2023-2024学年人教版初中数学九年级下册26.2 实际问题与反比例函数 同步分层训练基础题
一、选择题
1．（2022九上·双流期中）若反比例函数的图象过点（3，2），那么下列各点中在此函数图象上的点是（ ）
A．（-2，3） B．（-3，2） C．（-3，-2） D．（4，1）
【答案】C
【知识点】列反比例函数关系式；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：设反比例函数解析式为
反比例函数的图象过点（3，2），
（-3，-2） 在此函数图象上，
故答案为：C.
【分析】设反比例函数解析式为根据题意求出k的值，逐一判断四个选项即可得出结论.
2．（2023八下·慈溪期末）对于反比例函数，下列说法不正确的是（ ）
A．点在它的图象上 B．它的图象在第二、四象限
C．当时，随的增大而增大 D．当时，随的增大而减小
【答案】D
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：A、将x=-2代入函数，得到y=1，则（-2，1）在它的图像上，故A项正确，不符合题意；
B、根据反比例函数画出图象，可得图象在第二，四象限，故B项正确，不符合题意
C、根据图象可得当x＞0时，y随x的增大而增大，故C项正确，不符合题意；
D、根据图象，当x＜0时，y随x的增大而减小，故D项错误，符合题意.
故答案为：D.
【分析】我们可以利用反比例函数图象上点的坐标特征和反比例函数的性质对A、B、C、D，进行判断.
3．（2023·临沂）正在建设中的临滕高速是我省“十四五”重点建设项目．一段工程施工需要运送土石方总量为，设土石方日平均运送量为V（单位：/天），完成运送任务所需要的时间为t（单位：天），则V与t满足（ ）
A．反比例函数关系 B．正比例函数关系
C．一次函数关系 D．二次函数关系
【答案】A
【知识点】反比例函数的定义；列反比例函数关系式
【解析】【解答】解：由题意可得：，
∴，
即V与t满足反比例函数关系，
故答案为：A.
【分析】根据题意先求出，再求出，最后求解即可。
4．（2023九上·新邵期末）某闭合并联电路中，各支路电流与电阻成反比例，如图表示该电路I与电阻R的函数关系图象，若该电路中某导体电阻为，则导体内通过的电流为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：可设，
根据题意得：，
解得k=10，
∴.
当R=4Ω时，
（A）.
故答案为：B.
【分析】利用待定系数法求出双曲线的解析式，进而将R=10代入计算可求出答案.
5．（2023·丽水）如果100N的压力F作用于物体上，产生的压强p要大于1000Pa，则下列关于物体受力面积S(m2)的说法正确的是（ ）
A．S小于0.1m2 B．S大于0.1m2 C．S小于10m2 D．S大于10m2
【答案】A
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：由题意可知
，
∵ 产生的压强p要大于1000Pa，
∴
解之：s＜0.1.
故答案为：A
【分析】利用已知条件可得到P与s的函数解析式，再根据 产生的压强p要大于1000Pa，可得到关于s的不等式，然后求出不等式的解集.
6．（2023九上·天长期中）近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（m）成反比例，已知200度近视眼镜的镜片焦距为0.5m，若某近视眼镜片的焦距为0.25m，则该眼镜片的度数为（ ）
A．100度 B．300度 C．400度 D．600度
【答案】C
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】设y与x的函数解析式为，
将x=0.5，y=200代入，
可得：k=0.5×200=100，
∴函数解析式为，
将x=0.25代入，可得y=，
∴该眼镜片的度数为400度，
故答案为：C.
【分析】先利用待定系数法求出函数解析式，再将x=0.25代入解析式求出y的值即可.
7．（2023九上·东平月考）如图，，是反比例函数在第一象限内的图象上的两点，且，两点的横坐标分别是2和4，则的面积是（ ）
A．3 B．2 C． D．4
【答案】A
【知识点】反比例函数的实际应用；三角形的面积
【解析】【解答】解：连接AB，如图，
把x=2代入 反比例函数 得，
y=2，
∴A（2，2）
把x=4代入 反比例函数 得，
y=1，
∴B（4，1），
∴S△OAD=，
S△OBC=，
S梯形ABCD=，
∵S四边形OABC=S△OAB+S△OBC=S△OAD+S梯形ABCD，
∴S△OAB+2=2+3，
∴S△OAB=3.
故答案为：A.
【分析】根据条件求出点A、B的坐标，从而求出S△OAD，S△OBC，S梯形ABCD，根据S四边形OABC=S△OAB+S△OBC=S△OAD+S梯形ABCD，即可求解.
8．（2023九上·石家庄月考）某厂现有300吨煤，这些煤能烧的天数与平均每天烧的吨数之间的函数关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列反比例函数关系式
【解析】【解答】总共有300吨煤，平均每天烧的吨数为x，
煤能烧的天数为
故答案为：A.
【分析】根据煤能烧的天数=煤的总吨数平均每天烧煤的吨数，即可求解.
二、填空题
9．（2023九上·宁远期中）一个游泳池的容积为，游泳池注满水所用时间与注水速度 （填“成正比例”、“成反比例”、“不成比例”）．
【答案】成反比例
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：由题意得：
整理得：
答案为：成反比例。
【分析】根据实际问题列反比例函数关系式求解。根据注水速度注水时间=游泳池的容积可得，变形即可求出t与v的函数解析式。
10．（2023九上·朝阳期中）近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（m）成反比例（即），已知200度近视眼镜的镜片焦距为0.5m，则y与x之间的函数关系式是 ．
【答案】
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：依题意，k=0.5×200=100，
∴ ．
故眼镜度数y与镜片焦距x之间的函数关系式为：．
故答案为：．
【分析】根据题意，待定系数法求反比例函数解析式，即可求解．
11．（2022·郴州）科技小组为了验证某电路的电压U（V）、电流I（A）、电阻 三者之间的关系： ，测得数据如下：
100 200 220 400
2.2 1.1 1 0.55
那么，当电阻 时，电流 A.
【答案】4
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：∵
∴ V，
∴I=
∴当电阻 时， A.
故答案为：4.
【分析】将R=100、I=2.2代入I=中可得U的值，据此可得R与I的关系式，然后将R=55代入求解可得I的值.
12．（2023·西宁）已知蓄电池的电压恒定，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，如果以此蓄电池为电源的用电器，流过的电流是2A，那么此用电器的电阻是 Ω.
【答案】18
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：设反比例函数关系式：I=，
把（4，9）代入得k=4×9=36，
∴反比例函数关系式：I=，
当I=2时，则2=，
∴R=18.
故答案为：18.
【分析】根据图象中点的坐标求出反比例函数解析式，再求出I=2时R值即可.
13．（2021·青岛）列车从甲地驶往乙地．行完全程所需的时间与行驶的平均速度之间的反比例函数关系如图所示．若列车要在内到达，则速度至少需要提高到 ．
【答案】240
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：由题意设
把代入得：
当h时，，
所以列车要在内到达，则速度至少需要提高到240，
故答案为：240.
【分析】由题意设把代入求出k值即得t关于v的函数解析式，再求出时的v值即可.
三、解答题
14．（2023九上·潜山期中）国庆期间，小李自驾小汽车从家到银屏山旅游．查询导航得知，当他的小汽车保持80km/h的速度行驶3h可以到达银屏山．若该小汽车匀速行驶的速度为vkm/h，行驶的时间为th．
（1）求v关于t的函数表达式；
（2）若返回时，该小汽车匀速行驶的速度为60km/h，假设他返回与去时的路况和其他因素一致，求他从银屏山回到家需要几小时．
【答案】（1）解：由题意，得小李从家到银屏山旅游的路程为
∴关于t的函数表达式为
（2）解：当时，
解得；
答：他从银屏山回到家需要4h．
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【分析】（1）直接根据速度=路程÷时间，即可得解；
（2）把 代入函数解析式即可求解.
15．（2023九上·金华期中）已知平面直角坐标系中，直线AB与反比例函数y=（x＞0）的图象交于点A（1，3）和点B（3，n），与x轴交于点C，与y轴交于点D．
（1）求反比例函数的表达式及n的值；
（2）将△OCD沿直线AB翻折，点O落在第一象限内的点E处，EC与反比例函数的图象交于点F．
①请求出点F的坐标；
②将线段BF绕点B旋转，在旋转过程中，求线段OF的最大值．
【答案】（1）解：将点代入反比例函数的解析式：可得：即再将点B代入反比例函数的解析式得：
y=，n=1．
（2）解： ① 设直线AB的解析式为：将点可得：解得：所以直线AB的解析式为：令即解得即点C的坐标为令x=0可求得点D的坐标为根据题意可得点E的坐标为，
则F的横坐标为4，将其代入反比函数解析式可得F的纵坐标即点F的坐标为
②因为F，所以 线段BF绕点B旋转 ，则点F在以B为圆心，BF为半径的圆上，则当OB的延长线与圆的交点时，OF有最大值，
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）将点A代入反比例函数的解析式中即可求解，在把点B坐标代入解析式即可求解；
（2）①运用待定系数法将点代入一次函数解析中，解出m、n得到一次函数的解析式，然后再根据与x轴相交，纵坐标y为0，与y轴相交横坐标x为0，求得点C的坐标为点D的坐标为进而求得点E的坐标为，从而求出反比例函数解析式，即可求解；
（2）因为F运用两点间的距离公式可求得：BF、OB的长度，再根据旋转的性质可得点F在以B为圆心，BF为半径的圆上，然后利用圆的性质求解即可.
四、综合题
16．（2022九下·泾阳月考）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p（kPa）是气体体积V（m）的反比例函数，其图象如图所示．
（1）求这个函数的表达式；
（2）当气球的体积是1m3时，气球内的气压是多少千帕？
【答案】（1）解：设p与V的函数的表达式为p=
把点A（0.8，120）代入，
∴这个函数的表达式为p=
（2）解：把V=1代入p= 得：p=96，
当气球的体积为1m'时，气球内的气压是96千帕．
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【分析】（1）当温度不变时，气球内气体的气压p（kPa）是气体体积V（m）的反比例函数， 可设函数的表达式为，由函数图象可知，函数恒过点 A(0.8，120)，把点 A(0.8，120)代入函数表达式即可求出k的值；
（2）把V= 1m3 代入（1）求得的函数表达式即可求出p的值.
17．（2023·台州）科学课上，同学用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（单位：cm）是液体的密度（单位：）的反比例函数，当密度计悬浮在密度为的水中时，．
（1）求h关于的函数解析式．
（2）当密度计悬浮在另一种液体中时，，求该液体的密度．
【答案】（1）解：设h关于的函数解析式为，
把，代入解析式，得．
∴h关于的函数解析式为；
（2）解：把代入，得．
解得：．
答：该液体的密度为.
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【分析】（1）由于h与成反比例函数，设出反比例函数的一般形式，进而将=1与h=20代入可求出比例系数k的值，从而得到h关于的函数解析式；
（2）将h=25代入（1）所求的函数解析式算出的值即可.
1 / 12023-2024学年人教版初中数学九年级下册26.2 实际问题与反比例函数 同步分层训练基础题
一、选择题
1．（2022九上·双流期中）若反比例函数的图象过点（3，2），那么下列各点中在此函数图象上的点是（ ）
A．（-2，3） B．（-3，2） C．（-3，-2） D．（4，1）
2．（2023八下·慈溪期末）对于反比例函数，下列说法不正确的是（ ）
A．点在它的图象上 B．它的图象在第二、四象限
C．当时，随的增大而增大 D．当时，随的增大而减小
3．（2023·临沂）正在建设中的临滕高速是我省“十四五”重点建设项目．一段工程施工需要运送土石方总量为，设土石方日平均运送量为V（单位：/天），完成运送任务所需要的时间为t（单位：天），则V与t满足（ ）
A．反比例函数关系 B．正比例函数关系
C．一次函数关系 D．二次函数关系
4．（2023九上·新邵期末）某闭合并联电路中，各支路电流与电阻成反比例，如图表示该电路I与电阻R的函数关系图象，若该电路中某导体电阻为，则导体内通过的电流为( )
A． B． C． D．
5．（2023·丽水）如果100N的压力F作用于物体上，产生的压强p要大于1000Pa，则下列关于物体受力面积S(m2)的说法正确的是（ ）
A．S小于0.1m2 B．S大于0.1m2 C．S小于10m2 D．S大于10m2
6．（2023九上·天长期中）近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（m）成反比例，已知200度近视眼镜的镜片焦距为0.5m，若某近视眼镜片的焦距为0.25m，则该眼镜片的度数为（ ）
A．100度 B．300度 C．400度 D．600度
7．（2023九上·东平月考）如图，，是反比例函数在第一象限内的图象上的两点，且，两点的横坐标分别是2和4，则的面积是（ ）
A．3 B．2 C． D．4
8．（2023九上·石家庄月考）某厂现有300吨煤，这些煤能烧的天数与平均每天烧的吨数之间的函数关系是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．（2023九上·宁远期中）一个游泳池的容积为，游泳池注满水所用时间与注水速度 （填“成正比例”、“成反比例”、“不成比例”）．
10．（2023九上·朝阳期中）近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（m）成反比例（即），已知200度近视眼镜的镜片焦距为0.5m，则y与x之间的函数关系式是 ．
11．（2022·郴州）科技小组为了验证某电路的电压U（V）、电流I（A）、电阻 三者之间的关系： ，测得数据如下：
100 200 220 400
2.2 1.1 1 0.55
那么，当电阻 时，电流 A.
12．（2023·西宁）已知蓄电池的电压恒定，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，如果以此蓄电池为电源的用电器，流过的电流是2A，那么此用电器的电阻是 Ω.
13．（2021·青岛）列车从甲地驶往乙地．行完全程所需的时间与行驶的平均速度之间的反比例函数关系如图所示．若列车要在内到达，则速度至少需要提高到 ．
三、解答题
14．（2023九上·潜山期中）国庆期间，小李自驾小汽车从家到银屏山旅游．查询导航得知，当他的小汽车保持80km/h的速度行驶3h可以到达银屏山．若该小汽车匀速行驶的速度为vkm/h，行驶的时间为th．
（1）求v关于t的函数表达式；
（2）若返回时，该小汽车匀速行驶的速度为60km/h，假设他返回与去时的路况和其他因素一致，求他从银屏山回到家需要几小时．
15．（2023九上·金华期中）已知平面直角坐标系中，直线AB与反比例函数y=（x＞0）的图象交于点A（1，3）和点B（3，n），与x轴交于点C，与y轴交于点D．
（1）求反比例函数的表达式及n的值；
（2）将△OCD沿直线AB翻折，点O落在第一象限内的点E处，EC与反比例函数的图象交于点F．
①请求出点F的坐标；
②将线段BF绕点B旋转，在旋转过程中，求线段OF的最大值．
四、综合题
16．（2022九下·泾阳月考）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p（kPa）是气体体积V（m）的反比例函数，其图象如图所示．
（1）求这个函数的表达式；
（2）当气球的体积是1m3时，气球内的气压是多少千帕？
17．（2023·台州）科学课上，同学用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（单位：cm）是液体的密度（单位：）的反比例函数，当密度计悬浮在密度为的水中时，．
（1）求h关于的函数解析式．
（2）当密度计悬浮在另一种液体中时，，求该液体的密度．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】列反比例函数关系式；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：设反比例函数解析式为
反比例函数的图象过点（3，2），
（-3，-2） 在此函数图象上，
故答案为：C.
【分析】设反比例函数解析式为根据题意求出k的值，逐一判断四个选项即可得出结论.
2．【答案】D
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：A、将x=-2代入函数，得到y=1，则（-2，1）在它的图像上，故A项正确，不符合题意；
B、根据反比例函数画出图象，可得图象在第二，四象限，故B项正确，不符合题意
C、根据图象可得当x＞0时，y随x的增大而增大，故C项正确，不符合题意；
D、根据图象，当x＜0时，y随x的增大而减小，故D项错误，符合题意.
故答案为：D.
【分析】我们可以利用反比例函数图象上点的坐标特征和反比例函数的性质对A、B、C、D，进行判断.
3．【答案】A
【知识点】反比例函数的定义；列反比例函数关系式
【解析】【解答】解：由题意可得：，
∴，
即V与t满足反比例函数关系，
故答案为：A.
【分析】根据题意先求出，再求出，最后求解即可。
4．【答案】B
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：可设，
根据题意得：，
解得k=10，
∴.
当R=4Ω时，
（A）.
故答案为：B.
【分析】利用待定系数法求出双曲线的解析式，进而将R=10代入计算可求出答案.
5．【答案】A
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：由题意可知
，
∵ 产生的压强p要大于1000Pa，
∴
解之：s＜0.1.
故答案为：A
【分析】利用已知条件可得到P与s的函数解析式，再根据 产生的压强p要大于1000Pa，可得到关于s的不等式，然后求出不等式的解集.
6．【答案】C
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】设y与x的函数解析式为，
将x=0.5，y=200代入，
可得：k=0.5×200=100，
∴函数解析式为，
将x=0.25代入，可得y=，
∴该眼镜片的度数为400度，
故答案为：C.
【分析】先利用待定系数法求出函数解析式，再将x=0.25代入解析式求出y的值即可.
7．【答案】A
【知识点】反比例函数的实际应用；三角形的面积
【解析】【解答】解：连接AB，如图，
把x=2代入 反比例函数 得，
y=2，
∴A（2，2）
把x=4代入 反比例函数 得，
y=1，
∴B（4，1），
∴S△OAD=，
S△OBC=，
S梯形ABCD=，
∵S四边形OABC=S△OAB+S△OBC=S△OAD+S梯形ABCD，
∴S△OAB+2=2+3，
∴S△OAB=3.
故答案为：A.
【分析】根据条件求出点A、B的坐标，从而求出S△OAD，S△OBC，S梯形ABCD，根据S四边形OABC=S△OAB+S△OBC=S△OAD+S梯形ABCD，即可求解.
8．【答案】A
【知识点】列反比例函数关系式
【解析】【解答】总共有300吨煤，平均每天烧的吨数为x，
煤能烧的天数为
故答案为：A.
【分析】根据煤能烧的天数=煤的总吨数平均每天烧煤的吨数，即可求解.
9．【答案】成反比例
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：由题意得：
整理得：
答案为：成反比例。
【分析】根据实际问题列反比例函数关系式求解。根据注水速度注水时间=游泳池的容积可得，变形即可求出t与v的函数解析式。
10．【答案】
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：依题意，k=0.5×200=100，
∴ ．
故眼镜度数y与镜片焦距x之间的函数关系式为：．
故答案为：．
【分析】根据题意，待定系数法求反比例函数解析式，即可求解．
11．【答案】4
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：∵
∴ V，
∴I=
∴当电阻 时， A.
故答案为：4.
【分析】将R=100、I=2.2代入I=中可得U的值，据此可得R与I的关系式，然后将R=55代入求解可得I的值.
12．【答案】18
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：设反比例函数关系式：I=，
把（4，9）代入得k=4×9=36，
∴反比例函数关系式：I=，
当I=2时，则2=，
∴R=18.
故答案为：18.
【分析】根据图象中点的坐标求出反比例函数解析式，再求出I=2时R值即可.
13．【答案】240
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：由题意设
把代入得：
当h时，，
所以列车要在内到达，则速度至少需要提高到240，
故答案为：240.
【分析】由题意设把代入求出k值即得t关于v的函数解析式，再求出时的v值即可.
14．【答案】（1）解：由题意，得小李从家到银屏山旅游的路程为
∴关于t的函数表达式为
（2）解：当时，
解得；
答：他从银屏山回到家需要4h．
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【分析】（1）直接根据速度=路程÷时间，即可得解；
（2）把 代入函数解析式即可求解.
15．【答案】（1）解：将点代入反比例函数的解析式：可得：即再将点B代入反比例函数的解析式得：
y=，n=1．
（2）解： ① 设直线AB的解析式为：将点可得：解得：所以直线AB的解析式为：令即解得即点C的坐标为令x=0可求得点D的坐标为根据题意可得点E的坐标为，
则F的横坐标为4，将其代入反比函数解析式可得F的纵坐标即点F的坐标为
②因为F，所以 线段BF绕点B旋转 ，则点F在以B为圆心，BF为半径的圆上，则当OB的延长线与圆的交点时，OF有最大值，
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）将点A代入反比例函数的解析式中即可求解，在把点B坐标代入解析式即可求解；
（2）①运用待定系数法将点代入一次函数解析中，解出m、n得到一次函数的解析式，然后再根据与x轴相交，纵坐标y为0，与y轴相交横坐标x为0，求得点C的坐标为点D的坐标为进而求得点E的坐标为，从而求出反比例函数解析式，即可求解；
（2）因为F运用两点间的距离公式可求得：BF、OB的长度，再根据旋转的性质可得点F在以B为圆心，BF为半径的圆上，然后利用圆的性质求解即可.
16．【答案】（1）解：设p与V的函数的表达式为p=
把点A（0.8，120）代入，
∴这个函数的表达式为p=
（2）解：把V=1代入p= 得：p=96，
当气球的体积为1m'时，气球内的气压是96千帕．
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【分析】（1）当温度不变时，气球内气体的气压p（kPa）是气体体积V（m）的反比例函数， 可设函数的表达式为，由函数图象可知，函数恒过点 A(0.8，120)，把点 A(0.8，120)代入函数表达式即可求出k的值；
（2）把V= 1m3 代入（1）求得的函数表达式即可求出p的值.
17．【答案】（1）解：设h关于的函数解析式为，
把，代入解析式，得．
∴h关于的函数解析式为；
（2）解：把代入，得．
解得：．
答：该液体的密度为.
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【分析】（1）由于h与成反比例函数，设出反比例函数的一般形式，进而将=1与h=20代入可求出比例系数k的值，从而得到h关于的函数解析式；
（2）将h=25代入（1）所求的函数解析式算出的值即可.
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