2023-2024学年人教版初中数学九年级下册26.1.1 反比例函数 同步分层训练提升题
一、选择题
1．（2023七上·淄博开学考）下列各式中，和成反比关系的是（ ）
A． B． C．：： D．
2．（2023·重庆）反比例函数的图象一定经过的点是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023九上·泸州期中）下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ）
A．y＝4x B． C． D．
4．（2023八上·蚌山期中）函数中自变量的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022九上·新泰期末）给出下列函数关系式：①；②；③；④；⑤2xy＝1；⑥－xy＝2．其中，表示y是x的反比例函数的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．（2022九上·顺义期末）下面两个问题中都有两个变量：
①矩形的周长为20，矩形的面积y与一边长x；②矩形的面积为20，矩形的宽y与矩形的长x．其中变量y与变量x之间的函数关系表述正确的是（ ）
A．①是反比例函数，②是二次函数
B．①是二次函数，②是反比例函数
C．①②都是二次函数
D．①②都是反比例函数
7．（2022·丰台模拟）如图，长方体的体积是100m3，底面一边长为2m．记底面另一边长为xm，底面的周长为lm，长方体的高为hm．当x在一定范围内变化时，l和h都随x的变化而变化，则l与x，h与x满足的函数关系分别是（ ）
A．一次函数关系，二次函数关系
B．反比例函数关系，二次函数关系
C．反比例函数关系，一次函数关系
D．一次函数关系，反比例函数关系
8．（2021九上·咸阳月考）若 是反比例函数，则m满足的条件是（ ）
A．m≠0 B．m=3 C．m=3或m=0 D．m≠3且m≠0
二、填空题
9．（2023八下·香坊期末）在函数中，自变量的取值范围是 .
10．已知 ，当 ＝ 时， 是 的反比例函数．
11．（2023九上·成都期中）已知函数y＝（m+3）x|m|﹣4是反比例函数，则m＝ ．
12．已知反比例函数 中，当 时， ，则 .
13．（2023·峨眉山模拟）某动物园利用杠杆原理称象：如图，在点P处挂一根质地均匀且足够长的钢梁（呈水平状态），将装有大象的铁笼和弹簧秤（秤的重力忽略不计）分别悬挂在钢梁的点A，B处，当钢梁保持水平时，弹簧秤读数为k（N）．若铁笼固定不动，移动弹簧秤使扩大到原来的n（）倍，且钢梁保持水平，则弹簧秤读数为 （N）（用含n，k的代数式表示）．
三、解答题
14．（2021九上·中方期末）已知函数 是反比例函数，求 的值.
15．如图，已知A（n，﹣2），B（1，4）是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数y=的图象的两个交点，直线AB与y轴交于点C．
（1）求反比例函数和一次函数的关系式；
（2）求△AOC的面积；
（3）求不等式kx+b﹣＜0的解集．（直接写出答案）
四、作图题
16．（2021·泗洪模拟）如图， 的直径 ， 和 是它的两条切线， 与 相切于点 ，并与 ， 分别相交于 ， 两点，设 ， ，求 关于 的函数表达式，并在坐标系中画出它的图象.
五、综合题
17．已知反比例函数 .
（1）说出这个函数的比例系数；
（2）求当 时函数 的值；
（3）求当 时自变量 的值.
18．列出下列问题中的函数关系式，并判断它们是否为反比例函数．
（1）某农场的粮食总产量为1 500t，则该农场人数y（人）与平均每人占有粮食量x（t）的函数关系式；
（2）在加油站，加油机显示器上显示的某一种油的单价为每升4.75元，总价从0元开始随着加油量的变化而变化，则总价y（元）与加油量x（L）的函数关系式；
（3）小明完成100m赛跑时，时间t（s）与他跑步的平均速度v（m/s）之间的函数关系式．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】反比例函数的定义
【解析】【解答】解：A：，是反比关系，符合题意；
B：，是正比关系，不符合题意；
C：，是正比关系，不符合题意；
D：，是正比关系，不符合题意；
故答案为：A
【分析】根据反比关系的定义即可求出答案.
2．【答案】C
【知识点】反比例函数的定义
【解析】【解答】解：∵k=-4，
∴在反比例函数图像上的点横纵坐标相乘等于-4，
∴1×4=（-1）×（-4）=2×2=4，（-2）×2=-4，
∴在函数图象上，
故答案为：C
【分析】根据反比例函数k的性质，结合题意对选项逐一计算即可求解。
3．【答案】D
【知识点】反比例函数的定义
【解析】【解答】解：A：y＝4x中，y是x的正比例函数，所以A不符合题意；
B：中，y是x的正比例函数，所以B不符合题意；
C：中，y是x+1的反比例函数，所以C不符合题意；
D：中，y是x的反比例函数，所以D符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据反比例函数的定义分别进行识别，即可得出答案。
4．【答案】B
【知识点】函数自变量的取值范围；反比例函数的定义
【解析】【解答】解：由题知2x≠0，解得x≠0，B符合题意。
故答案为：B.
【分析】由反比例函数定义解题即可。
5．【答案】B
【知识点】反比例函数的定义
【解析】【解答】解∶ ①是正比例函数，故不符合题题意；
②，y是x的反比例函数，故符合题意；
③，y是x的反比例函数，故符合题意；
④，y不是x的反比例函数，故不符合题意；
⑤由2xy＝1得，y是x的反比例函数，故符合题意；
⑥由－xy＝2得，y是x的反比例函数，故符合题意；
其中②③⑤⑥为反比例函数，
故答案为：B．
【分析】根据反比例函数的定义逐项判断即可。
6．【答案】B
【知识点】反比例函数的定义；二次函数的定义
【解析】【解答】解：①∵矩形的周长为20，一边长x
∴另一边长为
∴为二次函数；
②∵矩形的面积为20，矩形的长x
∴是反比例函数．
故答案为：B．
【分析】根据矩形的性质分别求出y与x的函数关系式，再根据反比例函数和二次函数的定义判断即可.
7．【答案】D
【知识点】一次函数的定义；反比例函数的定义；二次函数的定义
【解析】【解答】解：由底面的周长公式：底面周长=2（长+宽）
可得：
即：
l与x的关系为：一次函数关系．
根据长方体的体积公式：长方体体积=长×宽×高
可得：
h与x的关系为：反比例函数关系．
故答案为：D
【分析】根据底面的周长公式：底面周长=2（长+宽），即可得出l与x的关系式，根据长方体的体积公式：长方体体积=长×宽×高，可得出h与x的关系式。
8．【答案】D
【知识点】反比例函数的定义
【解析】【解答】解：由反比例函数的概念可得：m(m-3)≠0，
解得m≠0且m≠3.
故答案为：D.
【分析】 一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y= (k为常数，k≠0)的形式，那么称y是x的反比例函数.
9．【答案】
【知识点】反比例函数的定义
【解析】【解答】 解：由题意得，x-1≠0，
解得x≠1，
故答案为：x≠1.
【分析】本题考查函数自变量的取值范围， 当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数，当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0，当函数表达式是二次根式时，被开方数非负。
10．【答案】-2
【知识点】反比例函数的定义
【解析】【解答】∵ 中， 是 的反比例函数，
∴ ，解得： .
故答案为：-2
【分析】根据反比例函数的定义，可得x的系数≠0且x的指数=-1，列方程和不等式，求解即可。
11．【答案】3
【知识点】反比例函数的定义
【解析】【解答】解：函数y＝（m+3）x|m|﹣4是反比例函数，
且（m+3），
解得：m=3
故答案为：3.
【分析】根据反比例函数的定义可得 且（m+3），解之即可得出结论.
12．【答案】2或-3
【知识点】反比例函数的定义；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：∵反比例函数y=-，当x=a时，y=-a-1，
∴-a-1=-，
∴a2+a-6=0，即（a-2）（a+3）=0，
∴a=2或a=-3.
故答案为：2或-3.
【分析】将x=a时，y=-a-1，代入反比例函数解析式中，再利用因式分解法-十字相乘法解得a值即可.
13．【答案】
【知识点】反比例函数的定义
【解析】【解答】如图，设装有大象的铁笼重力为aN，将弹簧秤移动到B′的位置时，弹簧秤的度数为k′，
由题意可得BP k＝PA a，B′P k′＝PA a，
∴BP k＝B′P k′，
又∵B′P＝nBP，
∴k′＝
故答案为：
【分析】根据“动力×动力臂＝阻力×阻力臂”分别列式，从而代入计算．
14．【答案】解：∵ 是反比例函数，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
【知识点】反比例函数的定义
【解析】【分析】根据反比例函数的定义，从x的指数，比例系数的非零性两个角度思考求解即可.
15．【答案】解：（1）∵B（1，4）在反比例函数y=上，
∴m=4，
又∵A（n，﹣2）在反比例函数y=的图象上，
∴n=﹣2，
又∵A（﹣2，﹣2），B（1，4）是一次函数y=kx+b的上的点，联立方程组解得，
k=2，b=2，
∴y=，y=2x+2；
（2）过点A作AD⊥CD，
∵一次函数y=kx+b的图象和反比例函数y=的图象的两个交点为A，B，联立方程组解得，
A（﹣2，﹣2），B（1，4），C（0，2），
∴AD=2，CO=2，
∴△AOC的面积为：S=AD CO=×2×2=2；
（3）由图象知：当0＜x＜1和 x＜﹣2时函数y=的图象在一次函数y=kx+b图象的上方，
∴不等式kx+b﹣＜0的解集为：0＜x＜1或x＜﹣2．
【知识点】不等式的解及解集；反比例函数的定义
【解析】【分析】（1）由B点在反比例函数y=上，可求出m，再由A点在函数图象上，由待定系数法求出函数解析式；
（2）由上问求出的函数解析式联立方程求出A，B，C三点的坐标，从而求出△AOC的面积；
（3）由图象观察函数y=的图象在一次函数y=kx+b图象的上方，对应的x的范围．
16．【答案】解：如图，过点D作 ，
∵AD、BC分别是圆O的切线，
∴ ，
又∵ ，
∴四边形ABFD是矩形，
∴ ， ，
∵AD、BC、DC分别是圆O的切线，
∴ ， ， ，
∴ ，
由勾股定理得： ，
即 ，
整理得： ，
∴ ，
∴y关于x的函数解析式为 （x＞0）；
如图，做图象：当 时， ； 时， ； 时， ；
过点 ， ， ，
在平面直角坐标系内连线可得函数图象，
【知识点】反比例函数的定义；勾股定理；切线的性质；切线长定理；描点法画函数图象
【解析】【分析】 过点D作 ， 由切线的性质可得四边形ABFD是矩形，由切线长定理可得 ， ， ， 即可得 ， 由勾股定理可得 ， 即y与x成反比例函数，且图像在第一象限，通过列表、描点、连线可得图像.
17．【答案】（1）解：比例系数为 .
（2）解：当 时， .
（3）当 时， .
【知识点】反比例函数的定义
【解析】【分析】（1）根据反比例函数定义，y=（k≠0），k为比例系数，即可得出反比例函数y=-的比例系数；
（2）将x=-10，代入反比例函数的解析式中，即可求得y的值；
（3）将y=6，代入反比例函数的解析式中，即可求得x的值.
18．【答案】（1）解：由平均数，得x= ，即y= 是反比例函数；
（2）解：由单价乘以油量等于总价，得
y=4.75x，即y=4.75x是正比例函数；
（3）解：由路程与时间的关系，得
t= ，即t= 是反比例函数．
【知识点】反比例函数的定义
【解析】【分析】根据反比例函数的定义，可得答案．
1 / 12023-2024学年人教版初中数学九年级下册26.1.1 反比例函数 同步分层训练提升题
一、选择题
1．（2023七上·淄博开学考）下列各式中，和成反比关系的是（ ）
A． B． C．：： D．
【答案】A
【知识点】反比例函数的定义
【解析】【解答】解：A：，是反比关系，符合题意；
B：，是正比关系，不符合题意；
C：，是正比关系，不符合题意；
D：，是正比关系，不符合题意；
故答案为：A
【分析】根据反比关系的定义即可求出答案.
2．（2023·重庆）反比例函数的图象一定经过的点是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】反比例函数的定义
【解析】【解答】解：∵k=-4，
∴在反比例函数图像上的点横纵坐标相乘等于-4，
∴1×4=（-1）×（-4）=2×2=4，（-2）×2=-4，
∴在函数图象上，
故答案为：C
【分析】根据反比例函数k的性质，结合题意对选项逐一计算即可求解。
3．（2023九上·泸州期中）下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ）
A．y＝4x B． C． D．
【答案】D
【知识点】反比例函数的定义
【解析】【解答】解：A：y＝4x中，y是x的正比例函数，所以A不符合题意；
B：中，y是x的正比例函数，所以B不符合题意；
C：中，y是x+1的反比例函数，所以C不符合题意；
D：中，y是x的反比例函数，所以D符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据反比例函数的定义分别进行识别，即可得出答案。
4．（2023八上·蚌山期中）函数中自变量的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数自变量的取值范围；反比例函数的定义
【解析】【解答】解：由题知2x≠0，解得x≠0，B符合题意。
故答案为：B.
【分析】由反比例函数定义解题即可。
5．（2022九上·新泰期末）给出下列函数关系式：①；②；③；④；⑤2xy＝1；⑥－xy＝2．其中，表示y是x的反比例函数的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【知识点】反比例函数的定义
【解析】【解答】解∶ ①是正比例函数，故不符合题题意；
②，y是x的反比例函数，故符合题意；
③，y是x的反比例函数，故符合题意；
④，y不是x的反比例函数，故不符合题意；
⑤由2xy＝1得，y是x的反比例函数，故符合题意；
⑥由－xy＝2得，y是x的反比例函数，故符合题意；
其中②③⑤⑥为反比例函数，
故答案为：B．
【分析】根据反比例函数的定义逐项判断即可。
6．（2022九上·顺义期末）下面两个问题中都有两个变量：
①矩形的周长为20，矩形的面积y与一边长x；②矩形的面积为20，矩形的宽y与矩形的长x．其中变量y与变量x之间的函数关系表述正确的是（ ）
A．①是反比例函数，②是二次函数
B．①是二次函数，②是反比例函数
C．①②都是二次函数
D．①②都是反比例函数
【答案】B
【知识点】反比例函数的定义；二次函数的定义
【解析】【解答】解：①∵矩形的周长为20，一边长x
∴另一边长为
∴为二次函数；
②∵矩形的面积为20，矩形的长x
∴是反比例函数．
故答案为：B．
【分析】根据矩形的性质分别求出y与x的函数关系式，再根据反比例函数和二次函数的定义判断即可.
7．（2022·丰台模拟）如图，长方体的体积是100m3，底面一边长为2m．记底面另一边长为xm，底面的周长为lm，长方体的高为hm．当x在一定范围内变化时，l和h都随x的变化而变化，则l与x，h与x满足的函数关系分别是（ ）
A．一次函数关系，二次函数关系
B．反比例函数关系，二次函数关系
C．反比例函数关系，一次函数关系
D．一次函数关系，反比例函数关系
【答案】D
【知识点】一次函数的定义；反比例函数的定义；二次函数的定义
【解析】【解答】解：由底面的周长公式：底面周长=2（长+宽）
可得：
即：
l与x的关系为：一次函数关系．
根据长方体的体积公式：长方体体积=长×宽×高
可得：
h与x的关系为：反比例函数关系．
故答案为：D
【分析】根据底面的周长公式：底面周长=2（长+宽），即可得出l与x的关系式，根据长方体的体积公式：长方体体积=长×宽×高，可得出h与x的关系式。
8．（2021九上·咸阳月考）若 是反比例函数，则m满足的条件是（ ）
A．m≠0 B．m=3 C．m=3或m=0 D．m≠3且m≠0
【答案】D
【知识点】反比例函数的定义
【解析】【解答】解：由反比例函数的概念可得：m(m-3)≠0，
解得m≠0且m≠3.
故答案为：D.
【分析】 一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y= (k为常数，k≠0)的形式，那么称y是x的反比例函数.
二、填空题
9．（2023八下·香坊期末）在函数中，自变量的取值范围是 .
【答案】
【知识点】反比例函数的定义
【解析】【解答】 解：由题意得，x-1≠0，
解得x≠1，
故答案为：x≠1.
【分析】本题考查函数自变量的取值范围， 当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数，当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0，当函数表达式是二次根式时，被开方数非负。
10．已知 ，当 ＝ 时， 是 的反比例函数．
【答案】-2
【知识点】反比例函数的定义
【解析】【解答】∵ 中， 是 的反比例函数，
∴ ，解得： .
故答案为：-2
【分析】根据反比例函数的定义，可得x的系数≠0且x的指数=-1，列方程和不等式，求解即可。
11．（2023九上·成都期中）已知函数y＝（m+3）x|m|﹣4是反比例函数，则m＝ ．
【答案】3
【知识点】反比例函数的定义
【解析】【解答】解：函数y＝（m+3）x|m|﹣4是反比例函数，
且（m+3），
解得：m=3
故答案为：3.
【分析】根据反比例函数的定义可得 且（m+3），解之即可得出结论.
12．已知反比例函数 中，当 时， ，则 .
【答案】2或-3
【知识点】反比例函数的定义；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：∵反比例函数y=-，当x=a时，y=-a-1，
∴-a-1=-，
∴a2+a-6=0，即（a-2）（a+3）=0，
∴a=2或a=-3.
故答案为：2或-3.
【分析】将x=a时，y=-a-1，代入反比例函数解析式中，再利用因式分解法-十字相乘法解得a值即可.
13．（2023·峨眉山模拟）某动物园利用杠杆原理称象：如图，在点P处挂一根质地均匀且足够长的钢梁（呈水平状态），将装有大象的铁笼和弹簧秤（秤的重力忽略不计）分别悬挂在钢梁的点A，B处，当钢梁保持水平时，弹簧秤读数为k（N）．若铁笼固定不动，移动弹簧秤使扩大到原来的n（）倍，且钢梁保持水平，则弹簧秤读数为 （N）（用含n，k的代数式表示）．
【答案】
【知识点】反比例函数的定义
【解析】【解答】如图，设装有大象的铁笼重力为aN，将弹簧秤移动到B′的位置时，弹簧秤的度数为k′，
由题意可得BP k＝PA a，B′P k′＝PA a，
∴BP k＝B′P k′，
又∵B′P＝nBP，
∴k′＝
故答案为：
【分析】根据“动力×动力臂＝阻力×阻力臂”分别列式，从而代入计算．
三、解答题
14．（2021九上·中方期末）已知函数 是反比例函数，求 的值.
【答案】解：∵ 是反比例函数，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
【知识点】反比例函数的定义
【解析】【分析】根据反比例函数的定义，从x的指数，比例系数的非零性两个角度思考求解即可.
15．如图，已知A（n，﹣2），B（1，4）是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数y=的图象的两个交点，直线AB与y轴交于点C．
（1）求反比例函数和一次函数的关系式；
（2）求△AOC的面积；
（3）求不等式kx+b﹣＜0的解集．（直接写出答案）
【答案】解：（1）∵B（1，4）在反比例函数y=上，
∴m=4，
又∵A（n，﹣2）在反比例函数y=的图象上，
∴n=﹣2，
又∵A（﹣2，﹣2），B（1，4）是一次函数y=kx+b的上的点，联立方程组解得，
k=2，b=2，
∴y=，y=2x+2；
（2）过点A作AD⊥CD，
∵一次函数y=kx+b的图象和反比例函数y=的图象的两个交点为A，B，联立方程组解得，
A（﹣2，﹣2），B（1，4），C（0，2），
∴AD=2，CO=2，
∴△AOC的面积为：S=AD CO=×2×2=2；
（3）由图象知：当0＜x＜1和 x＜﹣2时函数y=的图象在一次函数y=kx+b图象的上方，
∴不等式kx+b﹣＜0的解集为：0＜x＜1或x＜﹣2．
【知识点】不等式的解及解集；反比例函数的定义
【解析】【分析】（1）由B点在反比例函数y=上，可求出m，再由A点在函数图象上，由待定系数法求出函数解析式；
（2）由上问求出的函数解析式联立方程求出A，B，C三点的坐标，从而求出△AOC的面积；
（3）由图象观察函数y=的图象在一次函数y=kx+b图象的上方，对应的x的范围．
四、作图题
16．（2021·泗洪模拟）如图， 的直径 ， 和 是它的两条切线， 与 相切于点 ，并与 ， 分别相交于 ， 两点，设 ， ，求 关于 的函数表达式，并在坐标系中画出它的图象.
【答案】解：如图，过点D作 ，
∵AD、BC分别是圆O的切线，
∴ ，
又∵ ，
∴四边形ABFD是矩形，
∴ ， ，
∵AD、BC、DC分别是圆O的切线，
∴ ， ， ，
∴ ，
由勾股定理得： ，
即 ，
整理得： ，
∴ ，
∴y关于x的函数解析式为 （x＞0）；
如图，做图象：当 时， ； 时， ； 时， ；
过点 ， ， ，
在平面直角坐标系内连线可得函数图象，
【知识点】反比例函数的定义；勾股定理；切线的性质；切线长定理；描点法画函数图象
【解析】【分析】 过点D作 ， 由切线的性质可得四边形ABFD是矩形，由切线长定理可得 ， ， ， 即可得 ， 由勾股定理可得 ， 即y与x成反比例函数，且图像在第一象限，通过列表、描点、连线可得图像.
五、综合题
17．已知反比例函数 .
（1）说出这个函数的比例系数；
（2）求当 时函数 的值；
（3）求当 时自变量 的值.
【答案】（1）解：比例系数为 .
（2）解：当 时， .
（3）当 时， .
【知识点】反比例函数的定义
【解析】【分析】（1）根据反比例函数定义，y=（k≠0），k为比例系数，即可得出反比例函数y=-的比例系数；
（2）将x=-10，代入反比例函数的解析式中，即可求得y的值；
（3）将y=6，代入反比例函数的解析式中，即可求得x的值.
18．列出下列问题中的函数关系式，并判断它们是否为反比例函数．
（1）某农场的粮食总产量为1 500t，则该农场人数y（人）与平均每人占有粮食量x（t）的函数关系式；
（2）在加油站，加油机显示器上显示的某一种油的单价为每升4.75元，总价从0元开始随着加油量的变化而变化，则总价y（元）与加油量x（L）的函数关系式；
（3）小明完成100m赛跑时，时间t（s）与他跑步的平均速度v（m/s）之间的函数关系式．
【答案】（1）解：由平均数，得x= ，即y= 是反比例函数；
（2）解：由单价乘以油量等于总价，得
y=4.75x，即y=4.75x是正比例函数；
（3）解：由路程与时间的关系，得
t= ，即t= 是反比例函数．
【知识点】反比例函数的定义
【解析】【分析】根据反比例函数的定义，可得答案．
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