2023-2024学年人教版初中数学九年级下册27.1 图形的相似 同步分层训练提升题
一、选择题
1．（2023九上·蚌埠期中）下列两个图形不一定是相似图形的是（ ）
A．两个圆 B．两个正方形
C．两个等边三角形 D．两个等腰三角形
【答案】D
【知识点】图形的相似
【解析】【解答】A、∵任意两个圆均是相似图形，∴A不符合题意；
B、∵任意两个正方形均是相似图形，∴B不符合题意；
C、∵任意两个等边三角形均是相似图形，∴C不符合题意；
D、∵任意两个等腰三角形不一定相似，∴D符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用相似图形的判定方法逐项分析判断即可.
2．（2023九上·榆树月考）下列各选项中的两个图形是相似图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】图形的相似
【解析】【解答】解：
A：两个图形的形状不同，不是相似图形，A不符合；
B：两个图形的形状不同，不是相似图形，B不符合；
C：两个图形的形状不同，不是相似图形，C不符合；
D：两个图形的形状相同，只是大小不同，是相似图形，D符合。
故答案为：D
【分析】根据相似图形的定义进行分析判断即可。特别要注意分辨B中两个图形的不同之处。
3．如图，四边形ABCD与四边形A'B'C'D'是以点O为位似中心的位似图形．若OA：OA'=2：3，则四边形ABCD与四边形A'B'C'D'的面积比为（ ）．
A．4：9 B．2：5 C．2：3 D．：
【答案】A
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD与四边形A'B'C'D'是以点O为位似中心的位似图形，
∴.
故答案为：A.
【分析】根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方可求解.
4．（北师大版数学九年级上册第四章图形的相似第三节《相似多边形》同步练习）若两个相似多边形的面积之比为1：4，则它们的周长之比为（ ）
A．1：4 B．1：2 C．2：1 D．4：1
【答案】B
【知识点】相似多边形
【解析】解答：∵两个相似多边形面积比为1：4，
∴周长之比为 ．
故选：B．
分析：根据相似多边形的面积之比等于相似比的平方，周长之比等于相似比，就可求解．
5．（2023九上·闵行期中）将图形甲通过放大得到图形乙，那么在图形甲与图形乙的对应量中，没有被放大的是（ ）
A．边的长度 B．图形的周长 C．图形的面积 D．角的度数
【答案】D
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：根据相似图形的对应角相等可得出图形甲与图形乙的对应量中，没有被放大的是角的度数。
故答案为：D。
【分析】根据相似图形的对应角相等即可得到答案。
6．（2023九上·阜阳期中）如图，BD是的对角线，BD⊥AD，AB=2AD=6，点E是CD的中点，点F、P分别是线段AB、BD上的动点，若△ABD∽△PBF，且△PDE是等腰三角形，则PF的长为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；相似多边形
【解析】【解答】△PDE是等腰三角形，可分成以下几种情况：当PD=PE时：过点P作PG⊥DE于点G，∴DG=，
在△ABD中，∵∠ADB=90°，AB=2AD=6，
∴∠ABD=30°，BD=，
∵AB∥CD，
∴∠PDG=∠ABD=30°，
∵∠DGP=90°，
∴PD=2PG，
∴，，
∴BP=，
∵△ABD∽△PBF，
∴，
∴PF=；
当DE=DP=3时，BP=，
∴PF=；
当DE=PE=3时，点P与点B重合，这种情况不存在。
综上，PF的长为或.
故答案为：C。【分析】△PDE是等腰三角形可分成几种情况进行讨论：当PD=PE时，过点P作PG⊥DE于点G，可得DG=，进而求得BP的长，然后根据相似三角形的性质得出PF=；当DE=DP=3时，BP=，PF=；当DE=PE=3时，点P与点B重合，这种情况不存在
7．图中，有三个矩形，其中相似的是（ ）
A．甲和乙 B．甲和丙
C．乙和丙 D．没有相似的矩形
【答案】B
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：三个矩形的角都是直角， 甲、乙、丙相邻两边的比分别为2：3，1.5：2.5=3：5，1：1.5=2：3，
∴甲和丙相似，
故选B．
【分析】如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形，据此作答．
8．（2023·舒城模拟）将一张（）纸片，以它的一边为边长剪去一个菱形，将余下的平行四边形中，再以它的一边为边长剪去一个菱形，若剪去两个菱形后所剩下的平行四边形与原来相似，则的相邻两边与的比值是（ ）
A． B．
C．或 D．或或
【答案】C
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：如图所示：设AD=a，AB=b，
D C
∴AH=AD，
∴HB=b-a，
∵HB=FG= GC，
∴BG=a-(b-a)= 2a -b，
分两种情况讨论：
①∵剩下的平行四边形与原来平行四边形ABCD相似，
∴，
∴，
设，
∴，
解得：；
②∵剩下的平行四边形与原来平行四边形ABCD相似，
∴，
∴，
设，
∴，
解得：
综上所述： 的相邻两边与的比值是或.
故答案为：C.
【分析】分类讨论，根据相似多边形的性质计算求解即可。
二、填空题
9．（2023九上·简阳期中）如图，四边形四边形，则的度数是 ．
【答案】95°
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：∵四边形四边形，
∴，
∴
故答案为：95°.
【分析】根据相似多边形的性质求解。根据相似多边形的对应角相等，结合多边形内角和定理计算．
10．（2023九上·永修期中）如图，已知矩形矩形，，，则的长为 ．
【答案】
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵矩形矩形，
∴，即，
∴（负值舍去），
故答案为：．
【分析】根据相似多边形对应边成比例得到，代入数据，即可求解．
11．（2023九上·小店期中） 五边形五边形，相似比为，若，则 .
【答案】6
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】∵五边形五边形，相似比为，
∴，
∵AB=2，
∴A'B'=3AB=3×2=6，
故答案为：6.
【分析】利用相似多边形的性质可得，再将AB的长代入计算即可.
12．某多边形草坪的面积为4000m2，在市政建设规划设计图纸上的面积为250cm2，这块草坪某条边的长度是40m，则它在设计图纸上的长度是 cm．
【答案】10
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：设设计图纸上的长度是xcm，
4000m2=40000000cm2， 40m=4000cm，
∴
解得：x=10cm
故答案为：10.
【分析】根据相似多边形的面积比等于相似比的平方进行解答即可.
13．如图所示，正方形EFGH的四个顶点分别在正方形ABCD的四条边上，若正方形EFGH与正方形ABCD的相似比为，则的值为 .
【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；相似多边形；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：∵四边形EFGH是正方形，
∴EH=EF，∠HEF=90°，
∴∠AEH+∠BEF=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=90°，
∴∠AEH+∠AHE=90°，∠BEF+∠BFE=90°，
∴∠AEH=∠BFE，∠AHE=∠BEF，
又 EH=EF，
∴（ASA）
∴AE=BF，
∴EF=，
∵两个正方形相似，且相似比，
∴，
∴，
∴，
∴，
又 AE＜BE，
∴.
故答案为：.
【分析】题目已知相似比，那么本题的解题思路就是把相似比用AE和BE来表示，其中AB=AE+BE，而EF于BE在同一直角三角形中，很容易联想到用勾股定理，而题目易证AE=BF，而，得，EF也用BE和AE表示出来了，代入相似比得，从而算出，题目告知AE＜BE，因此.
三、解答题
14．如图，五边形ABCDEC∽五边形FGHIJ．求图中未知的边长x，y和∠H的大小
【答案】解：∵五边形ABCDE∽五边形FGHIJ，
∴∠H=∠C=108°，
∴ ，
即，
解得：x=15，y=12．
【知识点】相似多边形
【解析】【分析】 由五边形ABCDE∽五边形FGHIJ可得出，对应角相等可求出∠H的度数，根据相似多边形的对应边的比相等可求出边长x，y的值．
15．如图，矩形ABCD的长AB=30，宽BC=20．
（1）如图①，若矩形ABCD内四周有宽为1的方形区域，图中矩形ABCD与矩形A'B'C'D'相似吗？为什么？
（2）如图②，当x为多少时，矩形ABCD和矩形A'B'C'D'相似？
【答案】（1）解：不相似，理由如下：
∵AB=30，A′B′=28，BC=20，B′C′=18，
∴，
∴
∴矩形ABCD与矩形A'B'C'D' 不相似；
（2）解：若矩形ABCD和矩形相似，则或，即，或，解得或.
【知识点】相似多边形
【解析】【分析】 （1）因为矩形的对应角都相等，只需证明两个矩形的对应边是否成比例即可判断，根据题中的数据计算可得矩形ABCD与矩形A'B'C'D'不相似；
（2）由题知两个矩形ABCD与A′B′C′D′相似，根据对应边成比例，可列式即可求出x的值．
四、作图题
16．（2023九上·埇桥期中）如图是的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹，不需要证明）．
图1 图2
（1）如图1，在边BC上找一点P，使得；
（2）如图2，在边AC上找一点Q，使得B．
【答案】（1）解：如图所示，点P即为所求．
图1
（2）解：如图所示，点Q即为所求．
图2
【知识点】相似三角形的判定与性质；作图﹣相似变换
【解析】【分析】（1）根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，结合网格的特点作图；
（2）根据两角对应相等的两个三角形相似，结合网格的特点作图。
五、综合题
17．（2023九上·滨江期末）如图，把一个矩形划分成三个全等的小矩形.
（1）若原矩形的长，宽.问：每个小矩形与原矩形相似吗？请说明理由.
（2）若原矩形的长，宽，且每个小矩形与原矩形相似，求矩形长与宽应满足的关系式.
【答案】（1）解：不相似.理由如下：
∵原矩形的长，宽，
∴划分后小矩形的长为，宽为，
又∵，即原矩形与每个小矩形的边不成比例，
∴每个小矩形与原矩形不相似.
（2）解：∵原矩形的长，宽，
∴划分后小矩形的长为，宽为，
又∵每个小矩形与原矩形相似，
∴
∴，即.
【知识点】图形的相似
【解析】【分析】（1）由题意可得：划分后小矩形的长AD=4，宽AE=2，然后根据对应边成比例的两个图形相似进行判断；
（2）同（1）可得AD=b，AE=，由每个小矩形与原矩形相似可得，据此解答.
18．（2022·长春）如图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．
（1）网格中的形状是 ；
（2）在图①中确定一点D，连结、，使与全等：
（3）在图②中的边上确定一点E，连结，使：
（4）在图③中的边上确定一点P，在边BC上确定一点Q，连结，使，且相似比为1：2．
【答案】（1）直角三角形
（2）解：如图，点D即为所求作，使与全等：
（3）解：如图所示，点E即为所作，且使：
（4）解：如图，点P，Q即为所求，使得，且相似比为1：2．
【知识点】勾股定理的逆定理；作图﹣相似变换
【解析】【解答】解：（1）∵
∴，
∴是直角三角形，
故答案为：直角三角形；
【分析】（1）利用勾股定理的逆定理证明即可；
（2）根据全等三角形的判定，作出图形即可；
（3）根据相似三角形的判定，作出图形即可；
（4）作出AB、BC的中点P、Q即可。
1 / 12023-2024学年人教版初中数学九年级下册27.1 图形的相似 同步分层训练提升题
一、选择题
1．（2023九上·蚌埠期中）下列两个图形不一定是相似图形的是（ ）
A．两个圆 B．两个正方形
C．两个等边三角形 D．两个等腰三角形
2．（2023九上·榆树月考）下列各选项中的两个图形是相似图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，四边形ABCD与四边形A'B'C'D'是以点O为位似中心的位似图形．若OA：OA'=2：3，则四边形ABCD与四边形A'B'C'D'的面积比为（ ）．
A．4：9 B．2：5 C．2：3 D．：
4．（北师大版数学九年级上册第四章图形的相似第三节《相似多边形》同步练习）若两个相似多边形的面积之比为1：4，则它们的周长之比为（ ）
A．1：4 B．1：2 C．2：1 D．4：1
5．（2023九上·闵行期中）将图形甲通过放大得到图形乙，那么在图形甲与图形乙的对应量中，没有被放大的是（ ）
A．边的长度 B．图形的周长 C．图形的面积 D．角的度数
6．（2023九上·阜阳期中）如图，BD是的对角线，BD⊥AD，AB=2AD=6，点E是CD的中点，点F、P分别是线段AB、BD上的动点，若△ABD∽△PBF，且△PDE是等腰三角形，则PF的长为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
7．图中，有三个矩形，其中相似的是（ ）
A．甲和乙 B．甲和丙
C．乙和丙 D．没有相似的矩形
8．（2023·舒城模拟）将一张（）纸片，以它的一边为边长剪去一个菱形，将余下的平行四边形中，再以它的一边为边长剪去一个菱形，若剪去两个菱形后所剩下的平行四边形与原来相似，则的相邻两边与的比值是（ ）
A． B．
C．或 D．或或
二、填空题
9．（2023九上·简阳期中）如图，四边形四边形，则的度数是 ．
10．（2023九上·永修期中）如图，已知矩形矩形，，，则的长为 ．
11．（2023九上·小店期中） 五边形五边形，相似比为，若，则 .
12．某多边形草坪的面积为4000m2，在市政建设规划设计图纸上的面积为250cm2，这块草坪某条边的长度是40m，则它在设计图纸上的长度是 cm．
13．如图所示，正方形EFGH的四个顶点分别在正方形ABCD的四条边上，若正方形EFGH与正方形ABCD的相似比为，则的值为 .
三、解答题
14．如图，五边形ABCDEC∽五边形FGHIJ．求图中未知的边长x，y和∠H的大小
15．如图，矩形ABCD的长AB=30，宽BC=20．
（1）如图①，若矩形ABCD内四周有宽为1的方形区域，图中矩形ABCD与矩形A'B'C'D'相似吗？为什么？
（2）如图②，当x为多少时，矩形ABCD和矩形A'B'C'D'相似？
四、作图题
16．（2023九上·埇桥期中）如图是的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹，不需要证明）．
图1 图2
（1）如图1，在边BC上找一点P，使得；
（2）如图2，在边AC上找一点Q，使得B．
五、综合题
17．（2023九上·滨江期末）如图，把一个矩形划分成三个全等的小矩形.
（1）若原矩形的长，宽.问：每个小矩形与原矩形相似吗？请说明理由.
（2）若原矩形的长，宽，且每个小矩形与原矩形相似，求矩形长与宽应满足的关系式.
18．（2022·长春）如图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．
（1）网格中的形状是 ；
（2）在图①中确定一点D，连结、，使与全等：
（3）在图②中的边上确定一点E，连结，使：
（4）在图③中的边上确定一点P，在边BC上确定一点Q，连结，使，且相似比为1：2．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】图形的相似
【解析】【解答】A、∵任意两个圆均是相似图形，∴A不符合题意；
B、∵任意两个正方形均是相似图形，∴B不符合题意；
C、∵任意两个等边三角形均是相似图形，∴C不符合题意；
D、∵任意两个等腰三角形不一定相似，∴D符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用相似图形的判定方法逐项分析判断即可.
2．【答案】D
【知识点】图形的相似
【解析】【解答】解：
A：两个图形的形状不同，不是相似图形，A不符合；
B：两个图形的形状不同，不是相似图形，B不符合；
C：两个图形的形状不同，不是相似图形，C不符合；
D：两个图形的形状相同，只是大小不同，是相似图形，D符合。
故答案为：D
【分析】根据相似图形的定义进行分析判断即可。特别要注意分辨B中两个图形的不同之处。
3．【答案】A
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD与四边形A'B'C'D'是以点O为位似中心的位似图形，
∴.
故答案为：A.
【分析】根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方可求解.
4．【答案】B
【知识点】相似多边形
【解析】解答：∵两个相似多边形面积比为1：4，
∴周长之比为 ．
故选：B．
分析：根据相似多边形的面积之比等于相似比的平方，周长之比等于相似比，就可求解．
5．【答案】D
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：根据相似图形的对应角相等可得出图形甲与图形乙的对应量中，没有被放大的是角的度数。
故答案为：D。
【分析】根据相似图形的对应角相等即可得到答案。
6．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；相似多边形
【解析】【解答】△PDE是等腰三角形，可分成以下几种情况：当PD=PE时：过点P作PG⊥DE于点G，∴DG=，
在△ABD中，∵∠ADB=90°，AB=2AD=6，
∴∠ABD=30°，BD=，
∵AB∥CD，
∴∠PDG=∠ABD=30°，
∵∠DGP=90°，
∴PD=2PG，
∴，，
∴BP=，
∵△ABD∽△PBF，
∴，
∴PF=；
当DE=DP=3时，BP=，
∴PF=；
当DE=PE=3时，点P与点B重合，这种情况不存在。
综上，PF的长为或.
故答案为：C。【分析】△PDE是等腰三角形可分成几种情况进行讨论：当PD=PE时，过点P作PG⊥DE于点G，可得DG=，进而求得BP的长，然后根据相似三角形的性质得出PF=；当DE=DP=3时，BP=，PF=；当DE=PE=3时，点P与点B重合，这种情况不存在
7．【答案】B
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：三个矩形的角都是直角， 甲、乙、丙相邻两边的比分别为2：3，1.5：2.5=3：5，1：1.5=2：3，
∴甲和丙相似，
故选B．
【分析】如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形，据此作答．
8．【答案】C
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：如图所示：设AD=a，AB=b，
D C
∴AH=AD，
∴HB=b-a，
∵HB=FG= GC，
∴BG=a-(b-a)= 2a -b，
分两种情况讨论：
①∵剩下的平行四边形与原来平行四边形ABCD相似，
∴，
∴，
设，
∴，
解得：；
②∵剩下的平行四边形与原来平行四边形ABCD相似，
∴，
∴，
设，
∴，
解得：
综上所述： 的相邻两边与的比值是或.
故答案为：C.
【分析】分类讨论，根据相似多边形的性质计算求解即可。
9．【答案】95°
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：∵四边形四边形，
∴，
∴
故答案为：95°.
【分析】根据相似多边形的性质求解。根据相似多边形的对应角相等，结合多边形内角和定理计算．
10．【答案】
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵矩形矩形，
∴，即，
∴（负值舍去），
故答案为：．
【分析】根据相似多边形对应边成比例得到，代入数据，即可求解．
11．【答案】6
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】∵五边形五边形，相似比为，
∴，
∵AB=2，
∴A'B'=3AB=3×2=6，
故答案为：6.
【分析】利用相似多边形的性质可得，再将AB的长代入计算即可.
12．【答案】10
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：设设计图纸上的长度是xcm，
4000m2=40000000cm2， 40m=4000cm，
∴
解得：x=10cm
故答案为：10.
【分析】根据相似多边形的面积比等于相似比的平方进行解答即可.
13．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；相似多边形；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：∵四边形EFGH是正方形，
∴EH=EF，∠HEF=90°，
∴∠AEH+∠BEF=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=90°，
∴∠AEH+∠AHE=90°，∠BEF+∠BFE=90°，
∴∠AEH=∠BFE，∠AHE=∠BEF，
又 EH=EF，
∴（ASA）
∴AE=BF，
∴EF=，
∵两个正方形相似，且相似比，
∴，
∴，
∴，
∴，
又 AE＜BE，
∴.
故答案为：.
【分析】题目已知相似比，那么本题的解题思路就是把相似比用AE和BE来表示，其中AB=AE+BE，而EF于BE在同一直角三角形中，很容易联想到用勾股定理，而题目易证AE=BF，而，得，EF也用BE和AE表示出来了，代入相似比得，从而算出，题目告知AE＜BE，因此.
14．【答案】解：∵五边形ABCDE∽五边形FGHIJ，
∴∠H=∠C=108°，
∴ ，
即，
解得：x=15，y=12．
【知识点】相似多边形
【解析】【分析】 由五边形ABCDE∽五边形FGHIJ可得出，对应角相等可求出∠H的度数，根据相似多边形的对应边的比相等可求出边长x，y的值．
15．【答案】（1）解：不相似，理由如下：
∵AB=30，A′B′=28，BC=20，B′C′=18，
∴，
∴
∴矩形ABCD与矩形A'B'C'D' 不相似；
（2）解：若矩形ABCD和矩形相似，则或，即，或，解得或.
【知识点】相似多边形
【解析】【分析】 （1）因为矩形的对应角都相等，只需证明两个矩形的对应边是否成比例即可判断，根据题中的数据计算可得矩形ABCD与矩形A'B'C'D'不相似；
（2）由题知两个矩形ABCD与A′B′C′D′相似，根据对应边成比例，可列式即可求出x的值．
16．【答案】（1）解：如图所示，点P即为所求．
图1
（2）解：如图所示，点Q即为所求．
图2
【知识点】相似三角形的判定与性质；作图﹣相似变换
【解析】【分析】（1）根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，结合网格的特点作图；
（2）根据两角对应相等的两个三角形相似，结合网格的特点作图。
17．【答案】（1）解：不相似.理由如下：
∵原矩形的长，宽，
∴划分后小矩形的长为，宽为，
又∵，即原矩形与每个小矩形的边不成比例，
∴每个小矩形与原矩形不相似.
（2）解：∵原矩形的长，宽，
∴划分后小矩形的长为，宽为，
又∵每个小矩形与原矩形相似，
∴
∴，即.
【知识点】图形的相似
【解析】【分析】（1）由题意可得：划分后小矩形的长AD=4，宽AE=2，然后根据对应边成比例的两个图形相似进行判断；
（2）同（1）可得AD=b，AE=，由每个小矩形与原矩形相似可得，据此解答.
18．【答案】（1）直角三角形
（2）解：如图，点D即为所求作，使与全等：
（3）解：如图所示，点E即为所作，且使：
（4）解：如图，点P，Q即为所求，使得，且相似比为1：2．
【知识点】勾股定理的逆定理；作图﹣相似变换
【解析】【解答】解：（1）∵
∴，
∴是直角三角形，
故答案为：直角三角形；
【分析】（1）利用勾股定理的逆定理证明即可；
（2）根据全等三角形的判定，作出图形即可；
（3）根据相似三角形的判定，作出图形即可；
（4）作出AB、BC的中点P、Q即可。
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