2023-2024学年人教版初中数学七年级下册6.3 实数 同步分层训练提升题
一、选择题
1．比较2， ， 的大小，正确的是（ ）
A．2< < B．2< < C． <2< D． < <2
【答案】C
【知识点】无理数的大小比较；无理数的估值
【解析】【解答】解：∵1＜＜2，2＜＜3
∴＜2＜
故答案为：C
【分析】根据题意判断和分别在哪两个整数之间，即可判断它们的大小。
2．（2023七下·台江期末）如图，估计的值所对应的点可能落在（ ）
A．点A处 B．点B处 C．点C处 D．点D处
【答案】B
【知识点】无理数在数轴上表示；无理数的估值
【解析】【解答】解：∵4＜7＜9，
∴，
∴的值所对应的点可能落在点B处.
故答案为：B.
【分析】利用估算无理数的大小可得，进而根据数轴上的点所表示的数的特点即可判断得出答案.
3．（2023七下·长沙期末）黄金分割数是一个很奇妙的数，它大量应用于艺术、建筑和统计决策等方面．请你估算黄金分割数的分子－1的值所在的范围是（ ）
A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间
【答案】B
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】∵，
∴，
∴，
故答案为：B.
【分析】根据，求出，再求出即可.
4．（2021七下·潼南期末）按如图所示的程序计算，若开始输入的x的值是64，则输出的y的值是（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】A
【知识点】算术平方根；无理数的概念
【解析】【解答】解：∵当x=64时， ， ，2是有理数，
∴当x=2时，算术平方根为 是无理数，
∴y= ，
故答案为：A.
【分析】当x=64时，求算术平方根，再判断其算术平方根是否为无理数，然后不断求算术平方根，直到其算术平方根是无理数为止.
5．（2023七下·东莞期中）下列说法：；数轴上的点与实数成一一对应关系；是的平方根；任何实数不是有理数就是无理数；两个无理数的和还是无理数；无理数都是无限小数，正确的个数有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
【知识点】平方根；算术平方根；实数的概念与分类；无理数在数轴上表示；无理数的概念
【解析】【解答】解：①，故①错误；
②数轴上的点与实数成一 一对应关系，故②正确；
③∵，（-3）2=9，∴-3是的平方根，故③正确；
④∵有理数和无理数统称实数，∴ 任何实数不是有理数就是无理数 ，故④正确；
⑤如与，它们互为相反数，其和等于0，∴ 两个无理数的和还是无理数是错误的，故⑤错误；
⑥无限不循环的小数就是无理数，所以无理数都是无限小数，故⑥正确，
综上正确的有②③④⑥，共4个.
故答案为：C.
【分析】由可判断①；由实数与数轴上点的关系知数轴上的点与实数成一 一对应关系，据此判断②；先将 化简得9，再根据平方根的定义可判断-3是9的平方根，据此可判断③；根据实数的定义：有理数和无理数统称实数，可判断④；由互为相反数的两个无理数的和为0，可判断⑤；由无理数的定义：无限不循环的小数就是无理数，可判断⑥.
6．（2023七下·耿马期末）若，估计的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
即，
故答案为：B.
【分析】先估算出，再求出即可.
7．（2023七下·昆明期末）下列说法：
是无理数；是的平方根；在两个连续整数和之间，那么；若正实数的平方根是和，则，
其中，正确的说法有__个（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平方根；无理数的估值；无理数的概念
【解析】【解答】解：①∵是有理数，∴①不正确；
②∵4的平方根是2和-2，∴-2是4的一个平方根，∴②正确；
③∵，∴，∴a=3，b=4，∴a+b=7，∴③正确；
④根据题意可得：+=0，解得：a=2，∴，∴m=52=25，∴④正确；
综上，正确的结论是②③④，共有3个，
故答案为：C.
【分析】利用无理数的定义、平方根的定义及计算，估算无理数大小的方法逐项判断即可.
8．（2019七下·天台期末）已知 ， ， 表示取三个数中最小的那个数﹒例如：当 ， ， ， = ， ， =3﹒当 ， ， = 时，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平方根；无理数的大小比较
【解析】【解答】解：
当01时， ，
∴ ， ， ，则x=.
故答案为：C
【分析】当底数大于零而小于1时，指数越大值反而越小，当底数大于1时，指数越大，值越大。据此原理，先找出最小值是x2, 再列方程解出x即可。
二、填空题
9．（2023七下·乌鲁木齐期中）比较大小： 6．（填“”“”或“”）
【答案】<
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：由题意得，
故答案为：＜
【分析】根据估算无理数的大小结合题意即可求解。
10．（2023七下·宽城期末）是连续的两个整数，若，则的值为 ．
【答案】
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵是连续的两个整数，，
∴m=2，n=3，
∴m+n=5，
故答案为：5
【分析】先根据题意估算无理数的大小，进而得到m和n的值，从而即可求解。
11．（2023七下·鞍山期末）如图，半径为的圆放在数轴上，点表示的数是，将圆沿数轴向左侧转动一周，点转动后表示的数是 ．
【答案】
【知识点】无理数在数轴上表示
【解析】【解答】解：由题意得，圆的半径为1，
则圆的周长为2×π×1=2π，
∵点A表示2，
∴点A向左转动一周后表示的数为2-2π；
故答案为：2-2π.
【分析】先计算出圆的周长2πr，再求点A向左转动一周后表示的数即可.
12．（2023七下·天河期末）阅读下列材料：因为，即，所以的整数部分为2，小数部分为，若规定实数m的整数部分记为，小数部分记为，可得：，．按照此规定计算的值 ．
【答案】
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解： ∵，
∴，
∴，
∴的值5--2=3-；
故答案为：.
【分析】先估算出，即得5-的整数部分为2，利用5--2即得小数部分.
13．（2019七下·崇明期末）计算： ．
【答案】
【知识点】计算器在数的开方中的应用；实数的运算
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
故答案为：-2
【分析】运用乘方运算和开方运算的互逆关系求解即可.
三、解答题
14．指出下列各数是有理数还是无理数：
1，，，3.14159，，，，3.131331333133331……(两个“1”之间依次多一个“3")．
【答案】解：有理数：1，，，3.14159，，.
无理数：，3.131331333133331……(两个“1”之间依次多一个“3")．
【知识点】实数的概念与分类
【解析】【分析】根据实数的分类以及有理数和无理数的定义即可求得.
15．俗话说，登高望远．从理论上说，当人站在距地面h千米高处时，能看到的最远距离约为d=112×千米．上海金茂大厦观光厅高340米，人在观光厅里最多能看多远(精确到0.1千米)？
【答案】解：由题意得：h=0.34
则d=112×=112×≈65.3(千米)．
答：最多大约能看到65.3千米远．
【知识点】实数的运算
【解析】【分析】根据题意能看到的最远距离约为 d=112×千米 ，把h=0.34代入计算即可得。
四、综合题
16．（2023七下·铁西期末）已知一个正数的两个平方根分别是和，的算术平方根为2，是的整数部分，
（1）求a、b、c的值．
（2）求的立方根．
【答案】（1）解：∵一个正数的两个平方根分别是和，
∴，
∴；
∵的算术平方根为2，
∴，
∴；
∵，
∴的整数部分，
∴．
（2）解：，
∴的立方根是．
【知识点】平方根；算术平方根；立方根及开立方；无理数的估值
【解析】【分析】（1）根据平方根、算术平方根、估算无理数的大小即可求解；
（2）根据立方根结合题意即可求解。
17．（2023七下·东城期末）一个数值转换器如图所示：
（1）当输入的值为16时，输出的值是 ；
（2）若输入有效的值后，始终输不出值，则所有满足要求的的值为 ；
（3）若输出的值是，请直接写出两个满足要求的的值．
【答案】（1）
（2）0，1
（3）解：25的算术平方根为5，5的算术平方根是，
∴，都满足要求．
【知识点】算术平方根；无理数的概念
【解析】【解答】解：(1) 由题意，4是有理数，
重新输入取算术平方根得：，2是有理数
重新输入取算术平方根得：，是无理数
故填：
(2) 始终输不出y值，说明有理数开方，计算出算术平方根后，仍然得原来的被开方数，这样就一直处于循环状态，这样的特殊值只有0和1
故填：0 ，1
【分析】(1)理解算术平方根的含义，根据无理数的定义判定是否是无理数；掌握特殊值的算术平方根。(2)了解有死循环的存在，会导致始终输不出值 ；(3)由输出值进行逆运算就是平方；可以平方，之后再平方，得到2个满足条件的数；如果需要更多，可以再次平方下去。
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一、选择题
1．比较2， ， 的大小，正确的是（ ）
A．2< < B．2< < C． <2< D． < <2
2．（2023七下·台江期末）如图，估计的值所对应的点可能落在（ ）
A．点A处 B．点B处 C．点C处 D．点D处
3．（2023七下·长沙期末）黄金分割数是一个很奇妙的数，它大量应用于艺术、建筑和统计决策等方面．请你估算黄金分割数的分子－1的值所在的范围是（ ）
A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间
4．（2021七下·潼南期末）按如图所示的程序计算，若开始输入的x的值是64，则输出的y的值是（ ）
A． B． C．2 D．3
5．（2023七下·东莞期中）下列说法：；数轴上的点与实数成一一对应关系；是的平方根；任何实数不是有理数就是无理数；两个无理数的和还是无理数；无理数都是无限小数，正确的个数有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
6．（2023七下·耿马期末）若，估计的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023七下·昆明期末）下列说法：
是无理数；是的平方根；在两个连续整数和之间，那么；若正实数的平方根是和，则，
其中，正确的说法有__个（ ）
A． B． C． D．
8．（2019七下·天台期末）已知 ， ， 表示取三个数中最小的那个数﹒例如：当 ， ， ， = ， ， =3﹒当 ， ， = 时，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2023七下·乌鲁木齐期中）比较大小： 6．（填“”“”或“”）
10．（2023七下·宽城期末）是连续的两个整数，若，则的值为 ．
11．（2023七下·鞍山期末）如图，半径为的圆放在数轴上，点表示的数是，将圆沿数轴向左侧转动一周，点转动后表示的数是 ．
12．（2023七下·天河期末）阅读下列材料：因为，即，所以的整数部分为2，小数部分为，若规定实数m的整数部分记为，小数部分记为，可得：，．按照此规定计算的值 ．
13．（2019七下·崇明期末）计算： ．
三、解答题
14．指出下列各数是有理数还是无理数：
1，，，3.14159，，，，3.131331333133331……(两个“1”之间依次多一个“3")．
15．俗话说，登高望远．从理论上说，当人站在距地面h千米高处时，能看到的最远距离约为d=112×千米．上海金茂大厦观光厅高340米，人在观光厅里最多能看多远(精确到0.1千米)？
四、综合题
16．（2023七下·铁西期末）已知一个正数的两个平方根分别是和，的算术平方根为2，是的整数部分，
（1）求a、b、c的值．
（2）求的立方根．
17．（2023七下·东城期末）一个数值转换器如图所示：
（1）当输入的值为16时，输出的值是 ；
（2）若输入有效的值后，始终输不出值，则所有满足要求的的值为 ；
（3）若输出的值是，请直接写出两个满足要求的的值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】无理数的大小比较；无理数的估值
【解析】【解答】解：∵1＜＜2，2＜＜3
∴＜2＜
故答案为：C
【分析】根据题意判断和分别在哪两个整数之间，即可判断它们的大小。
2．【答案】B
【知识点】无理数在数轴上表示；无理数的估值
【解析】【解答】解：∵4＜7＜9，
∴，
∴的值所对应的点可能落在点B处.
故答案为：B.
【分析】利用估算无理数的大小可得，进而根据数轴上的点所表示的数的特点即可判断得出答案.
3．【答案】B
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】∵，
∴，
∴，
故答案为：B.
【分析】根据，求出，再求出即可.
4．【答案】A
【知识点】算术平方根；无理数的概念
【解析】【解答】解：∵当x=64时， ， ，2是有理数，
∴当x=2时，算术平方根为 是无理数，
∴y= ，
故答案为：A.
【分析】当x=64时，求算术平方根，再判断其算术平方根是否为无理数，然后不断求算术平方根，直到其算术平方根是无理数为止.
5．【答案】C
【知识点】平方根；算术平方根；实数的概念与分类；无理数在数轴上表示；无理数的概念
【解析】【解答】解：①，故①错误；
②数轴上的点与实数成一 一对应关系，故②正确；
③∵，（-3）2=9，∴-3是的平方根，故③正确；
④∵有理数和无理数统称实数，∴ 任何实数不是有理数就是无理数 ，故④正确；
⑤如与，它们互为相反数，其和等于0，∴ 两个无理数的和还是无理数是错误的，故⑤错误；
⑥无限不循环的小数就是无理数，所以无理数都是无限小数，故⑥正确，
综上正确的有②③④⑥，共4个.
故答案为：C.
【分析】由可判断①；由实数与数轴上点的关系知数轴上的点与实数成一 一对应关系，据此判断②；先将 化简得9，再根据平方根的定义可判断-3是9的平方根，据此可判断③；根据实数的定义：有理数和无理数统称实数，可判断④；由互为相反数的两个无理数的和为0，可判断⑤；由无理数的定义：无限不循环的小数就是无理数，可判断⑥.
6．【答案】B
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
即，
故答案为：B.
【分析】先估算出，再求出即可.
7．【答案】C
【知识点】平方根；无理数的估值；无理数的概念
【解析】【解答】解：①∵是有理数，∴①不正确；
②∵4的平方根是2和-2，∴-2是4的一个平方根，∴②正确；
③∵，∴，∴a=3，b=4，∴a+b=7，∴③正确；
④根据题意可得：+=0，解得：a=2，∴，∴m=52=25，∴④正确；
综上，正确的结论是②③④，共有3个，
故答案为：C.
【分析】利用无理数的定义、平方根的定义及计算，估算无理数大小的方法逐项判断即可.
8．【答案】C
【知识点】平方根；无理数的大小比较
【解析】【解答】解：
当01时， ，
∴ ， ， ，则x=.
故答案为：C
【分析】当底数大于零而小于1时，指数越大值反而越小，当底数大于1时，指数越大，值越大。据此原理，先找出最小值是x2, 再列方程解出x即可。
9．【答案】<
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：由题意得，
故答案为：＜
【分析】根据估算无理数的大小结合题意即可求解。
10．【答案】
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵是连续的两个整数，，
∴m=2，n=3，
∴m+n=5，
故答案为：5
【分析】先根据题意估算无理数的大小，进而得到m和n的值，从而即可求解。
11．【答案】
【知识点】无理数在数轴上表示
【解析】【解答】解：由题意得，圆的半径为1，
则圆的周长为2×π×1=2π，
∵点A表示2，
∴点A向左转动一周后表示的数为2-2π；
故答案为：2-2π.
【分析】先计算出圆的周长2πr，再求点A向左转动一周后表示的数即可.
12．【答案】
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解： ∵，
∴，
∴，
∴的值5--2=3-；
故答案为：.
【分析】先估算出，即得5-的整数部分为2，利用5--2即得小数部分.
13．【答案】
【知识点】计算器在数的开方中的应用；实数的运算
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
故答案为：-2
【分析】运用乘方运算和开方运算的互逆关系求解即可.
14．【答案】解：有理数：1，，，3.14159，，.
无理数：，3.131331333133331……(两个“1”之间依次多一个“3")．
【知识点】实数的概念与分类
【解析】【分析】根据实数的分类以及有理数和无理数的定义即可求得.
15．【答案】解：由题意得：h=0.34
则d=112×=112×≈65.3(千米)．
答：最多大约能看到65.3千米远．
【知识点】实数的运算
【解析】【分析】根据题意能看到的最远距离约为 d=112×千米 ，把h=0.34代入计算即可得。
16．【答案】（1）解：∵一个正数的两个平方根分别是和，
∴，
∴；
∵的算术平方根为2，
∴，
∴；
∵，
∴的整数部分，
∴．
（2）解：，
∴的立方根是．
【知识点】平方根；算术平方根；立方根及开立方；无理数的估值
【解析】【分析】（1）根据平方根、算术平方根、估算无理数的大小即可求解；
（2）根据立方根结合题意即可求解。
17．【答案】（1）
（2）0，1
（3）解：25的算术平方根为5，5的算术平方根是，
∴，都满足要求．
【知识点】算术平方根；无理数的概念
【解析】【解答】解：(1) 由题意，4是有理数，
重新输入取算术平方根得：，2是有理数
重新输入取算术平方根得：，是无理数
故填：
(2) 始终输不出y值，说明有理数开方，计算出算术平方根后，仍然得原来的被开方数，这样就一直处于循环状态，这样的特殊值只有0和1
故填：0 ，1
【分析】(1)理解算术平方根的含义，根据无理数的定义判定是否是无理数；掌握特殊值的算术平方根。(2)了解有死循环的存在，会导致始终输不出值 ；(3)由输出值进行逆运算就是平方；可以平方，之后再平方，得到2个满足条件的数；如果需要更多，可以再次平方下去。
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