人教版初中数学八年级下册16.1 二次根式 同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2023九上·资中期中）若，则（ ）
A． B． C． D．x为一切实数
【答案】A
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】
∵
∴ x≥0，x-6≥0
∴ x≥6
故答案为：A
【分析】本题考查二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，据此可得结论。
2．（2012八下·建平竞赛）若0＜ ＜1，那么 的化简结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【解答】∵0＜ ＜1
∴
∴
故答案为：B.
【分析】根据已知条件0＜ x ＜1可得x-10，则=1 x，于是代数式化简的值为2.
3．（2017·邵东模拟）要使二次根式 有意义，则x应满足（ ）
A．x≠1 B．x≥1 C．x≤1 D．x＜1
【答案】C
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：1﹣x≥0，
解得：x≤1，
故选：C．
【分析】根据二次根式有意义的条件可得1﹣x≥0，再解即可．
4．（2023八上·仁寿期中）已知实数，在数轴上的对应点如图，则化简得（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】无理数在数轴上表示；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：根据图可得，b＜0，a＞0，|b|＞|a|，
∴原式=-（a+b）-（a-b）-a
=-a-b-a+b-a
=-3a；
故答案为：A.
【分析】根据数轴上两个实数的位置以及二次根式的性质，将式子化简求值即可。
5．（2023八上·义乌期中）二次根式中自变量x的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二次根式有意义的条件；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：∵有意义，
∴3x+6≥0，
∴x≥-2，
∴在数轴上表示为
故答案为：A.
【分析】根据二次根式的被开方数不能为负数得出x≥-2，进而根据数轴上表示不等式组的解集的方法“大向右，小向左，实心等于，空心不等”将该不等式组的解集在数轴上表示出来.
6．如果代数式 + 有意义，那么直角坐标系中点A（a，b）的位置在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【分析】先根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，可知a、b的取值范围，再根据直角坐标系内各象限点的特征确定所在象限．
【解答】∵代数式 +有意义，
∴a≥0且ab＞0，
解得a＞0且b＞0．
∴直角坐标系中点A（a，b)的位置在第一象限．
故选A．
【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．同时考查了直角坐标系内各象限点的特征
7．（2021八下·龙口期中）若二次根式 有意义，且关于x的分式方程 +2＝ 有正数解，则符合条件的整数m的和是（ ）
A．﹣7 B．﹣6 C．﹣5 D．﹣4
【答案】D
【知识点】二次根式有意义的条件；分式方程的解及检验
【解析】【解答】解：将分式方程去分母得，﹣m+2（x﹣1）＝3，解得，x＝ ，
∵关于x的分式方程 +2＝ 有正数解，
∴ ＞0，
∴m＞﹣5，
又∵x＝1是增根，当x＝1时， ＝1，即m＝﹣3
∴m≠﹣3，
∵ 有意义，
∴2﹣m≥0，
∴m≤2，
因此﹣5＜m≤2且m≠﹣3，
∵m为整数，
∴m可以为﹣4，﹣2，﹣1，0，1，2，其和为﹣4，
故答案为：D．
【分析】此题考查分式方程的解法，以及二次根式有意义的定义；重点要注意排除增根的情况.
8．（2020八上·深圳期中）“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如： ，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于 ，设x= ，易知 > ，故x>0，由x2= = =2，解得x= ，即 。根据以上方法，化简 后的结果为（ ）
A．5+3 B．5+ C．5- D．5-3
【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】设x=,易知，故x＜0，由x2==，解得x=..，=
故答案为：D
【分析】将利用平方再开方的方式化简，进行分母有理化，最后用二次根式运算法则即可求出答案。
二、填空题
9．（2023·黄冈）请写出一个正整数m的值使得是整数； ．
【答案】8
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵是整数，
∴正整数m的值可能为8.
故答案为：8.
【分析】根据二次根式的性质进行解答.
10．（2017八下·临洮期中）若 ，则m﹣n的值为 ．
【答案】4
【知识点】偶次方的非负性；算术平方根的性质（双重非负性）
【解析】【解答】解：根据题意得： ，
解得： ．
则m﹣n=3=（﹣1）=4．
故答案是：4．
【分析】根据任何非负数的平方根以及偶次方都是非负数，两个非负数的和等于0，则这两个非负数一定都是0，即可得到关于m．n的方程，从而求得m，n的值，进而求解．
11．（2022八上·郓城月考）计算：＝ ．
【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简；积的乘方运算
【解析】【解答】
=
=
=
=
【分析】本题考查二次根式的简便运算、性质与化简，积的乘方等知识点，注意am·bm=（ab）m的应用.
12．（2020七上·景德镇期中）化简 ＝
【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：
=
=
=
=
故答案为： ．
【分析】本题的关键在于将被开方数转化成完全平方数，再利用二次根式的性质求解即可。
13．（2023七下·亳州期末）已知，，则 ．
【答案】1
【知识点】平方根；立方根及开立方；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】9和-9的平方是81，a=9或-9；-2的三次方是-8，b=-8，当a=9时，-8-9小于0，二次根式无意义，当a=-9时，-8-（-9）=-8+9=1，1的算术平方根是1。
【分析】81的平方根是互为相反数的2个值，二次根式有意义，根号下要大于等于0.
三、解答题
14．（2023八上·长春期中）若x，y是实数，且．
（1）求x，y的值；
（2）求的值．
【答案】（1）解：由题意，得，
解得：，
代入求得：，
（2）解：.
【知识点】算术平方根；二次根式有意义的条件
【解析】【分析】（1）根据二次根式有意义的条件求解；
（2）将求出的x与y代入求解即可．
15．（2023八上·龙岗期中）如图所示，在平面直角坐标系中，已知，，其中，满足．
（1）填空： ， ；
（2）若在第三象限内有一点，用含的式子表示的面积；
（3）在（2）的条件下，线段与轴相交于点，当时，点是轴上的动点，当满足的面积是的面积的5倍时，求点的坐标．
【答案】（1）；3
（2）解：由（1）得：，，
∴，
如图，过点M作轴于点N，
∵在第三象限内有一点，
∴，
∴；
（3）解：当时，，
∵的面积是的面积的5倍
∴，
设点P的坐标为，
∵点，
∴，
∴，
∴，
解得：或，
即点的坐标或．
【知识点】坐标与图形性质；三角形的面积；偶次方的非负性；算术平方根的性质（双重非负性）
【解析】【解答】解：（1）∵，，，
∴a=-1，b=3，
故答案为：-1；3；
【分析】（1）根据二次根式和偶次方的非负性得出a+1=0，b-3=0，得出a=-1，b=3，即可得出答案；
（2）先求出AB的长，再利用三角形的面积公式代入计算，即可得出答案；
（3）先求出△PBM的面积=30，设点P的坐标为（0，n），求出PC=，再利用三角形的面积公式得出2=30，求出n的值，即可得出答案.
四、计算题
16．（2020八下·罗山期末）先阅读下面的解题过程，然后再解答.形如 的化简，我们只要找到两个数a，b，使 ， ，即 ， ，那么便有： .
例如化简： .
解：首先把 化为 ，
这里 ， ，
由于 ， ，
所以 ，
所以 .
根据上述方法化简： .
【答案】解：根据题意，可知 ， ，
由于 ， ，
所以 ， ，
所以 .
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【分析】应先找到哪两个数的和为13，积为42.再判断是选择加法，还是减法，进而根据完全平方公式分解因式，最后根据二次根式的性质即可算出答案.
五、综合题
17．（2023八下·夏津期中）著名数学教育家G·波利亚，有句名言：“发现问题比解决问题更重要”，这句话启发我们：要想学会数学，就需要观察，发现问题，探索问题的规律性东西，要有一双敏锐的眼睛．请先阅读下列材料，再解决问题：
数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去里面的一层根号．例如：．
解决问题：
（1）在括号内填上适当的数：
①： ，②： ，③ ．
（2）根据上述思路，求出的值．
【答案】（1）5；；
（2）解：原式
．
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：（1）由题意得，
故答案为：5；；
【分析】（1）直接模仿题目中的例子进行列式即可求解；
（2）将28换为，将7换为，再利用完全平方公式即可求解。
1 / 1人教版初中数学八年级下册16.1 二次根式 同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2023九上·资中期中）若，则（ ）
A． B． C． D．x为一切实数
2．（2012八下·建平竞赛）若0＜ ＜1，那么 的化简结果是（ ）
A． B． C． D．
3．（2017·邵东模拟）要使二次根式 有意义，则x应满足（ ）
A．x≠1 B．x≥1 C．x≤1 D．x＜1
4．（2023八上·仁寿期中）已知实数，在数轴上的对应点如图，则化简得（ ）
A． B． C． D．
5．（2023八上·义乌期中）二次根式中自变量x的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．如果代数式 + 有意义，那么直角坐标系中点A（a，b）的位置在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．（2021八下·龙口期中）若二次根式 有意义，且关于x的分式方程 +2＝ 有正数解，则符合条件的整数m的和是（ ）
A．﹣7 B．﹣6 C．﹣5 D．﹣4
8．（2020八上·深圳期中）“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如： ，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于 ，设x= ，易知 > ，故x>0，由x2= = =2，解得x= ，即 。根据以上方法，化简 后的结果为（ ）
A．5+3 B．5+ C．5- D．5-3
二、填空题
9．（2023·黄冈）请写出一个正整数m的值使得是整数； ．
10．（2017八下·临洮期中）若 ，则m﹣n的值为 ．
11．（2022八上·郓城月考）计算：＝ ．
12．（2020七上·景德镇期中）化简 ＝
13．（2023七下·亳州期末）已知，，则 ．
三、解答题
14．（2023八上·长春期中）若x，y是实数，且．
（1）求x，y的值；
（2）求的值．
15．（2023八上·龙岗期中）如图所示，在平面直角坐标系中，已知，，其中，满足．
（1）填空： ， ；
（2）若在第三象限内有一点，用含的式子表示的面积；
（3）在（2）的条件下，线段与轴相交于点，当时，点是轴上的动点，当满足的面积是的面积的5倍时，求点的坐标．
四、计算题
16．（2020八下·罗山期末）先阅读下面的解题过程，然后再解答.形如 的化简，我们只要找到两个数a，b，使 ， ，即 ， ，那么便有： .
例如化简： .
解：首先把 化为 ，
这里 ， ，
由于 ， ，
所以 ，
所以 .
根据上述方法化简： .
五、综合题
17．（2023八下·夏津期中）著名数学教育家G·波利亚，有句名言：“发现问题比解决问题更重要”，这句话启发我们：要想学会数学，就需要观察，发现问题，探索问题的规律性东西，要有一双敏锐的眼睛．请先阅读下列材料，再解决问题：
数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去里面的一层根号．例如：．
解决问题：
（1）在括号内填上适当的数：
①： ，②： ，③ ．
（2）根据上述思路，求出的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】
∵
∴ x≥0，x-6≥0
∴ x≥6
故答案为：A
【分析】本题考查二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，据此可得结论。
2．【答案】B
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【解答】∵0＜ ＜1
∴
∴
故答案为：B.
【分析】根据已知条件0＜ x ＜1可得x-10，则=1 x，于是代数式化简的值为2.
3．【答案】C
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：1﹣x≥0，
解得：x≤1，
故选：C．
【分析】根据二次根式有意义的条件可得1﹣x≥0，再解即可．
4．【答案】A
【知识点】无理数在数轴上表示；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：根据图可得，b＜0，a＞0，|b|＞|a|，
∴原式=-（a+b）-（a-b）-a
=-a-b-a+b-a
=-3a；
故答案为：A.
【分析】根据数轴上两个实数的位置以及二次根式的性质，将式子化简求值即可。
5．【答案】A
【知识点】二次根式有意义的条件；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：∵有意义，
∴3x+6≥0，
∴x≥-2，
∴在数轴上表示为
故答案为：A.
【分析】根据二次根式的被开方数不能为负数得出x≥-2，进而根据数轴上表示不等式组的解集的方法“大向右，小向左，实心等于，空心不等”将该不等式组的解集在数轴上表示出来.
6．【答案】A
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【分析】先根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，可知a、b的取值范围，再根据直角坐标系内各象限点的特征确定所在象限．
【解答】∵代数式 +有意义，
∴a≥0且ab＞0，
解得a＞0且b＞0．
∴直角坐标系中点A（a，b)的位置在第一象限．
故选A．
【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．同时考查了直角坐标系内各象限点的特征
7．【答案】D
【知识点】二次根式有意义的条件；分式方程的解及检验
【解析】【解答】解：将分式方程去分母得，﹣m+2（x﹣1）＝3，解得，x＝ ，
∵关于x的分式方程 +2＝ 有正数解，
∴ ＞0，
∴m＞﹣5，
又∵x＝1是增根，当x＝1时， ＝1，即m＝﹣3
∴m≠﹣3，
∵ 有意义，
∴2﹣m≥0，
∴m≤2，
因此﹣5＜m≤2且m≠﹣3，
∵m为整数，
∴m可以为﹣4，﹣2，﹣1，0，1，2，其和为﹣4，
故答案为：D．
【分析】此题考查分式方程的解法，以及二次根式有意义的定义；重点要注意排除增根的情况.
8．【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】设x=,易知，故x＜0，由x2==，解得x=..，=
故答案为：D
【分析】将利用平方再开方的方式化简，进行分母有理化，最后用二次根式运算法则即可求出答案。
9．【答案】8
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵是整数，
∴正整数m的值可能为8.
故答案为：8.
【分析】根据二次根式的性质进行解答.
10．【答案】4
【知识点】偶次方的非负性；算术平方根的性质（双重非负性）
【解析】【解答】解：根据题意得： ，
解得： ．
则m﹣n=3=（﹣1）=4．
故答案是：4．
【分析】根据任何非负数的平方根以及偶次方都是非负数，两个非负数的和等于0，则这两个非负数一定都是0，即可得到关于m．n的方程，从而求得m，n的值，进而求解．
11．【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简；积的乘方运算
【解析】【解答】
=
=
=
=
【分析】本题考查二次根式的简便运算、性质与化简，积的乘方等知识点，注意am·bm=（ab）m的应用.
12．【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：
=
=
=
=
故答案为： ．
【分析】本题的关键在于将被开方数转化成完全平方数，再利用二次根式的性质求解即可。
13．【答案】1
【知识点】平方根；立方根及开立方；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】9和-9的平方是81，a=9或-9；-2的三次方是-8，b=-8，当a=9时，-8-9小于0，二次根式无意义，当a=-9时，-8-（-9）=-8+9=1，1的算术平方根是1。
【分析】81的平方根是互为相反数的2个值，二次根式有意义，根号下要大于等于0.
14．【答案】（1）解：由题意，得，
解得：，
代入求得：，
（2）解：.
【知识点】算术平方根；二次根式有意义的条件
【解析】【分析】（1）根据二次根式有意义的条件求解；
（2）将求出的x与y代入求解即可．
15．【答案】（1）；3
（2）解：由（1）得：，，
∴，
如图，过点M作轴于点N，
∵在第三象限内有一点，
∴，
∴；
（3）解：当时，，
∵的面积是的面积的5倍
∴，
设点P的坐标为，
∵点，
∴，
∴，
∴，
解得：或，
即点的坐标或．
【知识点】坐标与图形性质；三角形的面积；偶次方的非负性；算术平方根的性质（双重非负性）
【解析】【解答】解：（1）∵，，，
∴a=-1，b=3，
故答案为：-1；3；
【分析】（1）根据二次根式和偶次方的非负性得出a+1=0，b-3=0，得出a=-1，b=3，即可得出答案；
（2）先求出AB的长，再利用三角形的面积公式代入计算，即可得出答案；
（3）先求出△PBM的面积=30，设点P的坐标为（0，n），求出PC=，再利用三角形的面积公式得出2=30，求出n的值，即可得出答案.
16．【答案】解：根据题意，可知 ， ，
由于 ， ，
所以 ， ，
所以 .
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【分析】应先找到哪两个数的和为13，积为42.再判断是选择加法，还是减法，进而根据完全平方公式分解因式，最后根据二次根式的性质即可算出答案.
17．【答案】（1）5；；
（2）解：原式
．
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：（1）由题意得，
故答案为：5；；
【分析】（1）直接模仿题目中的例子进行列式即可求解；
（2）将28换为，将7换为，再利用完全平方公式即可求解。
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