2023-2024学年人教版初中数学八年级下册16.1 二次根式 同步分层训练基础题
一、选择题
1．（2021八下·上虞期末）当x=0时，二次根式 的值等于（ ）
A．4 B．2 C．2 D．0
2．（2023·金华）要使有意义，则的值可以是（ ）
A．0 B．-1 C．-2 D．2
3．（2019八下·合肥期中）若代数式 在实数范围内有意义，则 的取值范围是
A．x<1 B．x≤1 C．x>1 D．x≥1
4．（2023八上·瑞昌期中）下列计算中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．式子 + 有意义，则点P（a，b）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．（2020九上·偃师期中）已知 是正整数， 是整数，则 的值可以是（ ）
A．5 B．7 C．9 D．10
7．（2023九上·苍南模拟）已知实数a满足+=a，那么a-的值是（ ）
A．2023 B．-2023 C．2024 D．-2024
8．（2023八上·织金期中）已知，则的值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2016·湘西）使代数式 有意义的x取值范围是 ．
10．（2023八上·闵行期中）等式有意义的条件是 ．
11．（2023八上·闵行期中）a、b、c是△ABC的三条边，化简
12．（2021八下·庆云期中）已知，x、y是有理数，且y＝+ ﹣4，则2x+3y的立方根为 ．
13．（2023八上·重庆市期中） 已知，则= ．
三、解答题
14．（2023八上·三水期中）已知，求的值．
15．（2023八上·遵化期中）如图，将面积分别为2和3的两个正方形放在数轴上，使正方形一个顶点和原点重合，一条边恰好落在数轴上，其另一个顶点分别为数轴上的点和点，
（1）点表示的数为 ；点B表示的数为 ，线段的长度为 ；
（2）一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了2个单位长度到达点，设点表示的数为，
①实数的值为 ▲ ；
②求的值；
（3）在数轴上，还有、两点分别表示，且有与互为相反数，求的平方根。
四、计算题
16．（2023八上·闵行期中）已知，，求的值.
五、综合题
17．（2023八下·望城期末）（1）已知是的算术平方根，是的立方根，求的立方根；
（2）若，的算术平方根是5，求的平方根．
18．（2023七下·东莞月考）已知、，且．
（1）直接写出点、的坐标；
（2）点为轴负半轴上一点满足．
①如图，平移直线经过点，交轴于点，求点的坐标；
②如图，若点满足，求．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：当x=0时，.
故答案为：B.
【分析】把x=0代入已知二次根式，再利用二次根式性质：，进行化简即可.
2．【答案】D
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得x-2≥0，
解得x≥2，
所以A、B、C三个选项都不符合题意，只有选项D符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据二次根式的被开方数不能为负数列出不等式，求解得出x的取值范围，从而即可一一判断得出答案.
3．【答案】D
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】由题意得，x－1≥0，解得x≥1.
故答案为：D.
【分析】根据二次根式有意义的条件列出关于x 的不等式，求出x的取值范围即可.
4．【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：A、，A不符合题意；
B、，B不符合题意；
C、，C不符合题意；
D：，D符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据二次根式的性质即可求解.
5．【答案】B
【知识点】二次根式有意义的条件；点的坐标
【解析】【解答】解：由题意得，﹣a≥0，﹣ab＞0，
解得，a＜0，b＞0，
则P（a，b）在第二象限，
故选：B．
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，求出a、b的符号，根据点的坐标的性质解答即可．
6．【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：A、 当 时， ，不是整数，故该选项错误；
B、当 时， ，不是整数，故该选项错误；
C、 当 时， ，不是整数，故该选项错误；
D、当 时， ，是整数，故该选项正确.
故答案为：D.
【分析】（1）由题意把n=5代入计算，若5n-1是完全平方数则符合题意；
（2）由题意把n=7代入计算，若5n-1是完全平方数则符合题意；
（3）由题意把n=9代入计算，若5n-1是完全平方数则符合题意；
（4）由题意把n=10代入计算，若5n-1是完全平方数则符合题意.
7．【答案】B
【知识点】平方差公式及应用；二次根式有意义的条件；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：∵+ =a
∵a-2024≥0
∴a≥2024，2023-a＜0
∴a-2023+a-2024=a ∴ a-2024=2023
∴a-2024=20232
∴a=20232+2024，a-20242=2024+20232-20242
∴a-20242=2024+(2023+2024)(2023-2024）
∴a-20242=2024-(2023+2024)=-2023
故答案为：B.
【分析】二次根式具有双重非负性，被开方数大于等于0，故a-2024≥0，可推得2023-a＜0，负数绝对值是其相反数，故=a-2023，所以原式变为a-2023+a-2024=a，a-2024=2023
，两边平方为a-2024=20232，根据题目要求的结果可化为a-20242=2024+20232-20242，利用平方差公式可得a-20242=-2023.
8．【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解： 有意义，
，
又
故答案为：D.
【分析】先根据二次根式的意义求出a的取值范围，再根据进而求解.
9．【答案】x≥1
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵代数式 有意义，
∴x﹣1≥0，
解得：x≥1．
故答案为：x≥1．
【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数求解即可．本题考查了二次根式有意义的条件，解答本题的关键是掌握被开方数为非负数．
10．【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意可得，
，
∴，
故答案为：．
【分析】根据二次根式成立的条件以及解不等式求解。根据二次根式成立的条件得，解不等式即可．
11．【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简；三角形三边关系
【解析】【解答】解：由已知得，
，
，
，
、、是的三条边，
原式，
故答案为：．
【分析】根据二次根式的性质，三角形三边关系的应用求解。根据已知条件，，已知、、是的三条边，由三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可知．
12．【答案】-2
【知识点】立方根及开立方；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：
，
解得：x＝2，
则y＝﹣4，
2x+3y＝2×2+3×（﹣4）＝4﹣12＝﹣8．
∴．
故答案是：﹣2．
【分析】根据二次根式的被开方数为非负数可求出x值，再求出y值，从而得解.
13．【答案】8
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：∵，
∴2x-4=0，x+2y-10=0，
∴x=2，y=4，
∴xy=8.
故答案为：8.
【分析】首先根据绝对值得非负性得出2x-4=0，x+2y-10=0，解得x=2，y=4，进一步计算xy=8.
14．【答案】解：∵，
∴，
∴，
∴
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【分析】根据算术平方根的非负性及绝对值的非负性，由两个非负数的和为0，则每一个数都等于0，可求出a、b的值，进而代入待求式子按含括号的乘方运算的运算顺序计算可得答案.
15．【答案】（1）；；
（2）解：①；
②
（3）解：因为与互为相反数
所以
因为，
所以
解得或者
当时：没有平方根
当时：
综上，的平方根为
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；相反数及有理数的相反数；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：（1）
面积为2的正方形
点A表示的数为
故第一空填：
面积为3的正方形
点B表示的数为
故第二空填：
线段AB的长度为
故第三空填：
【分析】（1）理解开方的意义，会在数轴上表示数，会求两点间的距离；
（2）掌握用加减法表示数轴上的点的运动，向右为加，向左是减，会借助数轴提示的正负性给绝对值化简；
（3）根据题意，互为相反数的两个数代数和是0，再根据绝对值和算术平方根的非负性计算出m、n的值，代入求平方根即可。
16．【答案】解：
方法一：
=13
答：的值为13.
或方法二：
=13
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【分析】根据二次根式的运算求解。根据分母有理化把x与y进行化简，然后代入代数式中计算．
17．【答案】（1）解：由题意知，，
∴，，
∴，，
∴，
∴的立方根为；
（2）解：由，解得，
∴．
∵的算术平方根是5，
∴，
∴，
∴的平方根为．
【知识点】算术平方根；立方根及开立方；二次根式有意义的条件
【解析】【分析】（1）根据算术平方根、立方根的定义结合题意即可求解；
（2）根据二次根式有意义的条件结合算术平方根即可求解。
18．【答案】（1）解：，且，，
，，
解得：，，
，；
（2）解：连接，
，
，
，
，
，
即，
解得，
，
；
，
点在过点且平行于轴的直线上，
延长交直线于点，过点作轴于点，则，
，
即，
解得：，
，
，
，
，
，
，
．
【知识点】二次根式有意义的条件；坐标与图形性质
【解析】【分析】(1)根据二次根式和偶次幂的非负性可得，a=5，b=4.
(2)①根据三角形的面积公式可得出点C的坐标，再根据平行线的性质，的面积等于的面积，则可以解出AE，从而得到点E的坐标.
②延长CA交直线l于点H（a，10），过点H作HM⊥x轴于点M，根据三角形的面积公式即可得。
1 / 12023-2024学年人教版初中数学八年级下册16.1 二次根式 同步分层训练基础题
一、选择题
1．（2021八下·上虞期末）当x=0时，二次根式 的值等于（ ）
A．4 B．2 C．2 D．0
【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：当x=0时，.
故答案为：B.
【分析】把x=0代入已知二次根式，再利用二次根式性质：，进行化简即可.
2．（2023·金华）要使有意义，则的值可以是（ ）
A．0 B．-1 C．-2 D．2
【答案】D
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得x-2≥0，
解得x≥2，
所以A、B、C三个选项都不符合题意，只有选项D符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据二次根式的被开方数不能为负数列出不等式，求解得出x的取值范围，从而即可一一判断得出答案.
3．（2019八下·合肥期中）若代数式 在实数范围内有意义，则 的取值范围是
A．x<1 B．x≤1 C．x>1 D．x≥1
【答案】D
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】由题意得，x－1≥0，解得x≥1.
故答案为：D.
【分析】根据二次根式有意义的条件列出关于x 的不等式，求出x的取值范围即可.
4．（2023八上·瑞昌期中）下列计算中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：A、，A不符合题意；
B、，B不符合题意；
C、，C不符合题意；
D：，D符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据二次根式的性质即可求解.
5．式子 + 有意义，则点P（a，b）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【知识点】二次根式有意义的条件；点的坐标
【解析】【解答】解：由题意得，﹣a≥0，﹣ab＞0，
解得，a＜0，b＞0，
则P（a，b）在第二象限，
故选：B．
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，求出a、b的符号，根据点的坐标的性质解答即可．
6．（2020九上·偃师期中）已知 是正整数， 是整数，则 的值可以是（ ）
A．5 B．7 C．9 D．10
【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：A、 当 时， ，不是整数，故该选项错误；
B、当 时， ，不是整数，故该选项错误；
C、 当 时， ，不是整数，故该选项错误；
D、当 时， ，是整数，故该选项正确.
故答案为：D.
【分析】（1）由题意把n=5代入计算，若5n-1是完全平方数则符合题意；
（2）由题意把n=7代入计算，若5n-1是完全平方数则符合题意；
（3）由题意把n=9代入计算，若5n-1是完全平方数则符合题意；
（4）由题意把n=10代入计算，若5n-1是完全平方数则符合题意.
7．（2023九上·苍南模拟）已知实数a满足+=a，那么a-的值是（ ）
A．2023 B．-2023 C．2024 D．-2024
【答案】B
【知识点】平方差公式及应用；二次根式有意义的条件；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：∵+ =a
∵a-2024≥0
∴a≥2024，2023-a＜0
∴a-2023+a-2024=a ∴ a-2024=2023
∴a-2024=20232
∴a=20232+2024，a-20242=2024+20232-20242
∴a-20242=2024+(2023+2024)(2023-2024）
∴a-20242=2024-(2023+2024)=-2023
故答案为：B.
【分析】二次根式具有双重非负性，被开方数大于等于0，故a-2024≥0，可推得2023-a＜0，负数绝对值是其相反数，故=a-2023，所以原式变为a-2023+a-2024=a，a-2024=2023
，两边平方为a-2024=20232，根据题目要求的结果可化为a-20242=2024+20232-20242，利用平方差公式可得a-20242=-2023.
8．（2023八上·织金期中）已知，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解： 有意义，
，
又
故答案为：D.
【分析】先根据二次根式的意义求出a的取值范围，再根据进而求解.
二、填空题
9．（2016·湘西）使代数式 有意义的x取值范围是 ．
【答案】x≥1
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵代数式 有意义，
∴x﹣1≥0，
解得：x≥1．
故答案为：x≥1．
【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数求解即可．本题考查了二次根式有意义的条件，解答本题的关键是掌握被开方数为非负数．
10．（2023八上·闵行期中）等式有意义的条件是 ．
【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意可得，
，
∴，
故答案为：．
【分析】根据二次根式成立的条件以及解不等式求解。根据二次根式成立的条件得，解不等式即可．
11．（2023八上·闵行期中）a、b、c是△ABC的三条边，化简
【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简；三角形三边关系
【解析】【解答】解：由已知得，
，
，
，
、、是的三条边，
原式，
故答案为：．
【分析】根据二次根式的性质，三角形三边关系的应用求解。根据已知条件，，已知、、是的三条边，由三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可知．
12．（2021八下·庆云期中）已知，x、y是有理数，且y＝+ ﹣4，则2x+3y的立方根为 ．
【答案】-2
【知识点】立方根及开立方；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：
，
解得：x＝2，
则y＝﹣4，
2x+3y＝2×2+3×（﹣4）＝4﹣12＝﹣8．
∴．
故答案是：﹣2．
【分析】根据二次根式的被开方数为非负数可求出x值，再求出y值，从而得解.
13．（2023八上·重庆市期中） 已知，则= ．
【答案】8
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：∵，
∴2x-4=0，x+2y-10=0，
∴x=2，y=4，
∴xy=8.
故答案为：8.
【分析】首先根据绝对值得非负性得出2x-4=0，x+2y-10=0，解得x=2，y=4，进一步计算xy=8.
三、解答题
14．（2023八上·三水期中）已知，求的值．
【答案】解：∵，
∴，
∴，
∴
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【分析】根据算术平方根的非负性及绝对值的非负性，由两个非负数的和为0，则每一个数都等于0，可求出a、b的值，进而代入待求式子按含括号的乘方运算的运算顺序计算可得答案.
15．（2023八上·遵化期中）如图，将面积分别为2和3的两个正方形放在数轴上，使正方形一个顶点和原点重合，一条边恰好落在数轴上，其另一个顶点分别为数轴上的点和点，
（1）点表示的数为 ；点B表示的数为 ，线段的长度为 ；
（2）一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了2个单位长度到达点，设点表示的数为，
①实数的值为 ▲ ；
②求的值；
（3）在数轴上，还有、两点分别表示，且有与互为相反数，求的平方根。
【答案】（1）；；
（2）解：①；
②
（3）解：因为与互为相反数
所以
因为，
所以
解得或者
当时：没有平方根
当时：
综上，的平方根为
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；相反数及有理数的相反数；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：（1）
面积为2的正方形
点A表示的数为
故第一空填：
面积为3的正方形
点B表示的数为
故第二空填：
线段AB的长度为
故第三空填：
【分析】（1）理解开方的意义，会在数轴上表示数，会求两点间的距离；
（2）掌握用加减法表示数轴上的点的运动，向右为加，向左是减，会借助数轴提示的正负性给绝对值化简；
（3）根据题意，互为相反数的两个数代数和是0，再根据绝对值和算术平方根的非负性计算出m、n的值，代入求平方根即可。
四、计算题
16．（2023八上·闵行期中）已知，，求的值.
【答案】解：
方法一：
=13
答：的值为13.
或方法二：
=13
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【分析】根据二次根式的运算求解。根据分母有理化把x与y进行化简，然后代入代数式中计算．
五、综合题
17．（2023八下·望城期末）（1）已知是的算术平方根，是的立方根，求的立方根；
（2）若，的算术平方根是5，求的平方根．
【答案】（1）解：由题意知，，
∴，，
∴，，
∴，
∴的立方根为；
（2）解：由，解得，
∴．
∵的算术平方根是5，
∴，
∴，
∴的平方根为．
【知识点】算术平方根；立方根及开立方；二次根式有意义的条件
【解析】【分析】（1）根据算术平方根、立方根的定义结合题意即可求解；
（2）根据二次根式有意义的条件结合算术平方根即可求解。
18．（2023七下·东莞月考）已知、，且．
（1）直接写出点、的坐标；
（2）点为轴负半轴上一点满足．
①如图，平移直线经过点，交轴于点，求点的坐标；
②如图，若点满足，求．
【答案】（1）解：，且，，
，，
解得：，，
，；
（2）解：连接，
，
，
，
，
，
即，
解得，
，
；
，
点在过点且平行于轴的直线上，
延长交直线于点，过点作轴于点，则，
，
即，
解得：，
，
，
，
，
，
，
．
【知识点】二次根式有意义的条件；坐标与图形性质
【解析】【分析】(1)根据二次根式和偶次幂的非负性可得，a=5，b=4.
(2)①根据三角形的面积公式可得出点C的坐标，再根据平行线的性质，的面积等于的面积，则可以解出AE，从而得到点E的坐标.
②延长CA交直线l于点H（a，10），过点H作HM⊥x轴于点M，根据三角形的面积公式即可得。
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