2023-2024学年人教版初中数学七年级下册6.3 实数 同步分层训练基础题
一、选择题
1．（2020·云南模拟）估算 的值是在（ ）
A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间
2．（2023八上·南皮期中）下列各数是无理数的是（ ）
A． B．0.1001 C． D．
3．在实数，，，3.14中，无理数是（ ）
A． B． C． D．3.14
4．估计的值在（ ）
A．3到4之间 B．4到5之间 C．5到6之间 D．6到7之间
5．（2023八上·渠县月考）在实数3.14， ， ， ， ，0.33333......， 1.2323323332 ......（每相邻的两个2之间多一个3）中，无理数的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（2023七上·杭州月考）已知整数满足，则整数可能是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023八上·南皮期中）如图，面积为3的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为，以点为圆心，长为半径画圆，交数轴于点．则点所表示的数为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023八上·南皮期中）设的小数部分是的整数部分是，则的值是（ ）
A．3 B．7 C．9 D．一个无理数
二、填空题
9．（2022八下·海淀期末）比较大小：2 4．（填“＞”、“＜”或“＝”号）
10．（2023八上·南皮期中）若是两个连续的整数且，则 ．
11．（2023七上·萧山期中） 若，则所有满足条件的整数x之和为 ．
12．（2023七上·瑞安期中）如图，面积为3的正方形的顶点A在数轴上，对应的数为1，以点A为圆心，长为半径画弧交数轴于点E（点E位于点A的左侧），则线段 ，点E对应的数为 ．
13．（2018八上·东台月考）如图，正方形 的边 落在数轴上，点 表示的数为 ，点 表示的数为 ，以 点为圆心， 长为半径作圆弧与数轴交于点 ，则点 表示的数为 .
三、解答题
14．（2023八上·昌平期中）阅读理解，并回答问题.
阅读材料1：
，，即.
的整数部分为，小数部分为.
阅读材料2：
对于任意实数a和b比较大小，有如下规律：若，则；若，则；若，则.我们把这种比较两个数大小的方法称为作差法.
例如：比较与的大小时，可以计算，得，
∵＞0，∴＞0.∴＞.
（1）请表示出的整数部分和小数部分；
（2）试判断与的大小，并说明理由.
15．（2023八上·沙坪坝期中）我们知道无理数都可以化为无限不循环小数，所以 的小数部分不可能全部写出来 ，若的整数部分为a，小数部分为b，则 ，且b＜1．
（1）的整数部分是 ，小数部分是 ；
（2）若的整数部分为m，小数部分为n，求的值．
四、计算题
16．（2023九上·开福月考） 计算：．
五、综合题
17．（2022七上·杭州期中）
（1）先化简，再求值．
已知，，求多项式的值．
（2）在数轴上表示下列各数，并把这些数按从小到大顺序进行排列，用“”连接．
，，，，，
18．（2023七下·资源期末）大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？
事实上，小明的表示方法有道理、因为的整数部分是1，将减去其整数部分，差就是小数部分．
又例如：因为，即，所以的整数部分为2，小数部分为．
根据以上内容，解答下列问题：
（1）的整数部分是 ，小数部分是 ；
（2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值；
（3）已知，其中x是整数，且，求的值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵25<27<36，
∴5< <6，
7 <9.
故答案为：D.
【分析】由算术平方根的定义易知5<<6，再由不等式的性质在不等式两边同时加2即可求解.
2．【答案】D
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】A：=5，是有理数，不符合题意；
B：0.1001，是有理数，不符合题意；
C：，是有理数，不符合题意；
D：是无理数，所以也是无理数，符合题意，D正确.
故答案为：D.
【分析】本题考查无理数概念，无理数也称无限不循环小数.
3．【答案】C
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：A．是负整数，是有理数，不合题意；
B．是正整数，是有理数，不合题意；
C．是开方开不尽的数，是无理数，符合题意；
D．是有限小数，是有理数，不合题意．
故答案为：C.
【分析】根据无理数的定义逐项判定．无理数是指无限不循环小数。
4．【答案】B
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解： ，
∵16＜18＜25，
∴4＜＜5，
∴的值在4到5之间 .
故答案为：B.
【分析】利用夹逼法可得4＜＜5，据此即可求解.
5．【答案】C
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解： 实数3.14， ， ， ， ，0.33333......， 1.2323323332...... （每相邻的两个2之间多一个3）中，，， 1.2323323332...... （每相邻的两个2之间多一个3）都是无理数，共3个.
故答案为：C.
【分析】无限不循环小数叫做无理数，对于开方开不尽的数、圆周率π都是无理数；据此判断即可.
6．【答案】D
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵，
∴9＜a＜16，
∵a为整数，
∴a可为10或11或12或13或14或15，故只有D选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据二次根式的性质可得a的取值范围，再找出取值范围内的整数，进而即可判断得出答案.
7．【答案】A
【知识点】无理数在数轴上表示
【解析】【解答】由题意可得，AD=AE=，即AE的长度为，则点E所表示的数为-1，A正确。
故答案为：A。
【分析】根据正方形面积得到正方形边长，即圆的半径，E所表示的数为数轴0点到E点的长度，所以用圆的半径减去1后，求得E所表示的数。
8．【答案】A
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】∵∴的整数部分为1，则小数部分为，即m=；
∵∴的整数部分为2，则小数部分为，即n=2；
把m、n分别带入，原式==3，A正确。
故答案为：A。
【分析】找到给定根式的小数、整数部分是解题关键。可将根式与指定正整数进行比较，从而确定整数部分的取值。
9．【答案】＜
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【解答】∵2＝，4＝，12＜16，
∴＜，即2＜4．
故答案为＜．
【分析】先求出＜，再比较大小即可。
10．【答案】7
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】∵m、n是两个连续整数，且，∴m=3，n=4，则m+n=3+4=7
故答案为：7。
【分析】根据题目条件，可以确定介于3和4之间，继而确定了m、n的值。
11．【答案】2
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵
∴
∴
∴所有满足条件的整数x有：-1，0，1，2，
则
故答案为：2.
【分析】先估算出的大致的值，进而即可确定符合条件的所有x的值，最后根据有理数加法法则计算即可.
12．【答案】；
【知识点】无理数在数轴上表示
【解析】【解答】解：根据题意可知：AD=EA，
∵AD2=3，
∴EA=AD=；
∵点A表示的数时1，点E在点A的左侧，EA=，
∴点E表示的数是
故答案为：；.
【分析】利用正方形的面积求出EA的长为，再结合图形中点E在点A的左侧可知点E表示的数为或.
13．【答案】D
【知识点】无理数在数轴上表示
【解析】【解答】解：由勾股定理知：PB= ，
则PD=PB= ，
所以D表示的数为： -1.
故答案为：D.
【分析】首先根据勾股定理算出PB的长，进而根据同圆的半径相等得出PD=PB，然后根据OD=PD-OP算出OD的长，从而根据数轴上所表示的数的特点即可得出答案。
14．【答案】（1）解：，，即.
的整数部分为，小数部分为.
（2）解：，
理由如下：
∴
【知识点】无理数的大小比较；无理数的估值；数学思想
【解析】【分析】（1）按照材料一的解题思路进行计算，即可解答。
（2）按照材料二的解题思路进行计算，即可解答。
15．【答案】（1）4；
（2）解：∵，
∴，
∴m＝5，-5，
∴
，
．
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：（1）∵16＜17＜25，
∴4＜＜5，
∴整数部分为4，小数部分是-4；
故答案为：4，-4；
【分析】（1）利用夹逼法估算出的整数部分，再确定小数部分即可；
（2）利用夹逼法估算出的整数部分m，再确定小数部分n值，然后代入计算即可.
16．【答案】解：原式
．
【知识点】实数的运算
【解析】【分析】非0数的0次幂是1，正数的绝对值是它本身，一个数的负整数次幂是它的正整数次幂的倒数，各项都化简后再合并同类项。
17．【答案】（1）解：，
当，时，
原式
．
（2）解：如图所示：
，
【知识点】无理数在数轴上表示；无理数的大小比较；利用整式的加减运算化简求值
【解析】【分析】(1)将多项式合并同类项后代入求值，计算里先计算乘方，再算乘法，最后算加减；
（2）先将所给的数表示在数轴，再将它们从左到右依次抄下，数与数之间用<号连接即可.
18．【答案】（1）4；
（2）解：∵，即，
∴的整数部分是2，小数部分是，
∴．
∵，即，
∴的整数部分是3，
∴．
∴．
（3）解：∵，
∴，
∴．
∵，其中x是整数，且，
∴，．
∴
【知识点】无理数的估值；实数的运算
【解析】【解答】（1）∵16<17<25，
∴，
∴，
∴的整数部分为4，小数部分为：；
故答案为：4；.
【分析】（1）参照题干中估算无理数大小的方法求解即可；
（2）先利用估算无理数大小的大小求出a、b的值，再将其代入计算即可；
（3）先估算无理数大小的方法求出，再结合，求出 ，，再将其代入计算即可.
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一、选择题
1．（2020·云南模拟）估算 的值是在（ ）
A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间
【答案】C
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵25<27<36，
∴5< <6，
7 <9.
故答案为：D.
【分析】由算术平方根的定义易知5<<6，再由不等式的性质在不等式两边同时加2即可求解.
2．（2023八上·南皮期中）下列各数是无理数的是（ ）
A． B．0.1001 C． D．
【答案】D
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】A：=5，是有理数，不符合题意；
B：0.1001，是有理数，不符合题意；
C：，是有理数，不符合题意；
D：是无理数，所以也是无理数，符合题意，D正确.
故答案为：D.
【分析】本题考查无理数概念，无理数也称无限不循环小数.
3．在实数，，，3.14中，无理数是（ ）
A． B． C． D．3.14
【答案】C
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：A．是负整数，是有理数，不合题意；
B．是正整数，是有理数，不合题意；
C．是开方开不尽的数，是无理数，符合题意；
D．是有限小数，是有理数，不合题意．
故答案为：C.
【分析】根据无理数的定义逐项判定．无理数是指无限不循环小数。
4．估计的值在（ ）
A．3到4之间 B．4到5之间 C．5到6之间 D．6到7之间
【答案】B
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解： ，
∵16＜18＜25，
∴4＜＜5，
∴的值在4到5之间 .
故答案为：B.
【分析】利用夹逼法可得4＜＜5，据此即可求解.
5．（2023八上·渠县月考）在实数3.14， ， ， ， ，0.33333......， 1.2323323332 ......（每相邻的两个2之间多一个3）中，无理数的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解： 实数3.14， ， ， ， ，0.33333......， 1.2323323332...... （每相邻的两个2之间多一个3）中，，， 1.2323323332...... （每相邻的两个2之间多一个3）都是无理数，共3个.
故答案为：C.
【分析】无限不循环小数叫做无理数，对于开方开不尽的数、圆周率π都是无理数；据此判断即可.
6．（2023七上·杭州月考）已知整数满足，则整数可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵，
∴9＜a＜16，
∵a为整数，
∴a可为10或11或12或13或14或15，故只有D选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据二次根式的性质可得a的取值范围，再找出取值范围内的整数，进而即可判断得出答案.
7．（2023八上·南皮期中）如图，面积为3的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为，以点为圆心，长为半径画圆，交数轴于点．则点所表示的数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】无理数在数轴上表示
【解析】【解答】由题意可得，AD=AE=，即AE的长度为，则点E所表示的数为-1，A正确。
故答案为：A。
【分析】根据正方形面积得到正方形边长，即圆的半径，E所表示的数为数轴0点到E点的长度，所以用圆的半径减去1后，求得E所表示的数。
8．（2023八上·南皮期中）设的小数部分是的整数部分是，则的值是（ ）
A．3 B．7 C．9 D．一个无理数
【答案】A
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】∵∴的整数部分为1，则小数部分为，即m=；
∵∴的整数部分为2，则小数部分为，即n=2；
把m、n分别带入，原式==3，A正确。
故答案为：A。
【分析】找到给定根式的小数、整数部分是解题关键。可将根式与指定正整数进行比较，从而确定整数部分的取值。
二、填空题
9．（2022八下·海淀期末）比较大小：2 4．（填“＞”、“＜”或“＝”号）
【答案】＜
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【解答】∵2＝，4＝，12＜16，
∴＜，即2＜4．
故答案为＜．
【分析】先求出＜，再比较大小即可。
10．（2023八上·南皮期中）若是两个连续的整数且，则 ．
【答案】7
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】∵m、n是两个连续整数，且，∴m=3，n=4，则m+n=3+4=7
故答案为：7。
【分析】根据题目条件，可以确定介于3和4之间，继而确定了m、n的值。
11．（2023七上·萧山期中） 若，则所有满足条件的整数x之和为 ．
【答案】2
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵
∴
∴
∴所有满足条件的整数x有：-1，0，1，2，
则
故答案为：2.
【分析】先估算出的大致的值，进而即可确定符合条件的所有x的值，最后根据有理数加法法则计算即可.
12．（2023七上·瑞安期中）如图，面积为3的正方形的顶点A在数轴上，对应的数为1，以点A为圆心，长为半径画弧交数轴于点E（点E位于点A的左侧），则线段 ，点E对应的数为 ．
【答案】；
【知识点】无理数在数轴上表示
【解析】【解答】解：根据题意可知：AD=EA，
∵AD2=3，
∴EA=AD=；
∵点A表示的数时1，点E在点A的左侧，EA=，
∴点E表示的数是
故答案为：；.
【分析】利用正方形的面积求出EA的长为，再结合图形中点E在点A的左侧可知点E表示的数为或.
13．（2018八上·东台月考）如图，正方形 的边 落在数轴上，点 表示的数为 ，点 表示的数为 ，以 点为圆心， 长为半径作圆弧与数轴交于点 ，则点 表示的数为 .
【答案】D
【知识点】无理数在数轴上表示
【解析】【解答】解：由勾股定理知：PB= ，
则PD=PB= ，
所以D表示的数为： -1.
故答案为：D.
【分析】首先根据勾股定理算出PB的长，进而根据同圆的半径相等得出PD=PB，然后根据OD=PD-OP算出OD的长，从而根据数轴上所表示的数的特点即可得出答案。
三、解答题
14．（2023八上·昌平期中）阅读理解，并回答问题.
阅读材料1：
，，即.
的整数部分为，小数部分为.
阅读材料2：
对于任意实数a和b比较大小，有如下规律：若，则；若，则；若，则.我们把这种比较两个数大小的方法称为作差法.
例如：比较与的大小时，可以计算，得，
∵＞0，∴＞0.∴＞.
（1）请表示出的整数部分和小数部分；
（2）试判断与的大小，并说明理由.
【答案】（1）解：，，即.
的整数部分为，小数部分为.
（2）解：，
理由如下：
∴
【知识点】无理数的大小比较；无理数的估值；数学思想
【解析】【分析】（1）按照材料一的解题思路进行计算，即可解答。
（2）按照材料二的解题思路进行计算，即可解答。
15．（2023八上·沙坪坝期中）我们知道无理数都可以化为无限不循环小数，所以 的小数部分不可能全部写出来 ，若的整数部分为a，小数部分为b，则 ，且b＜1．
（1）的整数部分是 ，小数部分是 ；
（2）若的整数部分为m，小数部分为n，求的值．
【答案】（1）4；
（2）解：∵，
∴，
∴m＝5，-5，
∴
，
．
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：（1）∵16＜17＜25，
∴4＜＜5，
∴整数部分为4，小数部分是-4；
故答案为：4，-4；
【分析】（1）利用夹逼法估算出的整数部分，再确定小数部分即可；
（2）利用夹逼法估算出的整数部分m，再确定小数部分n值，然后代入计算即可.
四、计算题
16．（2023九上·开福月考） 计算：．
【答案】解：原式
．
【知识点】实数的运算
【解析】【分析】非0数的0次幂是1，正数的绝对值是它本身，一个数的负整数次幂是它的正整数次幂的倒数，各项都化简后再合并同类项。
五、综合题
17．（2022七上·杭州期中）
（1）先化简，再求值．
已知，，求多项式的值．
（2）在数轴上表示下列各数，并把这些数按从小到大顺序进行排列，用“”连接．
，，，，，
【答案】（1）解：，
当，时，
原式
．
（2）解：如图所示：
，
【知识点】无理数在数轴上表示；无理数的大小比较；利用整式的加减运算化简求值
【解析】【分析】(1)将多项式合并同类项后代入求值，计算里先计算乘方，再算乘法，最后算加减；
（2）先将所给的数表示在数轴，再将它们从左到右依次抄下，数与数之间用<号连接即可.
18．（2023七下·资源期末）大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？
事实上，小明的表示方法有道理、因为的整数部分是1，将减去其整数部分，差就是小数部分．
又例如：因为，即，所以的整数部分为2，小数部分为．
根据以上内容，解答下列问题：
（1）的整数部分是 ，小数部分是 ；
（2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值；
（3）已知，其中x是整数，且，求的值．
【答案】（1）4；
（2）解：∵，即，
∴的整数部分是2，小数部分是，
∴．
∵，即，
∴的整数部分是3，
∴．
∴．
（3）解：∵，
∴，
∴．
∵，其中x是整数，且，
∴，．
∴
【知识点】无理数的估值；实数的运算
【解析】【解答】（1）∵16<17<25，
∴，
∴，
∴的整数部分为4，小数部分为：；
故答案为：4；.
【分析】（1）参照题干中估算无理数大小的方法求解即可；
（2）先利用估算无理数大小的大小求出a、b的值，再将其代入计算即可；
（3）先估算无理数大小的方法求出，再结合，求出 ，，再将其代入计算即可.
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