2023-2024学年人教版初中数学八年级下册17.2 勾股定理的逆定理 同步分层训练提升题
一、选择题
1．（2023八下·海城期中）下列图各组数中，是勾股数的是（ ）
A．6，8，12 B．0.6，0.8，1 C．8，15，16 D．9，12，15
2．（2022八下·仁怀月考）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B都在格点上，则下列结论错误的是（ ）
A．的面积为10 B．
C． D．点A到直线的距离是2
3．（2017八下·定州期中）三角形的三边长为a，b，c，且满足（a+b）2=c2+2ab，则这个三角形是（ ）
A．等边三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形
4．（2017八下·临沭期中）如图，是台阶的示意图．已知每个台阶的宽度都是20cm，每个台阶的高度都是10cm，连接AB，则AB等于（ ）
A．120cm B．130cm C．140cm D．150cm
5．（2017八下·临沭期中）下列各组数是三角形的三边，不能组成直角三角形的一组数是（ ）
A．3，4，5 B．6，8，10 C．1.5，2，2.5 D． ， ，
6．（2023八下·南沙期末）如图，一个工人拿一个2.5米长的梯子，底端A放在距离墙根C米处，另一头B点靠墙，如果梯子的顶部下滑0.4米，梯子的底部向外滑多少米？（ ）
A．0.4 B．0.6 C．0.7 D．0.8
7．（2023八下·海淀期末）矩形 中， 是 中点，如果 ，，那么 的长为 （ ）
A． B． C． D．3
8．（2023八下·迪庆期末）如图，为等腰直角三角形，，以斜边为直角边作等腰直角三角形，再以为直角边作等腰直角三角形，，按此规律作下去，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．某楼梯如图所示，欲在楼梯上铺设红色地毯，已知这种地毯每平方米售价为30元，楼梯宽为2m，则购买这种地毯至少需要 元．
10．（2023八下·晋安期末）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为，正方形A的面积是的面积是的面积是，则的面积为 ．
11．（2023八下·铁东期末）在中，，，分别是，，所对的边．若，，，则最长边上的高是 ．
12．（2023八下·黔东南州期末）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成一个大的正方形，是我国古代数学的骄傲，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理．已知小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别为a、b且，则图中大正方形的边长为 ．
13．（2023八下·南宁期末）如图是一台多功能手机支架，图2是其侧面示意图，为地面，支架垂直地面，可分别绕点B，C转动，测量知cm，cm，cm．当转动到，且A，C，D三点共线时，则点A到地面的距离为 cm．
三、解答题
14．（2018八下·合肥期中）如图是一副秋千架，左图是从正面看，当秋千绳子自然下垂时，踏板离地面0.5m（踏板厚度忽略不计）， 右图是从侧面看，当秋千踏板荡起至点B位置时，点B离地面垂直高度BC为1m，离秋千支柱AD的水平距离BE为1.5m（不考虑支柱的直径）.求秋千支柱AD的高.
15．（2023八下·辛集期末）材料阅读：给定三个正整数、、，若它们满足，则称、、这三个数为“勾股数”例如：
，，；，即，、、这三个数为勾股数．
，，；，即，、、这三个数为勾股数．
若三角形的三条边、、满足勾股数，即，则这个三角形为直角三角形，且、分别为直角的两条邻边如题图所示
根据以上信息，解答下列问题：
（1）试判断、、是否为勾股数；
（2）若某三角形的三边长分别为、、，求其面积；
（3）已知某直角三角形的两边长为和，求其周长．
四、计算题
16．如图所示，△ABC和△AEF为等边三角形，点E在△ABC内部，且E到点A，B，C的距离分别为3，4，5，求∠AEB的度数．
五、综合题
17．（2019八下·防城期末）如图，C地到A，B两地分别有笔直的道路 ， 相连，A地与B地之间有一条河流通过，A，B，C三地的距离如图所示.
（1）如果A地在C地的正东方向，那么B地在C地的什么方向？
（2）现计划把河水从河道 段的点D引到C地，求C，D两点间的最短距离.
18．（2023八下·北京市期末）如图，同学们想测量旗杆的高度（米），他们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知．小明和小亮同学应用勾股定理分别提出解决这个问题的方案如下：
小明：①测量出绳子垂直落地后还剩余米，如图；
②把绳子拉直，绳子末端在地面上离旗杆底部米，如图．
小亮：先在旗杆底端的绳子上打了一个结，然后举起绳结拉到如图点处（）．
（1）请你按小明的方案求出旗杆的高度h（米）；
（2）已知小亮举起绳结离旗杆米远，此时绳结离地面多高？
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】勾股数
【解析】【解答】解：A：62+82=100，122=144，62+82≠122，故不是勾股数，A错误；
B：0.6、0.8不属于正整数，故A错误；
C：82+152=289，162=256，82+152≠162，故不是勾股数，C错误；
D：92+122=225=152，故是勾股数，D正确.
故答案为：D.
【分析】勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，据此判断.
2．【答案】A
【知识点】三角形的面积；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：B、∵，，，
∴，
∴∠BAC＝90°，本选项结论正确，不符合题意；
A、∵∠BAC＝90°，，，
∴，本选项结论错误，符合题意；
C、由勾股定理得：，本选项结论正确，不符合题意；
D、设点A到直线BC的距离为h，
∵，
∴，
∴h＝2，即点A到直线BC的距离是2，本选项结论正确，不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据勾股定理算出AB2、AC2、BC2，再根据勾股定理的逆定理判断出△ABC是直角三角形，且∠A=90°，据此判断B选项；根据直角三角形的面积计算方法算出△ABC的面积，可判断A选项；由勾股定理算出AB的长可判断C选项；根据等面积法建立方程可求出点A到直线BC的距离，据此判断D选项.
3．【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：化简（a+b）2=c2+2ab，得，a2+b2=c2所以三角形是直角三角形，
故选：C．
【分析】对等式进行整理，再判断其形状．
4．【答案】B
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图，
由题意得：AC=10×5=50cm，
BC=20×6=120cm，
故AB= = =130（cm）．
故选B．
【分析】作出直角三角形后分别求得直角三角形的两直角边的长后即可利用勾股定理求得斜边AB的长．
5．【答案】D
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、∵32+42=52，
∴此三角形是直角三角形，不合题意；
B、62+82=102，
∴此三角形是直角三角形，不合题意；
C、∵1.52+22=2.52，
∴此三角形是直角三角形，不合题意；
D、（ ）2+（ ）2≠（ ）2，
∴此三角形不是直角三角形，符合题意．
故选D．
【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，就是直角三角形，没有这种关系，就不是直角三角形，分析得出即可．
6．【答案】D
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：由题意可得米，米，米，，
米，
米，
，
米，
米，
梯子的底部向外滑0.8米.
故答案为：D.
【分析】先根据题意表示出已知线段的长度，再通过勾股定理计算得到CE的长，进而求得DA的长度.
7．【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理的应用
【解析】【解答】解：由题意可得：
故答案为：B
【分析】根据含30°角的直角三角形性质及勾股定理即可求出答案。
8．【答案】B
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：OA2=；
OA3=；
OA4=；
OA5=；
所以可知OA1=1，OA2=，OA3=2，OA4=，OA5=4……
OAn=
故答案为：B.
【分析】通过勾股定理可以依次求到斜边的长度，观察之后发现是有规律的一组数字，从而求得；
也可以通过选项中的答案来确定正确选项.
9．【答案】420
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：已知直角三角形的一条直角边是3m，斜边是5m，
根据勾股定理得到：水平的直角边是4m，地毯水平的部分的和是水平边的长，竖直的部分的和是竖直边的长，
则购买这种地毯的长是3m+4m=7m，则面积是14m2，
价格是14×30=420元．
【分析】根据勾股定理得到水平的直角边的长度，由地毯水平的部分的和是水平边的长，竖直的部分的和是竖直边的长，求出矩形的面积，得到购买这种地毯的钱数.
10．【答案】24
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图，
根据勾股定理得到：A与B的面积的和是P的面积；C与D的面积的和是Q的面积；而P，Q的面积的和是M的面积；
即A、B、C、D的面积之和为M的面积；
∵M的面积是82=64，
∴A、B、C、D的面积之和为64，设正方形D的面积为xcm2，
∴8+14+18+x=64，
解得x=24.
故答案为：24.
【分析】根据正方形的面积公式，运用勾股定理可以得到：四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积64，由此即可解决问题.
11．【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：由 ， 联立，
组成方程组：
解得：
∵
∴ 为直角三角形，c为斜边.
设斜边c上的高为h，
则面积s=
解得：h=
故答案为：.
【分析】本题考查勾股定理的逆定理，判段三角形的形状。根据所给方程，求出a、b的值，结合c，满足勾股定理，则可知三角形的形状，根据面积公式，可求斜边上的高。
12．【答案】5
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：设大正方形的边长为c，
∵小正方形的面积是1，
∴（a-b）2=1，
∴a2+b2-2ab=1，
∵ab=12，
∴a2+b2=25，
∴c2=a2+b2=25，即c=5.
故答案为：5.
【分析】设大正方形的边长为c，根据已知得（a-b）2=1，利用完全平方公式展开得a2+b2-2ab=1，把已知ab=12代入得a2+b2=25，根据勾股定理得c2，从而得解.
13．【答案】
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】如图，过点B作BE⊥AD.
∵∠BCA+∠BCD=180°，∠BCD=120°，
∴∠BCA+120°=180°，解得∠BCA=60°，
在Rt△BCE中，∵BC=20cm，∠CBE=30°，
∴，（cm），
在Rt△ABE中，（cm），
∴点A到地面的距离为cm.
【分析】利用平角的意义求得∠BCA，再在Rt△BCE根据含30°角的直角三角形的性质求得BE，接着在Rt△ABE中，利用勾股定理求得AE，最后通过线段的和求得点A到地面的距离.
14．【答案】解：设AD＝xm，则由题意可得
AB＝(x－0.5)m，AE＝(x－1)m，
在Rt△ABE中，AE2＋BE2＝AB2，
即(x－1)2＋1.52＝(x－0.5)2，
解得x＝3．
即秋千支柱AD的高为3m．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】支柱AD的长等于秋千的长度加上秋千垂直时离地面的距离，所以本题应先求出秋千的长度，过点B做AD的垂线，交AD于点E，可得DE=1m，则AE=AD-1，因为BE=1.5m ， AB=AD-0.5，因为，所以，即可求出AD的值.
15．【答案】（1）解：因为，且，，都是正整数，故、、是为勾股数．
（2）解：
该三角形是直角三角形
其面积．
（3）解：当是直角边时，则另一条边，周长为；
当是斜边时，则另一条边，周长为．
故其周长为或．
【知识点】三角形的面积；勾股定理的逆定理；勾股数
【解析】【分析】⑴、根据“勾股数”的定义判断即可；
⑵、先判断三个数是勾股数，进而判断三角形是直角三角形，再求直角三角形的面积。
⑶、直角三角形已知两边但没有明确较长边是直角边还是斜边，需分类讨论求第三边长，再求其周长。
16．【答案】解：连接FC，
∵△ABC和△AEF为等边三角形，
∴AE=AF=EF=3，AB=AC，∠AFE=60°，∠BAC=∠EAF=60°，
∴∠BAE=∠CAF=60°﹣∠CAE，
在△BAE和△CAF中，
，
∴△BAE≌△CAF，
∴CF=BE=4，∠AEB=∠AFC，
∴EF=3，CE=5，
∴CE2=EF2+CF2，
∴∠CFE=90°
∵∠AFE=60°，
∴∠AFC=90°+60°=150°，
∴∠AEB=∠AFC=150°
【知识点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】连接FC，根据等边三角形的性质得出AE=AF=EF=3，AB=AC，∠AFE=60°，∠BAC=∠EAF=60°，求出∠BAE=∠CAF，证出△BAE≌△CAF，推出CF=BE=4，∠AEB=∠AFC，求出CE2=EF2+CF2，推出∠CFE=90°即可求得．
17．【答案】（1）解：∵ ，即 ，
∴ 是直角三角形
∴B地在C地的正北方向
（2）解：作 ，垂足为D，
∴线段 的长就是C，D两点间的最短距离.
∵ 是直角三角形
∴
∴所求的最短距离为
【知识点】垂线段最短；三角形的面积；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）首先根据三地距离关系，利用勾股定理的逆定理可判定其为直角三角形，然后即可判定方位；
（2）首先作 ，即可得出最短距离为CD，然后根据直角三角形的面积列出方程求解即可.
18．【答案】（1）解：如图，由旗杆的高度为米，则绳子的长度为米，
在中，由勾股定理得∶，
解得∶，
故旗杆的高度为米
（2）解：由题可知，米，米．
在中，由勾股定理得∶，
解得∶，
∴米，
∴米．
故绳结离地面米高
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）由旗杆的高度为h米，则绳子的长度为（h+1）米，在Rt△ABC中，利用勾股定理即可求解；
（2）在Rt△BDE中，利用勾股定理即可求解。
1 / 12023-2024学年人教版初中数学八年级下册17.2 勾股定理的逆定理 同步分层训练提升题
一、选择题
1．（2023八下·海城期中）下列图各组数中，是勾股数的是（ ）
A．6，8，12 B．0.6，0.8，1 C．8，15，16 D．9，12，15
【答案】D
【知识点】勾股数
【解析】【解答】解：A：62+82=100，122=144，62+82≠122，故不是勾股数，A错误；
B：0.6、0.8不属于正整数，故A错误；
C：82+152=289，162=256，82+152≠162，故不是勾股数，C错误；
D：92+122=225=152，故是勾股数，D正确.
故答案为：D.
【分析】勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，据此判断.
2．（2022八下·仁怀月考）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B都在格点上，则下列结论错误的是（ ）
A．的面积为10 B．
C． D．点A到直线的距离是2
【答案】A
【知识点】三角形的面积；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：B、∵，，，
∴，
∴∠BAC＝90°，本选项结论正确，不符合题意；
A、∵∠BAC＝90°，，，
∴，本选项结论错误，符合题意；
C、由勾股定理得：，本选项结论正确，不符合题意；
D、设点A到直线BC的距离为h，
∵，
∴，
∴h＝2，即点A到直线BC的距离是2，本选项结论正确，不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据勾股定理算出AB2、AC2、BC2，再根据勾股定理的逆定理判断出△ABC是直角三角形，且∠A=90°，据此判断B选项；根据直角三角形的面积计算方法算出△ABC的面积，可判断A选项；由勾股定理算出AB的长可判断C选项；根据等面积法建立方程可求出点A到直线BC的距离，据此判断D选项.
3．（2017八下·定州期中）三角形的三边长为a，b，c，且满足（a+b）2=c2+2ab，则这个三角形是（ ）
A．等边三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形
【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：化简（a+b）2=c2+2ab，得，a2+b2=c2所以三角形是直角三角形，
故选：C．
【分析】对等式进行整理，再判断其形状．
4．（2017八下·临沭期中）如图，是台阶的示意图．已知每个台阶的宽度都是20cm，每个台阶的高度都是10cm，连接AB，则AB等于（ ）
A．120cm B．130cm C．140cm D．150cm
【答案】B
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图，
由题意得：AC=10×5=50cm，
BC=20×6=120cm，
故AB= = =130（cm）．
故选B．
【分析】作出直角三角形后分别求得直角三角形的两直角边的长后即可利用勾股定理求得斜边AB的长．
5．（2017八下·临沭期中）下列各组数是三角形的三边，不能组成直角三角形的一组数是（ ）
A．3，4，5 B．6，8，10 C．1.5，2，2.5 D． ， ，
【答案】D
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、∵32+42=52，
∴此三角形是直角三角形，不合题意；
B、62+82=102，
∴此三角形是直角三角形，不合题意；
C、∵1.52+22=2.52，
∴此三角形是直角三角形，不合题意；
D、（ ）2+（ ）2≠（ ）2，
∴此三角形不是直角三角形，符合题意．
故选D．
【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，就是直角三角形，没有这种关系，就不是直角三角形，分析得出即可．
6．（2023八下·南沙期末）如图，一个工人拿一个2.5米长的梯子，底端A放在距离墙根C米处，另一头B点靠墙，如果梯子的顶部下滑0.4米，梯子的底部向外滑多少米？（ ）
A．0.4 B．0.6 C．0.7 D．0.8
【答案】D
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：由题意可得米，米，米，，
米，
米，
，
米，
米，
梯子的底部向外滑0.8米.
故答案为：D.
【分析】先根据题意表示出已知线段的长度，再通过勾股定理计算得到CE的长，进而求得DA的长度.
7．（2023八下·海淀期末）矩形 中， 是 中点，如果 ，，那么 的长为 （ ）
A． B． C． D．3
【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理的应用
【解析】【解答】解：由题意可得：
故答案为：B
【分析】根据含30°角的直角三角形性质及勾股定理即可求出答案。
8．（2023八下·迪庆期末）如图，为等腰直角三角形，，以斜边为直角边作等腰直角三角形，再以为直角边作等腰直角三角形，，按此规律作下去，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：OA2=；
OA3=；
OA4=；
OA5=；
所以可知OA1=1，OA2=，OA3=2，OA4=，OA5=4……
OAn=
故答案为：B.
【分析】通过勾股定理可以依次求到斜边的长度，观察之后发现是有规律的一组数字，从而求得；
也可以通过选项中的答案来确定正确选项.
二、填空题
9．某楼梯如图所示，欲在楼梯上铺设红色地毯，已知这种地毯每平方米售价为30元，楼梯宽为2m，则购买这种地毯至少需要 元．
【答案】420
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：已知直角三角形的一条直角边是3m，斜边是5m，
根据勾股定理得到：水平的直角边是4m，地毯水平的部分的和是水平边的长，竖直的部分的和是竖直边的长，
则购买这种地毯的长是3m+4m=7m，则面积是14m2，
价格是14×30=420元．
【分析】根据勾股定理得到水平的直角边的长度，由地毯水平的部分的和是水平边的长，竖直的部分的和是竖直边的长，求出矩形的面积，得到购买这种地毯的钱数.
10．（2023八下·晋安期末）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为，正方形A的面积是的面积是的面积是，则的面积为 ．
【答案】24
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图，
根据勾股定理得到：A与B的面积的和是P的面积；C与D的面积的和是Q的面积；而P，Q的面积的和是M的面积；
即A、B、C、D的面积之和为M的面积；
∵M的面积是82=64，
∴A、B、C、D的面积之和为64，设正方形D的面积为xcm2，
∴8+14+18+x=64，
解得x=24.
故答案为：24.
【分析】根据正方形的面积公式，运用勾股定理可以得到：四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积64，由此即可解决问题.
11．（2023八下·铁东期末）在中，，，分别是，，所对的边．若，，，则最长边上的高是 ．
【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：由 ， 联立，
组成方程组：
解得：
∵
∴ 为直角三角形，c为斜边.
设斜边c上的高为h，
则面积s=
解得：h=
故答案为：.
【分析】本题考查勾股定理的逆定理，判段三角形的形状。根据所给方程，求出a、b的值，结合c，满足勾股定理，则可知三角形的形状，根据面积公式，可求斜边上的高。
12．（2023八下·黔东南州期末）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成一个大的正方形，是我国古代数学的骄傲，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理．已知小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别为a、b且，则图中大正方形的边长为 ．
【答案】5
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：设大正方形的边长为c，
∵小正方形的面积是1，
∴（a-b）2=1，
∴a2+b2-2ab=1，
∵ab=12，
∴a2+b2=25，
∴c2=a2+b2=25，即c=5.
故答案为：5.
【分析】设大正方形的边长为c，根据已知得（a-b）2=1，利用完全平方公式展开得a2+b2-2ab=1，把已知ab=12代入得a2+b2=25，根据勾股定理得c2，从而得解.
13．（2023八下·南宁期末）如图是一台多功能手机支架，图2是其侧面示意图，为地面，支架垂直地面，可分别绕点B，C转动，测量知cm，cm，cm．当转动到，且A，C，D三点共线时，则点A到地面的距离为 cm．
【答案】
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】如图，过点B作BE⊥AD.
∵∠BCA+∠BCD=180°，∠BCD=120°，
∴∠BCA+120°=180°，解得∠BCA=60°，
在Rt△BCE中，∵BC=20cm，∠CBE=30°，
∴，（cm），
在Rt△ABE中，（cm），
∴点A到地面的距离为cm.
【分析】利用平角的意义求得∠BCA，再在Rt△BCE根据含30°角的直角三角形的性质求得BE，接着在Rt△ABE中，利用勾股定理求得AE，最后通过线段的和求得点A到地面的距离.
三、解答题
14．（2018八下·合肥期中）如图是一副秋千架，左图是从正面看，当秋千绳子自然下垂时，踏板离地面0.5m（踏板厚度忽略不计）， 右图是从侧面看，当秋千踏板荡起至点B位置时，点B离地面垂直高度BC为1m，离秋千支柱AD的水平距离BE为1.5m（不考虑支柱的直径）.求秋千支柱AD的高.
【答案】解：设AD＝xm，则由题意可得
AB＝(x－0.5)m，AE＝(x－1)m，
在Rt△ABE中，AE2＋BE2＝AB2，
即(x－1)2＋1.52＝(x－0.5)2，
解得x＝3．
即秋千支柱AD的高为3m．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】支柱AD的长等于秋千的长度加上秋千垂直时离地面的距离，所以本题应先求出秋千的长度，过点B做AD的垂线，交AD于点E，可得DE=1m，则AE=AD-1，因为BE=1.5m ， AB=AD-0.5，因为，所以，即可求出AD的值.
15．（2023八下·辛集期末）材料阅读：给定三个正整数、、，若它们满足，则称、、这三个数为“勾股数”例如：
，，；，即，、、这三个数为勾股数．
，，；，即，、、这三个数为勾股数．
若三角形的三条边、、满足勾股数，即，则这个三角形为直角三角形，且、分别为直角的两条邻边如题图所示
根据以上信息，解答下列问题：
（1）试判断、、是否为勾股数；
（2）若某三角形的三边长分别为、、，求其面积；
（3）已知某直角三角形的两边长为和，求其周长．
【答案】（1）解：因为，且，，都是正整数，故、、是为勾股数．
（2）解：
该三角形是直角三角形
其面积．
（3）解：当是直角边时，则另一条边，周长为；
当是斜边时，则另一条边，周长为．
故其周长为或．
【知识点】三角形的面积；勾股定理的逆定理；勾股数
【解析】【分析】⑴、根据“勾股数”的定义判断即可；
⑵、先判断三个数是勾股数，进而判断三角形是直角三角形，再求直角三角形的面积。
⑶、直角三角形已知两边但没有明确较长边是直角边还是斜边，需分类讨论求第三边长，再求其周长。
四、计算题
16．如图所示，△ABC和△AEF为等边三角形，点E在△ABC内部，且E到点A，B，C的距离分别为3，4，5，求∠AEB的度数．
【答案】解：连接FC，
∵△ABC和△AEF为等边三角形，
∴AE=AF=EF=3，AB=AC，∠AFE=60°，∠BAC=∠EAF=60°，
∴∠BAE=∠CAF=60°﹣∠CAE，
在△BAE和△CAF中，
，
∴△BAE≌△CAF，
∴CF=BE=4，∠AEB=∠AFC，
∴EF=3，CE=5，
∴CE2=EF2+CF2，
∴∠CFE=90°
∵∠AFE=60°，
∴∠AFC=90°+60°=150°，
∴∠AEB=∠AFC=150°
【知识点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】连接FC，根据等边三角形的性质得出AE=AF=EF=3，AB=AC，∠AFE=60°，∠BAC=∠EAF=60°，求出∠BAE=∠CAF，证出△BAE≌△CAF，推出CF=BE=4，∠AEB=∠AFC，求出CE2=EF2+CF2，推出∠CFE=90°即可求得．
五、综合题
17．（2019八下·防城期末）如图，C地到A，B两地分别有笔直的道路 ， 相连，A地与B地之间有一条河流通过，A，B，C三地的距离如图所示.
（1）如果A地在C地的正东方向，那么B地在C地的什么方向？
（2）现计划把河水从河道 段的点D引到C地，求C，D两点间的最短距离.
【答案】（1）解：∵ ，即 ，
∴ 是直角三角形
∴B地在C地的正北方向
（2）解：作 ，垂足为D，
∴线段 的长就是C，D两点间的最短距离.
∵ 是直角三角形
∴
∴所求的最短距离为
【知识点】垂线段最短；三角形的面积；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）首先根据三地距离关系，利用勾股定理的逆定理可判定其为直角三角形，然后即可判定方位；
（2）首先作 ，即可得出最短距离为CD，然后根据直角三角形的面积列出方程求解即可.
18．（2023八下·北京市期末）如图，同学们想测量旗杆的高度（米），他们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知．小明和小亮同学应用勾股定理分别提出解决这个问题的方案如下：
小明：①测量出绳子垂直落地后还剩余米，如图；
②把绳子拉直，绳子末端在地面上离旗杆底部米，如图．
小亮：先在旗杆底端的绳子上打了一个结，然后举起绳结拉到如图点处（）．
（1）请你按小明的方案求出旗杆的高度h（米）；
（2）已知小亮举起绳结离旗杆米远，此时绳结离地面多高？
【答案】（1）解：如图，由旗杆的高度为米，则绳子的长度为米，
在中，由勾股定理得∶，
解得∶，
故旗杆的高度为米
（2）解：由题可知，米，米．
在中，由勾股定理得∶，
解得∶，
∴米，
∴米．
故绳结离地面米高
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）由旗杆的高度为h米，则绳子的长度为（h+1）米，在Rt△ABC中，利用勾股定理即可求解；
（2）在Rt△BDE中，利用勾股定理即可求解。
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