2023-2024学年人教版初中数学八年级下册16.1 二次根式 同步分层训练提升题
一、选择题
1．（2023九上·恩阳期中）要使式子有意义，则x可取的数是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
2．（2023八上·正定期中）要使分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023九上·威远期中）下列式子，一定是二次根式的共有（ ）
，1，，，，
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
4．要使二次根式有意义，字母x必须满足的条件是（ ）
A．x≥1 B．x>－1 C．x≥－1 D．x>1
5．（2021·娄底） 是某三角形三边的长，则 等于（ ）
A． B． C．10 D．4
6．（2023八上·浦东期中）若在实数范围内成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023八上·余姚期中）已知实数满足，则以的值为两边长的等腰三角形的周长是（ ）
A．20 B．16
C．20或16 D．以上答案均不对
8．（2021八上·隆昌期中）已知实数a满足条件 ，那么 的值为
A．2010 B．2011 C．2012 D．2013
二、填空题
9．（2020八上·浦东期中）若二次根式 在实数范围内有意义，则x的取值范围为 ．
10．（2016九上·平凉期中）要使二次根式 有意义，字母x必须满足的条件是
11．（2023八上·昌平期中）如果，则的值为 .
12．若|a－b＋1|与 互为相反数，则a＝ ，b＝ ．
13．（2022七上·江干期中）已知|2009﹣a|+＝a，则a﹣20092＝ ．
三、解答题
14．（2023八上·吉林期中）若x，y都是实数，且y= +-8，求5x+13y+25的立方根．
15．（2023八上·长春期中）已知a满足|2019-a|+＝a．
（1）有意义，a的取值范围是 ；则在这个条件下将|2019-a|去掉绝对值符号可得|2019-a|＝
（2）根据（1）的分析，求a-20192的值．
四、计算题
16．（2023八上·河北期中）先化简，再求值：，其中．
五、综合题
17．（2023七下·云南期末）在平面直角坐标系中，，且．
（1）求A、B的坐标；
（2）过点C作的平行线交x轴于点D，若，求m的值．
18．（2023八下·肥城期中）阅读理解：阅读下列材料，然后解答问题：在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如：，，，……这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简，让式子的分母中不含根式：
例如：；（一）
；（二）
；（三）
以上这种化简的叫做分母有理化．
还可以用以下方法化简：
．（四）
请解答下列问题：
（1）化简：．
（2）化简：．
（3）猜想：的值．（可直接写出结果）
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】根据题意， 有意义
A符合题意，B、C、D选项都小于3，不符合题意
故选：A
【分析】掌握二次根式有意义的条件，根号下的式子须是正数或0，即有非负性。
2．【答案】D
【知识点】分式有意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】根据题意可得：x-2>0，
解得：x>2，
故答案为：D.
【分析】根据分式及二次根式有意义的条件列出不等式（组）求解即可。
3．【答案】D
【知识点】二次根式的定义
【解析】【解答】解：，是二次根式，共2个，
故答案为：D.
【分析】利用二次根式的定义逐项分析判断即可.
4．【答案】C
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数作答．
【解答】根据二次根式的意义，被开方数x+1≥0，解得x≥-1．
故选：C．
【点评】函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
5．【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；三角形三边关系
【解析】【解答】解： 是三角形的三边，
，
解得： ，
，
故答案为：D.
【分析】根据三角形的三边关系，可得，然后根据二次根式的性质求解即可.
6．【答案】D
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】由题意得：解得x>4，
故答案为：D.
【分析】根据二次根式的性质可得解不等式组即可得出结论.
7．【答案】A
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质；偶次方的非负性；算术平方根的性质（双重非负性）
【解析】【解答】解：∵ ，，（y-8）2≥0，
∴x-4=0，y-8=0，
解得x=4，y=8；
若4为腰，4+4=8，不能构成三角形；
若8为腰，则8-4=4＜8＜8+4=12，可以构成三角形，此时等腰三角形的周长=8+8+4=20.
故答案为：A.
【分析】根据算术平方根的非负性和偶次幂的非负性，可得x和y的值；根据等腰三角形性质及三角形的三边关系，判断是否能够构成三角形；根据三角形的周长公式，可得等腰三角形的周长.
8．【答案】C
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；算术平方根；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵ 有意义，
∴a-2012≥0，
∴a≥2012，
∴2011-a＜0，
∴ ，
∴
∴a-2012=20112，
∴a-20112=2012.
故答案为：C.
【分析】由二次根式的被开方数为非负数可求出a≥2012，即得2011-a＜0，利用绝对值的性质原等式可化为，两边平方即可求出结论.
9．【答案】x≥5
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：要使二次根式x 5在实数范围内有意义，必须x 5≥0，
解得：x≥5，
故答案为：x≥5．
【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数大于等于0，进行求解即可。
10．【答案】x≥﹣1
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意得，x+1≥0，
解得x≥﹣1．
故答案为：x≥﹣1．
【分析】根据被开方数大于等于0列式进行计算即可得解．
11．【答案】49
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】∵2-x≥0 x-2≥0 ∴x=2 则 y=7 ∴ yx =49 故答案为：49 。
【分析】根据二次根式的非负性，2-x≥0 x-2≥0 ，求出y=7，即可解答。
12．【答案】－2；－1
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）
【解析】【解答】解：∵|a-b+1|≥0，≥0，
且|a-b+1|与互为相反数，
∴，
解得：.
故答案为：-2；-1.
【分析】根据绝对值的非负性和二次根式的非负性，|a-b+1|与互为相反数，只能是|a-b+1|与都为0，据此列出方程组，即可求解.
13．【答案】2010
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解： ∵有意义，
∴a-2010≥0，
∴a≥2010，
∴|2009﹣a| =a-2009，
∴|2009﹣a|+＝a-2009+=a.
∴=2009.
∴a-2010= 20092 .
∴a﹣20092＝ 2010.
故答案为：2010.
【分析】根据二次根式的被开方数不能为负数得出a-2010≥0，求解得出a的取值范围，进而根据绝对值的性质化简，接着合并同类项化简，最后再两边同时平方进行计算求值即可.
14．【答案】解：∵x-3≥0，3-x≥0，
∴x-3=0，
∴x=3，
∴y=-8，
∴ 5x+13y+25 =5×3+13×（-8）+25=-64，
∴ 5x+13y+25的立方根是：-4.
【知识点】立方根及开立方；二次根式有意义的条件
【解析】【分析】首先根据二次根式成立的条件，可得x-3=0，进而得出x=3，进而求得y=-8，然后把x，y的值代入代数式 5x+13y+25 求值，进一步求得它的立方根即可。
15．【答案】（1）a≥2020；a-2019
（2）解：由（1）可知，
∵，
∴，
∴，
∴a-2020＝20192，
∴a-20192＝2020．
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；二次根式有意义的条件；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：（1）∵有意义，
∴a-2020≥0
∴a≥2020；
∴2019-a＜0，
∴|2019-a|＝a-2019；
故答案为：a≥2020；a-2019；
【分析】（1）先根据二次根式有意义的条件求出a的取值范围，再根据二次根式的性质进行计算，最后求出答案即可；
（2）把（1）的结论代入等式，化简后两边同时平方去掉根号求解．
16．【答案】解：
＝x+y，
∵
∴x﹣3＝0 y+1＝0
解得x＝3，y＝﹣1，
∴原式＝3﹣1＝2．
【知识点】分式的化简求值；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【分析】根据分式的混合运算法则先对分式进行化简，再利用二次根式和完全平方式的非负性求出字母的值，将其代入所化简的式子中计算．
17．【答案】（1）解：由题意可得
∴，
∴．
（2）解：∵A、B两点的横坐标相同，
∴轴，，
∵，
∴，
解得：，
∴m的值为0或8．
【知识点】点的坐标；坐标与图形性质；算术平方根的性质（双重非负性）
【解析】【分析】本题考查算式平方根的非负性和点坐标的应用。（1）由 可知a、b的值.（2）A、B横坐标相同，则AB∥y轴，AB=3，而CD∥AB，点D到AB的距离是，根据=×AB×=6.可得m的值.
18．【答案】（1）解：
（2）解：；
；
（3）
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：（3）
．
【分析】（1）根据题意结合平方差公式进行二次根式的有理化和化简即可求解；
（2）根据题意结合平方差公式进行二次根式的有理化和化简即可求解；
（3）根据题意结合平方差公式进行二次根式的有理化和化简即可求解。
1 / 12023-2024学年人教版初中数学八年级下册16.1 二次根式 同步分层训练提升题
一、选择题
1．（2023九上·恩阳期中）要使式子有意义，则x可取的数是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】A
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】根据题意， 有意义
A符合题意，B、C、D选项都小于3，不符合题意
故选：A
【分析】掌握二次根式有意义的条件，根号下的式子须是正数或0，即有非负性。
2．（2023八上·正定期中）要使分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】分式有意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】根据题意可得：x-2>0，
解得：x>2，
故答案为：D.
【分析】根据分式及二次根式有意义的条件列出不等式（组）求解即可。
3．（2023九上·威远期中）下列式子，一定是二次根式的共有（ ）
，1，，，，
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】D
【知识点】二次根式的定义
【解析】【解答】解：，是二次根式，共2个，
故答案为：D.
【分析】利用二次根式的定义逐项分析判断即可.
4．要使二次根式有意义，字母x必须满足的条件是（ ）
A．x≥1 B．x>－1 C．x≥－1 D．x>1
【答案】C
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数作答．
【解答】根据二次根式的意义，被开方数x+1≥0，解得x≥-1．
故选：C．
【点评】函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
5．（2021·娄底） 是某三角形三边的长，则 等于（ ）
A． B． C．10 D．4
【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；三角形三边关系
【解析】【解答】解： 是三角形的三边，
，
解得： ，
，
故答案为：D.
【分析】根据三角形的三边关系，可得，然后根据二次根式的性质求解即可.
6．（2023八上·浦东期中）若在实数范围内成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】由题意得：解得x>4，
故答案为：D.
【分析】根据二次根式的性质可得解不等式组即可得出结论.
7．（2023八上·余姚期中）已知实数满足，则以的值为两边长的等腰三角形的周长是（ ）
A．20 B．16
C．20或16 D．以上答案均不对
【答案】A
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质；偶次方的非负性；算术平方根的性质（双重非负性）
【解析】【解答】解：∵ ，，（y-8）2≥0，
∴x-4=0，y-8=0，
解得x=4，y=8；
若4为腰，4+4=8，不能构成三角形；
若8为腰，则8-4=4＜8＜8+4=12，可以构成三角形，此时等腰三角形的周长=8+8+4=20.
故答案为：A.
【分析】根据算术平方根的非负性和偶次幂的非负性，可得x和y的值；根据等腰三角形性质及三角形的三边关系，判断是否能够构成三角形；根据三角形的周长公式，可得等腰三角形的周长.
8．（2021八上·隆昌期中）已知实数a满足条件 ，那么 的值为
A．2010 B．2011 C．2012 D．2013
【答案】C
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；算术平方根；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵ 有意义，
∴a-2012≥0，
∴a≥2012，
∴2011-a＜0，
∴ ，
∴
∴a-2012=20112，
∴a-20112=2012.
故答案为：C.
【分析】由二次根式的被开方数为非负数可求出a≥2012，即得2011-a＜0，利用绝对值的性质原等式可化为，两边平方即可求出结论.
二、填空题
9．（2020八上·浦东期中）若二次根式 在实数范围内有意义，则x的取值范围为 ．
【答案】x≥5
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：要使二次根式x 5在实数范围内有意义，必须x 5≥0，
解得：x≥5，
故答案为：x≥5．
【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数大于等于0，进行求解即可。
10．（2016九上·平凉期中）要使二次根式 有意义，字母x必须满足的条件是
【答案】x≥﹣1
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意得，x+1≥0，
解得x≥﹣1．
故答案为：x≥﹣1．
【分析】根据被开方数大于等于0列式进行计算即可得解．
11．（2023八上·昌平期中）如果，则的值为 .
【答案】49
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】∵2-x≥0 x-2≥0 ∴x=2 则 y=7 ∴ yx =49 故答案为：49 。
【分析】根据二次根式的非负性，2-x≥0 x-2≥0 ，求出y=7，即可解答。
12．若|a－b＋1|与 互为相反数，则a＝ ，b＝ ．
【答案】－2；－1
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）
【解析】【解答】解：∵|a-b+1|≥0，≥0，
且|a-b+1|与互为相反数，
∴，
解得：.
故答案为：-2；-1.
【分析】根据绝对值的非负性和二次根式的非负性，|a-b+1|与互为相反数，只能是|a-b+1|与都为0，据此列出方程组，即可求解.
13．（2022七上·江干期中）已知|2009﹣a|+＝a，则a﹣20092＝ ．
【答案】2010
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解： ∵有意义，
∴a-2010≥0，
∴a≥2010，
∴|2009﹣a| =a-2009，
∴|2009﹣a|+＝a-2009+=a.
∴=2009.
∴a-2010= 20092 .
∴a﹣20092＝ 2010.
故答案为：2010.
【分析】根据二次根式的被开方数不能为负数得出a-2010≥0，求解得出a的取值范围，进而根据绝对值的性质化简，接着合并同类项化简，最后再两边同时平方进行计算求值即可.
三、解答题
14．（2023八上·吉林期中）若x，y都是实数，且y= +-8，求5x+13y+25的立方根．
【答案】解：∵x-3≥0，3-x≥0，
∴x-3=0，
∴x=3，
∴y=-8，
∴ 5x+13y+25 =5×3+13×（-8）+25=-64，
∴ 5x+13y+25的立方根是：-4.
【知识点】立方根及开立方；二次根式有意义的条件
【解析】【分析】首先根据二次根式成立的条件，可得x-3=0，进而得出x=3，进而求得y=-8，然后把x，y的值代入代数式 5x+13y+25 求值，进一步求得它的立方根即可。
15．（2023八上·长春期中）已知a满足|2019-a|+＝a．
（1）有意义，a的取值范围是 ；则在这个条件下将|2019-a|去掉绝对值符号可得|2019-a|＝
（2）根据（1）的分析，求a-20192的值．
【答案】（1）a≥2020；a-2019
（2）解：由（1）可知，
∵，
∴，
∴，
∴a-2020＝20192，
∴a-20192＝2020．
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；二次根式有意义的条件；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：（1）∵有意义，
∴a-2020≥0
∴a≥2020；
∴2019-a＜0，
∴|2019-a|＝a-2019；
故答案为：a≥2020；a-2019；
【分析】（1）先根据二次根式有意义的条件求出a的取值范围，再根据二次根式的性质进行计算，最后求出答案即可；
（2）把（1）的结论代入等式，化简后两边同时平方去掉根号求解．
四、计算题
16．（2023八上·河北期中）先化简，再求值：，其中．
【答案】解：
＝x+y，
∵
∴x﹣3＝0 y+1＝0
解得x＝3，y＝﹣1，
∴原式＝3﹣1＝2．
【知识点】分式的化简求值；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【分析】根据分式的混合运算法则先对分式进行化简，再利用二次根式和完全平方式的非负性求出字母的值，将其代入所化简的式子中计算．
五、综合题
17．（2023七下·云南期末）在平面直角坐标系中，，且．
（1）求A、B的坐标；
（2）过点C作的平行线交x轴于点D，若，求m的值．
【答案】（1）解：由题意可得
∴，
∴．
（2）解：∵A、B两点的横坐标相同，
∴轴，，
∵，
∴，
解得：，
∴m的值为0或8．
【知识点】点的坐标；坐标与图形性质；算术平方根的性质（双重非负性）
【解析】【分析】本题考查算式平方根的非负性和点坐标的应用。（1）由 可知a、b的值.（2）A、B横坐标相同，则AB∥y轴，AB=3，而CD∥AB，点D到AB的距离是，根据=×AB×=6.可得m的值.
18．（2023八下·肥城期中）阅读理解：阅读下列材料，然后解答问题：在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如：，，，……这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简，让式子的分母中不含根式：
例如：；（一）
；（二）
；（三）
以上这种化简的叫做分母有理化．
还可以用以下方法化简：
．（四）
请解答下列问题：
（1）化简：．
（2）化简：．
（3）猜想：的值．（可直接写出结果）
【答案】（1）解：
（2）解：；
；
（3）
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：（3）
．
【分析】（1）根据题意结合平方差公式进行二次根式的有理化和化简即可求解；
（2）根据题意结合平方差公式进行二次根式的有理化和化简即可求解；
（3）根据题意结合平方差公式进行二次根式的有理化和化简即可求解。
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