2023-2024学年人教版初中数学七年级下册6.3 实数 同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2023七上·临平期中）在数中，无理数是（ ）
A． B．0.303003 C． D．
2．（2023八上·兴隆期中） 下列说法中，正确的是（ ）
A．无理数包括正无理数、零和负无理数
B．无限小数都是无理数
C．实数可以分为正实数和负实数两类
D．正实数包括正有理数和正无理数
3．（2023七上·贵阳期中）如图，直径为1个单位长度的圆从A点（A点在数轴上表示的数是1）沿数轴向右滚动一周后到达点B，则点B表示的数是（ ）
A．π B．π+1 C．π﹣1 D．2π
4．（2018七上·黄陂月考）如图，A，B，C三点在数轴上所表示的数分别为a、b、c，根据图中各点位置，下列各式正确的是
A． B．
C． D．
5．（2024七上·柯桥期中）下列说法中： ①实数包括无理数和有理数；②数轴上的点与有理数一一对应；③如果两个有理数的和为正数，积为负数，则这两个有理数一正一负，且正数的绝对值大；④近似数5.30所表示的准确数x的范围是：5.25≤x＜5.35；⑤绝对值等于本身的数是正数. 其中正确的个数为（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
6．（2021九下·北京开学考）在数轴上有三个互不重合的点A，B，C，它们代表的实数分别为a，b，c，下列结论中①若abc 0，则A，B，C三点中，至少有一个点在原点右侧；②若a+b+c＝0，则A，B，C三点中，至少有一个点在原点右侧；③若a+c＝2b，则点B为线段AC的中点；④O为坐标原点且A，B，C均不与O重合，若OB﹣OC＝AB﹣AC，则bc 0，
所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④
7．（2021七上·腾冲期末）如图，A、B两点在数轴上表示的数分别为a、b，以下结论：①a﹣b＞0；②a+b＜0；③（b﹣1）（a+1）＞0；④ ．其中结论正确的是（ ）
A．①② B．③④ C．①③ D．①②④
8．（2020八上·惠安期中）设681×2019﹣681×2018=a，2015×2016﹣2013×2018=b， ，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．b＜c＜a B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜b＜a
二、填空题
9．（2020八下·越城期中）如图所示的数轴上，点B与点C关于点A对称，A、B两点对应的实数是 和﹣1，则点C所对应的实数是 ．
10．如图，矩形OABC的边OA长为2，边AB长为1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交数轴于一点，则这个点表示的实数是
11．（2013·台州）任何实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，如[4]=4，[ ]=1．现对72进行如下操作：72 [ ]=8 [ ]=2 [ ]=1，这样对72只需进行3次操作后变为1，类似的，①对81只需进行 次操作后变为1；②只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是 ．
12．（2021七下·宣化期中）比较大小： 2．（填“ ”、“ ”或“ ”）
13．（2023七上·杭州月考）如图，点，在数轴上，点为原点，按如图所示方法用圆规在数轴上截取，若点表示的数是，则点表示的数是 ．
三、解答题
14．下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？
3.14159，，，，2π，．
15．（2023七上·浙江期中）如图，在4×4的小正方形组成的图形中有一个阴影部分（阴影部分也是正方形）．若每个小正方形的边长为1，点A表示的数为1．
（1）图中正方形ABCD的面积为多少？它的边长为多少？这个值在哪两个连续整数之间？
（2）若阴影正方形的边长的值的整数部分为x，小数部分为y，求（y-）x的值．
（3）若正方形ABCD从当前状态沿数轴正方向翻滚，我们把点B翻滚到与数轴上的点P重合时，记为第一次翻滚，如图所示，C翻滚到数轴上时，记为第二次翻滚，以此类推，请直接回答：
①点P表示的数为多少？
②是否存在正整数n，使得该正方形n次翻滚后，其顶点A，B，C，D中的某个点与2023重合？
四、综合题
16．（2023七下·忠县期末）已知实数a的平方根为，，的整数部分为b．
（1）求a，b的值；
（2）若的小数部分为c，求的平方根．
17．（2023七上·锦江月考） 数轴上有、、三点，如图，点、表示的数分别为、，点在点的右侧，．
（1）若，，点是的中点．
则点表示的数为 ．
如图，线段在的左侧，，线段从点出发，以个单位每秒的速度向点运动点不与点重合，点是的中点，是的中点，在运动过程中，的长度始终为，求的值；
（2）若，点是的中点，若，试求线段的长．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：∵为分数，为小数，为整数，
∴，，为有理数，
∵
∴为无理数，
故答案为：C.
【分析】根据无理数为无限不循环小数，据此即可判断.
2．【答案】D
【知识点】实数的概念与分类；无理数的概念
【解析】【解答】A：0是有理数，选项错误，不合题意；
B：无限循环小数是有理数，选项错误，不合题意；
C：实数可以分为正实数、0和负实数，选项错误，不合题意；
D：正实数包括正有理数和正无理数，选项正确，符合题意；
故答案为 ： D
【分析】本题考查无理数。无限不循环的小数是无理数，无理数包括正无理数和负无理数，实数分为正实数、0和负实数，正实数包括正无理数和正有理数。熟练掌握概念是关键。
3．【答案】B
【知识点】无理数在数轴上表示
【解析】【解答】解：直径为1的圆的周长为 π ，A点在数轴上表示的数为1，
点A沿数轴向右滚动一周到达点B，点B表示的数位 π+1 ，
故答案为：B.
【分析】先根据直径为1的圆的周长为 π ，求出点A表示的数，根据数轴上的数与数轴上的点的关系进而求解.
4．【答案】D
【知识点】无理数在数轴上表示；有理数的乘法法则
【解析】【解答】解：∵从数轴可知：c＜﹣1＜0＜a＜1＜b，
∴a﹣1＜0，b﹣1＞0，c﹣1＜0，a+1＞0，b+1＞0，c+1＜0，
∴（a﹣1）（b﹣1）＜0，（c﹣1）（b﹣1）＜0，（a+1）（b+1）＞0，（c+1）（b+1）＜0，
∴只有选项D不符合题意；选项A、B、C都错误，
故答案为：D.
【分析】利用从数轴可得c＜﹣1＜0＜a＜1＜b，从而可得a﹣1＜0，b﹣1＞0，c﹣1＜0，a+1＞0，b+1＞0，c+1＜0，根据两数相乘，同号得正，异号得负进行判断即可.
5．【答案】A
【知识点】实数的概念与分类；绝对值的非负性
【解析】【解答】解： 实数包括无理数和有理数，故 ① 正确；
数轴上的点与实数一一对应，故 ② 错误；
如果两个有理数的和为正数，积为负数，则这两个有理数一正一负，且正数的绝对值大 ，故 ③ 正确；
近似数5.30所表示的准确数x的范围是：5.295≤x＜5.305；故 ④ 错误；
绝对值等于本身的数是正数和0，故⑤ 错误.
故答案为：A.
【分析】根据实数的实数的分类，实数与数轴的关系，绝对值的性质以及近似数，逐项判断即可.
6．【答案】D
【知识点】无理数在数轴上表示；无理数的大小比较
【解析】【解答】解：①若abc 0，则a，b，c不可能都小于0，至少有一个大于0，所以A，B，C三点中，至少有一个点在原点右侧，故①符合题意；
②若a+b+c＝0，因为a，b，c不能都为0，则a，b，c中至少有一个大于0，所以A，B，C三点中，至少有一个点在原点右侧，故②符合题意；
③若a+c＝2b，则a- b＝b- c，点B为线段AC的中点，故③符合题意；
④如图1， B、C都在点O的右侧，
∵OB﹣OC＝BC， AB﹣AC=BC，
∴OB﹣OC＝AB﹣AC，此时bc 0，
如图2， B、C都在点O的左侧，
∵OB﹣OC＝BC， AB﹣AC=BC，
∴OB﹣OC＝AB﹣AC，此时bc 0，
如图3， B、C在点O的两侧时，若点A在点C的右侧，
显然OB﹣OC≠AB﹣AC，
如图4， B、C在点O的两侧时，若点A在O、C之间（不与O重合），
显然OB﹣OC≠AB﹣AC，
如图5， B、C在点O的两侧时，若点A在O、B之间（不与O重合），
显然OB﹣OC≠AB﹣AC，
如图6， B、C在点O的两侧时，若点A在B右侧时，
显然OB﹣OC≠AB﹣AC，
综上所述，若OB﹣OC＝AB﹣AC，则B、C在点O的同一侧，所以b和c同号，即 bc 0，故④符合题意；
故答案为：D．
【分析】①根据乘法法则判定a，b，c至少有一个大于0，据此可解；②根据加法法则判定a，b，c至少有一个大于0，据此可解；③根据两点距离公式可判断；④分情况讨论：B、C都在点O的右侧；B、C都在点O的左侧；B、C在点O的两侧且点A在点C的右侧；B、C在点O的两侧且点A在O、C之间（不与O重合）； B、C在点O的两侧且点A在O、B之间（不与O重合）； B、C在点O的两侧且点A在B右侧时；逐一画出图形进行判断，据此可解．
7．【答案】B
【知识点】无理数在数轴上表示；无理数的大小比较
【解析】【解答】解：由a、b的数轴上的位置可知，﹣1＜a＜0，b＞1，
①∵a＜0，b＞0，
∴a﹣b＜0，故本小题不符合题意；
②∵﹣1＜a＜0，b＞1，
∴a+b＞0，故本小题不符合题意；
③∵﹣1＜a＜0，b＞1，
∴b﹣1＞0，a+1＞0，
∴（b﹣1）（a+1）＞0，故本小题符合题意；
④∵b＞1，
∴b﹣1＞0，
∵|a﹣1|＞0，
∴ ，故本小题符合题意．
故答案为：B．
【分析】先利用数轴判断出a、b的正负和大小，再逐项判定即可。
8．【答案】A
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【解答】∵a=681×2019﹣681×2018=681×（2019﹣2018）=681×1=681，
b=2015×2016﹣2013×2018=2015×2016-（2015﹣2）×（2016+2）=2015×2016﹣2015×2016﹣2×2015+2×2016+2×2=﹣4030+4032+4=6，
c= = = = = ＜681，
∴b＜c＜a．
故答案为：A．
【分析】根据乘法分配律求出a，将b变形为2015×2016﹣（2015﹣2）×（2016+2），再注意整体思想进行计算，根据提取公因式、平方差和算术平方根可求c，再比较大小即可。
9．【答案】2 +1
【知识点】无理数在数轴上表示
【解析】【解答】解：设点C所对应的实数是x．
则有x﹣ ＝ ﹣（﹣1），
解得x＝2 +1．
故答案是：2 +1．
【分析】设点C所对应的实数是x．根据中心对称的性质，即对称点到对称中心的距离相等，即可列方程求解即可．
10．【答案】±
【知识点】无理数在数轴上表示
【解析】【解答】解：由勾股定理，得
B在原点的右侧时，B点表示的数为，
B在原点的左侧是，B点表示的数为﹣，
故答案为：±．
【分析】根据勾股定理，可得OB的长，根据圆的性质，可得B点坐标．
11．【答案】3；255
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：①[ ]=9，[ ]=3，[ ]=1，
故答案为：3；
②最大的是255，
[ ]=15，[ ]=3，[ ]=1，而[ ]=16，[ ]=4，[ ]=2，[ ]=1，
即只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的正整数是255，
故答案为：255．
【分析】①根据规律依次求出即可；②要想确定只需进行3次操作后变为1的所有正整数，关键是确定二次操作后数的大小不能大于4，二次操作时根号内的数必须小于16，而一次操作时正整数255却好满足这一条件，即最大的正整数为255．
12．【答案】
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【解答】
∵7＜8
∴
∴
故答案是：＜
【分析】先将2化简成，是关键，再进行比较。
13．【答案】-
【知识点】无理数在数轴上表示
【解析】【解答】解：设点B所表示的数为a，
∵OA=OB，
∴点A所表示的数为-a，AB=2a，
∵BC=AB，
∴OC=BC+OB=3a，即点C所表示的数为3a，
又∵点C所表示的数是 ，
∴3a= ，
∴a=，
∴点A所表示的数为-.
故答案为：-.
【分析】设点B所表示的数为a，由OA=OB确定出点A所表示的数为-a，再确定AB的长2a，进而确定出OC的长为3a，可得点C所表示的数3a，结合题意列出方程3a= ，求解即可得出解决此题了.
14．【答案】解：3.14159 ， ，是有理数；
，2π， 是无理数.
【知识点】实数的概念与分类
【解析】【分析】有理数和无理数统称为实数，整数和分数统称为有理数，无限不循环小数叫做无理数.
15．【答案】（1）解： 正方形ABCD的面积为：16-4××1×3=10；
该正方形的边长为：；
∵9＜10＜16，
∴，
∴这个值在3与4之间；
（2）解：∵，
∴x=3，y=-3，
∴（y-）3=（-3-）=（-3）3=-27；
（3）解：①∵AB=AP=，
∴点P离开原点得距离为：，
又∵点P在原点得右边，
∴点P表示的数为：1+；
②不存在，理由如下：
假设存在正整数n，则nx+1=2023，
n=2022
=，
∵n为正整数，
∴可得为有理数， 而为无理数，
∴上式等号不成立，即不存在正整数n.
【知识点】无理数的估值
【解析】【分析】（1）根据阴影部分的面积等于正方形的面积减去四周四个小直角三角形的面积列式计算，再利用算术平方根的定义求出边长，最后利用无理数的估算方法即可得到答案；
（2）根据（1）估算的无理数大小可求得x和y；将x和y代入计算即可；
（3）①根据点A表示的数和正方形的边长结合数轴上的点所表示的数的特点即可得到点P表示的数，②利用反证法，判断2023-1是否是正方形边长的整数倍，即可得出结论.
16．【答案】（1）解：∵实数a的平方根为，，
∴，
解得，
∴，
即，
∵的整数部分为b，
∴；
（2）解：∵b，c分别是的整数部分和小数部分，
∴，
∴，
平方根为．
【知识点】平方根；无理数的估值
【解析】【分析】（1）先根据平方根的定义即可求出x，进而得到a，再根据无理数的大小估算即可得到b；
（2）根据题意即可得到，进而代入即可求值，再根据平方根即可求解。
17．【答案】（1）解： 设运动的时间为秒，则点对应的数字为，点对应的数字为，点是的中点，是的中点，点对应的数字为，点对应的数字为，，．解得：或，，
（2）解：设点对应的数字为，点对应的是为，
点、表示的数分别为、，点在点的右侧，，
，．
点是的中点，
，
，，
，
，
解得：．
．
【知识点】无理数在数轴上表示；解含绝对值符号的一元一次方程；线段的中点
【解析】【解答】解：（1）①∵点、表示的数分别为、，，，
∴AB=2-（-8）=10，
∵，
∴AC=10+2=12，
∴点C对应的数字为4，
∵点是的中点，
∴，
设点D表示的数为x，
由题意可得：4-x=6，
解得：x=-2，
∴点D表示的数为-2，
故答案为：-2.
【分析】（1）①根据题意先求出AB=10，再根据线段的中点求出，最后列方程计算求解即可；
②根据题意先求出点对应的数字为， 再列方程计算求解即可；
（2）根据线段的中点求出 ， 再求出AD和BD，最后求出 即可作答。
1 / 12023-2024学年人教版初中数学七年级下册6.3 实数 同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2023七上·临平期中）在数中，无理数是（ ）
A． B．0.303003 C． D．
【答案】C
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：∵为分数，为小数，为整数，
∴，，为有理数，
∵
∴为无理数，
故答案为：C.
【分析】根据无理数为无限不循环小数，据此即可判断.
2．（2023八上·兴隆期中） 下列说法中，正确的是（ ）
A．无理数包括正无理数、零和负无理数
B．无限小数都是无理数
C．实数可以分为正实数和负实数两类
D．正实数包括正有理数和正无理数
【答案】D
【知识点】实数的概念与分类；无理数的概念
【解析】【解答】A：0是有理数，选项错误，不合题意；
B：无限循环小数是有理数，选项错误，不合题意；
C：实数可以分为正实数、0和负实数，选项错误，不合题意；
D：正实数包括正有理数和正无理数，选项正确，符合题意；
故答案为 ： D
【分析】本题考查无理数。无限不循环的小数是无理数，无理数包括正无理数和负无理数，实数分为正实数、0和负实数，正实数包括正无理数和正有理数。熟练掌握概念是关键。
3．（2023七上·贵阳期中）如图，直径为1个单位长度的圆从A点（A点在数轴上表示的数是1）沿数轴向右滚动一周后到达点B，则点B表示的数是（ ）
A．π B．π+1 C．π﹣1 D．2π
【答案】B
【知识点】无理数在数轴上表示
【解析】【解答】解：直径为1的圆的周长为 π ，A点在数轴上表示的数为1，
点A沿数轴向右滚动一周到达点B，点B表示的数位 π+1 ，
故答案为：B.
【分析】先根据直径为1的圆的周长为 π ，求出点A表示的数，根据数轴上的数与数轴上的点的关系进而求解.
4．（2018七上·黄陂月考）如图，A，B，C三点在数轴上所表示的数分别为a、b、c，根据图中各点位置，下列各式正确的是
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】无理数在数轴上表示；有理数的乘法法则
【解析】【解答】解：∵从数轴可知：c＜﹣1＜0＜a＜1＜b，
∴a﹣1＜0，b﹣1＞0，c﹣1＜0，a+1＞0，b+1＞0，c+1＜0，
∴（a﹣1）（b﹣1）＜0，（c﹣1）（b﹣1）＜0，（a+1）（b+1）＞0，（c+1）（b+1）＜0，
∴只有选项D不符合题意；选项A、B、C都错误，
故答案为：D.
【分析】利用从数轴可得c＜﹣1＜0＜a＜1＜b，从而可得a﹣1＜0，b﹣1＞0，c﹣1＜0，a+1＞0，b+1＞0，c+1＜0，根据两数相乘，同号得正，异号得负进行判断即可.
5．（2024七上·柯桥期中）下列说法中： ①实数包括无理数和有理数；②数轴上的点与有理数一一对应；③如果两个有理数的和为正数，积为负数，则这两个有理数一正一负，且正数的绝对值大；④近似数5.30所表示的准确数x的范围是：5.25≤x＜5.35；⑤绝对值等于本身的数是正数. 其中正确的个数为（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】A
【知识点】实数的概念与分类；绝对值的非负性
【解析】【解答】解： 实数包括无理数和有理数，故 ① 正确；
数轴上的点与实数一一对应，故 ② 错误；
如果两个有理数的和为正数，积为负数，则这两个有理数一正一负，且正数的绝对值大 ，故 ③ 正确；
近似数5.30所表示的准确数x的范围是：5.295≤x＜5.305；故 ④ 错误；
绝对值等于本身的数是正数和0，故⑤ 错误.
故答案为：A.
【分析】根据实数的实数的分类，实数与数轴的关系，绝对值的性质以及近似数，逐项判断即可.
6．（2021九下·北京开学考）在数轴上有三个互不重合的点A，B，C，它们代表的实数分别为a，b，c，下列结论中①若abc 0，则A，B，C三点中，至少有一个点在原点右侧；②若a+b+c＝0，则A，B，C三点中，至少有一个点在原点右侧；③若a+c＝2b，则点B为线段AC的中点；④O为坐标原点且A，B，C均不与O重合，若OB﹣OC＝AB﹣AC，则bc 0，
所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④
【答案】D
【知识点】无理数在数轴上表示；无理数的大小比较
【解析】【解答】解：①若abc 0，则a，b，c不可能都小于0，至少有一个大于0，所以A，B，C三点中，至少有一个点在原点右侧，故①符合题意；
②若a+b+c＝0，因为a，b，c不能都为0，则a，b，c中至少有一个大于0，所以A，B，C三点中，至少有一个点在原点右侧，故②符合题意；
③若a+c＝2b，则a- b＝b- c，点B为线段AC的中点，故③符合题意；
④如图1， B、C都在点O的右侧，
∵OB﹣OC＝BC， AB﹣AC=BC，
∴OB﹣OC＝AB﹣AC，此时bc 0，
如图2， B、C都在点O的左侧，
∵OB﹣OC＝BC， AB﹣AC=BC，
∴OB﹣OC＝AB﹣AC，此时bc 0，
如图3， B、C在点O的两侧时，若点A在点C的右侧，
显然OB﹣OC≠AB﹣AC，
如图4， B、C在点O的两侧时，若点A在O、C之间（不与O重合），
显然OB﹣OC≠AB﹣AC，
如图5， B、C在点O的两侧时，若点A在O、B之间（不与O重合），
显然OB﹣OC≠AB﹣AC，
如图6， B、C在点O的两侧时，若点A在B右侧时，
显然OB﹣OC≠AB﹣AC，
综上所述，若OB﹣OC＝AB﹣AC，则B、C在点O的同一侧，所以b和c同号，即 bc 0，故④符合题意；
故答案为：D．
【分析】①根据乘法法则判定a，b，c至少有一个大于0，据此可解；②根据加法法则判定a，b，c至少有一个大于0，据此可解；③根据两点距离公式可判断；④分情况讨论：B、C都在点O的右侧；B、C都在点O的左侧；B、C在点O的两侧且点A在点C的右侧；B、C在点O的两侧且点A在O、C之间（不与O重合）； B、C在点O的两侧且点A在O、B之间（不与O重合）； B、C在点O的两侧且点A在B右侧时；逐一画出图形进行判断，据此可解．
7．（2021七上·腾冲期末）如图，A、B两点在数轴上表示的数分别为a、b，以下结论：①a﹣b＞0；②a+b＜0；③（b﹣1）（a+1）＞0；④ ．其中结论正确的是（ ）
A．①② B．③④ C．①③ D．①②④
【答案】B
【知识点】无理数在数轴上表示；无理数的大小比较
【解析】【解答】解：由a、b的数轴上的位置可知，﹣1＜a＜0，b＞1，
①∵a＜0，b＞0，
∴a﹣b＜0，故本小题不符合题意；
②∵﹣1＜a＜0，b＞1，
∴a+b＞0，故本小题不符合题意；
③∵﹣1＜a＜0，b＞1，
∴b﹣1＞0，a+1＞0，
∴（b﹣1）（a+1）＞0，故本小题符合题意；
④∵b＞1，
∴b﹣1＞0，
∵|a﹣1|＞0，
∴ ，故本小题符合题意．
故答案为：B．
【分析】先利用数轴判断出a、b的正负和大小，再逐项判定即可。
8．（2020八上·惠安期中）设681×2019﹣681×2018=a，2015×2016﹣2013×2018=b， ，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．b＜c＜a B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜b＜a
【答案】A
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【解答】∵a=681×2019﹣681×2018=681×（2019﹣2018）=681×1=681，
b=2015×2016﹣2013×2018=2015×2016-（2015﹣2）×（2016+2）=2015×2016﹣2015×2016﹣2×2015+2×2016+2×2=﹣4030+4032+4=6，
c= = = = = ＜681，
∴b＜c＜a．
故答案为：A．
【分析】根据乘法分配律求出a，将b变形为2015×2016﹣（2015﹣2）×（2016+2），再注意整体思想进行计算，根据提取公因式、平方差和算术平方根可求c，再比较大小即可。
二、填空题
9．（2020八下·越城期中）如图所示的数轴上，点B与点C关于点A对称，A、B两点对应的实数是 和﹣1，则点C所对应的实数是 ．
【答案】2 +1
【知识点】无理数在数轴上表示
【解析】【解答】解：设点C所对应的实数是x．
则有x﹣ ＝ ﹣（﹣1），
解得x＝2 +1．
故答案是：2 +1．
【分析】设点C所对应的实数是x．根据中心对称的性质，即对称点到对称中心的距离相等，即可列方程求解即可．
10．如图，矩形OABC的边OA长为2，边AB长为1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交数轴于一点，则这个点表示的实数是
【答案】±
【知识点】无理数在数轴上表示
【解析】【解答】解：由勾股定理，得
B在原点的右侧时，B点表示的数为，
B在原点的左侧是，B点表示的数为﹣，
故答案为：±．
【分析】根据勾股定理，可得OB的长，根据圆的性质，可得B点坐标．
11．（2013·台州）任何实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，如[4]=4，[ ]=1．现对72进行如下操作：72 [ ]=8 [ ]=2 [ ]=1，这样对72只需进行3次操作后变为1，类似的，①对81只需进行 次操作后变为1；②只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是 ．
【答案】3；255
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：①[ ]=9，[ ]=3，[ ]=1，
故答案为：3；
②最大的是255，
[ ]=15，[ ]=3，[ ]=1，而[ ]=16，[ ]=4，[ ]=2，[ ]=1，
即只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的正整数是255，
故答案为：255．
【分析】①根据规律依次求出即可；②要想确定只需进行3次操作后变为1的所有正整数，关键是确定二次操作后数的大小不能大于4，二次操作时根号内的数必须小于16，而一次操作时正整数255却好满足这一条件，即最大的正整数为255．
12．（2021七下·宣化期中）比较大小： 2．（填“ ”、“ ”或“ ”）
【答案】
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【解答】
∵7＜8
∴
∴
故答案是：＜
【分析】先将2化简成，是关键，再进行比较。
13．（2023七上·杭州月考）如图，点，在数轴上，点为原点，按如图所示方法用圆规在数轴上截取，若点表示的数是，则点表示的数是 ．
【答案】-
【知识点】无理数在数轴上表示
【解析】【解答】解：设点B所表示的数为a，
∵OA=OB，
∴点A所表示的数为-a，AB=2a，
∵BC=AB，
∴OC=BC+OB=3a，即点C所表示的数为3a，
又∵点C所表示的数是 ，
∴3a= ，
∴a=，
∴点A所表示的数为-.
故答案为：-.
【分析】设点B所表示的数为a，由OA=OB确定出点A所表示的数为-a，再确定AB的长2a，进而确定出OC的长为3a，可得点C所表示的数3a，结合题意列出方程3a= ，求解即可得出解决此题了.
三、解答题
14．下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？
3.14159，，，，2π，．
【答案】解：3.14159 ， ，是有理数；
，2π， 是无理数.
【知识点】实数的概念与分类
【解析】【分析】有理数和无理数统称为实数，整数和分数统称为有理数，无限不循环小数叫做无理数.
15．（2023七上·浙江期中）如图，在4×4的小正方形组成的图形中有一个阴影部分（阴影部分也是正方形）．若每个小正方形的边长为1，点A表示的数为1．
（1）图中正方形ABCD的面积为多少？它的边长为多少？这个值在哪两个连续整数之间？
（2）若阴影正方形的边长的值的整数部分为x，小数部分为y，求（y-）x的值．
（3）若正方形ABCD从当前状态沿数轴正方向翻滚，我们把点B翻滚到与数轴上的点P重合时，记为第一次翻滚，如图所示，C翻滚到数轴上时，记为第二次翻滚，以此类推，请直接回答：
①点P表示的数为多少？
②是否存在正整数n，使得该正方形n次翻滚后，其顶点A，B，C，D中的某个点与2023重合？
【答案】（1）解： 正方形ABCD的面积为：16-4××1×3=10；
该正方形的边长为：；
∵9＜10＜16，
∴，
∴这个值在3与4之间；
（2）解：∵，
∴x=3，y=-3，
∴（y-）3=（-3-）=（-3）3=-27；
（3）解：①∵AB=AP=，
∴点P离开原点得距离为：，
又∵点P在原点得右边，
∴点P表示的数为：1+；
②不存在，理由如下：
假设存在正整数n，则nx+1=2023，
n=2022
=，
∵n为正整数，
∴可得为有理数， 而为无理数，
∴上式等号不成立，即不存在正整数n.
【知识点】无理数的估值
【解析】【分析】（1）根据阴影部分的面积等于正方形的面积减去四周四个小直角三角形的面积列式计算，再利用算术平方根的定义求出边长，最后利用无理数的估算方法即可得到答案；
（2）根据（1）估算的无理数大小可求得x和y；将x和y代入计算即可；
（3）①根据点A表示的数和正方形的边长结合数轴上的点所表示的数的特点即可得到点P表示的数，②利用反证法，判断2023-1是否是正方形边长的整数倍，即可得出结论.
四、综合题
16．（2023七下·忠县期末）已知实数a的平方根为，，的整数部分为b．
（1）求a，b的值；
（2）若的小数部分为c，求的平方根．
【答案】（1）解：∵实数a的平方根为，，
∴，
解得，
∴，
即，
∵的整数部分为b，
∴；
（2）解：∵b，c分别是的整数部分和小数部分，
∴，
∴，
平方根为．
【知识点】平方根；无理数的估值
【解析】【分析】（1）先根据平方根的定义即可求出x，进而得到a，再根据无理数的大小估算即可得到b；
（2）根据题意即可得到，进而代入即可求值，再根据平方根即可求解。
17．（2023七上·锦江月考） 数轴上有、、三点，如图，点、表示的数分别为、，点在点的右侧，．
（1）若，，点是的中点．
则点表示的数为 ．
如图，线段在的左侧，，线段从点出发，以个单位每秒的速度向点运动点不与点重合，点是的中点，是的中点，在运动过程中，的长度始终为，求的值；
（2）若，点是的中点，若，试求线段的长．
【答案】（1）解： 设运动的时间为秒，则点对应的数字为，点对应的数字为，点是的中点，是的中点，点对应的数字为，点对应的数字为，，．解得：或，，
（2）解：设点对应的数字为，点对应的是为，
点、表示的数分别为、，点在点的右侧，，
，．
点是的中点，
，
，，
，
，
解得：．
．
【知识点】无理数在数轴上表示；解含绝对值符号的一元一次方程；线段的中点
【解析】【解答】解：（1）①∵点、表示的数分别为、，，，
∴AB=2-（-8）=10，
∵，
∴AC=10+2=12，
∴点C对应的数字为4，
∵点是的中点，
∴，
设点D表示的数为x，
由题意可得：4-x=6，
解得：x=-2，
∴点D表示的数为-2，
故答案为：-2.
【分析】（1）①根据题意先求出AB=10，再根据线段的中点求出，最后列方程计算求解即可；
②根据题意先求出点对应的数字为， 再列方程计算求解即可；
（2）根据线段的中点求出 ， 再求出AD和BD，最后求出 即可作答。
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