2023-2024学年人教版初中数学八年级下册17.1 勾股定理 同步分层训练提升题
一、选择题
1．（2023八上·三水期中）一个直角三角形的两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高长为（ ）
A．13 B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的面积；勾股定理
【解析】【解答】解：根据勾股定理该直角三角形的斜边长为：，
设斜边上的高为h，则，
解得h=.
故答案为：C.
【分析】首先利用勾股定理算出该直角三角形的斜边长，设斜边上的高为h，进而根据等面积法建立方程，求解可得h的值.
2．（2023八上·清新期中）如图，阴影部分的四边形均为正方形，图中的数据表示其面积，则正方形M的面积为（ ）
A．1 B．7 C． D．5
【答案】A
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：
由图知，，由勾股定理得 ，
∴正方形M的面积为 1.
故答案为：A.
【分析】根据正方形的面积公式结合勾股定理，即可得正方形M的面积为1.
3．（2023·岳阳）我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题：“今有圆材，径二尺五寸．欲为方版，令厚七寸，问广几何？”结合右图，其大意是：今有圆形材质，直径为25寸，要做成方形板材，使其厚度达到7寸．则的长是（ ）
A．寸 B．25寸 C．24寸 D．7寸
【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：由题意可得：BD为圆O的直径，
∴∠BCD=90°，
∵在Rt△BCD中，BD=25寸，CD=7寸，
∴（寸），
故答案为：C.
【分析】根据题意先求出∠BCD=90°，再利用勾股定理计算求解即可。
4．（2022八上·长沙月考）如图，在△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别为R、S，若AQ=PQ，PR=PS，则下列四个结论：①PA平分∠BAC；②AS=AR；③QP∥AR；④△BRP≌△CSP，其中结论正确的的序号为（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
【答案】A
【知识点】平行线的判定；等腰三角形的性质；勾股定理；角平分线的判定
【解析】【解答】解：∵PR⊥AB，PS⊥AC，PR=PS，
∴点P在∠A的平分线上，∠ARP=∠ASP=90°，
∴∠SAP=∠RAP，即PA平分∠BAC ，故①正确；
在Rt△ARP和Rt△ASP中，由勾股定理得：AR2=AP2-PR2，AS2=AP2-PS2，
∵AP=AP，PR=PS，
∴AR=AS，∴②正确；
∵AQ=QP，
∴∠QAP=∠QPA，
∵∠QAP=∠BAP，
∴∠QPA=∠BAP，
∴QP∥AR，∴③正确；
没有条件可证明
△BRP≌△QSP，∴④错误；
故正确的为①②③.
故答案为：A.
【分析】根据到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上可判断①；根据勾股定理即可推出AR＝AS，据此判断②；根据等腰三角形性质推出∠QAP＝∠QPA，推出∠QPA＝∠BAP，根据平行线判定内错角相等，两直线平行，推出QP∥AB，据此判断③；无法判断PB＝PC故△BRP≌△QSP错误，据此判断④.
5．（2020八上·襄汾期末）如图是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：根据勾股定理得出：AB= = =5，
∴EF=AB=5，
∴阴影部分面积是25，
故答案为：B．
【分析】根据勾股定理解答即可．
6．（2023八上·萧县期中）我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）；如果大正方形的面积是，小正方形的面积是，直角三角形的两直角边分别为、，那么的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；勾股定理
【解析】【解答】解：∵直角三角形的两直角边分别为、，大正方形的面积是10，小正方形的面积是2，
∴，，
由得：，
得：，
得：，
∴，
故答案为：D.
【分析】根据大正方形的面积是10，可得，根据小正方形的面积是2，可得，将这两个式子变形即可解决问题．
7．（2023八上·成都期中）图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．在Rt△ABC中，若直角边AC＝6，BC＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长（图乙中的实线）是（ ）
A．52 B．48 C．72 D．76
【答案】D
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：“数学风车”的外围周长实际分为两部分，第一部分为四个直角三角形斜边长之和，第二部分为每个直角三角形长直角边的一半相加所得的和。由题意可知，新图形中，小直角三角形的短直角边长度为5，长直角延长边后变为12，则斜边长为13，所以周长=13×4+6×4=76。
故答案为：D.
【分析】本题考查勾股定理的应用，需要对图形进行认真观察，对要求的结果分部来求。
8．（2023八上·绍兴期中）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图是由弦图变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为，，．若，则下列关于，，的说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【解答】解：设，，则，
，，即，求得，
在中有，，求得，，，.
故答案为：D.
【分析】设，，等量关系求得，在利用勾股定理，可得，再结合得到，进而判断选项.
二、填空题
9．（2023八上·杭州月考）在△ABC中，AB＝13，AC＝20，BC边上的高为12，则△ABC的面积是 ．
【答案】126或66
【知识点】三角形的面积；勾股定理
【解析】【解答】解：分类讨论：①当∠B是锐角时，如图，过点A作AD⊥BC于点D，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
在Rt△ABD中，AB=13，AD=12，
∴，
在Rt△ACD中，AC=20，AD=12，
∴，
∴BC=BD+CD=21，
∴S△ABC=BC×AD=×21×12=126；
②当∠B是钝角时，如图，过点A作AD⊥BC，交CB的延长线于点D，
∴∠ADC=90°，
在Rt△ABD中，AB=13，AD=12，
∴，
在Rt△ACD中，AC=20，AD=12，
∴，
∴BC=CD-BD=11，
∴S△ABC=BC×AD=×11×12=66，
综上，△ABC的面积为126或66.
故答案为：126或66.
【分析】分类讨论：①当∠B是锐角时，如图，过点A作AD⊥BC于点D，②当∠B是钝角时，如图，过点A作AD⊥BC，交CB的延长线于点D，分别在Rt△ABD中与Rt△ACD中，利用勾股定理算出CD与BD的长，然后由线段的和差算出BC的长，最后根据三角形的面积公式分别算出△ABC的面积即可.
10．（2023八上·吉安期中）如图，将两个大小、形状完全相同的和拼在一起，其中点与点重合，点落在边AB上，连接．若，，则的长度为 ．
【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理
【解析】【解答】解：∵∠ACB＝∠AC′B′＝90°，AC＝BC＝3，
∴，∠CAB＝45°，
∵△ABC和△A′B′C′全等，
∴∠C′AB′＝∠CAB＝45°，，
∴∠CAB′＝90°，
∴，
故答案为： ．
【分析】根据勾股定理求出AB，根据等腰直角三角形的性质求出∠CAB′＝90°，再根据勾股定理计算．
11．（2021八上·甘州期末）如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为 ， 和 ， 和 是这个台阶的两个端点， 点上有一只蚂蚁想到 点去吃可口的食物，则它所走的最短路线长度为 .
【答案】
【知识点】几何体的展开图；勾股定理
【解析】【解答】展开图为：
则AC=100cm，BC=15×3+10×3=75cm，
在Rt△ABC中，AB= =125cm．
所以蚂蚁所走的最短路线长度为125cm．
故答案为：125．
【分析】把立体几何图展开得到平面几何图，然后利用勾股定理计算AB，则根据两点间线段最短得到蚂蚁所走的路线最短。
12．（2023八上·杭州月考）如图，在平面直角坐标系中，直线是一、三象限的角平分线，点是直线上的一个动点，是轴上的两个点，则的最小值为 .
【答案】
【知识点】勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，作点A关于直线l的对称点交C，由于直线l是一、三象限角的角平分线，故点C一定在y轴上，连接BC与直线l相交于点P，BC就是PA+PB的最小值；
∵直线l是一三象限的角平分线，点A（3，0）
∴OC=OA=3，
∵B(6，0)，
∴OB=6，
∴BC=
=.
故答案为：.
【分析】作点A关于直线l的对称点交C，由于直线l是一、三象限角的角平分线，故点C一定在y轴上，连接BC与直线l相交于点P，BC就是PA+PB的最小值；在直角三角形OBC中，用勾股定理可求解.
13．（2023·菏泽）如图，在四边形中，，点E在线段上运动，点F在线段上，，则线段的最小值为 ．
【答案】
【知识点】平行线的判定与性质；勾股定理
【解析】【解答】解：设AD的中点为O，以AD为直径画圆，连接BO，设BO与圆O的交点为点F'，如图所示：
∵，
∴CB∥DA，
∴∠BEA=∠EAD，
∵，
∴∠EBA=∠AFD=90°，
∴点F在圆O上运动，
∴BF'为BF的最小值，
∴OA=OF'=2，
由勾股定理得，
∴线段的最小值为，
故答案为：
【分析】设AD的中点为O，以AD为直径画圆，连接BO，设BO与圆O的交点为点F'，先根据题意结合平行线的判定与性质即可得到∠BEA=∠EAD，进而得到∠EBA=∠AFD=90°，从而得到点F在圆O上运动，BF'为BF的最小值，再根据题意即可得到OA=OF'=2，进而运用勾股定理即可求出BO，从而结合题意即可求解。
三、解答题
14．（2023八上·吉安期中）在第十四届全国人大一次会议召开之际，某中学举行了庄严的升旗仪式．看着着再升起的五星红旗（如图1），小乐想用刚学过的知识计算旗杆的高度．如图2，AD为旗杆AE上用来固定国旗的绳子，点D距地面的高度．将绳子AD拉至AB的位置，测得点到AE的距离，到地面的垂直高度，求旗杆AE的高度．
图1 图2
【答案】解：∵，
∴，
∵，
∴
设，则，，
由题意可得：，
在中，，
即，
解得：，即，
∴旗杆的高度为：
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】设AD=x，则AC=x-1，根据勾股定理建立方程求解。
15．如图，正方形网格中每个小正方形的边长为1.
（1）求图中格点三角形ABC的面积.
（2）判断△ABC的形状，并证明你的结论.
【答案】（1）解：30-1.5-12.5-6=10.
（2）解：是直角三角形.理由如下：
即是直角三角形.
【知识点】勾股定理的逆定理；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】(1)用5×6的方格子面积减去三个小直角三角形的面积即可求解；
（2）放在直角三角形中，分别计算出各边的长度，发现所以△ABC是直角三角形.
四、计算题
16．（2020八下·临汾月考）（1）计算：
（2）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．若a：c=15：17，b=24，求a的值。
【答案】（1）解：原式=
（2）解：设a=15，则c=17x．
由勾股定理得(15x)2+242==(17x)2，
解得x=3，
则a=15x=45
【知识点】二次根式的混合运算；勾股定理
【解析】【分析】（1）利用二次根式混合运算的法则和运算顺序计算即可；
（2）由a：c=15：17设a=15x，则c=17x，然后利用勾股定理列方程解出x，继而可求出a的值。
五、综合题
17．（2017八上·南海期末）如图，一架长25米的梯子，斜靠在竖直的墙上，这时梯子底端离墙7米．
（1）此时梯子顶端离地面多少米？
（2）若梯子顶端下滑4米，那么梯子底端将向左滑动多少米？
【答案】（1）解：如图，
∵AB=25米，BE=7米，
梯子距离地面的高度AE= =24米．
答：此时梯子顶端离地面24米；
（2）解：∵梯子下滑了4米，即梯子距离地面的高度CE=（24﹣4）=20米，
∴BD+BE=DE= = =15，
∴DE=15﹣7=8（米），即下端滑行了8米．
答：梯子底端将向左滑动了8米
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】第1小题，在直角三角形ABE中，用勾股定理可求梯子距离地面的高度AE‘第2小题，在直角三角形CDE中，用勾股定理可求DE，那么DB=DE-BE。
18．（2023九上·南宁开学考）如图，在平面直角坐标系中，，是的顶点.
（1）画出关于轴的对称图形；
（2）直接写出点的坐标 ；
（3）求的长.
【答案】（1）解：如图，△A1B1C1即为所求，
（2）C1（1，-1）
（3）解：AC1==5.
【知识点】勾股定理；坐标与图形变化﹣对称；作图﹣轴对称
【解析】【解答】解：（2）由图可知，C1（1，-1）.
【分析】（1）作出△ABC各点关于y轴的对称点，再顺次连接即可；
（2）根据平面直角坐标系中C1的坐标即可得出答案；
（3）利用勾股定理求出AC1的长，即可得出答案.
1 / 12023-2024学年人教版初中数学八年级下册17.1 勾股定理 同步分层训练提升题
一、选择题
1．（2023八上·三水期中）一个直角三角形的两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高长为（ ）
A．13 B． C． D．
2．（2023八上·清新期中）如图，阴影部分的四边形均为正方形，图中的数据表示其面积，则正方形M的面积为（ ）
A．1 B．7 C． D．5
3．（2023·岳阳）我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题：“今有圆材，径二尺五寸．欲为方版，令厚七寸，问广几何？”结合右图，其大意是：今有圆形材质，直径为25寸，要做成方形板材，使其厚度达到7寸．则的长是（ ）
A．寸 B．25寸 C．24寸 D．7寸
4．（2022八上·长沙月考）如图，在△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别为R、S，若AQ=PQ，PR=PS，则下列四个结论：①PA平分∠BAC；②AS=AR；③QP∥AR；④△BRP≌△CSP，其中结论正确的的序号为（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
5．（2020八上·襄汾期末）如图是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023八上·萧县期中）我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）；如果大正方形的面积是，小正方形的面积是，直角三角形的两直角边分别为、，那么的值是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023八上·成都期中）图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．在Rt△ABC中，若直角边AC＝6，BC＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长（图乙中的实线）是（ ）
A．52 B．48 C．72 D．76
8．（2023八上·绍兴期中）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图是由弦图变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为，，．若，则下列关于，，的说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2023八上·杭州月考）在△ABC中，AB＝13，AC＝20，BC边上的高为12，则△ABC的面积是 ．
10．（2023八上·吉安期中）如图，将两个大小、形状完全相同的和拼在一起，其中点与点重合，点落在边AB上，连接．若，，则的长度为 ．
11．（2021八上·甘州期末）如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为 ， 和 ， 和 是这个台阶的两个端点， 点上有一只蚂蚁想到 点去吃可口的食物，则它所走的最短路线长度为 .
12．（2023八上·杭州月考）如图，在平面直角坐标系中，直线是一、三象限的角平分线，点是直线上的一个动点，是轴上的两个点，则的最小值为 .
13．（2023·菏泽）如图，在四边形中，，点E在线段上运动，点F在线段上，，则线段的最小值为 ．
三、解答题
14．（2023八上·吉安期中）在第十四届全国人大一次会议召开之际，某中学举行了庄严的升旗仪式．看着着再升起的五星红旗（如图1），小乐想用刚学过的知识计算旗杆的高度．如图2，AD为旗杆AE上用来固定国旗的绳子，点D距地面的高度．将绳子AD拉至AB的位置，测得点到AE的距离，到地面的垂直高度，求旗杆AE的高度．
图1 图2
15．如图，正方形网格中每个小正方形的边长为1.
（1）求图中格点三角形ABC的面积.
（2）判断△ABC的形状，并证明你的结论.
四、计算题
16．（2020八下·临汾月考）（1）计算：
（2）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．若a：c=15：17，b=24，求a的值。
五、综合题
17．（2017八上·南海期末）如图，一架长25米的梯子，斜靠在竖直的墙上，这时梯子底端离墙7米．
（1）此时梯子顶端离地面多少米？
（2）若梯子顶端下滑4米，那么梯子底端将向左滑动多少米？
18．（2023九上·南宁开学考）如图，在平面直角坐标系中，，是的顶点.
（1）画出关于轴的对称图形；
（2）直接写出点的坐标 ；
（3）求的长.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】三角形的面积；勾股定理
【解析】【解答】解：根据勾股定理该直角三角形的斜边长为：，
设斜边上的高为h，则，
解得h=.
故答案为：C.
【分析】首先利用勾股定理算出该直角三角形的斜边长，设斜边上的高为h，进而根据等面积法建立方程，求解可得h的值.
2．【答案】A
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：
由图知，，由勾股定理得 ，
∴正方形M的面积为 1.
故答案为：A.
【分析】根据正方形的面积公式结合勾股定理，即可得正方形M的面积为1.
3．【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：由题意可得：BD为圆O的直径，
∴∠BCD=90°，
∵在Rt△BCD中，BD=25寸，CD=7寸，
∴（寸），
故答案为：C.
【分析】根据题意先求出∠BCD=90°，再利用勾股定理计算求解即可。
4．【答案】A
【知识点】平行线的判定；等腰三角形的性质；勾股定理；角平分线的判定
【解析】【解答】解：∵PR⊥AB，PS⊥AC，PR=PS，
∴点P在∠A的平分线上，∠ARP=∠ASP=90°，
∴∠SAP=∠RAP，即PA平分∠BAC ，故①正确；
在Rt△ARP和Rt△ASP中，由勾股定理得：AR2=AP2-PR2，AS2=AP2-PS2，
∵AP=AP，PR=PS，
∴AR=AS，∴②正确；
∵AQ=QP，
∴∠QAP=∠QPA，
∵∠QAP=∠BAP，
∴∠QPA=∠BAP，
∴QP∥AR，∴③正确；
没有条件可证明
△BRP≌△QSP，∴④错误；
故正确的为①②③.
故答案为：A.
【分析】根据到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上可判断①；根据勾股定理即可推出AR＝AS，据此判断②；根据等腰三角形性质推出∠QAP＝∠QPA，推出∠QPA＝∠BAP，根据平行线判定内错角相等，两直线平行，推出QP∥AB，据此判断③；无法判断PB＝PC故△BRP≌△QSP错误，据此判断④.
5．【答案】B
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：根据勾股定理得出：AB= = =5，
∴EF=AB=5，
∴阴影部分面积是25，
故答案为：B．
【分析】根据勾股定理解答即可．
6．【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；勾股定理
【解析】【解答】解：∵直角三角形的两直角边分别为、，大正方形的面积是10，小正方形的面积是2，
∴，，
由得：，
得：，
得：，
∴，
故答案为：D.
【分析】根据大正方形的面积是10，可得，根据小正方形的面积是2，可得，将这两个式子变形即可解决问题．
7．【答案】D
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：“数学风车”的外围周长实际分为两部分，第一部分为四个直角三角形斜边长之和，第二部分为每个直角三角形长直角边的一半相加所得的和。由题意可知，新图形中，小直角三角形的短直角边长度为5，长直角延长边后变为12，则斜边长为13，所以周长=13×4+6×4=76。
故答案为：D.
【分析】本题考查勾股定理的应用，需要对图形进行认真观察，对要求的结果分部来求。
8．【答案】D
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【解答】解：设，，则，
，，即，求得，
在中有，，求得，，，.
故答案为：D.
【分析】设，，等量关系求得，在利用勾股定理，可得，再结合得到，进而判断选项.
9．【答案】126或66
【知识点】三角形的面积；勾股定理
【解析】【解答】解：分类讨论：①当∠B是锐角时，如图，过点A作AD⊥BC于点D，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
在Rt△ABD中，AB=13，AD=12，
∴，
在Rt△ACD中，AC=20，AD=12，
∴，
∴BC=BD+CD=21，
∴S△ABC=BC×AD=×21×12=126；
②当∠B是钝角时，如图，过点A作AD⊥BC，交CB的延长线于点D，
∴∠ADC=90°，
在Rt△ABD中，AB=13，AD=12，
∴，
在Rt△ACD中，AC=20，AD=12，
∴，
∴BC=CD-BD=11，
∴S△ABC=BC×AD=×11×12=66，
综上，△ABC的面积为126或66.
故答案为：126或66.
【分析】分类讨论：①当∠B是锐角时，如图，过点A作AD⊥BC于点D，②当∠B是钝角时，如图，过点A作AD⊥BC，交CB的延长线于点D，分别在Rt△ABD中与Rt△ACD中，利用勾股定理算出CD与BD的长，然后由线段的和差算出BC的长，最后根据三角形的面积公式分别算出△ABC的面积即可.
10．【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理
【解析】【解答】解：∵∠ACB＝∠AC′B′＝90°，AC＝BC＝3，
∴，∠CAB＝45°，
∵△ABC和△A′B′C′全等，
∴∠C′AB′＝∠CAB＝45°，，
∴∠CAB′＝90°，
∴，
故答案为： ．
【分析】根据勾股定理求出AB，根据等腰直角三角形的性质求出∠CAB′＝90°，再根据勾股定理计算．
11．【答案】
【知识点】几何体的展开图；勾股定理
【解析】【解答】展开图为：
则AC=100cm，BC=15×3+10×3=75cm，
在Rt△ABC中，AB= =125cm．
所以蚂蚁所走的最短路线长度为125cm．
故答案为：125．
【分析】把立体几何图展开得到平面几何图，然后利用勾股定理计算AB，则根据两点间线段最短得到蚂蚁所走的路线最短。
12．【答案】
【知识点】勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，作点A关于直线l的对称点交C，由于直线l是一、三象限角的角平分线，故点C一定在y轴上，连接BC与直线l相交于点P，BC就是PA+PB的最小值；
∵直线l是一三象限的角平分线，点A（3，0）
∴OC=OA=3，
∵B(6，0)，
∴OB=6，
∴BC=
=.
故答案为：.
【分析】作点A关于直线l的对称点交C，由于直线l是一、三象限角的角平分线，故点C一定在y轴上，连接BC与直线l相交于点P，BC就是PA+PB的最小值；在直角三角形OBC中，用勾股定理可求解.
13．【答案】
【知识点】平行线的判定与性质；勾股定理
【解析】【解答】解：设AD的中点为O，以AD为直径画圆，连接BO，设BO与圆O的交点为点F'，如图所示：
∵，
∴CB∥DA，
∴∠BEA=∠EAD，
∵，
∴∠EBA=∠AFD=90°，
∴点F在圆O上运动，
∴BF'为BF的最小值，
∴OA=OF'=2，
由勾股定理得，
∴线段的最小值为，
故答案为：
【分析】设AD的中点为O，以AD为直径画圆，连接BO，设BO与圆O的交点为点F'，先根据题意结合平行线的判定与性质即可得到∠BEA=∠EAD，进而得到∠EBA=∠AFD=90°，从而得到点F在圆O上运动，BF'为BF的最小值，再根据题意即可得到OA=OF'=2，进而运用勾股定理即可求出BO，从而结合题意即可求解。
14．【答案】解：∵，
∴，
∵，
∴
设，则，，
由题意可得：，
在中，，
即，
解得：，即，
∴旗杆的高度为：
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】设AD=x，则AC=x-1，根据勾股定理建立方程求解。
15．【答案】（1）解：30-1.5-12.5-6=10.
（2）解：是直角三角形.理由如下：
即是直角三角形.
【知识点】勾股定理的逆定理；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】(1)用5×6的方格子面积减去三个小直角三角形的面积即可求解；
（2）放在直角三角形中，分别计算出各边的长度，发现所以△ABC是直角三角形.
16．【答案】（1）解：原式=
（2）解：设a=15，则c=17x．
由勾股定理得(15x)2+242==(17x)2，
解得x=3，
则a=15x=45
【知识点】二次根式的混合运算；勾股定理
【解析】【分析】（1）利用二次根式混合运算的法则和运算顺序计算即可；
（2）由a：c=15：17设a=15x，则c=17x，然后利用勾股定理列方程解出x，继而可求出a的值。
17．【答案】（1）解：如图，
∵AB=25米，BE=7米，
梯子距离地面的高度AE= =24米．
答：此时梯子顶端离地面24米；
（2）解：∵梯子下滑了4米，即梯子距离地面的高度CE=（24﹣4）=20米，
∴BD+BE=DE= = =15，
∴DE=15﹣7=8（米），即下端滑行了8米．
答：梯子底端将向左滑动了8米
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】第1小题，在直角三角形ABE中，用勾股定理可求梯子距离地面的高度AE‘第2小题，在直角三角形CDE中，用勾股定理可求DE，那么DB=DE-BE。
18．【答案】（1）解：如图，△A1B1C1即为所求，
（2）C1（1，-1）
（3）解：AC1==5.
【知识点】勾股定理；坐标与图形变化﹣对称；作图﹣轴对称
【解析】【解答】解：（2）由图可知，C1（1，-1）.
【分析】（1）作出△ABC各点关于y轴的对称点，再顺次连接即可；
（2）根据平面直角坐标系中C1的坐标即可得出答案；
（3）利用勾股定理求出AC1的长，即可得出答案.
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