2023-2024学年人教版初中数学九年级下册27.1 图形的相似 同步分层训练基础题
一、选择题
1．下列图形中 定相似的是（ ）
A．直角三角形都相似 B．等腰三角形都相似
C．矩形都相似 D．等腰直角三角形都相似
【答案】D
【知识点】相似图形
【解析】【解答】解：A、两个直角三角形的边不一定成比例，角不一定相等，不一定相似，故本选项不符合题意；
B、两个等腰三角形的边不一定成比例，角不一定相等，不一定相似，故本选项不符合题意；
C、两个矩形的对应角相等，但对应边不一定成比例，不一定相似，故本选项不符合题意；
D、两个等腰直角三角形的对应边一定成比例，对应角一定相等，所以一定相似，故本选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据相似图形的对应边成比例，对应角相等，结合直角三角形、等腰三角形、矩形以及等腰直角三角形的特点对各选项进行分析判断．
2．（2023九上·宁远期中）下列说法正确的有个（ ）
任意两个矩形都相似 任意两个正方形都相似
任意两个等边三角形都相似 任意两个菱形都相似．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【知识点】相似图形
【解析】【解答】解：（1）虽然两个矩形的对应角都是直角，但是对应边不一定成比例，所以任意两个矩形不一定相似，故说法错误；
（2）两个正方形的对应边成比例，对应角都是直角，所以任意两个正方形一定相似，故说法正确；
（3）两个等边三角形的对应边一定成比例，对应角都是，所以任意两个等边三角形一定相似，故说法正确；
（4）两个菱形的对应边一定成比例，对应角不一定相等，所以任意两个菱形不一定相似，故说法错误．
综合分析可得，下确的是（2）和（3），共2个，
故答案为：C．
【分析】根据相似多边形定义判定。如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形．
3．（2023九上·奉贤期中）下列命题中真命题是（ ）
A．四个内角都相等的两个四边形一定相似
B．所有菱形都一定相似
C．所有的等边三角形都相似
D．一条线段只有一个黄金分割点
【答案】C
【知识点】相似图形；真命题与假命题
【解析】【解答】A：四个内角都相等的两个四边形不一定相似，还需要对应边成比例，A错误；B：所有菱形不一定都相似，还需要对应角相等；B错误；C：所有的等边三角形都相似，C错误；D：一条线段有2个黄金分割点，D错误。故答案为：C
【分析】根据相似多边形的定义可知：多边形相似需要对应角相等，对应边成比例。根据定义判断即可。
4．（2023九上·松江期中）下列说法正确的个数有（ ）
①所有正方形都相似； ②所有的矩形都相似； ③所有的菱形都相似；④所有的等腰三角形都相似．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【知识点】相似图形
【解析】【解答】解：当各边对应成比例，各角对应相等时两个图形相似，
①所有正方形各边对应成比例，各角对应相等，故都相似，此选项符合题意；
②所有的矩形对应边不一定成比例，不一定相似，故此选项不合题意；
③所有的菱形对应角不一定相等，不一定相似，故此选项不合题意；
④所有的等腰三角形对应边不一定成比例，对应角不一定相等，不一定相似，故此选项不合题意．
故答案为：A.
【分析】根据“相似图形的对应边成比例，对应角相等”，分别判断得出答案．
5．（2023九上·阜阳期中）已知两个相似三角形的相似比为2：3，则它们的周长的比为（ ）
A．4：9 B．3：2 C．2：3 D．4：6
【答案】C
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：因为相似三角形周长的比等于它们的相似比，所以它们的周长的比为2：3。
故答案为：C.
【分析】根据相似三角形的性质，即可得出答案。
6．（2022九上·晋州期中）矩形相邻的两边长分别为25和，把它按如图所示的方式分割成五个全等的小矩形，每一个小矩形均与原矩形相似，则的值为（ ）
A．5 B． C． D．10
【答案】B
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：矩形分割成五个全等的小矩形，则每个小矩形的相邻两边的长为5和，每一个小矩形均与原矩形相似，
∴大矩形的长比宽等于小矩形的长比宽，
∴，解方程得，，（舍弃），
故答案为：B．
【分析】根据相似图形的性质可得，再求出x的值即可。
7．（2023九上·义乌月考）如图，在矩形ABCD中，M和N分别为AB和CD的中点，如果矩形ABCD∽矩形MNCB，那么他们的相似比为（ ）
A． B． C．2：1 D．1：1
【答案】A
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：∵M和N分别为AB和CD的中点，
∴矩形ABCD的面积是矩形MNCB的面积的2倍，
∵果矩形ABCD∽矩形MNCB
∴矩形ABCD与矩形MNCB的相似比为 .
故答案为：A.
【分析】根据相似多边形的性质，面积的比是相似比的平方，即可得解.
8．（2023九上·遵化期中）四边形四边形，，，．则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】多边形内角与外角；相似多边形的性质
【解析】【解答】解：四边形四边形，
，
，，
故答案为：B.
【分析】利用相似多边形的性质以及四边形内角和定理进行计算即可求解.
二、填空题
9．（2023九上·朝阳期中）若两个相似多边形的面积之比是，则这两个相似多边形的周长之比是 ．
【答案】2：3
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：∵两个相似多边形的面积之比是，
∴这两个相似多边形的周长之比2：3.
故答案为：2：3.
【分析】相似三角形的面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比.
10．对应角 ，对应边 的两个三角形，叫作相似三角形．相似三角形 的比叫作两个三角形的相似比(或相似系数)．
【答案】相等；成比例；对应边
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】根据相似三角形及其相似比（或相似系数）的定义可知：对应角相等，对应边成比例的三角形叫作相似三角形；相似三角形对应边的比叫做相似比（或相似系数）.
故答案为：相等；成比例；对应边.
【分析】注意相似三角形及其相似比（或相似系数）的定义与全等三角及其对应边和对应角的定义的区别： 经过翻转、平移、旋转后，能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形 ，全等三角形相等的角叫做对应角，相等的边叫做对应边.“全等三角形”一定是“相似三角形”，全等三角形的相似比（或相似系数）是1，“相似三角形”不一定是“全等三角形”．
11．（2023九上·闵行期中）已知两个矩形相似，第一个矩形的两边长分别是3和4，第二个矩形较短的一边长是4，那么第二个矩形较长的一边长是 ．
【答案】
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：设第二个矩形较长的一边长是x，
∵两个矩形相似，
∴，
∴x=.
故答案为：。
【分析】设第二个矩形较长的一边长是x，根据相似多边形的对应边成比例，可得，解得x=，即可得出答案。
12．（2023九上·闵行期中）如图，在中，，，点M，N分别在边上，将沿直线翻折，点C恰好落在边上，记为点，如果与相似，那么折痕的长为 ．
【答案】5或
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：在中，，
∴，
∴，，
由折叠的性质知，
要使与相似，即与相似，
∵，
∴是的垂直平分线，设与交于点O，
∴，
如图所示：当时，则，
∴，
∴；
如图所示：当时，则，
∴，
∴，
∴，
同理，，则，
∴，
设中，边上的高为，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：5或．
【分析】分两种情况画出图形，由相似三角形的性质得出对应边成比例，即可求出MN的长度。
13．（2023九上·相山期中）某校有两块相似的多边形草坪，其相似比为2：3，其中较大的一块草坪的周长是36米，则另一块草坪的周长是 米．
【答案】24
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：设另外一快草坪的周长为x米，
相似比为2：3，
解得x=24
故答案为：24.
【分析】设另外一快草坪的周长为x米，直接利用相似多边形的周长比等于相似比进而求解.
三、解答题
14．（2023九上·九台期中）如图，四边形ABCD∽四边形EFGH．若AB＝18，EF＝4，FG＝6，∠B＝77°，∠C＝83°，∠E＝117°，求线段BC的长和∠H的大小．
【答案】解：BC＝27，∠H＝83°
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】∵四边形ABCD∽四边形EFGH，
∴，∠A=∠E=117°，∠D=∠H，
∵AB＝18，EF＝4，FG＝6，
∴，
解得：BC=27，
在四边形ABCD中，∠B=77°，∠C=83°，∠A=117°，
∴∠D=360°-77°-83°-117°=83°，
∴∠H=∠D=83°，
故答案为：27；83°.
【分析】利用相似多边形的性质可得，∠A=∠E=117°，∠D=∠H，再将数据代入求出BC的长，最后利用多边形的内角和求出∠H的度数即可.
15．（2023九上·西安期中） 如图，已知△ABC～△A1B1C1，∠C＝40°，∠B1＝55°，AC＝6，BC＝7，A1C1＝8，求x的值和∠A的度数．
【答案】解：∵△ABC∽△A1B1C1，∠B1＝55°，
∴AC：A1C1＝BC：B1C1，∠B＝∠B1＝55°，
即6：8＝7：x，
解得：x＝，
∵∠C＝40°，∠B＝∠B1＝55°，
∴∠A＝180°-（∠B+∠C）＝180°-（55°+40°）＝85°．
【知识点】三角形内角和定理；相似多边形的性质
【解析】【分析】利用相似三角形的对应边成比例及对应角相等，可求出∠B的度数，同时可求出x的值；然后利用三角形的内角和定理求出∠A的度数.
四、作图题
16．（2023九上·盘州期中）图①、图②均是边长为1的正方形网格，的三个顶点都在格点上．按要求在图①、图②中各画一个三角形，使它的顶点均在格点上．
（1）在图①中画一个，满足，且相似比不为1：1．
（2）在图②中将绕点顺时针旋转得到，求旋转过程中点所经过的路径长．
【答案】（1）解：如图，即为所求：
（2）解：如图，即为所求：
，
旋转过程中点所经过的路径长．
【知识点】弧长的计算；作图﹣相似变换；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）考虑网格大小，取相似比2：1画图比较合适，原底3个格放大后是6个格，原底边上高是2个格放大后是4格；
（2）根据题意旋转过程中B点所经过的路径长就是以点C为圆心，BC长为半径，圆心角为90°的扇形的弧长，根据弧长公式即可求取。
五、综合题
17．（2023九下·秦淮月考）如图，中，的平分线交于点，的平分线交于点.
（1）求证：是菱形：
（2）若，则的值为 .
【答案】（1）证明：∵的平分线交于点，
∴.
∵四边形是平行四边形，
∴.
∴.
∴.
∴.
同理，.
∴.
∵
∴四边形是平行四边形.
∵，
∴四边形是菱形.
（2）
【知识点】平行线的性质；平行四边形的性质；菱形的判定与性质；相似多边形的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：（2）由（1）知，四边形是菱形，
又四边形是平行四边形，
，
设，，则有：
，即，
整理得，
解得，
，
，
故答案为：.
【分析】（1）根据角平分线的概念可得∠BAE=∠EAF，根据平行四边形以及平行线的性质可得∠EAF=∠AEB，则∠BAE=∠AEB，推出AB=BE，同理可得AB=AF，则BE=AF，然后根据菱形的判定定理进行证明；
（2）由（1）知：四边形ABEF是菱形，则AB=BE=EF=FA，根据平行四边形的性质可得FD=CE，EF=CD，则AB=BE=EF=FA=CD，使劲儿FD=CE=x，AF=BE=CD=y，则BC=x+y，根据相似图形的对应边成比例可得x，据此求解.
18．（2023九下·丹徒月考）以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，图中的点A、B、C、D均在格点上.
（1）在图①中， .
（2）利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法.
①如图②，在上找一点P，使.
②如图③，在上找一点P，使.
【答案】（1）
（2）解：①在网格图②中，，
如图2所示，连接CD，交AB于点P，
∵，
∴△PBC∽△PAD，
∴，
解得：，
∴点P即为所要找的点；
②如图3所示，作点A的对称点A'，
连接A'C，交BD于点P，
∵，
∴△A'PB∽△CPD，
∵△ABP≌△A'BP，
∴△APB∽△CPD，
∴点P即为所要找的点.
【知识点】作图﹣相似变换
【解析】【解答】解：（1）解：图1中，
∵，
∴△PCD∽△PBA，
∴，
故答案为：；
【分析】（1）由平行于三角形一边的直线截其它两边的延长线，所截的三角形与原三角形相似得△PCD∽△PBA，由相似三角形对应边成比例即可得出结论；
（2）①连接点A右边三个单位长度处的格点D与B点左边两个单位长度处的格点C，CD与AB的交点就是所求的点P，理由如下：首先利用网格纸的特点及勾股定理算出AB的长，由平行于三角形一边的直线截其它两边的延长线，所截的三角形与原三角形相似得△PBC∽△PAD，由相似三角形对应边成比例建立方程可求出AP=3；
②作点A的对称点A'，连接A'C，交BD于点P，由平行于三角形一边的直线截其它两边的延长线，所截的三角形与原三角形相似得△A'PB∽△CPD，格努轴对称的性质得△ABP≌△A'BP，从而得出△APB∽△CPD，故点P即为所要找的点.
1 / 12023-2024学年人教版初中数学九年级下册27.1 图形的相似 同步分层训练基础题
一、选择题
1．下列图形中 定相似的是（ ）
A．直角三角形都相似 B．等腰三角形都相似
C．矩形都相似 D．等腰直角三角形都相似
2．（2023九上·宁远期中）下列说法正确的有个（ ）
任意两个矩形都相似 任意两个正方形都相似
任意两个等边三角形都相似 任意两个菱形都相似．
A．0 B．1 C．2 D．3
3．（2023九上·奉贤期中）下列命题中真命题是（ ）
A．四个内角都相等的两个四边形一定相似
B．所有菱形都一定相似
C．所有的等边三角形都相似
D．一条线段只有一个黄金分割点
4．（2023九上·松江期中）下列说法正确的个数有（ ）
①所有正方形都相似； ②所有的矩形都相似； ③所有的菱形都相似；④所有的等腰三角形都相似．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2023九上·阜阳期中）已知两个相似三角形的相似比为2：3，则它们的周长的比为（ ）
A．4：9 B．3：2 C．2：3 D．4：6
6．（2022九上·晋州期中）矩形相邻的两边长分别为25和，把它按如图所示的方式分割成五个全等的小矩形，每一个小矩形均与原矩形相似，则的值为（ ）
A．5 B． C． D．10
7．（2023九上·义乌月考）如图，在矩形ABCD中，M和N分别为AB和CD的中点，如果矩形ABCD∽矩形MNCB，那么他们的相似比为（ ）
A． B． C．2：1 D．1：1
8．（2023九上·遵化期中）四边形四边形，，，．则的度数是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2023九上·朝阳期中）若两个相似多边形的面积之比是，则这两个相似多边形的周长之比是 ．
10．对应角 ，对应边 的两个三角形，叫作相似三角形．相似三角形 的比叫作两个三角形的相似比(或相似系数)．
11．（2023九上·闵行期中）已知两个矩形相似，第一个矩形的两边长分别是3和4，第二个矩形较短的一边长是4，那么第二个矩形较长的一边长是 ．
12．（2023九上·闵行期中）如图，在中，，，点M，N分别在边上，将沿直线翻折，点C恰好落在边上，记为点，如果与相似，那么折痕的长为 ．
13．（2023九上·相山期中）某校有两块相似的多边形草坪，其相似比为2：3，其中较大的一块草坪的周长是36米，则另一块草坪的周长是 米．
三、解答题
14．（2023九上·九台期中）如图，四边形ABCD∽四边形EFGH．若AB＝18，EF＝4，FG＝6，∠B＝77°，∠C＝83°，∠E＝117°，求线段BC的长和∠H的大小．
15．（2023九上·西安期中） 如图，已知△ABC～△A1B1C1，∠C＝40°，∠B1＝55°，AC＝6，BC＝7，A1C1＝8，求x的值和∠A的度数．
四、作图题
16．（2023九上·盘州期中）图①、图②均是边长为1的正方形网格，的三个顶点都在格点上．按要求在图①、图②中各画一个三角形，使它的顶点均在格点上．
（1）在图①中画一个，满足，且相似比不为1：1．
（2）在图②中将绕点顺时针旋转得到，求旋转过程中点所经过的路径长．
五、综合题
17．（2023九下·秦淮月考）如图，中，的平分线交于点，的平分线交于点.
（1）求证：是菱形：
（2）若，则的值为 .
18．（2023九下·丹徒月考）以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，图中的点A、B、C、D均在格点上.
（1）在图①中， .
（2）利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法.
①如图②，在上找一点P，使.
②如图③，在上找一点P，使.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】相似图形
【解析】【解答】解：A、两个直角三角形的边不一定成比例，角不一定相等，不一定相似，故本选项不符合题意；
B、两个等腰三角形的边不一定成比例，角不一定相等，不一定相似，故本选项不符合题意；
C、两个矩形的对应角相等，但对应边不一定成比例，不一定相似，故本选项不符合题意；
D、两个等腰直角三角形的对应边一定成比例，对应角一定相等，所以一定相似，故本选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据相似图形的对应边成比例，对应角相等，结合直角三角形、等腰三角形、矩形以及等腰直角三角形的特点对各选项进行分析判断．
2．【答案】C
【知识点】相似图形
【解析】【解答】解：（1）虽然两个矩形的对应角都是直角，但是对应边不一定成比例，所以任意两个矩形不一定相似，故说法错误；
（2）两个正方形的对应边成比例，对应角都是直角，所以任意两个正方形一定相似，故说法正确；
（3）两个等边三角形的对应边一定成比例，对应角都是，所以任意两个等边三角形一定相似，故说法正确；
（4）两个菱形的对应边一定成比例，对应角不一定相等，所以任意两个菱形不一定相似，故说法错误．
综合分析可得，下确的是（2）和（3），共2个，
故答案为：C．
【分析】根据相似多边形定义判定。如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形．
3．【答案】C
【知识点】相似图形；真命题与假命题
【解析】【解答】A：四个内角都相等的两个四边形不一定相似，还需要对应边成比例，A错误；B：所有菱形不一定都相似，还需要对应角相等；B错误；C：所有的等边三角形都相似，C错误；D：一条线段有2个黄金分割点，D错误。故答案为：C
【分析】根据相似多边形的定义可知：多边形相似需要对应角相等，对应边成比例。根据定义判断即可。
4．【答案】A
【知识点】相似图形
【解析】【解答】解：当各边对应成比例，各角对应相等时两个图形相似，
①所有正方形各边对应成比例，各角对应相等，故都相似，此选项符合题意；
②所有的矩形对应边不一定成比例，不一定相似，故此选项不合题意；
③所有的菱形对应角不一定相等，不一定相似，故此选项不合题意；
④所有的等腰三角形对应边不一定成比例，对应角不一定相等，不一定相似，故此选项不合题意．
故答案为：A.
【分析】根据“相似图形的对应边成比例，对应角相等”，分别判断得出答案．
5．【答案】C
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：因为相似三角形周长的比等于它们的相似比，所以它们的周长的比为2：3。
故答案为：C.
【分析】根据相似三角形的性质，即可得出答案。
6．【答案】B
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：矩形分割成五个全等的小矩形，则每个小矩形的相邻两边的长为5和，每一个小矩形均与原矩形相似，
∴大矩形的长比宽等于小矩形的长比宽，
∴，解方程得，，（舍弃），
故答案为：B．
【分析】根据相似图形的性质可得，再求出x的值即可。
7．【答案】A
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：∵M和N分别为AB和CD的中点，
∴矩形ABCD的面积是矩形MNCB的面积的2倍，
∵果矩形ABCD∽矩形MNCB
∴矩形ABCD与矩形MNCB的相似比为 .
故答案为：A.
【分析】根据相似多边形的性质，面积的比是相似比的平方，即可得解.
8．【答案】B
【知识点】多边形内角与外角；相似多边形的性质
【解析】【解答】解：四边形四边形，
，
，，
故答案为：B.
【分析】利用相似多边形的性质以及四边形内角和定理进行计算即可求解.
9．【答案】2：3
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：∵两个相似多边形的面积之比是，
∴这两个相似多边形的周长之比2：3.
故答案为：2：3.
【分析】相似三角形的面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比.
10．【答案】相等；成比例；对应边
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】根据相似三角形及其相似比（或相似系数）的定义可知：对应角相等，对应边成比例的三角形叫作相似三角形；相似三角形对应边的比叫做相似比（或相似系数）.
故答案为：相等；成比例；对应边.
【分析】注意相似三角形及其相似比（或相似系数）的定义与全等三角及其对应边和对应角的定义的区别： 经过翻转、平移、旋转后，能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形 ，全等三角形相等的角叫做对应角，相等的边叫做对应边.“全等三角形”一定是“相似三角形”，全等三角形的相似比（或相似系数）是1，“相似三角形”不一定是“全等三角形”．
11．【答案】
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：设第二个矩形较长的一边长是x，
∵两个矩形相似，
∴，
∴x=.
故答案为：。
【分析】设第二个矩形较长的一边长是x，根据相似多边形的对应边成比例，可得，解得x=，即可得出答案。
12．【答案】5或
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：在中，，
∴，
∴，，
由折叠的性质知，
要使与相似，即与相似，
∵，
∴是的垂直平分线，设与交于点O，
∴，
如图所示：当时，则，
∴，
∴；
如图所示：当时，则，
∴，
∴，
∴，
同理，，则，
∴，
设中，边上的高为，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：5或．
【分析】分两种情况画出图形，由相似三角形的性质得出对应边成比例，即可求出MN的长度。
13．【答案】24
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：设另外一快草坪的周长为x米，
相似比为2：3，
解得x=24
故答案为：24.
【分析】设另外一快草坪的周长为x米，直接利用相似多边形的周长比等于相似比进而求解.
14．【答案】解：BC＝27，∠H＝83°
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】∵四边形ABCD∽四边形EFGH，
∴，∠A=∠E=117°，∠D=∠H，
∵AB＝18，EF＝4，FG＝6，
∴，
解得：BC=27，
在四边形ABCD中，∠B=77°，∠C=83°，∠A=117°，
∴∠D=360°-77°-83°-117°=83°，
∴∠H=∠D=83°，
故答案为：27；83°.
【分析】利用相似多边形的性质可得，∠A=∠E=117°，∠D=∠H，再将数据代入求出BC的长，最后利用多边形的内角和求出∠H的度数即可.
15．【答案】解：∵△ABC∽△A1B1C1，∠B1＝55°，
∴AC：A1C1＝BC：B1C1，∠B＝∠B1＝55°，
即6：8＝7：x，
解得：x＝，
∵∠C＝40°，∠B＝∠B1＝55°，
∴∠A＝180°-（∠B+∠C）＝180°-（55°+40°）＝85°．
【知识点】三角形内角和定理；相似多边形的性质
【解析】【分析】利用相似三角形的对应边成比例及对应角相等，可求出∠B的度数，同时可求出x的值；然后利用三角形的内角和定理求出∠A的度数.
16．【答案】（1）解：如图，即为所求：
（2）解：如图，即为所求：
，
旋转过程中点所经过的路径长．
【知识点】弧长的计算；作图﹣相似变换；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）考虑网格大小，取相似比2：1画图比较合适，原底3个格放大后是6个格，原底边上高是2个格放大后是4格；
（2）根据题意旋转过程中B点所经过的路径长就是以点C为圆心，BC长为半径，圆心角为90°的扇形的弧长，根据弧长公式即可求取。
17．【答案】（1）证明：∵的平分线交于点，
∴.
∵四边形是平行四边形，
∴.
∴.
∴.
∴.
同理，.
∴.
∵
∴四边形是平行四边形.
∵，
∴四边形是菱形.
（2）
【知识点】平行线的性质；平行四边形的性质；菱形的判定与性质；相似多边形的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：（2）由（1）知，四边形是菱形，
又四边形是平行四边形，
，
设，，则有：
，即，
整理得，
解得，
，
，
故答案为：.
【分析】（1）根据角平分线的概念可得∠BAE=∠EAF，根据平行四边形以及平行线的性质可得∠EAF=∠AEB，则∠BAE=∠AEB，推出AB=BE，同理可得AB=AF，则BE=AF，然后根据菱形的判定定理进行证明；
（2）由（1）知：四边形ABEF是菱形，则AB=BE=EF=FA，根据平行四边形的性质可得FD=CE，EF=CD，则AB=BE=EF=FA=CD，使劲儿FD=CE=x，AF=BE=CD=y，则BC=x+y，根据相似图形的对应边成比例可得x，据此求解.
18．【答案】（1）
（2）解：①在网格图②中，，
如图2所示，连接CD，交AB于点P，
∵，
∴△PBC∽△PAD，
∴，
解得：，
∴点P即为所要找的点；
②如图3所示，作点A的对称点A'，
连接A'C，交BD于点P，
∵，
∴△A'PB∽△CPD，
∵△ABP≌△A'BP，
∴△APB∽△CPD，
∴点P即为所要找的点.
【知识点】作图﹣相似变换
【解析】【解答】解：（1）解：图1中，
∵，
∴△PCD∽△PBA，
∴，
故答案为：；
【分析】（1）由平行于三角形一边的直线截其它两边的延长线，所截的三角形与原三角形相似得△PCD∽△PBA，由相似三角形对应边成比例即可得出结论；
（2）①连接点A右边三个单位长度处的格点D与B点左边两个单位长度处的格点C，CD与AB的交点就是所求的点P，理由如下：首先利用网格纸的特点及勾股定理算出AB的长，由平行于三角形一边的直线截其它两边的延长线，所截的三角形与原三角形相似得△PBC∽△PAD，由相似三角形对应边成比例建立方程可求出AP=3；
②作点A的对称点A'，连接A'C，交BD于点P，由平行于三角形一边的直线截其它两边的延长线，所截的三角形与原三角形相似得△A'PB∽△CPD，格努轴对称的性质得△ABP≌△A'BP，从而得出△APB∽△CPD，故点P即为所要找的点.
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