2023-2024学年人教版初中数学八年级下册16.3 二次根式的加减 同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2023·大连）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023八上·长清期中）如图所示，A（2，0），AB＝3，以点A为圆心，AB长为半径画弧交x轴负半轴于点C，则点C的坐标为（ ）
A．（3，0） B．（，0） C．（-，0） D．（-3，0）
3．下列计算错误的是（ ）
A．= B．+= C． D．
4．（2023九上·威远期中）若二次根式与可以合并，则的值可以是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．2
5．下列关于的叙述中，正确的是（ ）
A．在数轴上不存在表示的点 B．=
C．= D．与最接近的整数是-3
6．（2023七下·江岸期末）若一正方体的表面积为，则此正方体的棱长为（ ）
A． B． C． D．
7．（2020九下·德州期中）已知 ， ， 表示取三个数中最大的那个数﹒例如：当 ， ， ， = ， ， =81﹒当 ， ， = 时，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
8．（湘教版八年级数学上册第五章 二次根式 单元检测卷）下列各实数中最大的一个是（ ）
A．5× B． C． D． +
二、填空题
9．（2017·安阳模拟）计算： = ．
10．（2022八上·郓城月考）与最简二次根式3是同类二次根式，则a＝ ．
11．（2022八上·济南期中）若最简二次根式与是同类根式，则2a-b＝ ．
12．（2018七下·浦东期中）设m、x、y均为正整数，且 ，则（x+y+m） = .
13．（2019八上·浦东月考）已知a、b是正整数，如果有序数对(a, b)能使得2 的值也是整数，那么称（a,b）是2 的一个“理想数对”。如（1，1）使得2 =4，（4，4）使得2 所以（1,1）和（4，4）都是2 的“理想数对”，请你再写出一个2 的“理想数对”： .
三、解答题
14．（2023八上·济阳期中）观察：
==
==
（1）化简：①= ；
②= ；
（2）比较大小： ；
（3）计算：+++...+.
15．（2023八上·竞秀月考）先阅读下列的解答过程，然后作答：
形如的化简，只要我们找到两个数a、b使，，这样，，那么便有例如：化简
解：首先把化为，这里，；
由于，，即，，
由上述例题的方法化简：
（1）；
（2）；
（3）.
四、计算题
16．（2023八上·成都期中）计算：
（1）；
（2）
五、综合题
17．（2023八下·余干期末）阅读理解材料：把分母中的根号化掉叫做分母有理化，例如：①；②等运算都是分母有理化．
根据上述材料，
（1）化简：；
（2）化简：；
（3）计算：．
18．（2023八下·江北期中）阅读材料：小敏在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方．
例如：3＋2＝（1＋）2，善于思考的小敏进行了以下探索：
当a、b、m、n均为整数时，若a＋b＝（m＋n）2，则有a＋b＝m2＋2n2＋2mn．
a＝m2＋2n2，b＝2mn．这样小敏就找到了一种把类似a＋b的式子化为平方式的方法．
请你仿照小敏的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为整数时，若，用含mn的式子分别表示a、b，则：a＝ ，b＝ ；
（2）若a＋6＝（m＋n）2，且a、m、n均为正整数，求a的值；
（3）直接写出式子化简的结果．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】零指数幂；二次根式的性质与化简；二次根式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：A、()0=1，故错误；
B、，故错误；
C、，故错误；
D、，故正确.
故答案为：D.
【分析】根据0指数幂的运算性质可判断A；根据二次根式的加法法则可判断B；根据二次根式的性质可判断C；根据二次根式的混合运算法则可判断D.
2．【答案】C
【知识点】二次根式的加减法；点的坐标
【解析】【解答】根据题意可得：AB=AC=，
∵点A的坐标为（，0），
∴OA=，
∴CO=AC-OA=-=，
∴点C的坐标为（，0），
故答案为：C.
【分析】先利用线段的和差求出OC的长，再利用x轴负半轴上点坐标的特征求出点C的坐标即可.
3．【答案】B
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：A、原式==，所以A选项的计算正确；
B、与不能合并，所以B选项的计算错误；
C、原式==3，所以C选项的计算正确；
D、原式=2，所以D选项的计算正确．
故选B．
【分析】根据二次根式的乘法法则对A进行判断；根据二次根式的加减法对B进行判断；根据二次根式的除法法则对C进行判断；根据二次根式的性质对D进行判断．
4．【答案】B
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】
解：A：当a=6时，4a-2=22，不是同类根式，不能合并，A不符合；
B：当a=5时，4a-2=18，是同类根式，可以合并，B符合；
C：当a=4时，4a-2=14，不是同类根式，不能合并，C不符合；
D：当a=2时，4a-2=6，不是同类根式，不能合并，D不符合。
故答案为：B
【分析】能够合并，说明两个根式是同类根式，两根式化简后被开方数是相同的。把各选项中的数据代入进行计算判断即可。
5．【答案】D
【知识点】无理数在数轴上表示；无理数的估值；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：实数与数轴上的点一 一对应，故选项A错误；
、不是同类二次根式，无法合并，故选项B、C错误；
，
，
∴
，
与最接近的整数是-3，故选项D正确.
故答案为：D.
【分析】实数与数轴上的点一 一对应，据此判断A选项；二次根式的加减法，就是将各个二次根式化为最简二次根式，再将被开方数完全相同的二次根式象合并同类项一样进行合并即可，但被开方数不完全相同的几个最简二次根式是不能合并的，据此可判断B、C选项；被开方数的值越大，对应的算术平方根的值也越大，据此可估算出的范围，进而再根据不等式的性质找出-的范围，从而即可判断D选项.
6．【答案】A
【知识点】二次根式的应用
【解析】【解答】解：设正方体的棱长为a，
∵正方体的表面积为，
∴6a2=18，
解得(负值舍去)
故答案为：A.
【分析】根据正方体的表面积列出关于棱长的方程求解.
7．【答案】B
【知识点】二次根式的应用
【解析】【解答】解：当 ， ， = 时，
若 ，解得：x= ，此时 ，此时符合题意；
若 ，解得：x= ，此时 ，此时不符合题意；
若x= ，此时 ，此时不符合题意，
综上，x= ，
故答案为：B.
【分析】直接利用已知分别分析得出正确的答案．
8．【答案】C
【知识点】二次根式的应用
【解析】【解答】解：A中5× = = ＜1；
B中∵π=3.14159＞3.141，
∴ ＜1；
C中 = = = （ -1）＞1；
D中∵ ＜ =0.25，
∴2 ＜0.5，
∴0.3+2 +0.2＜1，即（ + ）2＜1，
∴ + ＜1．
故答案为：C
【分析】先利用将根号外因式移到根号内、分母有理化、放缩法、平方法对各选项进行判断，据此即可答案。
9．【答案】2
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：原式= = =2．
故答案为：2．
【分析】先将各个二次根式化简，再进行运算就可求出结果。
10．【答案】4
【知识点】最简二次根式；同类二次根式
【解析】【解答】
∵与最简二次根式3是同类二次根式
∴ a-2=2
解得a=4
故答案为4
【分析】本题考查同类二次根式。 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。根据与最简二次根式3是同类二次根式可知 a-2=2，可得a=4.
11．【答案】9
【知识点】最简二次根式；同类二次根式
【解析】【解答】解：∵最简二次根式与是同类根式，
∴2a-4＝2，3a+b＝a-b，
解得：a＝3，b＝-3．
∴2a-b＝2×3-（-3）＝9．
故答案为：9．
【分析】根据同类二次根式和最简二次根式的定义可得2a-4＝2，3a+b＝a-b，再求出a、b的值，最后将a、b的值代入2a-b计算即可。
12．【答案】256
【知识点】二次根式的应用
【解析】【解答】两边同时平方得： ，又因为m、x、y均为正整数，所以： ， ；所以 ，又因为 ，即 ；所以 ；所以 =8；所以
所以答案为：256
【分析】等式两边分别完全平方，然后观察两边代数式，无理数部分相等，有理数部分相等，据此列方程组求解即可
13．【答案】（1，4）（此题答案不唯一，见详解）
【知识点】二次根式的应用
【解析】【解答】当a=1，b=4时，
2
故成立，
所以答案可以是：（1，4）.
此题答案也可以为（4，1）.
【分析】因为2 的值也是整数，所以要使 、 开的尽，所以a、b必须是一个整数的平方，因为2 的值也是整数， 的化简结果应无分母或者分母为2.
14．【答案】（1）；
（2）<
（3）解：+++...+.
=－1+++...+
=－1
【知识点】分母有理化；二次根式的混合运算
【解析】【解答】（1）①；
②，
故答案为：；；
（2）∵（-）-（-）=--+<0，
∴-<-，
故答案为：<.
【分析】（1）利用二次根式分母有理化的计算方法分析求解即可；
（2）利用作差法分析求解即可；
（3）先利用二次根式分母有理化的计算方法化简，再计算即可.
15．【答案】（1）解：；
（2）解：
（3）解：
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的化简求值
【解析】【分析】（1）根据定义的新运算，化简式子即可；
（2）同理，利用规律化简即可；
（3）根据化简的规律化简即可。
16．【答案】（1）解：原式＝
＝﹣×5
＝﹣
（2）解：原式＝﹣2﹣（﹣1）﹣2×1
＝﹣2﹣+1﹣2
＝﹣3﹣．
【知识点】二次根式的混合运算；二次根式的化简求值
【解析】【分析】（1）计算时可先把不带根号的数进行运算，然后把相同根号的数放到一个根号里面进行运算。
（2）根式要化简为最简二次根式后进行计算。注意负数次幂和0次幂的运算。
17．【答案】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
．
【知识点】平方差公式及应用；分母有理化；二次根式的混合运算
【解析】【分析】应用类比模仿的数学思想学习二次根式化简之分母有理化的方法，一类分母只含一个二次根式，第二类是分母是二次根式的和或差。第一类利用分数的基本性质，分子和分母同乘以该二次根式即可，利用达到分母去根号的目的；第二类利用分数的基本性质分子和分母同乘以分母的有理化因式，利用达到分母去根号的目的。（分母不含二次根式）。
18．【答案】（1）|
（2）解：∵，
，
，
∵a、m、n均为正整数，
∴或，
∴a=16或a=64；
（3）
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的应用
【解析】【解答】（1）
∴ a=，b=2mn
（3）根据（2）方法，则有，则 ，可得m=5，n=2，则
【分析】本题考查材料题新定义。
（1）根据题干可知解题方法，把完全平方展开，等号两边对应项相等可得答案。
（2） a＋6＝（m＋n）2， 将等号右边展开之后，得，a、m、n均为正整数， 可知道，m=3或1，n=1或3，则a=16或64.
（3）依照（2）中方法，可得化简结果。注意.
1 / 12023-2024学年人教版初中数学八年级下册16.3 二次根式的加减 同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2023·大连）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】零指数幂；二次根式的性质与化简；二次根式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：A、()0=1，故错误；
B、，故错误；
C、，故错误；
D、，故正确.
故答案为：D.
【分析】根据0指数幂的运算性质可判断A；根据二次根式的加法法则可判断B；根据二次根式的性质可判断C；根据二次根式的混合运算法则可判断D.
2．（2023八上·长清期中）如图所示，A（2，0），AB＝3，以点A为圆心，AB长为半径画弧交x轴负半轴于点C，则点C的坐标为（ ）
A．（3，0） B．（，0） C．（-，0） D．（-3，0）
【答案】C
【知识点】二次根式的加减法；点的坐标
【解析】【解答】根据题意可得：AB=AC=，
∵点A的坐标为（，0），
∴OA=，
∴CO=AC-OA=-=，
∴点C的坐标为（，0），
故答案为：C.
【分析】先利用线段的和差求出OC的长，再利用x轴负半轴上点坐标的特征求出点C的坐标即可.
3．下列计算错误的是（ ）
A．= B．+= C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：A、原式==，所以A选项的计算正确；
B、与不能合并，所以B选项的计算错误；
C、原式==3，所以C选项的计算正确；
D、原式=2，所以D选项的计算正确．
故选B．
【分析】根据二次根式的乘法法则对A进行判断；根据二次根式的加减法对B进行判断；根据二次根式的除法法则对C进行判断；根据二次根式的性质对D进行判断．
4．（2023九上·威远期中）若二次根式与可以合并，则的值可以是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．2
【答案】B
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】
解：A：当a=6时，4a-2=22，不是同类根式，不能合并，A不符合；
B：当a=5时，4a-2=18，是同类根式，可以合并，B符合；
C：当a=4时，4a-2=14，不是同类根式，不能合并，C不符合；
D：当a=2时，4a-2=6，不是同类根式，不能合并，D不符合。
故答案为：B
【分析】能够合并，说明两个根式是同类根式，两根式化简后被开方数是相同的。把各选项中的数据代入进行计算判断即可。
5．下列关于的叙述中，正确的是（ ）
A．在数轴上不存在表示的点 B．=
C．= D．与最接近的整数是-3
【答案】D
【知识点】无理数在数轴上表示；无理数的估值；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：实数与数轴上的点一 一对应，故选项A错误；
、不是同类二次根式，无法合并，故选项B、C错误；
，
，
∴
，
与最接近的整数是-3，故选项D正确.
故答案为：D.
【分析】实数与数轴上的点一 一对应，据此判断A选项；二次根式的加减法，就是将各个二次根式化为最简二次根式，再将被开方数完全相同的二次根式象合并同类项一样进行合并即可，但被开方数不完全相同的几个最简二次根式是不能合并的，据此可判断B、C选项；被开方数的值越大，对应的算术平方根的值也越大，据此可估算出的范围，进而再根据不等式的性质找出-的范围，从而即可判断D选项.
6．（2023七下·江岸期末）若一正方体的表面积为，则此正方体的棱长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次根式的应用
【解析】【解答】解：设正方体的棱长为a，
∵正方体的表面积为，
∴6a2=18，
解得(负值舍去)
故答案为：A.
【分析】根据正方体的表面积列出关于棱长的方程求解.
7．（2020九下·德州期中）已知 ， ， 表示取三个数中最大的那个数﹒例如：当 ， ， ， = ， ， =81﹒当 ， ， = 时，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式的应用
【解析】【解答】解：当 ， ， = 时，
若 ，解得：x= ，此时 ，此时符合题意；
若 ，解得：x= ，此时 ，此时不符合题意；
若x= ，此时 ，此时不符合题意，
综上，x= ，
故答案为：B.
【分析】直接利用已知分别分析得出正确的答案．
8．（湘教版八年级数学上册第五章 二次根式 单元检测卷）下列各实数中最大的一个是（ ）
A．5× B． C． D． +
【答案】C
【知识点】二次根式的应用
【解析】【解答】解：A中5× = = ＜1；
B中∵π=3.14159＞3.141，
∴ ＜1；
C中 = = = （ -1）＞1；
D中∵ ＜ =0.25，
∴2 ＜0.5，
∴0.3+2 +0.2＜1，即（ + ）2＜1，
∴ + ＜1．
故答案为：C
【分析】先利用将根号外因式移到根号内、分母有理化、放缩法、平方法对各选项进行判断，据此即可答案。
二、填空题
9．（2017·安阳模拟）计算： = ．
【答案】2
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：原式= = =2．
故答案为：2．
【分析】先将各个二次根式化简，再进行运算就可求出结果。
10．（2022八上·郓城月考）与最简二次根式3是同类二次根式，则a＝ ．
【答案】4
【知识点】最简二次根式；同类二次根式
【解析】【解答】
∵与最简二次根式3是同类二次根式
∴ a-2=2
解得a=4
故答案为4
【分析】本题考查同类二次根式。 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。根据与最简二次根式3是同类二次根式可知 a-2=2，可得a=4.
11．（2022八上·济南期中）若最简二次根式与是同类根式，则2a-b＝ ．
【答案】9
【知识点】最简二次根式；同类二次根式
【解析】【解答】解：∵最简二次根式与是同类根式，
∴2a-4＝2，3a+b＝a-b，
解得：a＝3，b＝-3．
∴2a-b＝2×3-（-3）＝9．
故答案为：9．
【分析】根据同类二次根式和最简二次根式的定义可得2a-4＝2，3a+b＝a-b，再求出a、b的值，最后将a、b的值代入2a-b计算即可。
12．（2018七下·浦东期中）设m、x、y均为正整数，且 ，则（x+y+m） = .
【答案】256
【知识点】二次根式的应用
【解析】【解答】两边同时平方得： ，又因为m、x、y均为正整数，所以： ， ；所以 ，又因为 ，即 ；所以 ；所以 =8；所以
所以答案为：256
【分析】等式两边分别完全平方，然后观察两边代数式，无理数部分相等，有理数部分相等，据此列方程组求解即可
13．（2019八上·浦东月考）已知a、b是正整数，如果有序数对(a, b)能使得2 的值也是整数，那么称（a,b）是2 的一个“理想数对”。如（1，1）使得2 =4，（4，4）使得2 所以（1,1）和（4，4）都是2 的“理想数对”，请你再写出一个2 的“理想数对”： .
【答案】（1，4）（此题答案不唯一，见详解）
【知识点】二次根式的应用
【解析】【解答】当a=1，b=4时，
2
故成立，
所以答案可以是：（1，4）.
此题答案也可以为（4，1）.
【分析】因为2 的值也是整数，所以要使 、 开的尽，所以a、b必须是一个整数的平方，因为2 的值也是整数， 的化简结果应无分母或者分母为2.
三、解答题
14．（2023八上·济阳期中）观察：
==
==
（1）化简：①= ；
②= ；
（2）比较大小： ；
（3）计算：+++...+.
【答案】（1）；
（2）<
（3）解：+++...+.
=－1+++...+
=－1
【知识点】分母有理化；二次根式的混合运算
【解析】【解答】（1）①；
②，
故答案为：；；
（2）∵（-）-（-）=--+<0，
∴-<-，
故答案为：<.
【分析】（1）利用二次根式分母有理化的计算方法分析求解即可；
（2）利用作差法分析求解即可；
（3）先利用二次根式分母有理化的计算方法化简，再计算即可.
15．（2023八上·竞秀月考）先阅读下列的解答过程，然后作答：
形如的化简，只要我们找到两个数a、b使，，这样，，那么便有例如：化简
解：首先把化为，这里，；
由于，，即，，
由上述例题的方法化简：
（1）；
（2）；
（3）.
【答案】（1）解：；
（2）解：
（3）解：
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的化简求值
【解析】【分析】（1）根据定义的新运算，化简式子即可；
（2）同理，利用规律化简即可；
（3）根据化简的规律化简即可。
四、计算题
16．（2023八上·成都期中）计算：
（1）；
（2）
【答案】（1）解：原式＝
＝﹣×5
＝﹣
（2）解：原式＝﹣2﹣（﹣1）﹣2×1
＝﹣2﹣+1﹣2
＝﹣3﹣．
【知识点】二次根式的混合运算；二次根式的化简求值
【解析】【分析】（1）计算时可先把不带根号的数进行运算，然后把相同根号的数放到一个根号里面进行运算。
（2）根式要化简为最简二次根式后进行计算。注意负数次幂和0次幂的运算。
五、综合题
17．（2023八下·余干期末）阅读理解材料：把分母中的根号化掉叫做分母有理化，例如：①；②等运算都是分母有理化．
根据上述材料，
（1）化简：；
（2）化简：；
（3）计算：．
【答案】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
．
【知识点】平方差公式及应用；分母有理化；二次根式的混合运算
【解析】【分析】应用类比模仿的数学思想学习二次根式化简之分母有理化的方法，一类分母只含一个二次根式，第二类是分母是二次根式的和或差。第一类利用分数的基本性质，分子和分母同乘以该二次根式即可，利用达到分母去根号的目的；第二类利用分数的基本性质分子和分母同乘以分母的有理化因式，利用达到分母去根号的目的。（分母不含二次根式）。
18．（2023八下·江北期中）阅读材料：小敏在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方．
例如：3＋2＝（1＋）2，善于思考的小敏进行了以下探索：
当a、b、m、n均为整数时，若a＋b＝（m＋n）2，则有a＋b＝m2＋2n2＋2mn．
a＝m2＋2n2，b＝2mn．这样小敏就找到了一种把类似a＋b的式子化为平方式的方法．
请你仿照小敏的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为整数时，若，用含mn的式子分别表示a、b，则：a＝ ，b＝ ；
（2）若a＋6＝（m＋n）2，且a、m、n均为正整数，求a的值；
（3）直接写出式子化简的结果．
【答案】（1）|
（2）解：∵，
，
，
∵a、m、n均为正整数，
∴或，
∴a=16或a=64；
（3）
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的应用
【解析】【解答】（1）
∴ a=，b=2mn
（3）根据（2）方法，则有，则 ，可得m=5，n=2，则
【分析】本题考查材料题新定义。
（1）根据题干可知解题方法，把完全平方展开，等号两边对应项相等可得答案。
（2） a＋6＝（m＋n）2， 将等号右边展开之后，得，a、m、n均为正整数， 可知道，m=3或1，n=1或3，则a=16或64.
（3）依照（2）中方法，可得化简结果。注意.
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