2023-2024学年人教版初中数学九年级下册26.1.2 反比例函数的图像和性质 同步分层训练基础题
一、选择题
1．已知反比例函数的图象经过点P（﹣2，1），则这个函数的图象位于（ ）
A．第一、三象限 B．第二、三象限
C．第二、四象限 D．第三、四象限
【答案】C
【知识点】反比例函数的性质；待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【解答】∵图象过（-2，1)，
∴k=xy=-2＜0，
∴函数图象位于第二，四象限．
故选C．
【分析】先根据点的坐标求出k值，再利用反比例函数图象的性质即可求解．本题考查了待定系数法求反比例函数解析式和反比例函数图象的性质．
2．（2023九下·浙江月考） 已知点、、在反比例函数的图象上，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：，
，
.
故答案为：B.
【分析】 将点、、代入中，可得，继而得解.
3．（2023九下·柯桥月考）若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵反比例系数中，，
∴反比例函数图象分别在第二象限和第四象限内，在每个象限内函数值y随x的增大而增大，
，
，
故答案为：C.
【分析】由于反比例函数的比例系数k=-6＜0，故反比例函数图象分别在第二象限和第四象限内，在每个象限内函数值y随x的增大而增大，从而判断即可得出答案.
4．（2022九下·达州月考）已知函数y＝，经过点P1（﹣2，y1），P2（3，y2），那么（ ）
A．y1＞0＞y2 B．y2＞0＞y1 C．y2＜y1＜0 D．0＜y2＜y1
【答案】B
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：由题意，将点 代入 得： ，
所以 .
故答案为：B.
【分析】分别将x=-2、x=3代入y= 中求出y1、y2的值，然后进行比较.
5．（2022九下·吉林月考）反比例函数y= （x<0）的图象如图所示，随着x值的增大，y值（ ）
A．增大 B．减小
C．不变 D．先增大后减小
【答案】B
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵k=1＞0，
∴在第三象限内，y随x的增大而减小.
故答案为：B.
【分析】根据反比例函数的性质：当k＜0时，反比例函数的图象在每个象限内y随x的增大而减小，即可得出答案.
6．如图，矩形ABCD的对角线BD经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C在反比例函数y=的图象上，若点A的坐标为（﹣2，﹣3），则k的值为（ ）
A．1 B．﹣5 C．4 D．1或﹣5
【答案】D
【知识点】矩形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】根据矩形的对角线将矩形分成面积相等的两个直角三角形，找到图中的所有矩形及相等的三角形，即可推出S四边形CEOF=S四边形HAGO，根据反比例函数比例系数的几何意义即可求出k2+4k+1=6，再解出k的值即可。
【解答】如图：
∵四边形ABCD、HBEO、OECF、GOFD为矩形，
又∵BO为四边形HBEO的对角线，OD为四边形OGDF的对角线，
∴S△BEO=S△BHO，S△OFD=S△OGD，S△CBD=S△ADB，
∴S△CBD﹣S△BEO﹣S△OFD=S△ADB﹣S△BHO﹣S△OGD，
∴S四边形CEOF=S四边形HAGO=2×3=6，
∴xy=k2+4k+1=6，
解得，k=1或k=﹣5．
故选D．
【点评】本题考查了反比例函数k的几何意义、矩形的性质、一元二次方程的解法，关键是判断出S四边形CEOF=S四边形HAGO．
7．（2023九下·江岸月考）点A（－2，y1）、B（－1，y2）、C（3，y3）都在反比例函数的图象上，则y1、y2、y3，的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y1＜y2
【答案】D
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵y=，
∴反比例函数的图象位于二、四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大，
∴A （-2，y1）、B（-1，y2）位于第二象限，C（3，y3）位于第四象限.
∵-2<-1，
∴y3＜y1＜y2.
故答案为：D.
【分析】由反比例函数的性质可得：其图象位于二、四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大，据此进行比较.
8．（2023九下·江夏月考）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵反比例函数中，，
∴函数图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内，y随x的增大而减小，
∵，
∴B、C两点在第一象限，A点在第三象限，
∴，
故答案为：C.
【分析】根据反比例函数的性质可得：其图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内，y随x的增大而减小，据此进行比较.
二、填空题
9．（2023九下·灌南期中）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是 ．
【答案】
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：点A（x1，2）在反比例函数的图象上，
∴2x1=8，
解得x1=4；
点B（x2，-1）在反比例函数的图象上，
∴-x2=8，
解得x2=-8；
点C（x3，4）在反比例函数的图象上，
∴4x3=8，
解得x3=2；
∴x1＞x3＞x2.
故答案为：x1＞x3＞x2.
【分析】根据反比例函数图象上任意一点的横纵坐标的乘积等于比例系数k可求出x1、x2与x3的值，从而即可比较大小得出答案.
10．（2022九下·徐汇月考）已知反比例函数y＝，当x＜0时，y随x的增大而减小，那么k的取值范围是 ．
【答案】k>2
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵当x＜0时，y随x的增大而减小，
∴k-2>0，
∴k>2，
故答案为：k>2．
【分析】由y＝，当x＜0时，y随x的增大而减小， 可得k-2>0，据此即可求解.
11．（2022九下·泾阳月考）如图，在直角坐标系中，点A、B是反比例函数y=
图象上的两点，过A作AM⊥x轴，过B作BN⊥y轴，则图中阴影部分的面积为
【答案】5
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：由题意可得：
，
∴阴影部分面积S=
，
故答案为：5.
【分析】由反比例函数k的几何意义，在反比例函数图象上任取一点，过这个点向x轴或y轴作垂线，与坐标轴围成的三角形的面积为
，即可求出答案.
12．（2019九下·龙岗开学考）如图，反比例函数y= 的图象经过 ABCD对角线的交点P，已知点A，C，D在坐标轴上，BD⊥DC， ABCD的面积为6，则k= ．
【答案】-3
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；平行四边形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：过点P做PE⊥y轴于点E，
∵四边形ABCD为平行四边形
∴AB=CD
又∵BD⊥x轴
∴ABDO为矩形
∴AB=DO
∴S矩形ABDO=S ABCD=6
∵P为对角线交点，PE⊥y轴
∴四边形PDOE为矩形面积为3
即DO EO=3
∴设P点坐标为（x，y）
k=xy=﹣3
故答案为：﹣3
【分析】由平行四边形面积转化为矩形BDOA面积，在得到矩形PDOE面积，应用反比例函数比例系数k的意义即可．
13．（2023九下·龙江期中）如图，在平面直角坐标系中，点是轴上任意一点，轴，分别交，的图象于两点，若的面积是，则的值为 ．
【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积
【解析】【解答】解：连接OB、OC，
∵BC∥x轴，
∴S△ACB=S△OCB，
∴×|2|+|k|=3，
∴k=±4.
∵k<0，
∴k=-4.
故答案为：-4.
【分析】连接OB、OC，根据等底等高的三角形面积相等可得S△ACB=S△OCB，由反比例函数系数k的几何意义可得S△OCB=×|2|+|k|=3，求解即可.
三、解答题
14．在双曲线y= 的任一支上，y都随x的增大而增大，则k的取值范围．
【答案】解：∵y都随x的增大而增大，
∴此函数的图象在二、四象限，
∴1﹣k＜0，
∴k＞1
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【分析】先根据已知反比例函数的增减性判断出1﹣k的符号，再求出k的取值范围即可．
15．（2020九下·青县开学考）如图，已知双曲线 经过 斜边的中点D，与直角边 相交于点C，若 的面积为3，求k的值．
【答案】解：过点D做 轴，垂足为E，
∵ 中， ，
∴
∵D为 斜边 的中点，
∴ 为 的中位线
∴ 且
∵双曲线的解析式是
∴ ，
解得
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；三角形的面积；三角形的中位线定理
【解析】【分析】根据三角形的面积公式，结合中点以及中位线的性质，求出答案即可。
四、综合题
16．（2023九下·兴化月考）在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若两垂线与坐标轴围成矩形的周长数值和面积数值相等，则称这个点为“等值点”例如：点，因为，，所以是“等值点”．
（1）若点为双曲线上任意一点，将点向右平移个单位，再向上平移个单位得到点，求证：点为“等值点”；
（2）在第一象限内，若一次函数的图象上有两个“等值点”，求的取值范围．
【答案】（1）证明：设，，向右平移个单位得，向上平移个单位，
则，，
所以点为“等值点”．
（2）解：由题意知，，设是图象上的“等值点”，
则，，
所以，即关于的方程有两个不相等的正实数根，
，
，
，
所以的取值范围是．
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；矩形的性质；坐标与图形变化﹣平移；一次函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）设E（m，），m＞0，根据平移的性质可将点F的坐标用含m的代数式表示出来，结合题意分别计算C和S，由计算的结果可得S=C，根据“等值点”的意义可得证；
（2）设A（a，-a+b），是y=-x+b图象上的“等值点”，根据“等值点”的意义可得关于a的方程a2-a+b+2b=0有两个不相等的实数根，然后根的判别式即可求解.
17．（2023九下·余姚月考）已知函数的部分对应值如下表：
x 1 2 3 4 5 6
y 2
（1）求常数k的值，并填表.
（2）画出相应函数的图象.
（3）观察图象，写出函数的2条性质.
【答案】（1）解：∵时，，
∴，
整理得，
解得，
经检验，是方程的解；
填表如下：
x 1 2 3 4 5 6
y 2.5 2 2.5 2.9
（2）解：描点、连线，相应函数的图象如图所示，
（3）解：函数，当时，有最小值，最小值为2；
当时，函数值随x的增大而增大.
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）根据表格提供的数据，将x=2与y=2代入可求出k的值，从而得出函数解析式，进而将x=5与x=6分别代入函数解析式算出对应的y的值即可；
（2）根据（1）所得表格提供的数据，利用描点、连线在平面直角坐标系中画出该函数的图象即可；
（3）解题图象，根据函数的最值及增减性作答即可.
1 / 12023-2024学年人教版初中数学九年级下册26.1.2 反比例函数的图像和性质 同步分层训练基础题
一、选择题
1．已知反比例函数的图象经过点P（﹣2，1），则这个函数的图象位于（ ）
A．第一、三象限 B．第二、三象限
C．第二、四象限 D．第三、四象限
2．（2023九下·浙江月考） 已知点、、在反比例函数的图象上，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023九下·柯桥月考）若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022九下·达州月考）已知函数y＝，经过点P1（﹣2，y1），P2（3，y2），那么（ ）
A．y1＞0＞y2 B．y2＞0＞y1 C．y2＜y1＜0 D．0＜y2＜y1
5．（2022九下·吉林月考）反比例函数y= （x<0）的图象如图所示，随着x值的增大，y值（ ）
A．增大 B．减小
C．不变 D．先增大后减小
6．如图，矩形ABCD的对角线BD经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C在反比例函数y=的图象上，若点A的坐标为（﹣2，﹣3），则k的值为（ ）
A．1 B．﹣5 C．4 D．1或﹣5
7．（2023九下·江岸月考）点A（－2，y1）、B（－1，y2）、C（3，y3）都在反比例函数的图象上，则y1、y2、y3，的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y1＜y2
8．（2023九下·江夏月考）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2023九下·灌南期中）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是 ．
10．（2022九下·徐汇月考）已知反比例函数y＝，当x＜0时，y随x的增大而减小，那么k的取值范围是 ．
11．（2022九下·泾阳月考）如图，在直角坐标系中，点A、B是反比例函数y=
图象上的两点，过A作AM⊥x轴，过B作BN⊥y轴，则图中阴影部分的面积为
12．（2019九下·龙岗开学考）如图，反比例函数y= 的图象经过 ABCD对角线的交点P，已知点A，C，D在坐标轴上，BD⊥DC， ABCD的面积为6，则k= ．
13．（2023九下·龙江期中）如图，在平面直角坐标系中，点是轴上任意一点，轴，分别交，的图象于两点，若的面积是，则的值为 ．
三、解答题
14．在双曲线y= 的任一支上，y都随x的增大而增大，则k的取值范围．
15．（2020九下·青县开学考）如图，已知双曲线 经过 斜边的中点D，与直角边 相交于点C，若 的面积为3，求k的值．
四、综合题
16．（2023九下·兴化月考）在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若两垂线与坐标轴围成矩形的周长数值和面积数值相等，则称这个点为“等值点”例如：点，因为，，所以是“等值点”．
（1）若点为双曲线上任意一点，将点向右平移个单位，再向上平移个单位得到点，求证：点为“等值点”；
（2）在第一象限内，若一次函数的图象上有两个“等值点”，求的取值范围．
17．（2023九下·余姚月考）已知函数的部分对应值如下表：
x 1 2 3 4 5 6
y 2
（1）求常数k的值，并填表.
（2）画出相应函数的图象.
（3）观察图象，写出函数的2条性质.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】反比例函数的性质；待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【解答】∵图象过（-2，1)，
∴k=xy=-2＜0，
∴函数图象位于第二，四象限．
故选C．
【分析】先根据点的坐标求出k值，再利用反比例函数图象的性质即可求解．本题考查了待定系数法求反比例函数解析式和反比例函数图象的性质．
2．【答案】B
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：，
，
.
故答案为：B.
【分析】 将点、、代入中，可得，继而得解.
3．【答案】C
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵反比例系数中，，
∴反比例函数图象分别在第二象限和第四象限内，在每个象限内函数值y随x的增大而增大，
，
，
故答案为：C.
【分析】由于反比例函数的比例系数k=-6＜0，故反比例函数图象分别在第二象限和第四象限内，在每个象限内函数值y随x的增大而增大，从而判断即可得出答案.
4．【答案】B
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：由题意，将点 代入 得： ，
所以 .
故答案为：B.
【分析】分别将x=-2、x=3代入y= 中求出y1、y2的值，然后进行比较.
5．【答案】B
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵k=1＞0，
∴在第三象限内，y随x的增大而减小.
故答案为：B.
【分析】根据反比例函数的性质：当k＜0时，反比例函数的图象在每个象限内y随x的增大而减小，即可得出答案.
6．【答案】D
【知识点】矩形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】根据矩形的对角线将矩形分成面积相等的两个直角三角形，找到图中的所有矩形及相等的三角形，即可推出S四边形CEOF=S四边形HAGO，根据反比例函数比例系数的几何意义即可求出k2+4k+1=6，再解出k的值即可。
【解答】如图：
∵四边形ABCD、HBEO、OECF、GOFD为矩形，
又∵BO为四边形HBEO的对角线，OD为四边形OGDF的对角线，
∴S△BEO=S△BHO，S△OFD=S△OGD，S△CBD=S△ADB，
∴S△CBD﹣S△BEO﹣S△OFD=S△ADB﹣S△BHO﹣S△OGD，
∴S四边形CEOF=S四边形HAGO=2×3=6，
∴xy=k2+4k+1=6，
解得，k=1或k=﹣5．
故选D．
【点评】本题考查了反比例函数k的几何意义、矩形的性质、一元二次方程的解法，关键是判断出S四边形CEOF=S四边形HAGO．
7．【答案】D
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵y=，
∴反比例函数的图象位于二、四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大，
∴A （-2，y1）、B（-1，y2）位于第二象限，C（3，y3）位于第四象限.
∵-2<-1，
∴y3＜y1＜y2.
故答案为：D.
【分析】由反比例函数的性质可得：其图象位于二、四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大，据此进行比较.
8．【答案】C
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵反比例函数中，，
∴函数图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内，y随x的增大而减小，
∵，
∴B、C两点在第一象限，A点在第三象限，
∴，
故答案为：C.
【分析】根据反比例函数的性质可得：其图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内，y随x的增大而减小，据此进行比较.
9．【答案】
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：点A（x1，2）在反比例函数的图象上，
∴2x1=8，
解得x1=4；
点B（x2，-1）在反比例函数的图象上，
∴-x2=8，
解得x2=-8；
点C（x3，4）在反比例函数的图象上，
∴4x3=8，
解得x3=2；
∴x1＞x3＞x2.
故答案为：x1＞x3＞x2.
【分析】根据反比例函数图象上任意一点的横纵坐标的乘积等于比例系数k可求出x1、x2与x3的值，从而即可比较大小得出答案.
10．【答案】k>2
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵当x＜0时，y随x的增大而减小，
∴k-2>0，
∴k>2，
故答案为：k>2．
【分析】由y＝，当x＜0时，y随x的增大而减小， 可得k-2>0，据此即可求解.
11．【答案】5
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：由题意可得：
，
∴阴影部分面积S=
，
故答案为：5.
【分析】由反比例函数k的几何意义，在反比例函数图象上任取一点，过这个点向x轴或y轴作垂线，与坐标轴围成的三角形的面积为
，即可求出答案.
12．【答案】-3
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；平行四边形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：过点P做PE⊥y轴于点E，
∵四边形ABCD为平行四边形
∴AB=CD
又∵BD⊥x轴
∴ABDO为矩形
∴AB=DO
∴S矩形ABDO=S ABCD=6
∵P为对角线交点，PE⊥y轴
∴四边形PDOE为矩形面积为3
即DO EO=3
∴设P点坐标为（x，y）
k=xy=﹣3
故答案为：﹣3
【分析】由平行四边形面积转化为矩形BDOA面积，在得到矩形PDOE面积，应用反比例函数比例系数k的意义即可．
13．【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积
【解析】【解答】解：连接OB、OC，
∵BC∥x轴，
∴S△ACB=S△OCB，
∴×|2|+|k|=3，
∴k=±4.
∵k<0，
∴k=-4.
故答案为：-4.
【分析】连接OB、OC，根据等底等高的三角形面积相等可得S△ACB=S△OCB，由反比例函数系数k的几何意义可得S△OCB=×|2|+|k|=3，求解即可.
14．【答案】解：∵y都随x的增大而增大，
∴此函数的图象在二、四象限，
∴1﹣k＜0，
∴k＞1
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【分析】先根据已知反比例函数的增减性判断出1﹣k的符号，再求出k的取值范围即可．
15．【答案】解：过点D做 轴，垂足为E，
∵ 中， ，
∴
∵D为 斜边 的中点，
∴ 为 的中位线
∴ 且
∵双曲线的解析式是
∴ ，
解得
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；三角形的面积；三角形的中位线定理
【解析】【分析】根据三角形的面积公式，结合中点以及中位线的性质，求出答案即可。
16．【答案】（1）证明：设，，向右平移个单位得，向上平移个单位，
则，，
所以点为“等值点”．
（2）解：由题意知，，设是图象上的“等值点”，
则，，
所以，即关于的方程有两个不相等的正实数根，
，
，
，
所以的取值范围是．
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；矩形的性质；坐标与图形变化﹣平移；一次函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）设E（m，），m＞0，根据平移的性质可将点F的坐标用含m的代数式表示出来，结合题意分别计算C和S，由计算的结果可得S=C，根据“等值点”的意义可得证；
（2）设A（a，-a+b），是y=-x+b图象上的“等值点”，根据“等值点”的意义可得关于a的方程a2-a+b+2b=0有两个不相等的实数根，然后根的判别式即可求解.
17．【答案】（1）解：∵时，，
∴，
整理得，
解得，
经检验，是方程的解；
填表如下：
x 1 2 3 4 5 6
y 2.5 2 2.5 2.9
（2）解：描点、连线，相应函数的图象如图所示，
（3）解：函数，当时，有最小值，最小值为2；
当时，函数值随x的增大而增大.
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）根据表格提供的数据，将x=2与y=2代入可求出k的值，从而得出函数解析式，进而将x=5与x=6分别代入函数解析式算出对应的y的值即可；
（2）根据（1）所得表格提供的数据，利用描点、连线在平面直角坐标系中画出该函数的图象即可；
（3）解题图象，根据函数的最值及增减性作答即可.
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