】∵=4
∵±2的平方等于4，
∴4的平方根是：±2．
故选D．
【点评】此题主要考查了平方根的定义和性质，根据平方根的定义得出是解决问题的关键．
2．【答案】A
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解： 根据题意得：x-2≥0，
解得x≥2．
故答案为：A.
【分析】 根据算数平方根有意义的条件，被开方数是非负数即可求解．
3．【答案】B
【知识点】平方根；算术平方根
【解析】【解答】解：∵x与y是两个不相等的实数，且x2=a，y2=a，
∴x与y互为相反数，
∴x+y=0，
∴.
故答案为：B.
【分析】由题意可得x与y互为相反数，进而根据互为相反数的两个数的和为0可得x+y=0，从而代入计算可得答案.
4．【答案】B
【知识点】平方根
【解析】【解答】解：∵，
∴x=，
故答案为：B.
【分析】利用平方根的计算方法求解即可.
5．【答案】C
【知识点】平方根
【解析】【解答】解：设正方形花圃的边长为x，
由题意得：x2=80，
解得；
故答案为：C.
【分析】根据正方形的面积公式：正方形的面积=边长2，即可计算.
6．【答案】D
【知识点】平方根
【解析】【解答】解：∵与是同一个数两个不同的平方根，
∴2m-4+3m-1=0
解之：m=1.
故答案为：D.
【分析】利用正数的平方根有两个，它们互为相反数，可得到关于m的方程，解方程求出m的值.
7．【答案】D
【知识点】平方根
【解析】【解答】解：∵一个正数a的平方根是2x-7与2-x，
∴2x-7+2-x=0，
∴x=5，
∴a=(2-x)2=(2-5)2=9.
故答案为：D.
【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数可得2x-7+2-x=0，求出x的值，然后求出2-x的值，进而可得a的值.
8．【答案】B
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解：由题意得： 这个正方形的面积=62+82=100，
∴ 这个正方形的边长为=10，
故答案为：B.
【分析】先求出这个正方形的面积，继而求出边长.
9．【答案】-1或1
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；平方根；有理数的加法
【解析】【解答】解： ，可得x=5或-5； ，可得y=4或-4；
∵
∴x和y是异号
∴x=5时，y=-4或者x=-5时，y=4
∴x+y=5+（-4）=1或者x+y=-5+4=-1
故答案为：1或-1.
【分析】根据绝对值的性质，可得x的值有两个；根据平方根的定义，可得y的值有两个；根据，可以判断x和y的大小，进而求出x+y的值.
10．【答案】4
【知识点】平方根
【解析】【解答】(x+1)+(2x-4)=0，
解得：x=1。
这个数是 （x+1）2=（1+1)2=4.
故答案为：4.
【分析】一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，据此建立方程求解。
11．【答案】（1）±8；±8
（2）±0.9；±0.9；0.9
（3）
【知识点】平方根；算术平方根
【解析】【解答】解：（1）∵（±8）2=64，
∴；
故答案为：±8，±8；
（2）∵（±0.9）2=0.81，
∴0.81的平方根是±0.9，算术平方根是0.9；
故答案为：±0.9，±0.9，0.9；
（3）∵（）2=7，
∴7的平方根是，
故答案为：.
【分析】（1）如果一个数x的平方等于a，则这个数x就是a的平方根，而且一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，据此解答即可；
（2）如果一个数x的平方等于a，则这个数x就是a的平方根，一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，其中正数的正的平方根就是其算术平方根，据此可解答；
（3）（1）如果一个数x的平方等于a，则这个数x就是a的平方根，而且一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，据此可解答.
12．【答案】（1）71
（2）
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解：（1）图1中四个直角三角形的面积和为正方形面积减去阴影小正方形面积，即6×6-1×1=35，由翻折的性质可知，翻折后的四个直角三角形和翻折前相同，故图2大正方形面积为6×6+35=71.
（2）设阴影小正方形面积为x，则大正方形面积为72-x，则其边长为，再根据边长为正整数且边长大于6，可得等于7或8.当大正方形面积为7时，阴影小正方形边长为；当大正方形面积为8时，阴影小正方形边长为.
故答案为：（1）71
（2）.
【分析】根据大正方形和小正方形的关系，列出关系式，再根据题意进行分析求解.
13．【答案】0.1b
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解：∵ =b，
∴ = = = =0.1b．
故答案为：0.1b．
【分析】算数平方根的小数点移动法则为”内2外1“，根号里边移动2位，外边移动1位，5.67与567小数点相差2位，以为标准移动小数点.
14．【答案】解： 这个圆柱体的底面半径是.
【知识点】算术平方根
【解析】【分析】先由长方体的体积计算公式算出橡皮泥的体积，根据橡皮泥的体积不变，可得圆柱体的体积，进而根据圆柱体的体积公式可得底面半径等于体积除以高与π积的商的算术平方根求解即可.
15．【答案】解：∵32+42=9+16=25（cm2），
∵52=25，
∴这个正方形的边长为5cm.
【知识点】算术平方根
【解析】【分析】根据正方形的面积等于边长的平方可求出边长分别为3cm和4cm的正方形的面积，进而将两个正方形的面积之和看成一个正方形的面积，再根据算术平方根的定义即可求解.
16．【答案】（1）解：原式；
（2）解：原式；
（3）解：原式；
（4）解：原式．
【知识点】算术平方根；整式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据有理数的立方，算术平方根，化简绝对值，进行计算即可求解；
（2）根据幂的乘方，同底数幂的乘法进行计算即可求解；
（3）根据幂的乘方，同底数幂的乘除法进行计算即可求解；
（4）先计算幂的乘法与同底数的除法，再计算加减即可求解．
17．【答案】（1）解：∵和互为相反数，
∴．
∵，．
∴，，
∴，；
（2）解：把，代入，得
，
∴的平方根是．
【知识点】算术平方根；绝对值的非负性
【解析】【分析】（1）先根据相反数的定义，得+|＝0．再根据算术平方根的非负性以及绝对值的非负性解决此题．
（2）先将a与b代入求值，再求平方根．
18．【答案】解：设长方形纸片的长为3xcm，宽为2xcm．依题意，3x·2x = 294，6x2=294，x2=49，x=±7，∵x>0，∴x= 7，∴长方形的纸片的长为21厘米，宽为14厘米，(21+14)×2=70厘米．答：纸片的周长是70厘米． (2 )小明想利用这张纸片裁出一张面积为157cm2的完整圆形纸片，他能够裁出想要的圆形纸片吗？请说明理由．(π取3.14)【答案】解：设圆形纸片的半径为r cm，S=πr2=157，r2=50，由于长方形纸片的宽为14 厘米，则圆形纸片的半径最大为7 cm，72=49<50，所以不能裁出想要的圆形纸片．
（1）解：设长方形纸片的长为3xcm，宽为2xcm．依题意，3x·2x = 294，
6x2=294，
x2=49，
x=±7，
∵x>0，
∴x= 7，
∴长方形的纸片的长为21厘米，宽为14厘米，
(21+14)×2=70厘米．
答：纸片的周长是70厘米．
（2）解：设圆形纸片的半径为r cm，
S=πr2=157，
r2=50，
由于长方形纸片的宽为14 厘米，则圆形纸片的半径最大为7 cm，
72=49<50，
所以不能裁出想要的圆形纸片．
【知识点】算术平方根
【解析】【分析】（1）利用纸片的长宽之比为3：2，设长方形纸片的长为3xcm，宽为2xcm，再利用纸片面积为294cm2，可得到关于x的方程，解方程求出符合题意的x的值，再求出纸片的长和宽，然后求出纸片的周长.
（2）设圆形纸片的半径为r cm，利用圆的面积=157，可得到关于r的方程，解方程求出r2的值，据此可作出判断.
1 / 12023-2024学年人教版初中数学七年级下册6.1 平方根 同步分层训练提升题
一、选择题
1．的平方根是 （ ）
A．4 B．2 C．±4 D．±2
【答案】D
【知识点】平方根
【解析】【分析】首先根据平方根的定义求出4的平方根，然后就可以解决问题．
【解答】∵=4
∵±2的平方等于4，
∴4的平方根是：±2．
故选D．
【点评】此题主要考查了平方根的定义和性质，根据平方根的定义得出是解决问题的关键．
2．（2023七下·硚口期末）式子中，x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解： 根据题意得：x-2≥0，
解得x≥2．
故答案为：A.
【分析】 根据算数平方根有意义的条件，被开方数是非负数即可求解．
3．（2023七下·台江期末）已知两个不相等的实数x，y满足：，，则的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．
【答案】B
【知识点】平方根；算术平方根
【解析】【解答】解：∵x与y是两个不相等的实数，且x2=a，y2=a，
∴x与y互为相反数，
∴x+y=0，
∴.
故答案为：B.
【分析】由题意可得x与y互为相反数，进而根据互为相反数的两个数的和为0可得x+y=0，从而代入计算可得答案.
4．（2023七下·二道期末）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平方根
【解析】【解答】解：∵，
∴x=，
故答案为：B.
【分析】利用平方根的计算方法求解即可.
5．（2023七下·鞍山期末）某中学要修建一个面积约为平方米的正方形花圃，它的边长大约是（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】C
【知识点】平方根
【解析】【解答】解：设正方形花圃的边长为x，
由题意得：x2=80，
解得；
故答案为：C.
【分析】根据正方形的面积公式：正方形的面积=边长2，即可计算.
6．（2023七下·商南期末）若与是同一个数两个不同的平方根，则为（ ）
A． B．3 C． D．1
【答案】D
【知识点】平方根
【解析】【解答】解：∵与是同一个数两个不同的平方根，
∴2m-4+3m-1=0
解之：m=1.
故答案为：D.
【分析】利用正数的平方根有两个，它们互为相反数，可得到关于m的方程，解方程求出m的值.
7．（2023七下·澄海期末）若一个正数a的平方根是与，则a的值是（ ）
A．5 B．3 C． D．9
【答案】D
【知识点】平方根
【解析】【解答】解：∵一个正数a的平方根是2x-7与2-x，
∴2x-7+2-x=0，
∴x=5，
∴a=(2-x)2=(2-5)2=9.
故答案为：D.
【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数可得2x-7+2-x=0，求出x的值，然后求出2-x的值，进而可得a的值.
8．（2023七上·瑞安期中）已知一个正方形的面积等于两个边长分别为6cm和8cm的正方形的面积之和，则这个正方形的边长为（ ）
A．7cm B．10cm C．12cm D．14cm
【答案】B
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解：由题意得： 这个正方形的面积=62+82=100，
∴ 这个正方形的边长为=10，
故答案为：B.
【分析】先求出这个正方形的面积，继而求出边长.
二、填空题
9．（2023七上·余姚期中）已知，，且．则x＋y的值为 ．
【答案】-1或1
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；平方根；有理数的加法
【解析】【解答】解： ，可得x=5或-5； ，可得y=4或-4；
∵
∴x和y是异号
∴x=5时，y=-4或者x=-5时，y=4
∴x+y=5+（-4）=1或者x+y=-5+4=-1
故答案为：1或-1.
【分析】根据绝对值的性质，可得x的值有两个；根据平方根的定义，可得y的值有两个；根据，可以判断x和y的大小，进而求出x+y的值.
10．（2023八上·阳泉月考）一个正数的平方根分别是和，则这个数是 ．
【答案】4
【知识点】平方根
【解析】【解答】(x+1)+(2x-4)=0，
解得：x=1。
这个数是 （x+1）2=（1+1)2=4.
故答案为：4.
【分析】一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，据此建立方程求解。
11．
（1）∵ 2=64，∴= ．
（2）∵ 2=0.81，∴0.81的平方根是 ，算术平方根是
（3）∵（）2=7，∴7的平方根是
【答案】（1）±8；±8
（2）±0.9；±0.9；0.9
（3）
【知识点】平方根；算术平方根
【解析】【解答】解：（1）∵（±8）2=64，
∴；
故答案为：±8，±8；
（2）∵（±0.9）2=0.81，
∴0.81的平方根是±0.9，算术平方根是0.9；
故答案为：±0.9，±0.9，0.9；
（3）∵（）2=7，
∴7的平方根是，
故答案为：.
【分析】（1）如果一个数x的平方等于a，则这个数x就是a的平方根，而且一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，据此解答即可；
（2）如果一个数x的平方等于a，则这个数x就是a的平方根，一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，其中正数的正的平方根就是其算术平方根，据此可解答；
（3）（1）如果一个数x的平方等于a，则这个数x就是a的平方根，而且一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，据此可解答.
12．（2023七上·龙泉期中）如图1，一个边长为6的正方形被分割成四个完全相同的直角三角形和一个阴影小正方形(无缝隙、不重叠)，现将这四个直角三角形分别沿着正方形四条边向外翻折，翻折后得到图2所示的大正方形.
（1）若阴影小正方形的边长为1，则图2中大正方形的面积为 .
（2）若图2中大正方形的边长为正整数，则阴影小正方形的边长为 .
【答案】（1）71
（2）
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解：（1）图1中四个直角三角形的面积和为正方形面积减去阴影小正方形面积，即6×6-1×1=35，由翻折的性质可知，翻折后的四个直角三角形和翻折前相同，故图2大正方形面积为6×6+35=71.
（2）设阴影小正方形面积为x，则大正方形面积为72-x，则其边长为，再根据边长为正整数且边长大于6，可得等于7或8.当大正方形面积为7时，阴影小正方形边长为；当大正方形面积为8时，阴影小正方形边长为.
故答案为：（1）71
（2）.
【分析】根据大正方形和小正方形的关系，列出关系式，再根据题意进行分析求解.
13．（2018八上·埇桥期末） =a， =b，则 = ．
【答案】0.1b
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解：∵ =b，
∴ = = = =0.1b．
故答案为：0.1b．
【分析】算数平方根的小数点移动法则为”内2外1“，根号里边移动2位，外边移动1位，5.67与567小数点相差2位，以为标准移动小数点.
三、解答题
14．将一块长、宽、高分别为2 cm，1.5 cm，6 cm的长方体形状的橡皮泥捏成一个高为3cm的圆柱体，这个圆柱体的底面半径是多少？（长方体体积=长×宽×高，圆柱体体积=π×底面半径的平方×高，π取3，结果保留根号）
【答案】解： 这个圆柱体的底面半径是.
【知识点】算术平方根
【解析】【分析】先由长方体的体积计算公式算出橡皮泥的体积，根据橡皮泥的体积不变，可得圆柱体的体积，进而根据圆柱体的体积公式可得底面半径等于体积除以高与π积的商的算术平方根求解即可.
15．已知一个正方形的面积等于两个边长分别为3cm和4 cm的正方形的面积之和，求这个正方形的边长．
【答案】解：∵32+42=9+16=25（cm2），
∵52=25，
∴这个正方形的边长为5cm.
【知识点】算术平方根
【解析】【分析】根据正方形的面积等于边长的平方可求出边长分别为3cm和4cm的正方形的面积，进而将两个正方形的面积之和看成一个正方形的面积，再根据算术平方根的定义即可求解.
四、计算题
16．（2023八上·长春月考） 计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1）解：原式；
（2）解：原式；
（3）解：原式；
（4）解：原式．
【知识点】算术平方根；整式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据有理数的立方，算术平方根，化简绝对值，进行计算即可求解；
（2）根据幂的乘方，同底数幂的乘法进行计算即可求解；
（3）根据幂的乘方，同底数幂的乘除法进行计算即可求解；
（4）先计算幂的乘法与同底数的除法，再计算加减即可求解．
五、综合题
17．（2023七下·南川期中）已知：和互为相反数，
（1）求a、b的值；
（2）求的平方根．
【答案】（1）解：∵和互为相反数，
∴．
∵，．
∴，，
∴，；
（2）解：把，代入，得
，
∴的平方根是．
【知识点】算术平方根；绝对值的非负性
【解析】【分析】（1）先根据相反数的定义，得+|＝0．再根据算术平方根的非负性以及绝对值的非负性解决此题．
（2）先将a与b代入求值，再求平方根．
18．（2023七下·遵义月考）列方程解应用题．小丽给了小明一张长方形的纸片，告诉他，纸片的长宽之比为3：2，纸片面积为294 cm2．
（1）请你帮小明求出纸片的周长．
（2）小明想利用这张纸片裁出一张面积为157cm2的完整圆形纸片，他能够裁出想要的圆形纸片吗？请说明理由．(π取3.14)
【答案】解：设长方形纸片的长为3xcm，宽为2xcm．依题意，3x·2x = 294，6x2=294，x2=49，x=±7，∵x>0，∴x= 7，∴长方形的纸片的长为21厘米，宽为14厘米，(21+14)×2=70厘米．答：纸片的周长是70厘米． (2 )小明想利用这张纸片裁出一张面积为157cm2的完整圆形纸片，他能够裁出想要的圆形纸片吗？请说明理由．(π取3.14)【答案】解：设圆形纸片的半径为r cm，S=πr2=157，r2=50，由于长方形纸片的宽为14 厘米，则圆形纸片的半径最大为7 cm，72=49<50，所以不能裁出想要的圆形纸片．
（1）解：设长方形纸片的长为3xcm，宽为2xcm．依题意，3x·2x = 294，
6x2=294，
x2=49，
x=±7，
∵x>0，
∴x= 7，
∴长方形的纸片的长为21厘米，宽为14厘米，
(21+14)×2=70厘米．
答：纸片的周长是70厘米．
（2）解：设圆形纸片的半径为r cm，
S=πr2=157，
r2=50，
由于长方形纸片的宽为14 厘米，则圆形纸片的半径最大为7 cm，
72=49<50，
所以不能裁出想要的圆形纸片．
【知识点】算术平方根
【解析】【分析】（1）利用纸片的长宽之比为3：2，设长方形纸片的长为3xcm，宽为2xcm，再利用纸片面积为294cm2，可得到关于x的方程，解方程求出符合题意的x的值，再求出纸片的长和宽，然后求出纸片的周长.
（2）设圆形纸片的半径为r cm，利用圆的面积=157，可得到关于r的方程，解方程求出r2的值，据此可作出判断.
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