2023-2024学年人教版初中数学八年级下册16.2 二次根式的乘除 同步分层训练基础题
一、选择题
1．（2023九上·恩阳期中）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】根据最简二次根式的定义，
A：，含有能开得尽平方的因数，不符合题意
B：，是能开得尽平方的数，不符合题意
C：，根号下有分母，不符合题意
D：，是最简二次根式，符合题意
故选：D
【分析】根据最简二次根式的定义，根号下不含有分母，也不含有有能开得尽平方的因数，才是最简二次根式。
2．（2024七上·柯桥期中）下列计算中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】解： A、，故A选项错误；
B、，故B选项错误；
C、，故C选项正确；
D、，故D选项错误.
故答案为：C.
【分析】根据二次根式的性质化简，逐项判断即可.
3．（2023九上·永康期中）化简的正确结果是（ ）
A．±2 B．2 C．-2 D．2
【答案】B
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：因为，
所以，
故答案为：B.
【分析】根据算术平方根的定义进行计算即可．
4．（2023九上·德惠月考）计算等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：
故答案为：C
【分析】根据二次根式的乘法性质即可求出答案.
5．（2023九上·资中期中）已知，，则用表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的应用
【解析】【解答】
∵
∴
故答案为：D
【分析】本题考查二次根式的乘法，熟悉法则及化简是关键，对 进行变形是关键 ，可得结论。
6．（2023八上·浦东期中）的有理化因式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】解：A：所得结果不一定是有理式，故A不符合题意；
B：所得结果不一定是有理式，故B不符合题意；
C：所得结果不一定是有理式，故C不符合题意；
D：所得结果一定是有理式，故D不符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据有理化因式的定义进行选择即可。
7．（2023九上·绥化期中）如果，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：∵，
∴
即：
故答案为：B.
【分析】由二次根式的性质可得到：解此不等式即可求解.
8．（2023八上·河北期中）下列说法正确的个数是（ ）
①数轴上的点与有理数是——对应的；
②的倒数是；
③是最简二次根式；
④一个实数不是正实数就是负实数；
⑤绝对值小于的整数共有5个．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】实数的概念与分类；最简二次根式；分母有理化
【解析】【解答】解：数轴上的点与实数是一一对应的，故错误；
的倒数是，故正确；
不是最简二次根式 ，故错误；
一个实数可能是正实数，负实数，还可能是，故错误；
绝对值小于的整数有、、0、1、2，共个，故正确；
故答案为：．
【分析】根据无理数的定义、实数与数轴的定义分别判断。
二、填空题
9．（2023八上·闵行期中）的有理化因式为 .
【答案】
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】解：∵
∴的一个有理化因式是（合理即可）.
故答案为： .
【分析】根据有理化因式的定义求解．两个二次根式的积是有理式，其中一个二次根式就是另一个二次根式的有理化因式。
10．（2023八上·上海市期中）的倒数为 ．
【答案】
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】解：的倒数为，
故答案为：．
【分析】先根据倒数的定义表示出其倒数，再进行分母有理化即可．
11．（2023八上·从江月考）若一个直角三角形的一条直角边长为，另一条直角边长是这条直角边长的2倍，则这个直角三角形的面积为 .
【答案】10
【知识点】二次根式的应用
【解析】【解答】解：.
故答案为：10.
【分析】二次根式乘法法则：二次根式相乘，把它们的被开方数相乘，再化简。
12．（2023八上·栾城期中） 已知x＝，y＝，= ．
【答案】
【知识点】分式的加减法；分母有理化；二次根式的化简求值
【解析】【解答】x＝，y＝，
【分析】先根据x、y的值求出xy、x+y的值，再将 化简后代入即可求解.
13．（2023九上·资中期中）如图，从一个大正方形中裁去面积为27和48的两个小正方形，则剩下阴影部分的面积是 ．
【答案】72
【知识点】二次根式的应用；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】
解：从图形可知：大正方形的边长=
∴ S阴=S正-27-48=
故阴影部分的面积为72.
【分析】本题考查二次根式的应用与化简计算。先根据图形计算大正方形的边长，再计算其面积，后减去两个小正方形面积，即得阴影面积，注意根式的合并。
三、解答题
14．如图，机器人从点A沿着西南方向行了4 个单位，到达点B后观察到原点O在它的南偏东60°的方向上，求原来点A的坐标．
【答案】解：过点B作BD⊥y轴于点D，
∵机器人从点A沿着西南方向行了4 个单位，
∴AD=BD=4 ×sin45°=4，
∵到达点B后观察到原点O在它的南偏东60°的方向上，
∴DO=4tan30°= ，
∴AO=4+ ，
∴点A的坐标为：（0，4+ ）．
【知识点】二次根式的应用
【解析】【分析】根据已知得出AD=BD=4，进而得出∠DBO=30°，求出DO的长，进而得出A点坐标．
15．（2023八上·石家庄期中）如图，面积为的正方形四个角是面积为的小正方形，现将四个角剪掉，制作一个无盖的长方体盒子.
（1）则原来大正方形的边长为 cm；（保留根号）
四个角的小正方形的边长为 cm.（保留根号）
（2）求这个长方体盒子的底面边长和体积分别是多少 并将结果精确到 0.01.
提示：
【答案】（1）；
（2）解：2.83cm，11.31cm3
【知识点】二次根式的应用
【解析】【解答】解：（1）大正方形的面积为 ，
大正方形的边长为
小正方形的面积为 ，
小正方形的边长为
（2）长方体盒子的底面边长=
体积=
【分析】（1）根据正方形的面积与边长的关系，利用算术平方根的定义即可求出大正方形和小正方形的边长；
（2）利用长方体的体积公式即可求解.
四、计算题
16．（2023八下·惠阳期末）已知，，求下列各式的值：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：由题意得：
∴
（2）解：
【知识点】因式分解的应用；二次根式的化简求值
【解析】【分析】（1）利用x，y的值分别求出x+y，x-y的值，再利用因式分解法将代数式转化为（x+y）（x-y），然后整体代入求值.
（2）利用配方法将代数式转化为（x+y）2-xy，然后整体代入求值即可.
五、综合题
17．综合题
（1）试比较 与 的大小；
（2）你能比较 与 的大小吗？其中k为正整数.
【答案】（1）解： ，
，
故 ＜
（2）解： ，
，
故 ＜
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法
【解析】【分析】（1）比较两个二次根式的大小，用分母有理化的法则先将其化为最简二次根式，再比较大小即可；（2）方法同（1）.
18．（2023七下·惠城期末）如图，一根细线上端固定，下端系一个小重物，让这个小重物来回自由摆动，来回摆动一次所用的时间t（单位：秒）与细线长度l（单位：m）之间满足关系，
（1）当所花时间为秒时，求此时细线的长度．
（2）当细线的长度为2m时，小重物来回摆动一次所用的时间是多少？（结果保留小数点后一位，，）
【答案】（1）解：当时，而，
∴，
解得：；
（2）解：由题可知，
则小重物来回摆动一次所用的时间为；
．
答：小重物来回摆动一次所用的时向约为．
【知识点】二次根式的应用
【解析】【分析】（1）将t=2π代入t=2π中进行计算即可；
（2）由题意可得l=2m，然后将l=2代入t=2π中进行计算即可.
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一、选择题
1．（2023九上·恩阳期中）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024七上·柯桥期中）下列计算中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023九上·永康期中）化简的正确结果是（ ）
A．±2 B．2 C．-2 D．2
4．（2023九上·德惠月考）计算等于（ ）
A． B． C． D．
5．（2023九上·资中期中）已知，，则用表示为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023八上·浦东期中）的有理化因式是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023九上·绥化期中）如果，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2023八上·河北期中）下列说法正确的个数是（ ）
①数轴上的点与有理数是——对应的；
②的倒数是；
③是最简二次根式；
④一个实数不是正实数就是负实数；
⑤绝对值小于的整数共有5个．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
9．（2023八上·闵行期中）的有理化因式为 .
10．（2023八上·上海市期中）的倒数为 ．
11．（2023八上·从江月考）若一个直角三角形的一条直角边长为，另一条直角边长是这条直角边长的2倍，则这个直角三角形的面积为 .
12．（2023八上·栾城期中） 已知x＝，y＝，= ．
13．（2023九上·资中期中）如图，从一个大正方形中裁去面积为27和48的两个小正方形，则剩下阴影部分的面积是 ．
三、解答题
14．如图，机器人从点A沿着西南方向行了4 个单位，到达点B后观察到原点O在它的南偏东60°的方向上，求原来点A的坐标．
15．（2023八上·石家庄期中）如图，面积为的正方形四个角是面积为的小正方形，现将四个角剪掉，制作一个无盖的长方体盒子.
（1）则原来大正方形的边长为 cm；（保留根号）
四个角的小正方形的边长为 cm.（保留根号）
（2）求这个长方体盒子的底面边长和体积分别是多少 并将结果精确到 0.01.
提示：
四、计算题
16．（2023八下·惠阳期末）已知，，求下列各式的值：
（1）；
（2）．
五、综合题
17．综合题
（1）试比较 与 的大小；
（2）你能比较 与 的大小吗？其中k为正整数.
18．（2023七下·惠城期末）如图，一根细线上端固定，下端系一个小重物，让这个小重物来回自由摆动，来回摆动一次所用的时间t（单位：秒）与细线长度l（单位：m）之间满足关系，
（1）当所花时间为秒时，求此时细线的长度．
（2）当细线的长度为2m时，小重物来回摆动一次所用的时间是多少？（结果保留小数点后一位，，）
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】根据最简二次根式的定义，
A：，含有能开得尽平方的因数，不符合题意
B：，是能开得尽平方的数，不符合题意
C：，根号下有分母，不符合题意
D：，是最简二次根式，符合题意
故选：D
【分析】根据最简二次根式的定义，根号下不含有分母，也不含有有能开得尽平方的因数，才是最简二次根式。
2．【答案】C
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】解： A、，故A选项错误；
B、，故B选项错误；
C、，故C选项正确；
D、，故D选项错误.
故答案为：C.
【分析】根据二次根式的性质化简，逐项判断即可.
3．【答案】B
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：因为，
所以，
故答案为：B.
【分析】根据算术平方根的定义进行计算即可．
4．【答案】C
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：
故答案为：C
【分析】根据二次根式的乘法性质即可求出答案.
5．【答案】D
【知识点】二次根式的应用
【解析】【解答】
∵
∴
故答案为：D
【分析】本题考查二次根式的乘法，熟悉法则及化简是关键，对 进行变形是关键 ，可得结论。
6．【答案】D
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】解：A：所得结果不一定是有理式，故A不符合题意；
B：所得结果不一定是有理式，故B不符合题意；
C：所得结果不一定是有理式，故C不符合题意；
D：所得结果一定是有理式，故D不符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据有理化因式的定义进行选择即可。
7．【答案】B
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：∵，
∴
即：
故答案为：B.
【分析】由二次根式的性质可得到：解此不等式即可求解.
8．【答案】B
【知识点】实数的概念与分类；最简二次根式；分母有理化
【解析】【解答】解：数轴上的点与实数是一一对应的，故错误；
的倒数是，故正确；
不是最简二次根式 ，故错误；
一个实数可能是正实数，负实数，还可能是，故错误；
绝对值小于的整数有、、0、1、2，共个，故正确；
故答案为：．
【分析】根据无理数的定义、实数与数轴的定义分别判断。
9．【答案】
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】解：∵
∴的一个有理化因式是（合理即可）.
故答案为： .
【分析】根据有理化因式的定义求解．两个二次根式的积是有理式，其中一个二次根式就是另一个二次根式的有理化因式。
10．【答案】
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】解：的倒数为，
故答案为：．
【分析】先根据倒数的定义表示出其倒数，再进行分母有理化即可．
11．【答案】10
【知识点】二次根式的应用
【解析】【解答】解：.
故答案为：10.
【分析】二次根式乘法法则：二次根式相乘，把它们的被开方数相乘，再化简。
12．【答案】
【知识点】分式的加减法；分母有理化；二次根式的化简求值
【解析】【解答】x＝，y＝，
【分析】先根据x、y的值求出xy、x+y的值，再将 化简后代入即可求解.
13．【答案】72
【知识点】二次根式的应用；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】
解：从图形可知：大正方形的边长=
∴ S阴=S正-27-48=
故阴影部分的面积为72.
【分析】本题考查二次根式的应用与化简计算。先根据图形计算大正方形的边长，再计算其面积，后减去两个小正方形面积，即得阴影面积，注意根式的合并。
14．【答案】解：过点B作BD⊥y轴于点D，
∵机器人从点A沿着西南方向行了4 个单位，
∴AD=BD=4 ×sin45°=4，
∵到达点B后观察到原点O在它的南偏东60°的方向上，
∴DO=4tan30°= ，
∴AO=4+ ，
∴点A的坐标为：（0，4+ ）．
【知识点】二次根式的应用
【解析】【分析】根据已知得出AD=BD=4，进而得出∠DBO=30°，求出DO的长，进而得出A点坐标．
15．【答案】（1）；
（2）解：2.83cm，11.31cm3
【知识点】二次根式的应用
【解析】【解答】解：（1）大正方形的面积为 ，
大正方形的边长为
小正方形的面积为 ，
小正方形的边长为
（2）长方体盒子的底面边长=
体积=
【分析】（1）根据正方形的面积与边长的关系，利用算术平方根的定义即可求出大正方形和小正方形的边长；
（2）利用长方体的体积公式即可求解.
16．【答案】（1）解：由题意得：
∴
（2）解：
【知识点】因式分解的应用；二次根式的化简求值
【解析】【分析】（1）利用x，y的值分别求出x+y，x-y的值，再利用因式分解法将代数式转化为（x+y）（x-y），然后整体代入求值.
（2）利用配方法将代数式转化为（x+y）2-xy，然后整体代入求值即可.
17．【答案】（1）解： ，
，
故 ＜
（2）解： ，
，
故 ＜
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法
【解析】【分析】（1）比较两个二次根式的大小，用分母有理化的法则先将其化为最简二次根式，再比较大小即可；（2）方法同（1）.
18．【答案】（1）解：当时，而，
∴，
解得：；
（2）解：由题可知，
则小重物来回摆动一次所用的时间为；
．
答：小重物来回摆动一次所用的时向约为．
【知识点】二次根式的应用
【解析】【分析】（1）将t=2π代入t=2π中进行计算即可；
（2）由题意可得l=2m，然后将l=2代入t=2π中进行计算即可.
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