人教版初中数学八年级下册17.1 勾股定理 同步分层训练基础题
一、选择题
1．（2023八上·渠县月考）直角三角形的最长边的长为13，一条直角边长为5， 另一条直角边长为（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
【答案】A
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：另一条直角边长为.
故答案为：A.
【分析】利用勾股定理直接计算即可.
2．（2023八上·期中）如图，数轴上点A所表示的实数是（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【知识点】无理数在数轴上表示；勾股定理
【解析】【解答】解：由勾股定理，得斜边的长为，
由圆的性质可知，点A到-1的距离为，
故点A表示的数为，
故答案为：B.
【分析】根据勾股定理求出斜边的长，再根据圆的性质可得点A到-1的距离为斜边的长，再写出点A表示的数即可．
3．（2023八上·济阳期中）如图，湖的两岸有A，C两点，在与AC成直角的BC方向上的点C处测得AB＝15米，BC＝12米，则A，C两点间的距离为（ ）
A．3米 B．6米 C．9米 D．10米
【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】根据题意可得：∠ACB=90°，BC=12，AB=15，
∴AC=，
故答案为：C.
【分析】利用勾股定理求出AC的长即可.
4．（2023八上·德惠月考）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时， 梯子底端到左墙角的距离BC为0.7m，梯子顶端到地面的距离AC为2.4m．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离A'D为1.5m，则小巷的宽为（ ）．
A．2.4m B．2m C．2.5m D．2.7m
【答案】D
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：由题意可得：
∴
∴CD=CB+BD=0.7+2=2.7m
则小巷的宽为2.7m
故答案为：D
【分析】根据直角三角形中勾股定理可得，则，则小巷的宽CD=CB+BD，即可求出答案.
5．（2021八上·南关期末）如图，在△ABC中，∠C=90°，点D在边BC上，AD=BD，DE平分∠ADB交AB于点E．若AC=12，BC=16，则AE的长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=16，
由勾股定理知：，
∵AD=BD，DE平分∠ADB交AB于点E．
∴，
故答案为：C．
【分析】先利用勾股定理求出AB的长，再利用中点的性质可得。
6．（2020八上·历城期末）如图，为了测算出学校旗杆的高度，小明将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在与旗杆等长的地方打了一个结，然后将绳子底端拉到离旗杆底端5米的地面某处，发现此时绳子底端距离打结处约1米，则旗杆的高度是（ ）
A．12 B．13 C．15 D．24
【答案】A
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】设旗杆的高度为 x m，则AC =x m，AB= m，BC=5m，
在 中，
解得：
故答案为：A．
【分析】根据△ABC是直角三角形克爹，再计算求解即可。
7．（2023八上·织金期中）在Rt中，，则点到的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形的面积；勾股定理
【解析】【解答】解：根据题意画出图形并过点C作CD⊥AB，如图，
在Rt中，，
故答案为：A.
【分析】先根据题意画出图形，利用勾股定理求出AB的长，再利用等面积法即可求出CD的长度.
8．（2023八上·织金期中）如图，是一个外轮廓为长方形的机器零件平面示意图，根据图中标注的尺寸，（单位：），可得两圆孔中心和的距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：由图可得：AC=120-60=120mm，BC=140-60=80mm，
在Rt△ACB中，
故答案为：D.
【分析】直接利用勾股定理可得进而求解.
二、填空题
9．（2023八上·杭州期中）Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13，AC＝5，则BC的长为 ．
【答案】12
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=13，AC=5，
由勾股定理可得，BC=
故答案为：12.
【分析】根据勾股定理即可求得BC的长.
10．（2023八上·长春期中）如图，在数轴上点A，B对应的实数分别为1，3．BC⊥AB．BC=1．以A为圆心，AC为半径画弧，交数轴正半轴于点P，则点P对应的实数为
【答案】+1
【知识点】无理数在数轴上表示；勾股定理
【解析】【解答】解：∵数轴上点A，B对应的实数分别为1，3
∴ AB=3-1=2
∵ BC⊥AB，BC=1
∴ AC=
∵以A为圆心，AC为半径画弧，交数轴正半轴于点P
∴ AP=AC=
∴ 点P对应的数为+1
故答案为：+1.
【分析】本题考查勾股定理、数轴上的数。根据A，B两点对应的数可知AB=2，结合 BC⊥AB，BC=1，可得AC=，根据化弧，可得AP=，则P点表示的数可知。
11．（2023·营口）如图，在中，以A为圆心，长为半径作弧，交于C，D两点，分别以点C和点D为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点P，作直线，交于点E，若，，则 ．
【答案】4
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：由作图可得AD=AC，AE是CD的垂直平分线.
∵CD=6，
∴DE=CE=3.
∵CA=5，
∴AE==4.
故答案为：4.
【分析】由作图可得AD=AC，AE是CD的垂直平分线，则DE=CE=CD=3，然后在Rt△ACE中，利用勾股定理计算即可.
12．（2020九上·越城期中）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF=CD=4cm，则球的半径为 cm.
【答案】2.5
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，
设OF=x，则OM=4 x，MF=2，
在 中，
即：
解得：x=2.5
故答案为2.5.
【分析】EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，设OF=x，则OM=4 x，MF=2，在Rt△OMF中，应用勾股定理求解即可.
13．（2023八上·杭州月考）如图，，点为平分线OC上一点，OD的垂直平分线交OA，OB分别于点P，Q，点是OA上异于点的一点，且，则的面积为 .
【答案】
【知识点】三角形的面积；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】解：如图，连接PD，过点D作DF⊥OA于点F，
∵OD平分∠AOB，∴∠AOD=∠BOD，∵OD垂直平分OD，∴OP=PD，∴∠AOD=∠PDO=∠BOD，∴PD∥OB，∴∠APD=∠AOB=30°，∵DE=OP，OP=PD，∴DE=PD，由DF⊥OA，∴PE=2PF，∵DE=OP=PD=2，∴DF=PD=1，
∴PF=，
∴PE=2PF=2，
∴OE=OP+PE=2+2，
∴S△ODE==
=+1.
故答案为：+1.
【分析】连接PD，过点D作DF⊥OA于点F，由角平分线的定义、线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等及等边对等角可得∠AOD=∠PDO=∠BOD，由内错角相等，两直线平行可得PD∥OB，由二直线平行，同位角相等得∠APD=∠AOB=30°，在直角三角形PDF中，由30度角所对的直角边等于斜边的一半得DF=PD=1，然后用勾股定理求出PF的值，由等腰三角形的三线合一可得PE=2PF，由线段的构成OE=OP+PE求出OE的值，然后根据三角形的面积公式可求解.
三、解答题
14．（2023八上·渠县月考）若△ABC中，∠C=90°．
（1）若，求；
（2）若求；
【答案】（1）解：13
（2）解：8
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：（1）c==13；
（2）b==8.
【分析】（1）利用勾股定理计算即可；
（2）利用勾股定理计算即可.
15．（2023八上·杭州月考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CE是斜边AB上的高，角平分线BD交CE于点M．
（1）求证：△CDM是等腰三角形．
（2）若AB＝10，AC＝8，求CM的长度．
【答案】（1）证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD=∠ABD，
∵∠ACB=90°，CE⊥AB，
∴∠CBD+∠CDB=90°，
∠ABD＋∠BME=90°，
∵∠BME=∠CMD，
∴∠ABD+∠CMD=90°，
∴∠CDB=∠CMD，
∴CM=CD，
∴△CDM是等腰三角形；
（2）解︰作DF⊥AB于点F，如图所示，
∵∠DCB=90°，BD平分∠ABC，
∴DC=DF，
∵∠ACB=90°，AB=10，AC=8，
∴BC=，
∵S△ABC=S△BCD+S△ADB，
∴，
即，
解得CD=DF=3，
由（1）知：CM=CD，
∴CM=3，
即CM的长度为3.
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理
【解析】【分析】（1）由角平分线定义得∠CBD=∠ABD，由直角三角形的量锐角互余、等角的余角相等及对顶角相等得∠CDB=∠CMD，由等角对等边得CM=CD，从而可得结论；
（2）作DF⊥AB于点F，如图所示，由角平分线上的点到角两边的距离相等得DC=DF，在Rt△ABC中，利用勾股定理算出BC的长，进而根据S△ABC=S△BCD+S△ADB，结合三角形面积计算公式建立方程可求出CD=DF=3，再结合（1）的结论可得答案.
四、综合题
16．（2021八上·双阳期末）如图，等腰直角三角板如图放置．直角顶点B在直线CD上，分别过点A、E作AC⊥直线CD于点C，ED⊥直线CD于点D．
（1）求证：CD＝AC + ED．
（2）若设△ABC三边长分别为a、b、c，利用此图证明勾股定理．
【答案】（1）证明：是等腰直角三角板，
，
，
，
，
，
在和中，，
，
，
．
（2）证明：，
，
，
又
，
，
，即勾股定理得证．
【知识点】勾股定理的证明；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）利用全等三角形的判定与性质证明求解即可；
（2）先求出 ， 再利用三角形的面积公式计算求解即可。
17．（2022八上·兴平期中）如图，一根直立的旗杆高8m，因刮大风旗杆从点C处折断，顶部B着地且离旗杆底部A的距离为4m．
（1）求旗杆距地面多高处折断（）；
（2）工人在修复的过程中，发现在折断点C的下方1m的点D处，有一条明显裂痕，将旗杆修复后，若下次大风将旗杆从点D处吹断，则距离旗杆底部周围多大范围内有被砸伤的风险？
【答案】（1）解：由题意，知．
∵，
设长为，则长，
则，
解得．
故旗杆距地面3米处折断
（2）解：如图．
∵点D距地面，
∴，
∴，
∴距离旗杆底部周围米的范围内有被砸伤的风险．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）利用一根直立的旗杆高8m，因刮大风旗杆从点C处折断，可知AC+BC等于旗杆的高度，同时根据题意可得到AB的长，然后设AC=x，可表示出BC的长，利用勾股定理建立关于x的方程，解方程求出x的值.
（2）利用已知条件可得到AD的长及B′D的长，然后利用勾股定理求出AB′的长.
1 / 1人教版初中数学八年级下册17.1 勾股定理 同步分层训练基础题
一、选择题
1．（2023八上·渠县月考）直角三角形的最长边的长为13，一条直角边长为5， 另一条直角边长为（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
2．（2023八上·期中）如图，数轴上点A所表示的实数是（ ）
A． B． C． D．2
3．（2023八上·济阳期中）如图，湖的两岸有A，C两点，在与AC成直角的BC方向上的点C处测得AB＝15米，BC＝12米，则A，C两点间的距离为（ ）
A．3米 B．6米 C．9米 D．10米
4．（2023八上·德惠月考）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时， 梯子底端到左墙角的距离BC为0.7m，梯子顶端到地面的距离AC为2.4m．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离A'D为1.5m，则小巷的宽为（ ）．
A．2.4m B．2m C．2.5m D．2.7m
5．（2021八上·南关期末）如图，在△ABC中，∠C=90°，点D在边BC上，AD=BD，DE平分∠ADB交AB于点E．若AC=12，BC=16，则AE的长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
6．（2020八上·历城期末）如图，为了测算出学校旗杆的高度，小明将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在与旗杆等长的地方打了一个结，然后将绳子底端拉到离旗杆底端5米的地面某处，发现此时绳子底端距离打结处约1米，则旗杆的高度是（ ）
A．12 B．13 C．15 D．24
7．（2023八上·织金期中）在Rt中，，则点到的距离为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023八上·织金期中）如图，是一个外轮廓为长方形的机器零件平面示意图，根据图中标注的尺寸，（单位：），可得两圆孔中心和的距离是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2023八上·杭州期中）Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13，AC＝5，则BC的长为 ．
10．（2023八上·长春期中）如图，在数轴上点A，B对应的实数分别为1，3．BC⊥AB．BC=1．以A为圆心，AC为半径画弧，交数轴正半轴于点P，则点P对应的实数为
11．（2023·营口）如图，在中，以A为圆心，长为半径作弧，交于C，D两点，分别以点C和点D为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点P，作直线，交于点E，若，，则 ．
12．（2020九上·越城期中）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF=CD=4cm，则球的半径为 cm.
13．（2023八上·杭州月考）如图，，点为平分线OC上一点，OD的垂直平分线交OA，OB分别于点P，Q，点是OA上异于点的一点，且，则的面积为 .
三、解答题
14．（2023八上·渠县月考）若△ABC中，∠C=90°．
（1）若，求；
（2）若求；
15．（2023八上·杭州月考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CE是斜边AB上的高，角平分线BD交CE于点M．
（1）求证：△CDM是等腰三角形．
（2）若AB＝10，AC＝8，求CM的长度．
四、综合题
16．（2021八上·双阳期末）如图，等腰直角三角板如图放置．直角顶点B在直线CD上，分别过点A、E作AC⊥直线CD于点C，ED⊥直线CD于点D．
（1）求证：CD＝AC + ED．
（2）若设△ABC三边长分别为a、b、c，利用此图证明勾股定理．
17．（2022八上·兴平期中）如图，一根直立的旗杆高8m，因刮大风旗杆从点C处折断，顶部B着地且离旗杆底部A的距离为4m．
（1）求旗杆距地面多高处折断（）；
（2）工人在修复的过程中，发现在折断点C的下方1m的点D处，有一条明显裂痕，将旗杆修复后，若下次大风将旗杆从点D处吹断，则距离旗杆底部周围多大范围内有被砸伤的风险？
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：另一条直角边长为.
故答案为：A.
【分析】利用勾股定理直接计算即可.
2．【答案】B
【知识点】无理数在数轴上表示；勾股定理
【解析】【解答】解：由勾股定理，得斜边的长为，
由圆的性质可知，点A到-1的距离为，
故点A表示的数为，
故答案为：B.
【分析】根据勾股定理求出斜边的长，再根据圆的性质可得点A到-1的距离为斜边的长，再写出点A表示的数即可．
3．【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】根据题意可得：∠ACB=90°，BC=12，AB=15，
∴AC=，
故答案为：C.
【分析】利用勾股定理求出AC的长即可.
4．【答案】D
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：由题意可得：
∴
∴CD=CB+BD=0.7+2=2.7m
则小巷的宽为2.7m
故答案为：D
【分析】根据直角三角形中勾股定理可得，则，则小巷的宽CD=CB+BD，即可求出答案.
5．【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=16，
由勾股定理知：，
∵AD=BD，DE平分∠ADB交AB于点E．
∴，
故答案为：C．
【分析】先利用勾股定理求出AB的长，再利用中点的性质可得。
6．【答案】A
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】设旗杆的高度为 x m，则AC =x m，AB= m，BC=5m，
在 中，
解得：
故答案为：A．
【分析】根据△ABC是直角三角形克爹，再计算求解即可。
7．【答案】A
【知识点】三角形的面积；勾股定理
【解析】【解答】解：根据题意画出图形并过点C作CD⊥AB，如图，
在Rt中，，
故答案为：A.
【分析】先根据题意画出图形，利用勾股定理求出AB的长，再利用等面积法即可求出CD的长度.
8．【答案】D
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：由图可得：AC=120-60=120mm，BC=140-60=80mm，
在Rt△ACB中，
故答案为：D.
【分析】直接利用勾股定理可得进而求解.
9．【答案】12
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=13，AC=5，
由勾股定理可得，BC=
故答案为：12.
【分析】根据勾股定理即可求得BC的长.
10．【答案】+1
【知识点】无理数在数轴上表示；勾股定理
【解析】【解答】解：∵数轴上点A，B对应的实数分别为1，3
∴ AB=3-1=2
∵ BC⊥AB，BC=1
∴ AC=
∵以A为圆心，AC为半径画弧，交数轴正半轴于点P
∴ AP=AC=
∴ 点P对应的数为+1
故答案为：+1.
【分析】本题考查勾股定理、数轴上的数。根据A，B两点对应的数可知AB=2，结合 BC⊥AB，BC=1，可得AC=，根据化弧，可得AP=，则P点表示的数可知。
11．【答案】4
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：由作图可得AD=AC，AE是CD的垂直平分线.
∵CD=6，
∴DE=CE=3.
∵CA=5，
∴AE==4.
故答案为：4.
【分析】由作图可得AD=AC，AE是CD的垂直平分线，则DE=CE=CD=3，然后在Rt△ACE中，利用勾股定理计算即可.
12．【答案】2.5
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，
设OF=x，则OM=4 x，MF=2，
在 中，
即：
解得：x=2.5
故答案为2.5.
【分析】EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，设OF=x，则OM=4 x，MF=2，在Rt△OMF中，应用勾股定理求解即可.
13．【答案】
【知识点】三角形的面积；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】解：如图，连接PD，过点D作DF⊥OA于点F，
∵OD平分∠AOB，∴∠AOD=∠BOD，∵OD垂直平分OD，∴OP=PD，∴∠AOD=∠PDO=∠BOD，∴PD∥OB，∴∠APD=∠AOB=30°，∵DE=OP，OP=PD，∴DE=PD，由DF⊥OA，∴PE=2PF，∵DE=OP=PD=2，∴DF=PD=1，
∴PF=，
∴PE=2PF=2，
∴OE=OP+PE=2+2，
∴S△ODE==
=+1.
故答案为：+1.
【分析】连接PD，过点D作DF⊥OA于点F，由角平分线的定义、线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等及等边对等角可得∠AOD=∠PDO=∠BOD，由内错角相等，两直线平行可得PD∥OB，由二直线平行，同位角相等得∠APD=∠AOB=30°，在直角三角形PDF中，由30度角所对的直角边等于斜边的一半得DF=PD=1，然后用勾股定理求出PF的值，由等腰三角形的三线合一可得PE=2PF，由线段的构成OE=OP+PE求出OE的值，然后根据三角形的面积公式可求解.
14．【答案】（1）解：13
（2）解：8
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：（1）c==13；
（2）b==8.
【分析】（1）利用勾股定理计算即可；
（2）利用勾股定理计算即可.
15．【答案】（1）证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD=∠ABD，
∵∠ACB=90°，CE⊥AB，
∴∠CBD+∠CDB=90°，
∠ABD＋∠BME=90°，
∵∠BME=∠CMD，
∴∠ABD+∠CMD=90°，
∴∠CDB=∠CMD，
∴CM=CD，
∴△CDM是等腰三角形；
（2）解︰作DF⊥AB于点F，如图所示，
∵∠DCB=90°，BD平分∠ABC，
∴DC=DF，
∵∠ACB=90°，AB=10，AC=8，
∴BC=，
∵S△ABC=S△BCD+S△ADB，
∴，
即，
解得CD=DF=3，
由（1）知：CM=CD，
∴CM=3，
即CM的长度为3.
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理
【解析】【分析】（1）由角平分线定义得∠CBD=∠ABD，由直角三角形的量锐角互余、等角的余角相等及对顶角相等得∠CDB=∠CMD，由等角对等边得CM=CD，从而可得结论；
（2）作DF⊥AB于点F，如图所示，由角平分线上的点到角两边的距离相等得DC=DF，在Rt△ABC中，利用勾股定理算出BC的长，进而根据S△ABC=S△BCD+S△ADB，结合三角形面积计算公式建立方程可求出CD=DF=3，再结合（1）的结论可得答案.
16．【答案】（1）证明：是等腰直角三角板，
，
，
，
，
，
在和中，，
，
，
．
（2）证明：，
，
，
又
，
，
，即勾股定理得证．
【知识点】勾股定理的证明；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）利用全等三角形的判定与性质证明求解即可；
（2）先求出 ， 再利用三角形的面积公式计算求解即可。
17．【答案】（1）解：由题意，知．
∵，
设长为，则长，
则，
解得．
故旗杆距地面3米处折断
（2）解：如图．
∵点D距地面，
∴，
∴，
∴距离旗杆底部周围米的范围内有被砸伤的风险．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）利用一根直立的旗杆高8m，因刮大风旗杆从点C处折断，可知AC+BC等于旗杆的高度，同时根据题意可得到AB的长，然后设AC=x，可表示出BC的长，利用勾股定理建立关于x的方程，解方程求出x的值.
（2）利用已知条件可得到AD的长及B′D的长，然后利用勾股定理求出AB′的长.
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