2023-2024学年人教版初中数学八年级下册16.2 二次根式的乘除 同步分层训练提升题
一、选择题
1．（2020八下·扬州期中）下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023八下·承德期末）计算的结果是（ ）
A．6 B．0 C． D．4
3．（2023八下·河东期末）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023八下·沂水期末）如果是最简二次根式，则x的值可能是（ ）
A．11 B．13 C．21 D．29
5．（2023八下·海阳期末） 下列各式化成最简二次根式正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023八下·楚雄期末）下列计算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2022八下·杭州期中）已知，若a，b为两个连续的整数，且，则（ ）
A．13 B．14 C．12 D．11
8．已知a= ，b= ，则a与b的关系是（ ）
A．相等 B．互为相反数 C．互为倒数 D．平方值相等
二、填空题
9．（2023八下·武汉期末）计算： ， ， ．
10．（2020八下·古冶期末）化简=
11．（2023八下·景县期末）已知，，则 ， ．
12．（2023八下·安达期末）当x＝ 时，代数式有最小值，其最小值是 ．
13．（2023八下·安达期末）已知，，则代数式的值是 ．
三、解答题
14．（2023八下·良庆期末）阅读材料，解答下列问题：
材料：已知，求的值．
李聪同学是这样解答的：
∵
．
∴．
这种方法称为“构造对偶式”
已知．求的值．
15．（2023八下·广州期中）已知：，，求代数式的值
四、计算题
16．（2023八下·武鸣期末）先化简，再求值：，其中．
五、综合题
17．（2023八下·大冶期末）请阅读下列材料：
问题：已知，求代数式的值.小敏的做法是：根据得，，得：.把作为整体代入：得.即：把已知条件适当变形，再整体代入解决问题.请你用上述方法解决下面问题：
（1）已知，求代数式的值；
（2）已知，求代数式的值.
18．（2023八下·盐城月考）高空抛物现象曾被称为“悬在城市上空的痛”，严重威胁着人们的“头顶安全”，即便是常见小物件，一旦高空落下，也威力惊人，而且用时很短，常常来不及避让，据研究，高空抛物下落的时间t（秒和高度h（米近似满足公式（其中米秒．
（1）当米时，求下落的时间；（结果保留根号）
（2）伤害无防护人体只需要65焦的动能，高空抛物动能（焦物体质量（千克）高度（米，某质量为0.1千克的玩具在高空被抛出后经过4秒后落在地上，这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人吗？请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A. 是最简二次根式，故A是答案；
B. ，故B不是最简二次根式；
C. ，故C不是最简二次根式；
D. ，故D不是最简二次根式；
故答案为：A.
【分析】根据最简二次根式的定义分别验证即可求出答案.
2．【答案】B
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】
故答案为：B.
【分析】本题考查根式的化简和0的算术平方根。
3．【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法
【解析】【解答】
A：，A错误；
B：，B正确；
C：，C错误；
D：，D错误。
故答案 为：B
【分析】
根据二次根式的性质和运算方法进行化简计算。(a和b都为非负数)
4．【答案】A
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】
A：x=11时，，是最简二次根式，A符合；
B：x=13时，，不是最简二次根式，B不符合；
C：x=21时，，不是最简二次根式，C不符合；
D：x=29时，，不是最简二次根式，D不符合；
故答案为：A
【分析】
把x值代入根式，观察被开方数，根据最简二次根式的定义进行判断。
5．【答案】C
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】A、∵，∴A不正确；
B、∵，∴B不正确；
C、∵，∴C正确；
D、∵，∴D不正确；
故答案为：C.
【分析】利用二次根式的最简二次根式的定义逐项判断即可.
6．【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；平方差公式及应用；二次根式的乘除法；积的乘方；幂的乘方
【解析】【解答】解：A、∵，∴A正确，符合题意；
B、∵，∴B不正确，不符合题意；
C、∵，∴C不正确，不符合题意；
D、∵，∴D不正确，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】利用积的乘方、幂的乘方、平方差公式、同底数幂的乘法及二次根式的乘法计算方法逐项判断即可.
7．【答案】A
【知识点】无理数的估值；二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
故答案为：A.
【分析】根据二次根式的乘法法则可得m=，由估算无理数大小的方法可得6<<7，据此可得a、b的值，然后根据有理数的加法法则进行计算.
8．【答案】C
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】解：；
；
∴a与b互为倒数.
故答案为：C.
【分析】本题利用分母有理化，得出，再观察a与b的关系。
9．【答案】；3；3
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：，
，
，
故答案为：，3，3.
【分析】根据二次根式的乘法法则：(a、b都是非负数）、二次根式的除法法则：(a≥0，b＞0)，及二次根式的性质：，分别计算即可.
10．【答案】
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】解：．
故答案为：．
【分析】直接利用二次根式的性质化简求出答案．
11．【答案】12；
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；二次根式的化简求值
【解析】【解答】∵，
∴，
∴
即：
【分析】本题考查二次根式的化简和平方差、完全平方的应用，可先求两数和，两数差，对所求式子进行因式分解，代值求解。本题也可直接代入求解。
12．【答案】；0
【知识点】二次根式的定义；二次根式的应用
【解析】【解答】解：∵
∴其最小值为0，
∴当时，代数式有最小值，其最小值是0，
即当时，代数式有最小值，其最小值是0，
故答案为：，0.
【分析】根据二次根式的取值范围，得：，且当被开方数等于0时，二次根式等于0，据此求解即可.
13．【答案】4
【知识点】分式的化简求值；二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：因为，，所以xy=3-1=2，x+y=2，所以=
故答案为：4.
【分析】将代数式通分后，分别求出和的值，再代入求值.
14．【答案】由题意得：
；
∵，
∴；
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【分析】根据构造对偶式的方法求出=21，再把=7代入，即可得出的值.
15．【答案】解：，，
，
，
则原式
．
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【分析】先求出x+y、xy的值，再将原式化为，然后整体代入计算即可.
16．【答案】解：
当时，原式．
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【分析】本题考查了代数式的化简求值，二次根式的乘法，首先将代数式运用平方差公式进行化简，再将x代入求解即可.
17．【答案】（1）解：，，，
，；
（2）解：，，
则，
.
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【分析】（1）将已知条件转化为（x+2）2=5，可得到x2+4x的值，然后整体代入求值即可.
（2）将等式的两边同时平方，可求出x2和x3的值，然后代入代数式进行计算，可求出结果.
18．【答案】（1）当米时：
；
（2）这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人，
理由：当秒时，，
解得：米，
，
所以这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人．
【知识点】二次根式的应用
【解析】【分析】（1）把h的值代入计算求解；
（2）先求出h的值，再计算判断.
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一、选择题
1．（2020八下·扬州期中）下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A. 是最简二次根式，故A是答案；
B. ，故B不是最简二次根式；
C. ，故C不是最简二次根式；
D. ，故D不是最简二次根式；
故答案为：A.
【分析】根据最简二次根式的定义分别验证即可求出答案.
2．（2023八下·承德期末）计算的结果是（ ）
A．6 B．0 C． D．4
【答案】B
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】
故答案为：B.
【分析】本题考查根式的化简和0的算术平方根。
3．（2023八下·河东期末）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法
【解析】【解答】
A：，A错误；
B：，B正确；
C：，C错误；
D：，D错误。
故答案 为：B
【分析】
根据二次根式的性质和运算方法进行化简计算。(a和b都为非负数)
4．（2023八下·沂水期末）如果是最简二次根式，则x的值可能是（ ）
A．11 B．13 C．21 D．29
【答案】A
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】
A：x=11时，，是最简二次根式，A符合；
B：x=13时，，不是最简二次根式，B不符合；
C：x=21时，，不是最简二次根式，C不符合；
D：x=29时，，不是最简二次根式，D不符合；
故答案为：A
【分析】
把x值代入根式，观察被开方数，根据最简二次根式的定义进行判断。
5．（2023八下·海阳期末） 下列各式化成最简二次根式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】A、∵，∴A不正确；
B、∵，∴B不正确；
C、∵，∴C正确；
D、∵，∴D不正确；
故答案为：C.
【分析】利用二次根式的最简二次根式的定义逐项判断即可.
6．（2023八下·楚雄期末）下列计算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；平方差公式及应用；二次根式的乘除法；积的乘方；幂的乘方
【解析】【解答】解：A、∵，∴A正确，符合题意；
B、∵，∴B不正确，不符合题意；
C、∵，∴C不正确，不符合题意；
D、∵，∴D不正确，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】利用积的乘方、幂的乘方、平方差公式、同底数幂的乘法及二次根式的乘法计算方法逐项判断即可.
7．（2022八下·杭州期中）已知，若a，b为两个连续的整数，且，则（ ）
A．13 B．14 C．12 D．11
【答案】A
【知识点】无理数的估值；二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
故答案为：A.
【分析】根据二次根式的乘法法则可得m=，由估算无理数大小的方法可得6<<7，据此可得a、b的值，然后根据有理数的加法法则进行计算.
8．已知a= ，b= ，则a与b的关系是（ ）
A．相等 B．互为相反数 C．互为倒数 D．平方值相等
【答案】C
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】解：；
；
∴a与b互为倒数.
故答案为：C.
【分析】本题利用分母有理化，得出，再观察a与b的关系。
二、填空题
9．（2023八下·武汉期末）计算： ， ， ．
【答案】；3；3
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：，
，
，
故答案为：，3，3.
【分析】根据二次根式的乘法法则：(a、b都是非负数）、二次根式的除法法则：(a≥0，b＞0)，及二次根式的性质：，分别计算即可.
10．（2020八下·古冶期末）化简=
【答案】
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】解：．
故答案为：．
【分析】直接利用二次根式的性质化简求出答案．
11．（2023八下·景县期末）已知，，则 ， ．
【答案】12；
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；二次根式的化简求值
【解析】【解答】∵，
∴，
∴
即：
【分析】本题考查二次根式的化简和平方差、完全平方的应用，可先求两数和，两数差，对所求式子进行因式分解，代值求解。本题也可直接代入求解。
12．（2023八下·安达期末）当x＝ 时，代数式有最小值，其最小值是 ．
【答案】；0
【知识点】二次根式的定义；二次根式的应用
【解析】【解答】解：∵
∴其最小值为0，
∴当时，代数式有最小值，其最小值是0，
即当时，代数式有最小值，其最小值是0，
故答案为：，0.
【分析】根据二次根式的取值范围，得：，且当被开方数等于0时，二次根式等于0，据此求解即可.
13．（2023八下·安达期末）已知，，则代数式的值是 ．
【答案】4
【知识点】分式的化简求值；二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：因为，，所以xy=3-1=2，x+y=2，所以=
故答案为：4.
【分析】将代数式通分后，分别求出和的值，再代入求值.
三、解答题
14．（2023八下·良庆期末）阅读材料，解答下列问题：
材料：已知，求的值．
李聪同学是这样解答的：
∵
．
∴．
这种方法称为“构造对偶式”
已知．求的值．
【答案】由题意得：
；
∵，
∴；
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【分析】根据构造对偶式的方法求出=21，再把=7代入，即可得出的值.
15．（2023八下·广州期中）已知：，，求代数式的值
【答案】解：，，
，
，
则原式
．
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【分析】先求出x+y、xy的值，再将原式化为，然后整体代入计算即可.
四、计算题
16．（2023八下·武鸣期末）先化简，再求值：，其中．
【答案】解：
当时，原式．
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【分析】本题考查了代数式的化简求值，二次根式的乘法，首先将代数式运用平方差公式进行化简，再将x代入求解即可.
五、综合题
17．（2023八下·大冶期末）请阅读下列材料：
问题：已知，求代数式的值.小敏的做法是：根据得，，得：.把作为整体代入：得.即：把已知条件适当变形，再整体代入解决问题.请你用上述方法解决下面问题：
（1）已知，求代数式的值；
（2）已知，求代数式的值.
【答案】（1）解：，，，
，；
（2）解：，，
则，
.
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【分析】（1）将已知条件转化为（x+2）2=5，可得到x2+4x的值，然后整体代入求值即可.
（2）将等式的两边同时平方，可求出x2和x3的值，然后代入代数式进行计算，可求出结果.
18．（2023八下·盐城月考）高空抛物现象曾被称为“悬在城市上空的痛”，严重威胁着人们的“头顶安全”，即便是常见小物件，一旦高空落下，也威力惊人，而且用时很短，常常来不及避让，据研究，高空抛物下落的时间t（秒和高度h（米近似满足公式（其中米秒．
（1）当米时，求下落的时间；（结果保留根号）
（2）伤害无防护人体只需要65焦的动能，高空抛物动能（焦物体质量（千克）高度（米，某质量为0.1千克的玩具在高空被抛出后经过4秒后落在地上，这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人吗？请说明理由．
【答案】（1）当米时：
；
（2）这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人，
理由：当秒时，，
解得：米，
，
所以这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人．
【知识点】二次根式的应用
【解析】【分析】（1）把h的值代入计算求解；
（2）先求出h的值，再计算判断.
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