2023-2024学年人教版初中数学八年级下册16.2 二次根式的乘除 同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2021九上·洪洞期中）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023八上·黄浦期中）下列式子中，是的有理化因式的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023九上·衡阳月考）已知，在平面直角坐标系中点A、B的坐标分别为A（1，4），B（5，0）．点M、N分别为x轴、y轴上的两个动点．动点P从点A出发以1秒1个单位的速度沿A→N→M到点M，再以1秒个单位的速度从点M运动到点B后停止．则点P运动花费的时间最短为（ ）秒．
A．5 B．4 C．5 D．4
4．（2023八上·从江月考）小明的作业本上有以下四题：①=4a2；②·=5a；③a==；④÷=4.做错的题是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
5．（2023九上·朝阳月考）下列整数中与的结果最接近的是（ ）
A．3 B．4 C．9 D．18
6．（2023九上·重庆市开学考） 若在两个相邻整数之间，则这两个整数是（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
7．（2023九上·榆树开学考）已知a＝，b＝，用含a，b的代数式表示，这个代数式是（ ）
A．a+b B．ab C．2a D．2b
8．（2021七上·海曙期末）下列说法正确的是（ ）
A． 是分数 B．16的平方根是±4， 即
C．8.30万精确到百分位 D．若 ， 则
二、填空题
9．（2023八上·奉贤期中）不等式的解集是 ．
10．（2023八上·金山期中）如果，则 ．
11．（2023九上·禄劝开学考）当时，二次根式的值为 ．
12．（2021八下·合肥期末）阅读理解：对于任意正整数a，b，∵，∴，∴，只有当时，等号成立；结论：在（a、b均为正实数）中，只有当时，有最小值.若，有最小值为 ．
13．（2020八上·覃塘期末）我们在二次根式的化简过程中得知： ，…，则
三、解答题
14．阅读材料：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么这个三角形的面积为．这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式，中国秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术，故这个公式又被称为“海伦-秦九韶公式”．完成下列问题：如图，在中，，，．
（1）求的面积；
（2）过点A作，垂足为D、求线段的长．
15．（2023九上·苍南模拟）
（1）已知方程①+=，②++=3请判断这两个方程是否有解 并说明理由；
（2）已知+=2023，求的值。
四、计算题
16．（2019八下·博罗期中）阅读下列材料,然后回答问题:
在进行二次根式运算时,我们有时会碰上如 、 这样的式子,其实我们还可以将其进一步化简:
;
.
以上这种化简的步骤叫做分母有理化.
还可以用以下方法化简:
.
（1）请用两种方法化简 ;
（2）化简: .
五、综合题
17．（2023八下·东阳期末）已知二次根式．
（1）求使得该二次根式有意义的的取值范围；
（2）已知是最简二次根式，且与可以合并．
①求的值；
②求与的乘积．
18．（2023八下·呈贡期末）阅读材料：像，…这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．
例如：；．
解答下列问题：
（1）的有理化因式是 ，的有理化因式是 ．
（2）观察下面的变形规律，请你猜想： ．
，，…
（3）利用上面的方法，请化简：
．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、 ，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B、 ，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
C、 是最简二次根式，故本选项符合题意；
D、 ，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】 如果一个二次根式符合下列两个条件： 1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2、被开方数的因数是整数，因式是整式。那么，这个根式叫做最简二次根式。 根据最简二次根式的定义对每个选项一一判断即可。
2．【答案】A
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】∵∴ 与 ，是互为有理化因式，故A正确；
∵∴ 与 不是互为有理化因式，故B错误；
∵
∴ 与 不是互为有理化因式，故C错误；
∵
∴ 与 不是互为有理化因式，故D错误；
故答案为：A.
【分析】若两个含有二次根式的代数式相乘，乘积不含二次根式，则这两个含有二次根式的代数式叫做互为有理化因式。通过计算可知 的有理化因式。
3．【答案】A
【知识点】二次根式的应用
【解析】【解答】解：如图，作点关于y轴的对称点，
过点B作x轴的垂线，在此垂线上取一点C使，
∴，
连接，交y轴于D，
当点，N，M，C在同一条线上时，最小，最小值为，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
中，，
∴，
∴点，
∴的解析式为，
当时，则，
∴，
，，
∴点P运动花费的时间最短为．
故答案为：A.
【分析】先确定出当，N，M，C在同一条直线上时，点P运动时路程最短，最短为，再求直线的解析式，进而求出点M的坐标，利用直角三角形的性质进行计算．
4．【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法
【解析】【解答】解： ：①=4a2，正确，不符合题意；
②·，正确，不符合题意；
③由得a>0，因此，正确，不符合题意；
④，原计算错误，符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据二次根式的性质化简，根据二次根式的运算法则计算。
5．【答案】B
【知识点】无理数的估值；二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：
故答案为：B
【分析】根据二次根式的乘法法则即可求出答案.
6．【答案】B
【知识点】无理数的估值；二次根式的化简求值
【解析】【解答】
=
=
∵，
∴
故答案为B
【分析】本题考查根式的计算和估计无理数的大小。先化简算式，再估计无理数的大小，要注意，要先化成，再确定范围，不可用的范围×2，这样会造成范围的错误。
7．【答案】B
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：
故答案为：B.
【分析】把20分解成以2和10为因数的相乘形式，进而得到结果。
8．【答案】D
【知识点】平方根；二次根式的应用；近似数及有效数字；无理数的概念
【解析】【解答】解：A选项，是无理数，A选项不正确；
B选项， 16的平方根是±4， 即 ，B选项不正确；
C选项， 8.30万精确到百位，C选项不正确；
D选项，∵
∴a-2022=0，b+1=0
∴ a=2022，b=-1
∴
D选项正确；
故答案为：D.
【分析】A选项，利用分数的定义，分子分母为互质整数，得出结果；
B选项，利用平方根定义和符号表示，得出结果；
C选项，利用近似数的定义，得出结果；
D选项，利用代数式的非负性，得出结果。
9．【答案】
【知识点】分母有理化；二次根式的化简求值；解一元一次不等式
【解析】【解答】
解：
故答案为：
【分析】
先移项，合并同类项化为ax>b的形式，再求出解集。特别要注意移项时符号的变化，不等号方向的变化，及根式的化简。
10．【答案】
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：，
，
，
．
故答案为：．
【分析】根据二次根式的分母有理化可得的值，从而可得，再利用完全平方公式化简二次根式，代入计算即可．
11．【答案】
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：把x=-6代入中，
则
故答案为：4.
【分析】把x值代入二次根式求解即可。
12．【答案】3
【知识点】二次根式的应用
【解析】【解答】解：由题中结论可得
即：当时，有最小值为3，
故答案为：3．
【分析】将原式化为，然后根据题中材料所给结论，可得3，即可求解.
13．【答案】2019
【知识点】平方差公式及应用；分母有理化
【解析】【解答】
=( …+ )( )
=( )( )
=
=2019.
故答案为：2019
【分析】先利用分母有理化求出第一个括号内的值，再利用平方差公式即可得答案.
14．【答案】（1）解：∵，，
∴，
∴的面积；
（2）解：∵的面积，
∴，
∴．
【知识点】二次根式的应用
【解析】【分析】（1）根据“海伦”公式，结合二次根式的性质求解。把，，代入海伦”公式进行计算；
（2）根据三角形的面积公式，结合二次根式的运算求解。由的面积，再建立方程求解．
15．【答案】（1）解：理由是：①由x+2023≥0，x-2023≥0得x≥2023∵x≥2023，∴+的最小值为>，方程①无解
②由 x-2023≥0，x-2023≥0，x-2022≥0得x≥2024当x≥2024时，
++的最小值为+1<3，：方程有解
（2）解：+=2023 (1)
设=y (2)
由(1)×(2)得到：(3x+2023)-（3x-2023）=2023y∴y=2
【知识点】二次根式有意义的条件；二次根式的应用
【解析】【分析】(1)①x+2023与x-2023在有意义的前提下均为单调递增的表达式，因为被开方式为非负数，所以x+2023≥0，x-2023≥0得x≥2023，故x=2023时，x+2023+x-2023的最小值为>，方程①无解.
②x-2022+ x-2023+ x-2024同①理，有意义的前提下为单调递增的表达式，由x-2023≥0，x-2023≥0，x-2022≥0得x≥2024，故x=2024时，x-2022+ x-2023+ x-2024的最小值为2+1<3，方程②有解.
(2)由 3x+2023+3x-2023=2023，及所求代数式3x+2023-3x-2023的形式，很容易联想到平方差公式（a+b)(a-b)=a2-b2，于是3x+2023-3x-2023=y ，得(3x+2023)-（3x-2023）=2023y，y=2.
16．【答案】（1）解：原式＝
（2）解：原式= ；（2）
= =
=
=
【知识点】分母有理化
【解析】【分析】（1）根据材料的方法即可求解，（2）先把每一个加数进行分母有理化，再找出规律后面的第二项和前面的第一项抵消，得出答案.
17．【答案】（1）解：二次根式有意义，
，
解得；
（2）解：，
与能合并，并且是最简二次根式，
，
解得；
由可得．
【知识点】二次根式有意义的条件；二次根式的性质与化简；最简二次根式；二次根式的乘除法
【解析】【分析】(1)根据算术平方根的意义，二次根式根号内字母的取值范围必须满足被开方数大于或等于零.
(2)先化简 ，再根据最简二次根式的定义可知x+2=10，进而解得x的值；
先将x值代入算式，再进行二次根式的乘法运算.
18．【答案】（1）；或
（2）
（3）解：利用（2）中的规律，可得：
【知识点】二次根式的乘除法；分母有理化；二次根式的化简求值
【解析】【解答】（2）
【分析】 (1)、 根据题中所给的两种互为有理化因式的例子，可写出有理化因式；
(2)、运用平方差公式，可以把复杂的有理化过程变得简单：
(3) 运用 (2) 的结论，用具体数值代替字母，正常代换即可。
1 / 12023-2024学年人教版初中数学八年级下册16.2 二次根式的乘除 同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2021九上·洪洞期中）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、 ，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B、 ，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
C、 是最简二次根式，故本选项符合题意；
D、 ，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】 如果一个二次根式符合下列两个条件： 1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2、被开方数的因数是整数，因式是整式。那么，这个根式叫做最简二次根式。 根据最简二次根式的定义对每个选项一一判断即可。
2．（2023八上·黄浦期中）下列式子中，是的有理化因式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】∵∴ 与 ，是互为有理化因式，故A正确；
∵∴ 与 不是互为有理化因式，故B错误；
∵
∴ 与 不是互为有理化因式，故C错误；
∵
∴ 与 不是互为有理化因式，故D错误；
故答案为：A.
【分析】若两个含有二次根式的代数式相乘，乘积不含二次根式，则这两个含有二次根式的代数式叫做互为有理化因式。通过计算可知 的有理化因式。
3．（2023九上·衡阳月考）已知，在平面直角坐标系中点A、B的坐标分别为A（1，4），B（5，0）．点M、N分别为x轴、y轴上的两个动点．动点P从点A出发以1秒1个单位的速度沿A→N→M到点M，再以1秒个单位的速度从点M运动到点B后停止．则点P运动花费的时间最短为（ ）秒．
A．5 B．4 C．5 D．4
【答案】A
【知识点】二次根式的应用
【解析】【解答】解：如图，作点关于y轴的对称点，
过点B作x轴的垂线，在此垂线上取一点C使，
∴，
连接，交y轴于D，
当点，N，M，C在同一条线上时，最小，最小值为，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
中，，
∴，
∴点，
∴的解析式为，
当时，则，
∴，
，，
∴点P运动花费的时间最短为．
故答案为：A.
【分析】先确定出当，N，M，C在同一条直线上时，点P运动时路程最短，最短为，再求直线的解析式，进而求出点M的坐标，利用直角三角形的性质进行计算．
4．（2023八上·从江月考）小明的作业本上有以下四题：①=4a2；②·=5a；③a==；④÷=4.做错的题是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法
【解析】【解答】解： ：①=4a2，正确，不符合题意；
②·，正确，不符合题意；
③由得a>0，因此，正确，不符合题意；
④，原计算错误，符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据二次根式的性质化简，根据二次根式的运算法则计算。
5．（2023九上·朝阳月考）下列整数中与的结果最接近的是（ ）
A．3 B．4 C．9 D．18
【答案】B
【知识点】无理数的估值；二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：
故答案为：B
【分析】根据二次根式的乘法法则即可求出答案.
6．（2023九上·重庆市开学考） 若在两个相邻整数之间，则这两个整数是（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
【答案】B
【知识点】无理数的估值；二次根式的化简求值
【解析】【解答】
=
=
∵，
∴
故答案为B
【分析】本题考查根式的计算和估计无理数的大小。先化简算式，再估计无理数的大小，要注意，要先化成，再确定范围，不可用的范围×2，这样会造成范围的错误。
7．（2023九上·榆树开学考）已知a＝，b＝，用含a，b的代数式表示，这个代数式是（ ）
A．a+b B．ab C．2a D．2b
【答案】B
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：
故答案为：B.
【分析】把20分解成以2和10为因数的相乘形式，进而得到结果。
8．（2021七上·海曙期末）下列说法正确的是（ ）
A． 是分数 B．16的平方根是±4， 即
C．8.30万精确到百分位 D．若 ， 则
【答案】D
【知识点】平方根；二次根式的应用；近似数及有效数字；无理数的概念
【解析】【解答】解：A选项，是无理数，A选项不正确；
B选项， 16的平方根是±4， 即 ，B选项不正确；
C选项， 8.30万精确到百位，C选项不正确；
D选项，∵
∴a-2022=0，b+1=0
∴ a=2022，b=-1
∴
D选项正确；
故答案为：D.
【分析】A选项，利用分数的定义，分子分母为互质整数，得出结果；
B选项，利用平方根定义和符号表示，得出结果；
C选项，利用近似数的定义，得出结果；
D选项，利用代数式的非负性，得出结果。
二、填空题
9．（2023八上·奉贤期中）不等式的解集是 ．
【答案】
【知识点】分母有理化；二次根式的化简求值；解一元一次不等式
【解析】【解答】
解：
故答案为：
【分析】
先移项，合并同类项化为ax>b的形式，再求出解集。特别要注意移项时符号的变化，不等号方向的变化，及根式的化简。
10．（2023八上·金山期中）如果，则 ．
【答案】
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：，
，
，
．
故答案为：．
【分析】根据二次根式的分母有理化可得的值，从而可得，再利用完全平方公式化简二次根式，代入计算即可．
11．（2023九上·禄劝开学考）当时，二次根式的值为 ．
【答案】
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：把x=-6代入中，
则
故答案为：4.
【分析】把x值代入二次根式求解即可。
12．（2021八下·合肥期末）阅读理解：对于任意正整数a，b，∵，∴，∴，只有当时，等号成立；结论：在（a、b均为正实数）中，只有当时，有最小值.若，有最小值为 ．
【答案】3
【知识点】二次根式的应用
【解析】【解答】解：由题中结论可得
即：当时，有最小值为3，
故答案为：3．
【分析】将原式化为，然后根据题中材料所给结论，可得3，即可求解.
13．（2020八上·覃塘期末）我们在二次根式的化简过程中得知： ，…，则
【答案】2019
【知识点】平方差公式及应用；分母有理化
【解析】【解答】
=( …+ )( )
=( )( )
=
=2019.
故答案为：2019
【分析】先利用分母有理化求出第一个括号内的值，再利用平方差公式即可得答案.
三、解答题
14．阅读材料：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么这个三角形的面积为．这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式，中国秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术，故这个公式又被称为“海伦-秦九韶公式”．完成下列问题：如图，在中，，，．
（1）求的面积；
（2）过点A作，垂足为D、求线段的长．
【答案】（1）解：∵，，
∴，
∴的面积；
（2）解：∵的面积，
∴，
∴．
【知识点】二次根式的应用
【解析】【分析】（1）根据“海伦”公式，结合二次根式的性质求解。把，，代入海伦”公式进行计算；
（2）根据三角形的面积公式，结合二次根式的运算求解。由的面积，再建立方程求解．
15．（2023九上·苍南模拟）
（1）已知方程①+=，②++=3请判断这两个方程是否有解 并说明理由；
（2）已知+=2023，求的值。
【答案】（1）解：理由是：①由x+2023≥0，x-2023≥0得x≥2023∵x≥2023，∴+的最小值为>，方程①无解
②由 x-2023≥0，x-2023≥0，x-2022≥0得x≥2024当x≥2024时，
++的最小值为+1<3，：方程有解
（2）解：+=2023 (1)
设=y (2)
由(1)×(2)得到：(3x+2023)-（3x-2023）=2023y∴y=2
【知识点】二次根式有意义的条件；二次根式的应用
【解析】【分析】(1)①x+2023与x-2023在有意义的前提下均为单调递增的表达式，因为被开方式为非负数，所以x+2023≥0，x-2023≥0得x≥2023，故x=2023时，x+2023+x-2023的最小值为>，方程①无解.
②x-2022+ x-2023+ x-2024同①理，有意义的前提下为单调递增的表达式，由x-2023≥0，x-2023≥0，x-2022≥0得x≥2024，故x=2024时，x-2022+ x-2023+ x-2024的最小值为2+1<3，方程②有解.
(2)由 3x+2023+3x-2023=2023，及所求代数式3x+2023-3x-2023的形式，很容易联想到平方差公式（a+b)(a-b)=a2-b2，于是3x+2023-3x-2023=y ，得(3x+2023)-（3x-2023）=2023y，y=2.
四、计算题
16．（2019八下·博罗期中）阅读下列材料,然后回答问题:
在进行二次根式运算时,我们有时会碰上如 、 这样的式子,其实我们还可以将其进一步化简:
;
.
以上这种化简的步骤叫做分母有理化.
还可以用以下方法化简:
.
（1）请用两种方法化简 ;
（2）化简: .
【答案】（1）解：原式＝
（2）解：原式= ；（2）
= =
=
=
【知识点】分母有理化
【解析】【分析】（1）根据材料的方法即可求解，（2）先把每一个加数进行分母有理化，再找出规律后面的第二项和前面的第一项抵消，得出答案.
五、综合题
17．（2023八下·东阳期末）已知二次根式．
（1）求使得该二次根式有意义的的取值范围；
（2）已知是最简二次根式，且与可以合并．
①求的值；
②求与的乘积．
【答案】（1）解：二次根式有意义，
，
解得；
（2）解：，
与能合并，并且是最简二次根式，
，
解得；
由可得．
【知识点】二次根式有意义的条件；二次根式的性质与化简；最简二次根式；二次根式的乘除法
【解析】【分析】(1)根据算术平方根的意义，二次根式根号内字母的取值范围必须满足被开方数大于或等于零.
(2)先化简 ，再根据最简二次根式的定义可知x+2=10，进而解得x的值；
先将x值代入算式，再进行二次根式的乘法运算.
18．（2023八下·呈贡期末）阅读材料：像，…这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．
例如：；．
解答下列问题：
（1）的有理化因式是 ，的有理化因式是 ．
（2）观察下面的变形规律，请你猜想： ．
，，…
（3）利用上面的方法，请化简：
．
【答案】（1）；或
（2）
（3）解：利用（2）中的规律，可得：
【知识点】二次根式的乘除法；分母有理化；二次根式的化简求值
【解析】【解答】（2）
【分析】 (1)、 根据题中所给的两种互为有理化因式的例子，可写出有理化因式；
(2)、运用平方差公式，可以把复杂的有理化过程变得简单：
(3) 运用 (2) 的结论，用具体数值代替字母，正常代换即可。
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