2023-2024学年人教版初中数学八年级下册17.2 勾股定理的逆定理 同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2023八下·兰陵期末）如图，直角中，，，则内部五个小直角三角形的周长为（ ）．
A．32 B．56 C．31 D．55
【答案】B
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，
BC=
=
=24
∴△ABC的周长=AB+BC+AC=56
由图可得内部五个小直角三角形的周长之和等于大三角形的周长
∴内部五个小直角三角形的周长为56
故答案为：B.
【分析】由图可得内部五个小直角三角形的周长之和等于大三角形的周长，根据勾股定理求出BC的长，进而求出△ABC的周长，即可得出答案。
2．（2023八下·铁岭期末）如图是一张探宝图，根据图中的尺寸，起点到终点的距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图，作，
，，，
.
故答案为：A.
【分析】过点B作构造直角三角形，根据图中的尺寸可得直角三角形的两直角边的长度，再利用勾股定理求得AB的长度.
3．（2023八下·建昌期末）下列各组数中，不能判定△ABC为直角三角形是（ ）
A． B．∠A＋∠B＝∠C
C．a＝5，b＝9，c＝13 D．
【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解： A、∵a=1，b=，c=，
∴c2=a2+b2=3，
∴△ABC为直角三角形，
故A不符合题意；
B、∵∠A+∠B=∠C，∠A+∠B+∠C=180°，
∴2∠C=180°，
∴∠C=90°，
∴△ABC为直角三角形，
故B不符合题意；
C、∵a=5，b=9，c=13，
∴a2+b2=52+92=106，c2=132=169，
∴a2+b2≠c2，
∴不能判定△ABC为直角三角形，
故C符合题意；
D、∵a2+b2=c2，
∴△ABC为直角三角形，
故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，逐一判断即可．
4．（2023八下·乌鲁木齐期末）如图，以为直径分别向外作半圆，若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：设Rt△ABC的三边为a、b、c，
∴S1==，S2==，S3==，
在Rt△ABC中，a2+c2=b2，
∴S2+S3=+===S1，
∵S1=10，S3=8，
∴S2=S1-S3=2.
故答案为：A.
【分析】根据勾股定理和半圆的面积公式即可求解.
5．（2023八下·庐阳期末）的三边长分别为，，．下列条件：；；∶∶∶∶；∶∶∶∶．其中能判断是直角三角形的个数有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解： ∵∠A=∠B一∠C，所以∠B=∠A+∠C
又∵三角形内角和为180°
∴∠B=90°， 可得ABC是直角三角形.
故项符合题意.
②∵a2=(b+c)(b-c)
∴a2=b2-c2
∴b2=a2+c2
∴满足勾股定理，可得∠B=90°
∴ 可得△ABC是直角三角形.
故②项符合题意.
∵∠A：∠B：∠C=3：4：5
∴设∠A=3x.∠B=4x.∠C=5x
则有3x+4x+5x=180°.解得x=15°
∴∠A=45°.∠B=60°，∠C=75°
∴△ABC不是直角三角形. 故项不符合题意.
∵：b：c=5：12：13
∴设a=5x.b=12x. C=13x
此时有a2+b2=c2
∴满足勾股定理，可得C=90°
∴△ABC是直角三角形.
故项符合题意.
∴能判断△ABC是直角三角形的个数有3 个..
故答案为：C.
【分析】由勾股定理逆定理和角的运算解题即可。
6．（2023八下·谢家集期末）如图1，在中，点P从点C出发，设点P的运动距离为x，的长为y，则当点P为中点时，的长为（ ）
A．5 B． C． D．8
【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解： ∵P点是从C点出发的，C为初始点，
观察图象x=0时y=6，则AC=6，P从C 向B运动过程中，AP是不断增加的，而P从B向A移动的过程中，AP是不断减少的。
∴转折点为B点，P运动到B点时，BC=PC=a，此时y=a+2
即AP=AB=a+2，AC=6，
∵∠C=90°， 由勾股定理得：(a+2)2=62+a2，
∴a=8
∴AB=10，BC=8， 当点P为BC中点时，CP=4，
故答案为：.
【分析】由图2可得出AC=6，BC=a，AB=a+2，由勾股定理可以求出a的值，从而得出BC=8，AB=10，当P为BC的中点时CP=4，由勾股定理可求出AP长。
7．（2023八下·香河期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，点是轴上的一个动点．结合图形得出式子的最小值是（ ）
A．3 B． C．5 D．
【答案】C
【知识点】勾股定理的应用；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】
解：PA+PB=
取B点关于X轴的对称点B’(2，-1)，连接AB’交X轴于P，则PB’=PB，
∴PA+PB=PA+PB’=AB’，此时PA+PB的值最小，即的值最小。
∵AB’=
∴的最小值是5 。
【分析】
给出的代数式可以看作是两条线段的长度和，即PA+PB，求出PA+PB的最小值也就求出了代数式的最小值。
求PA+PB最小值时，可先取B关于X轴的对称点B‘ ，连接AB’，求出AB’的值即可。
8．（2023八下·呈贡期末）如果正整数a、b、c满足等式，那么正整数a、b、c叫做勾股数．某同学将自探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知的值为（ ）
a b c
3 4 5
8 6 10
15 8 17
24 10 26
… … …
x 14 y
A．67 B．34 C．98 D．73
【答案】C
【知识点】勾股数
【解析】【解答】解：观察可知，b的通项是2n（n是从2开始的正整数）
则a=n2-1，c=n2+1
当b=14即n=7时，a=48 b=50
a+b=x+y=48+50=98
故答案为：C
【分析】观察找到每列数的规律即找到通项，勾股数的通项非常有代表性，应该记牢。
二、填空题
9．某楼梯如图所示，欲在楼梯上铺设红色地毯，已知这种地毯每平方米售价为30元，楼梯宽为2m，则购买这种地毯至少需要 元．
【答案】420
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：已知直角三角形的一条直角边是3m，斜边是5m，
根据勾股定理得到：水平的直角边是4m，地毯水平的部分的和是水平边的长，竖直的部分的和是竖直边的长，
则购买这种地毯的长是3m+4m=7m，则面积是14m2，
价格是14×30=420元．
【分析】根据勾股定理得到水平的直角边的长度，由地毯水平的部分的和是水平边的长，竖直的部分的和是竖直边的长，求出矩形的面积，得到购买这种地毯的钱数.
10．（2023八下·安达期末）如图，一只蚂蚁沿着边长为2的正方体表面从点4出发，经过3个面爬到点B，如果它运动的路径是最短的，则最短路径的是长为 .
【答案】
【知识点】平面展开﹣最短路径问题
【解析】【解答】解：将正方体沿水平方向展开，如下图：
如上图，为最短路径AB，
∴
故答案为：.
【分析】根据两点之间直线最短，将正方沿水平方向展开，易知AB为最短路径，最后根据勾股定理计算即可.
11．（2023八下·乾安期末）如图是一个三级台阶，每一级的长，宽和高分别是50cm，30cm，10cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，若一只壁虎从A点出发沿着台阶面爬到B点，则壁虎爬行的最短路线的长是 ．
【答案】130cm
【知识点】勾股定理；平面展开﹣最短路径问题
【解析】【解答】解：如图，将立体几何展开可得：
壁虎爬行的最短路线即是线段AB的长，
根据题意可得：AC=50，BC=120，
在Rt△ABC中，由勾股定理可得：
，
故答案为：130cm.
【分析】先将立体几何转换为平面几何，再利用勾股定理求出AB的长即可.
12．（2022八下·碑林开学考）如图，已知Rt△ABC，∠C=90°，AC=BC=2，点M，N分别为CB，CA上的动点，且始终保持BM=CN，则AM+BN的最小值为 ．
【答案】2
【知识点】勾股定理；平面展开﹣最短路径问题；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：如图，过点B作BD∥AC，使得BD=AC=BC=2，连接AD，交BC于点N，再过点DE⊥AB于E点，
∵NC=MB，∠C=∠MBD=90°，BC=BD，
∴△CBN≌△BDM（SAS），
∴BN=MD，
∴AM+BN=AM+MD，
∴当A、M、D三点共线时，AM+MD最小，最小为AD，即AM+BN最小值为AD长，
∵BD=CB=2，
∴BE=DE= ，AB=2
∴AE=AB+BE=2 + =3 ，
∴在Rt△AED中，由勾股定理得AD= ，
∴AM+BN的最小值为2 .
故答案为：2 .
【分析】过点B作BD∥AC，使得BD=AC=BC=2，连接AD，交BC于点N，再过点DE⊥AB于E点，易证明△CBN≌△BDM，可得BN=MD，进而得AM+BN=AM+MD，因此当A、M、D三点共线时AM+BN最小，最小值为AD长；再分别求出DE和AE得长，由勾股定理即可求得AD的长，即可求出AM+BN的最小值.
13．（2021八下·北海期末）如图，某开发区有一块四边形的空地ABCD，现计划在空地上种植草皮，经测量∠A＝90°，AB＝3m，BC＝12m，CD＝13m，DA＝4m，若每平方米草皮需要200元，则要投入 元.
【答案】7200
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：连接BD，
在Rt△ABD中，BD2＝AB2+AD2＝32+42＝52，
在△CBD中，CD2＝132BC2＝122，
而122+52＝132，
即BC2+BD2＝CD2，
∴∠DBC＝90°，
S四边形ABCD＝S△BAD+S△DBC＝ ，
＝ ＝36.
所以需费用36×200＝7200（元）.
故答案为7200.
【分析】连接BD，在Rt△ABD中，先根据勾股定理求出BD2的值，再运用勾股定理逆定理证明∠DBC＝90°，最后运用S四边形ABCD＝S△BAD+S△DBC即可求出面积，进而即可求解.
三、解答题
14．（2023八下·大安期末）如图，小旭放风筝时，风筝线断了，风筝挂在了树上．他想知道风筝距地面的高度．于是他先拉住风筝线垂直到地面上，发现风筝线多出1米，然后把风筝线沿直线向后拉开5米，发现风筝线末端刚好接触地面（如图为示意图）．请你帮小旭求出风筝距离地面的高度．
【答案】解：设，则，
由图可得，，，
中，，
即，
解得，
答：风筝距离地面的高度为12米．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】设，则，根据勾股定理列出方程，解方程，即可求解．
15．阅读：能够成为直角三角形的三边长的三个正整数a，b，c，称为勾股数．世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数组的公式为 其中m＞n＞0，m，n是互质的奇数．
应用：当n＝1时，求有一边长为5的直角三角形的另外两条边的长．
【答案】解：当n=1时，①a=（m2-1），②b=m，③c=（m2+1）
∵直角三角形的一边长为5
∴当a=5时，（m2-1）=5，m=±（舍去）；
当b=5时，m=5，代入①③中可得a=12，c=13；
当c=5时，（m2+1）=5，m=±3，即m=3，代入①②中可得a=4，b=3
∴另外两条边长为12，13或3，4.
【知识点】勾股数
【解析】【分析】将n=1代入勾股数组三个公式中，分别根据一条边的长为5，得到a=5，b=5，c=5三种情况，求另外两条边的边长即可。
四、综合题
16．（2022八下·南沙期末）如图1，在正方形中，E是的中点．
（1）若，求的长．
（2）如图2，F是线段上的一点，且，求证：是直角三角形．
（3）如图3是一个正方体，棱长，的中点E处有一只蚂蚁，蚂蚁从处出发在正方体表面爬行，经过上某点P处后继续沿直线方向爬到正方体的顶点G处．当的值最小时，求的长．
【答案】（1）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB=4，∠A=90°，
∵E是AB的中点，
∴AE=BE=2，
∴DE=；
（2）证明：设正方形的边长为4a，
∵四边形ABCD为正方形，
∴BC=CD=AD=AB=4a，∠A=90°，
∵E是AB的中点，
∴AE=BE=2a，
∵AE=2BF，
∴BF=a，
∴CF=3a，
在Rt ADE中，
DE=，
在Rt EFB中，
EF=，
在Rt CDF中，
DF=，
∴，
∴∠DEF=90°，
∴ DEF是直角三角形；
（3）解：如图所示，连接AP，
由两点之间，线段最短，则当点P、点E、点G三点共线时，EP+PG有最小值，最小值为EG的长，
∵AD=DG，∠ADC=90°，
∴AP=PG，
∴∠PAG=∠PGA，
∵∠BAG=90°，
∴∠AEP=∠EAP，
∴AP=EP，
∴EP=PG，
∵AD=DG，
∴DP=．
【知识点】勾股定理；平面展开﹣最短路径问题
【解析】【分析】（1）由 四边形ABCD是正方形， 得出 AD=AB=4，∠A=90°， 再利用勾股定理得出DE的值即可；
（2）由正方形的性质得出BC的值， 在Rt ADE中， 利用勾股定理得出DE的值， 在Rt EFB中， 利用勾股定理得出EF的值， 在Rt CDF中， 利用勾股定理得出DF的值，即可得出 ， 即可得解；
（3） 由两点之间，线段最短，则当点P、点E、点G三点共线时，EP+PG有最小值，最小值为EG的长， 得出 AP=EP，EP=PG， 即可得解。
17．（2022八下·慈溪期末）如图，一条笔直的竹竿斜靠在一道垂直于地面的墙面上，一端在墙面A处，另一端在地面B处，墙角记为点C.
（1）若 米， 米.
①竹竿的顶端A沿墙下滑1米，那么点B将向外移动多少米？
②竹竿的顶端从A处沿墙 下滑的距离与点B向外移动的距离，有可能相等吗？如果不可能，请说明理由；如果可能，请求出移动的距离（保留根号）.
（2）若 ，则顶端A下滑的距离与底端B外移的距离，有可能相等吗？若能相等，请说明理由；若不等，请比较顶端A下滑的距离与底端B外移的距离的大小.
【答案】（1）解：∠C=90°， 米，
∴ 米，
①根据题意得： ，
∴ 米，
∴ 米，
∴ 米，
即点B将向外移动 米；
②竹竿的顶端从A处沿墙 下滑的距离与点B向外移动的距离，有可能相等，理由如下：
设从A处沿墙 下滑的距离为x米，点B也向外移动的距离为x米，根据题意得：
，
解得： （舍去），
∴从A处沿墙 下滑的距离为3.5米时，点B也向外移动的距离为3.5米，
即竹竿的顶端从A处沿墙 下滑的距离与点B向外移动的距离，有可能相等；
（2）解：不可能相等，理由如下：
设AC=BC=a，从A处沿墙 下滑的距离为m米，点B向外移动的距离为n米，则 ，根据题意得：
，
整理得： ，
即 ，
∵a、m、n都为正数，
∴ ，即 .
∴顶端A下滑的距离大于底端B外移的距离.
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）①利用勾股定理可得AC的值，由题意可得AA′=1m，则A′C=AC-AA′=5米，利用勾股定理可得B′C，然后根据BB′=B′C-BC进行计算；
②设从A处沿墙AC下滑的距离为x米，点B也向外移动的距离为x米，根据勾股定理可得关于x的方程，求解即可；
（2）设AC=BC=a，从A处沿墙AC下滑的距离为m米，点B向外移动的距离为n米，则AB=A′B′=a，根据勾股定理可得(a-m)2+(a+n)2=(a)2，化简可得m-n=，根据a、m、n都为正数可得m>n，据此解答.
1 / 12023-2024学年人教版初中数学八年级下册17.2 勾股定理的逆定理 同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2023八下·兰陵期末）如图，直角中，，，则内部五个小直角三角形的周长为（ ）．
A．32 B．56 C．31 D．55
2．（2023八下·铁岭期末）如图是一张探宝图，根据图中的尺寸，起点到终点的距离是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023八下·建昌期末）下列各组数中，不能判定△ABC为直角三角形是（ ）
A． B．∠A＋∠B＝∠C
C．a＝5，b＝9，c＝13 D．
4．（2023八下·乌鲁木齐期末）如图，以为直径分别向外作半圆，若，，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2023八下·庐阳期末）的三边长分别为，，．下列条件：；；∶∶∶∶；∶∶∶∶．其中能判断是直角三角形的个数有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
6．（2023八下·谢家集期末）如图1，在中，点P从点C出发，设点P的运动距离为x，的长为y，则当点P为中点时，的长为（ ）
A．5 B． C． D．8
7．（2023八下·香河期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，点是轴上的一个动点．结合图形得出式子的最小值是（ ）
A．3 B． C．5 D．
8．（2023八下·呈贡期末）如果正整数a、b、c满足等式，那么正整数a、b、c叫做勾股数．某同学将自探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知的值为（ ）
a b c
3 4 5
8 6 10
15 8 17
24 10 26
… … …
x 14 y
A．67 B．34 C．98 D．73
二、填空题
9．某楼梯如图所示，欲在楼梯上铺设红色地毯，已知这种地毯每平方米售价为30元，楼梯宽为2m，则购买这种地毯至少需要 元．
10．（2023八下·安达期末）如图，一只蚂蚁沿着边长为2的正方体表面从点4出发，经过3个面爬到点B，如果它运动的路径是最短的，则最短路径的是长为 .
11．（2023八下·乾安期末）如图是一个三级台阶，每一级的长，宽和高分别是50cm，30cm，10cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，若一只壁虎从A点出发沿着台阶面爬到B点，则壁虎爬行的最短路线的长是 ．
12．（2022八下·碑林开学考）如图，已知Rt△ABC，∠C=90°，AC=BC=2，点M，N分别为CB，CA上的动点，且始终保持BM=CN，则AM+BN的最小值为 ．
13．（2021八下·北海期末）如图，某开发区有一块四边形的空地ABCD，现计划在空地上种植草皮，经测量∠A＝90°，AB＝3m，BC＝12m，CD＝13m，DA＝4m，若每平方米草皮需要200元，则要投入 元.
三、解答题
14．（2023八下·大安期末）如图，小旭放风筝时，风筝线断了，风筝挂在了树上．他想知道风筝距地面的高度．于是他先拉住风筝线垂直到地面上，发现风筝线多出1米，然后把风筝线沿直线向后拉开5米，发现风筝线末端刚好接触地面（如图为示意图）．请你帮小旭求出风筝距离地面的高度．
15．阅读：能够成为直角三角形的三边长的三个正整数a，b，c，称为勾股数．世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数组的公式为 其中m＞n＞0，m，n是互质的奇数．
应用：当n＝1时，求有一边长为5的直角三角形的另外两条边的长．
四、综合题
16．（2022八下·南沙期末）如图1，在正方形中，E是的中点．
（1）若，求的长．
（2）如图2，F是线段上的一点，且，求证：是直角三角形．
（3）如图3是一个正方体，棱长，的中点E处有一只蚂蚁，蚂蚁从处出发在正方体表面爬行，经过上某点P处后继续沿直线方向爬到正方体的顶点G处．当的值最小时，求的长．
17．（2022八下·慈溪期末）如图，一条笔直的竹竿斜靠在一道垂直于地面的墙面上，一端在墙面A处，另一端在地面B处，墙角记为点C.
（1）若 米， 米.
①竹竿的顶端A沿墙下滑1米，那么点B将向外移动多少米？
②竹竿的顶端从A处沿墙 下滑的距离与点B向外移动的距离，有可能相等吗？如果不可能，请说明理由；如果可能，请求出移动的距离（保留根号）.
（2）若 ，则顶端A下滑的距离与底端B外移的距离，有可能相等吗？若能相等，请说明理由；若不等，请比较顶端A下滑的距离与底端B外移的距离的大小.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，
BC=
=
=24
∴△ABC的周长=AB+BC+AC=56
由图可得内部五个小直角三角形的周长之和等于大三角形的周长
∴内部五个小直角三角形的周长为56
故答案为：B.
【分析】由图可得内部五个小直角三角形的周长之和等于大三角形的周长，根据勾股定理求出BC的长，进而求出△ABC的周长，即可得出答案。
2．【答案】A
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图，作，
，，，
.
故答案为：A.
【分析】过点B作构造直角三角形，根据图中的尺寸可得直角三角形的两直角边的长度，再利用勾股定理求得AB的长度.
3．【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解： A、∵a=1，b=，c=，
∴c2=a2+b2=3，
∴△ABC为直角三角形，
故A不符合题意；
B、∵∠A+∠B=∠C，∠A+∠B+∠C=180°，
∴2∠C=180°，
∴∠C=90°，
∴△ABC为直角三角形，
故B不符合题意；
C、∵a=5，b=9，c=13，
∴a2+b2=52+92=106，c2=132=169，
∴a2+b2≠c2，
∴不能判定△ABC为直角三角形，
故C符合题意；
D、∵a2+b2=c2，
∴△ABC为直角三角形，
故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，逐一判断即可．
4．【答案】A
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：设Rt△ABC的三边为a、b、c，
∴S1==，S2==，S3==，
在Rt△ABC中，a2+c2=b2，
∴S2+S3=+===S1，
∵S1=10，S3=8，
∴S2=S1-S3=2.
故答案为：A.
【分析】根据勾股定理和半圆的面积公式即可求解.
5．【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解： ∵∠A=∠B一∠C，所以∠B=∠A+∠C
又∵三角形内角和为180°
∴∠B=90°， 可得ABC是直角三角形.
故项符合题意.
②∵a2=(b+c)(b-c)
∴a2=b2-c2
∴b2=a2+c2
∴满足勾股定理，可得∠B=90°
∴ 可得△ABC是直角三角形.
故②项符合题意.
∵∠A：∠B：∠C=3：4：5
∴设∠A=3x.∠B=4x.∠C=5x
则有3x+4x+5x=180°.解得x=15°
∴∠A=45°.∠B=60°，∠C=75°
∴△ABC不是直角三角形. 故项不符合题意.
∵：b：c=5：12：13
∴设a=5x.b=12x. C=13x
此时有a2+b2=c2
∴满足勾股定理，可得C=90°
∴△ABC是直角三角形.
故项符合题意.
∴能判断△ABC是直角三角形的个数有3 个..
故答案为：C.
【分析】由勾股定理逆定理和角的运算解题即可。
6．【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解： ∵P点是从C点出发的，C为初始点，
观察图象x=0时y=6，则AC=6，P从C 向B运动过程中，AP是不断增加的，而P从B向A移动的过程中，AP是不断减少的。
∴转折点为B点，P运动到B点时，BC=PC=a，此时y=a+2
即AP=AB=a+2，AC=6，
∵∠C=90°， 由勾股定理得：(a+2)2=62+a2，
∴a=8
∴AB=10，BC=8， 当点P为BC中点时，CP=4，
故答案为：.
【分析】由图2可得出AC=6，BC=a，AB=a+2，由勾股定理可以求出a的值，从而得出BC=8，AB=10，当P为BC的中点时CP=4，由勾股定理可求出AP长。
7．【答案】C
【知识点】勾股定理的应用；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】
解：PA+PB=
取B点关于X轴的对称点B’(2，-1)，连接AB’交X轴于P，则PB’=PB，
∴PA+PB=PA+PB’=AB’，此时PA+PB的值最小，即的值最小。
∵AB’=
∴的最小值是5 。
【分析】
给出的代数式可以看作是两条线段的长度和，即PA+PB，求出PA+PB的最小值也就求出了代数式的最小值。
求PA+PB最小值时，可先取B关于X轴的对称点B‘ ，连接AB’，求出AB’的值即可。
8．【答案】C
【知识点】勾股数
【解析】【解答】解：观察可知，b的通项是2n（n是从2开始的正整数）
则a=n2-1，c=n2+1
当b=14即n=7时，a=48 b=50
a+b=x+y=48+50=98
故答案为：C
【分析】观察找到每列数的规律即找到通项，勾股数的通项非常有代表性，应该记牢。
9．【答案】420
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：已知直角三角形的一条直角边是3m，斜边是5m，
根据勾股定理得到：水平的直角边是4m，地毯水平的部分的和是水平边的长，竖直的部分的和是竖直边的长，
则购买这种地毯的长是3m+4m=7m，则面积是14m2，
价格是14×30=420元．
【分析】根据勾股定理得到水平的直角边的长度，由地毯水平的部分的和是水平边的长，竖直的部分的和是竖直边的长，求出矩形的面积，得到购买这种地毯的钱数.
10．【答案】
【知识点】平面展开﹣最短路径问题
【解析】【解答】解：将正方体沿水平方向展开，如下图：
如上图，为最短路径AB，
∴
故答案为：.
【分析】根据两点之间直线最短，将正方沿水平方向展开，易知AB为最短路径，最后根据勾股定理计算即可.
11．【答案】130cm
【知识点】勾股定理；平面展开﹣最短路径问题
【解析】【解答】解：如图，将立体几何展开可得：
壁虎爬行的最短路线即是线段AB的长，
根据题意可得：AC=50，BC=120，
在Rt△ABC中，由勾股定理可得：
，
故答案为：130cm.
【分析】先将立体几何转换为平面几何，再利用勾股定理求出AB的长即可.
12．【答案】2
【知识点】勾股定理；平面展开﹣最短路径问题；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：如图，过点B作BD∥AC，使得BD=AC=BC=2，连接AD，交BC于点N，再过点DE⊥AB于E点，
∵NC=MB，∠C=∠MBD=90°，BC=BD，
∴△CBN≌△BDM（SAS），
∴BN=MD，
∴AM+BN=AM+MD，
∴当A、M、D三点共线时，AM+MD最小，最小为AD，即AM+BN最小值为AD长，
∵BD=CB=2，
∴BE=DE= ，AB=2
∴AE=AB+BE=2 + =3 ，
∴在Rt△AED中，由勾股定理得AD= ，
∴AM+BN的最小值为2 .
故答案为：2 .
【分析】过点B作BD∥AC，使得BD=AC=BC=2，连接AD，交BC于点N，再过点DE⊥AB于E点，易证明△CBN≌△BDM，可得BN=MD，进而得AM+BN=AM+MD，因此当A、M、D三点共线时AM+BN最小，最小值为AD长；再分别求出DE和AE得长，由勾股定理即可求得AD的长，即可求出AM+BN的最小值.
13．【答案】7200
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：连接BD，
在Rt△ABD中，BD2＝AB2+AD2＝32+42＝52，
在△CBD中，CD2＝132BC2＝122，
而122+52＝132，
即BC2+BD2＝CD2，
∴∠DBC＝90°，
S四边形ABCD＝S△BAD+S△DBC＝ ，
＝ ＝36.
所以需费用36×200＝7200（元）.
故答案为7200.
【分析】连接BD，在Rt△ABD中，先根据勾股定理求出BD2的值，再运用勾股定理逆定理证明∠DBC＝90°，最后运用S四边形ABCD＝S△BAD+S△DBC即可求出面积，进而即可求解.
14．【答案】解：设，则，
由图可得，，，
中，，
即，
解得，
答：风筝距离地面的高度为12米．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】设，则，根据勾股定理列出方程，解方程，即可求解．
15．【答案】解：当n=1时，①a=（m2-1），②b=m，③c=（m2+1）
∵直角三角形的一边长为5
∴当a=5时，（m2-1）=5，m=±（舍去）；
当b=5时，m=5，代入①③中可得a=12，c=13；
当c=5时，（m2+1）=5，m=±3，即m=3，代入①②中可得a=4，b=3
∴另外两条边长为12，13或3，4.
【知识点】勾股数
【解析】【分析】将n=1代入勾股数组三个公式中，分别根据一条边的长为5，得到a=5，b=5，c=5三种情况，求另外两条边的边长即可。
16．【答案】（1）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB=4，∠A=90°，
∵E是AB的中点，
∴AE=BE=2，
∴DE=；
（2）证明：设正方形的边长为4a，
∵四边形ABCD为正方形，
∴BC=CD=AD=AB=4a，∠A=90°，
∵E是AB的中点，
∴AE=BE=2a，
∵AE=2BF，
∴BF=a，
∴CF=3a，
在Rt ADE中，
DE=，
在Rt EFB中，
EF=，
在Rt CDF中，
DF=，
∴，
∴∠DEF=90°，
∴ DEF是直角三角形；
（3）解：如图所示，连接AP，
由两点之间，线段最短，则当点P、点E、点G三点共线时，EP+PG有最小值，最小值为EG的长，
∵AD=DG，∠ADC=90°，
∴AP=PG，
∴∠PAG=∠PGA，
∵∠BAG=90°，
∴∠AEP=∠EAP，
∴AP=EP，
∴EP=PG，
∵AD=DG，
∴DP=．
【知识点】勾股定理；平面展开﹣最短路径问题
【解析】【分析】（1）由 四边形ABCD是正方形， 得出 AD=AB=4，∠A=90°， 再利用勾股定理得出DE的值即可；
（2）由正方形的性质得出BC的值， 在Rt ADE中， 利用勾股定理得出DE的值， 在Rt EFB中， 利用勾股定理得出EF的值， 在Rt CDF中， 利用勾股定理得出DF的值，即可得出 ， 即可得解；
（3） 由两点之间，线段最短，则当点P、点E、点G三点共线时，EP+PG有最小值，最小值为EG的长， 得出 AP=EP，EP=PG， 即可得解。
17．【答案】（1）解：∠C=90°， 米，
∴ 米，
①根据题意得： ，
∴ 米，
∴ 米，
∴ 米，
即点B将向外移动 米；
②竹竿的顶端从A处沿墙 下滑的距离与点B向外移动的距离，有可能相等，理由如下：
设从A处沿墙 下滑的距离为x米，点B也向外移动的距离为x米，根据题意得：
，
解得： （舍去），
∴从A处沿墙 下滑的距离为3.5米时，点B也向外移动的距离为3.5米，
即竹竿的顶端从A处沿墙 下滑的距离与点B向外移动的距离，有可能相等；
（2）解：不可能相等，理由如下：
设AC=BC=a，从A处沿墙 下滑的距离为m米，点B向外移动的距离为n米，则 ，根据题意得：
，
整理得： ，
即 ，
∵a、m、n都为正数，
∴ ，即 .
∴顶端A下滑的距离大于底端B外移的距离.
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）①利用勾股定理可得AC的值，由题意可得AA′=1m，则A′C=AC-AA′=5米，利用勾股定理可得B′C，然后根据BB′=B′C-BC进行计算；
②设从A处沿墙AC下滑的距离为x米，点B也向外移动的距离为x米，根据勾股定理可得关于x的方程，求解即可；
（2）设AC=BC=a，从A处沿墙AC下滑的距离为m米，点B向外移动的距离为n米，则AB=A′B′=a，根据勾股定理可得(a-m)2+(a+n)2=(a)2，化简可得m-n=，根据a、m、n都为正数可得m>n，据此解答.
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