2023-2024学年人教版初中数学八年级下册16.3 二次根式的加减 同步分层训练基础题
一、选择题
1．（2019八下·璧山期中）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．最简二次根式 与 是能够合并的二次根式，则x的值为（ ）
A．1 B．﹣2 C．﹣1 D．0
3．（2023八上·长清期中）下列式子正确的是（ ）
A． B．（-3）2＝-32
C． D．
4．（2023八上·石家庄期中）陈老师在黑板上写了一个式子：，“□”中的运算符号没有给出，如果要求运算结果是有理数，那么“□”中的运算符号可能是（ ）
A．+或× B．×或÷ C．+或- D．-或÷
5．（2023·临沂）设，则实数m所在的范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023九上·长沙期中）下列各运算中，正确的运算是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2020八下·长葛期中）下列二次根式：① ；② ；③ ；④ 中，能与 合并的是（ ）
A．①② B．②③ C．①④ D．③④
8．（2023八上·天桥期中）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2023八上·闵行期中）计算：= ．
10．（2023八上·上海市期中）若最简二次根式与是同类二次根式，则 ．
11．（2023八上·金山期中）如果和是同类二次根式，那么 （只需写一个）．
12．（2023八上·成都期中）化简的结果是 ．
13．（2023八上·闵行期中）不等式的解集是 .
三、解答题
14．（2023九上·贵阳期中）已知矩形的长，宽.
（1）求矩形的周长；
（2）求与矩形等面积的正方形的周长，并比较与矩形周长的大小关系．
15．（2023八上·栾城期中）有一块矩形木板，木工采用如图的方式，在木板上截出两个面积分别为18dm2和32dm2的正方形木板．
（1）截出的两块正方形木料的边长分别为 ．
（2）求剩余木料的面积．
（3）如果木工想从剩余的木料中截出长为1.5dm，宽为1dm的长方形木条，最多能截出多少块这样的木条．
四、计算题
16．（2023九上·贵阳期中）已知.
求：
（1）a2b＋ab2的值；
（2）求的值.
五、综合题
17．（2023八下·澄海期末）已知，，求下列代数式的值：
（1）；
（2）．
18．（2023八下·中阳期末）
（1）计算：．
（2）下面是小华同学解答题目的过程，请认真阅读并完成相应任务．
计算：．
解：原式第一步
第二步
第三步
任务一：以上步骤中，从第 ▲ 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ▲ ．
任务二：请写出正确的计算过程．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法
【解析】【解答】A. 与 不是同类项，不能合并，故不符合题意；
B. = ，故不符合题意；
C. = = ，故符合题意；
D. ，故不符合题意。
故答案为：C.
【分析】（1）根据二次根式的加减法则，同类二次根式才能合并，而不是同类二次根式，不能合并；
（2）根据二次根式的性质，先将带分数化成假分数，然后再根据化简即可；
（3）由题意先将化简，再合并同类二次根式即可求解；
（4）根据二次根式的双重非负性可求解，即原式=-2.
2．【答案】A
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】
解：∵最简二次根式 与 是能够合并的二次根式
∴ 2+x=5-2x
整理得：3x=3
解得：x=1
故答案为：A.
【分析】本题考查同类二次根式，把二次根式化成最简后，被开方数相同的二次根式是同类二次根式，据此可得2+x=5-2x，求解即可。
3．【答案】D
【知识点】算术平方根；二次根式的乘除法；二次根式的加减法；有理数的乘方法则
【解析】【解答】A、∵，∴A不正确，不符合题意；
B、∵（-3）2＝32 ，∴B不正确，不符合题意；
C、∵，∴C不正确，不符合题意；
D、∵，∴D正确，符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用算式平方根、有理数的乘方、二次根式的减法及二次根式的乘法的计算方法逐项分析判断即可.
4．【答案】A
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：观察两个括号，可以发现：和相乘，能够利用平方差公式，结果是有理数，排除C和D，由于与互为相反数，相加，和为0，是有理数，排除B和D。
故答案为：A。
【分析】根据二次根式运算法则，结合平方差公式和相反数的性质求解。
5．【答案】B
【知识点】无理数的大小比较；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：由题意可得： ，
∵，
∴，
∴，
故答案为：B.
【分析】根据题意先求出，再求出，最后求解即可。
6．【答案】A
【知识点】同底数幂的除法；完全平方公式及运用；二次根式的加减法；积的乘方
【解析】【解答】解：A：故A正确，符合题意；B：，不能直接相加减，故B错误，不符合题意；C：故C错误，不符合题意；D：故D错误，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】利用积的乘方、合并同类二次根式法则、同底数幂的除法法则、完全平方公式进行逐一判断即可求解.
7．【答案】C
【知识点】最简二次根式；同类二次根式
【解析】【解答】解：①② 不能化简，③④
与 是同类二次根式，能合并，
故答案为：C.
【分析】先将各二次根式化成最简二次根式，可得到与合并的二次根式，由此可得答案.
8．【答案】C
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】A、∵不是同类二次根式，∴A不正确，不符合题意；
B、∵，∴B不正确，不符合题意；
C、∵，∴C正确，符合题意；
D、∵，∴D不正确，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用二次根式的乘除法及二次根式的加减法逐项分析求解即可.
9．【答案】
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】解：
故答案为： .
【分析】先将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式．
10．【答案】1
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解：∵最简二次根式与是同类二次根式，
∴，
∴，
故答案为：1。
【分析】利用同类二次根式的定义列出关于a的方程，解方程即可得出结论．
11．【答案】（答案不唯一）
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解：∵，和是同类二次根式，
∴，
解得：，
故答案为：（答案不唯一）．
【分析】根据同类二次根式的定义列式计算，熟练掌握其定义是解题的关键，本题答案不唯一，符合题意即可．
12．【答案】1
【知识点】二次根式有意义的条件；二次根式的混合运算；二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：由题意可知x的取值范围为x2，
所以，原式=-（x-2）=x-1-x+2=1。
故答案为：1.
【分析】仔细观察题目可知x的取值范围，然后再去化简原式即可。注意根据x的取值范围来去除绝对值符号。
13．【答案】
【知识点】二次根式的混合运算；不等式的解及解集；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：
∴
故答案为.
【分析】根据一元一次不等式的解法，结合二次根式的混合运算求解。按照解不等式的步骤，先移项，再合并同类项，系数化为1，最后对结果进行化简即可.
14．【答案】（1）解： 矩形的周长=
（2）解：该矩形面积为
与该矩形等面积的正方形的边长为2，
与该矩形等面积的正方形的周长为8，
矩形的周长，
正方形的周长<矩形的周长，
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的应用
【解析】【分析】(1)利用矩形的周长公式结合已知条件进行化简即可求解；
（2）根据已知条件求和求出与矩形等面积的正方形的周长，并与矩形的周长作比较，即可求解.
15．【答案】（1），
（2）解：根据题意得：矩形的长为，宽为，
∴剩余木料的面积；
（3）解：根据题意得：从剩余的木料的长为，宽为，
∵，，
∴能截出2×1＝2块这样的木条．
【知识点】平方根；二次根式的应用
【解析】【解答】（1）小正方形的边长为dm；大正方形的边长为dm，
故答案为：；.
【分析】（1）利用正方形的面积及平方根的计算方法求出正方形的边长即可；
（2）先求出矩形的长和宽，再利用矩形的面积公式求解即可；
（3）先求出剩余木料的长和宽，再求解即可.
16．【答案】（1）解：由题意可得ab＝1，a＋b＝2
a2b＋ab2＝ab（a＋b）＝2
（2）解：6
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】（1） 由题意可得ab＝1，a＋b＝，
a2b＋ab2＝ab（a＋b）＝1，
（2）
将 ab＝1，a＋b＝，代入得
【分析】（1）根据已知条件求得 ab＝1，a＋b＝ ，再将代数式 a2b＋ab2 进行变形代入即可求解；
（2）将进行通分变形，将ab＝1，a＋b＝，代入化简即可求解.
17．【答案】（1）解：∵，，
∴，
，
∴．
（2）解：∵，，
∴
．
【知识点】平方差公式及应用；分式的通分；二次根式的加减法
【解析】【分析】（1）根据二次根式的加减法法则可得x+y、x-y的值，然后根据x2-y2=(x+y)(x-y)进行计算；
（2）利用平方差公式求出xy的值，对待求式通分可得== ，然后代入进行计算.
18．【答案】（1）解：
（2）解：任务一：一；乘除混合运算时，未按照从左到右顺序依次计算；
任务二：
．
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【分析】（1）先化简二次根式，再合并同类二次根式即可；
（2）任务一：根据混合运算的顺序可判断得出第一步开始出现错误；任务二：先把乘除运算统一成乘法运算，然后按照先算乘法，再算加减的顺序，进行计算即可。
1 / 12023-2024学年人教版初中数学八年级下册16.3 二次根式的加减 同步分层训练基础题
一、选择题
1．（2019八下·璧山期中）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法
【解析】【解答】A. 与 不是同类项，不能合并，故不符合题意；
B. = ，故不符合题意；
C. = = ，故符合题意；
D. ，故不符合题意。
故答案为：C.
【分析】（1）根据二次根式的加减法则，同类二次根式才能合并，而不是同类二次根式，不能合并；
（2）根据二次根式的性质，先将带分数化成假分数，然后再根据化简即可；
（3）由题意先将化简，再合并同类二次根式即可求解；
（4）根据二次根式的双重非负性可求解，即原式=-2.
2．最简二次根式 与 是能够合并的二次根式，则x的值为（ ）
A．1 B．﹣2 C．﹣1 D．0
【答案】A
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】
解：∵最简二次根式 与 是能够合并的二次根式
∴ 2+x=5-2x
整理得：3x=3
解得：x=1
故答案为：A.
【分析】本题考查同类二次根式，把二次根式化成最简后，被开方数相同的二次根式是同类二次根式，据此可得2+x=5-2x，求解即可。
3．（2023八上·长清期中）下列式子正确的是（ ）
A． B．（-3）2＝-32
C． D．
【答案】D
【知识点】算术平方根；二次根式的乘除法；二次根式的加减法；有理数的乘方法则
【解析】【解答】A、∵，∴A不正确，不符合题意；
B、∵（-3）2＝32 ，∴B不正确，不符合题意；
C、∵，∴C不正确，不符合题意；
D、∵，∴D正确，符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用算式平方根、有理数的乘方、二次根式的减法及二次根式的乘法的计算方法逐项分析判断即可.
4．（2023八上·石家庄期中）陈老师在黑板上写了一个式子：，“□”中的运算符号没有给出，如果要求运算结果是有理数，那么“□”中的运算符号可能是（ ）
A．+或× B．×或÷ C．+或- D．-或÷
【答案】A
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：观察两个括号，可以发现：和相乘，能够利用平方差公式，结果是有理数，排除C和D，由于与互为相反数，相加，和为0，是有理数，排除B和D。
故答案为：A。
【分析】根据二次根式运算法则，结合平方差公式和相反数的性质求解。
5．（2023·临沂）设，则实数m所在的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】无理数的大小比较；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：由题意可得： ，
∵，
∴，
∴，
故答案为：B.
【分析】根据题意先求出，再求出，最后求解即可。
6．（2023九上·长沙期中）下列各运算中，正确的运算是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】同底数幂的除法；完全平方公式及运用；二次根式的加减法；积的乘方
【解析】【解答】解：A：故A正确，符合题意；B：，不能直接相加减，故B错误，不符合题意；C：故C错误，不符合题意；D：故D错误，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】利用积的乘方、合并同类二次根式法则、同底数幂的除法法则、完全平方公式进行逐一判断即可求解.
7．（2020八下·长葛期中）下列二次根式：① ；② ；③ ；④ 中，能与 合并的是（ ）
A．①② B．②③ C．①④ D．③④
【答案】C
【知识点】最简二次根式；同类二次根式
【解析】【解答】解：①② 不能化简，③④
与 是同类二次根式，能合并，
故答案为：C.
【分析】先将各二次根式化成最简二次根式，可得到与合并的二次根式，由此可得答案.
8．（2023八上·天桥期中）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】A、∵不是同类二次根式，∴A不正确，不符合题意；
B、∵，∴B不正确，不符合题意；
C、∵，∴C正确，符合题意；
D、∵，∴D不正确，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用二次根式的乘除法及二次根式的加减法逐项分析求解即可.
二、填空题
9．（2023八上·闵行期中）计算：= ．
【答案】
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】解：
故答案为： .
【分析】先将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式．
10．（2023八上·上海市期中）若最简二次根式与是同类二次根式，则 ．
【答案】1
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解：∵最简二次根式与是同类二次根式，
∴，
∴，
故答案为：1。
【分析】利用同类二次根式的定义列出关于a的方程，解方程即可得出结论．
11．（2023八上·金山期中）如果和是同类二次根式，那么 （只需写一个）．
【答案】（答案不唯一）
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解：∵，和是同类二次根式，
∴，
解得：，
故答案为：（答案不唯一）．
【分析】根据同类二次根式的定义列式计算，熟练掌握其定义是解题的关键，本题答案不唯一，符合题意即可．
12．（2023八上·成都期中）化简的结果是 ．
【答案】1
【知识点】二次根式有意义的条件；二次根式的混合运算；二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：由题意可知x的取值范围为x2，
所以，原式=-（x-2）=x-1-x+2=1。
故答案为：1.
【分析】仔细观察题目可知x的取值范围，然后再去化简原式即可。注意根据x的取值范围来去除绝对值符号。
13．（2023八上·闵行期中）不等式的解集是 .
【答案】
【知识点】二次根式的混合运算；不等式的解及解集；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：
∴
故答案为.
【分析】根据一元一次不等式的解法，结合二次根式的混合运算求解。按照解不等式的步骤，先移项，再合并同类项，系数化为1，最后对结果进行化简即可.
三、解答题
14．（2023九上·贵阳期中）已知矩形的长，宽.
（1）求矩形的周长；
（2）求与矩形等面积的正方形的周长，并比较与矩形周长的大小关系．
【答案】（1）解： 矩形的周长=
（2）解：该矩形面积为
与该矩形等面积的正方形的边长为2，
与该矩形等面积的正方形的周长为8，
矩形的周长，
正方形的周长<矩形的周长，
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的应用
【解析】【分析】(1)利用矩形的周长公式结合已知条件进行化简即可求解；
（2）根据已知条件求和求出与矩形等面积的正方形的周长，并与矩形的周长作比较，即可求解.
15．（2023八上·栾城期中）有一块矩形木板，木工采用如图的方式，在木板上截出两个面积分别为18dm2和32dm2的正方形木板．
（1）截出的两块正方形木料的边长分别为 ．
（2）求剩余木料的面积．
（3）如果木工想从剩余的木料中截出长为1.5dm，宽为1dm的长方形木条，最多能截出多少块这样的木条．
【答案】（1），
（2）解：根据题意得：矩形的长为，宽为，
∴剩余木料的面积；
（3）解：根据题意得：从剩余的木料的长为，宽为，
∵，，
∴能截出2×1＝2块这样的木条．
【知识点】平方根；二次根式的应用
【解析】【解答】（1）小正方形的边长为dm；大正方形的边长为dm，
故答案为：；.
【分析】（1）利用正方形的面积及平方根的计算方法求出正方形的边长即可；
（2）先求出矩形的长和宽，再利用矩形的面积公式求解即可；
（3）先求出剩余木料的长和宽，再求解即可.
四、计算题
16．（2023九上·贵阳期中）已知.
求：
（1）a2b＋ab2的值；
（2）求的值.
【答案】（1）解：由题意可得ab＝1，a＋b＝2
a2b＋ab2＝ab（a＋b）＝2
（2）解：6
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】（1） 由题意可得ab＝1，a＋b＝，
a2b＋ab2＝ab（a＋b）＝1，
（2）
将 ab＝1，a＋b＝，代入得
【分析】（1）根据已知条件求得 ab＝1，a＋b＝ ，再将代数式 a2b＋ab2 进行变形代入即可求解；
（2）将进行通分变形，将ab＝1，a＋b＝，代入化简即可求解.
五、综合题
17．（2023八下·澄海期末）已知，，求下列代数式的值：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：∵，，
∴，
，
∴．
（2）解：∵，，
∴
．
【知识点】平方差公式及应用；分式的通分；二次根式的加减法
【解析】【分析】（1）根据二次根式的加减法法则可得x+y、x-y的值，然后根据x2-y2=(x+y)(x-y)进行计算；
（2）利用平方差公式求出xy的值，对待求式通分可得== ，然后代入进行计算.
18．（2023八下·中阳期末）
（1）计算：．
（2）下面是小华同学解答题目的过程，请认真阅读并完成相应任务．
计算：．
解：原式第一步
第二步
第三步
任务一：以上步骤中，从第 ▲ 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ▲ ．
任务二：请写出正确的计算过程．
【答案】（1）解：
（2）解：任务一：一；乘除混合运算时，未按照从左到右顺序依次计算；
任务二：
．
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【分析】（1）先化简二次根式，再合并同类二次根式即可；
（2）任务一：根据混合运算的顺序可判断得出第一步开始出现错误；任务二：先把乘除运算统一成乘法运算，然后按照先算乘法，再算加减的顺序，进行计算即可。
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