2023-2024学年人教版初中数学九年级下册27.2.1相似三角形的判定 同步分层训练提升题
一、选择题
1．（2023九上·兴隆期中）如图，，那么下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴选项A，B和D错误，选项C正确，
故答案为：C.
【分析】根据平行线分线段成比例计算求解即可。
2．（2023九上·禅城月考）已知，，，成比例线段，其中，，，则（ ）
A．8cm B．9.5cm C．4cm D．4.5cm
【答案】A
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：∵，，，成比例线段 ，
∴，
将 ，， 代入上式得：，解得；
故答案为：A.
【分析】根据比例线段的定义，若 ，，，成比例线段，则，代入数据求解即可.
3．（2022九上·金东期中）如图，在中，点分别是边上的点，，且，则等于（ ）
A．5：8 B．3：8 C．3：5 D．2：5
【答案】C
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵DE∥BC，
∴；
∵EF∥AB，
∴.
故答案为：C
【分析】利用平行线分线段成比例定理可得到AE与CE的比值；再由EF∥AB，可求出BF与CF的比值.
4．（2023九上·松江期中）已知在中，点、分别在边、上，那么下列条件中不能够判断的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：如图，当时，
，，
MN∥BC，
当时，不能确定△AMN与△ABC相似，
∴不能确定∠ANM与∠C相等，
∴不能够判断MN∥BC，
∴A，B，C都不符合题意，
故答案为：D．
【分析】根据平行线分线段成比例判断即可.
5．如图，在中，点分别在边上，．若，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴，
∴、，故原选项错误，不符合题意；
、，故原选项错误，不符合题意；
、，即面积比等于相似比的平方，故原选项错误，不符合题意；
、，即周长比等于相似比，故原选项正确，符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据相似三角形的判定和性质判定。先证明，则，再根据相似三角形的性质进行解答即可．本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形性质的运用是解题的关键．需要注意的是：周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．
6．如图，在中，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：
A：没有能判定相似的条件，故不相似，不符合题意；
B：两角相等，故相似，符合题意；
C：两边对应成比例且夹角相等，故相似，符合题意；
D：两角相等，故相似，符合题意；
故答案为：A.
【分析】利用相似三角形的判定条件进行逐一判断即可求解.
7．（2023九上·邵东月考） 如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍不能判定的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵∠1=∠2，∴∠1+∠BAE=∠2+∠BAE，∴∠BAC=∠DAE，
A、∵，∠BAC=∠DAE，∴，∴A不符合题意；
B、∵，∠BAC=∠DAE，∴，∴B不符合题意；
C、∵∠D与∠B的大小无法判定，，∴无法判定，∴C符合题意；
D、∵，∠BAC=∠DAE，∴，∴D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用相似三角形的判定方法逐项分析判断即可.
8．（2023九上·永州月考）如图正方形，点分别在边上，且，把绕点沿逆时针方向旋转得到，连接交于点，连接，并在上截取，连接，有如下结论：①；②始终平分；③；④；⑤垂直平分，上述结论中，所有正确的个数是（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：正方形，
，
绕点沿逆时针方向旋转得到，
，
，
，
三点共线，
，
，
故①错误；
由
由
始终平分
故②始终平分正确；
正方形
故③正确；
如图，连接
④正确，
垂直平分．
故⑤垂直平分正确．
综上：上述结论中，所有正确的是②③④⑤，共有4个．
故答案为：B．
【分析】由正方形的性质与旋转的性质得到，再证明，从而可判断出①②，利用正方形性质与 ，证明，可判断③，连接MC ，证明，再证明为直角三角形，可判断④，证明，利用等腰三角形的性质可判断⑤.
二、填空题
9．（2021九上·长春期中）如图，在 中，D、E分别是边 、 上的点，且 ．若 ， ， ，则 的长为 ．
【答案】3
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得：
∴ ．
故答案为：3．
【分析】利用平行线分线段成比例的性质可得，再将数据代入计算求出AC的长，最后利用AC-AE计算即可。
10．如图，在矩形中，是边的中点，连接交对角线于点，则的长为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，//，，
在中，，
∴，
∵是中点，
∴，
∵//，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】根据矩形的性质，结合平行线分线段成比例求解。
11．（2023九上·闵行期中）如图，已知在△中，是边上的一点，连结.当满足 条件时，△∽△（写一个即可）.
【答案】∠B=∠ACP(或，答案不唯一)
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵，
∴当或或时，．
故答案为：或或．
【分析】根据相似三角形的判定求解．欲证，通过观察发现两个三角形已经具备一组角对应相等，即，此时，再求夹此对应角的两边对应成比例或另一组对应角相等即可．
12．（2023九上·宁远期中）如图，在正方形网格上，若使，则点P应在 ．
【答案】
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：由图知：一定是钝角；
∵，
，，
，
，
，
，
只有点符合这样的要求，
故P点应该在处，
故答案为：．
【分析】根据三角形相似的判定求解。由图可知一定是钝角，若要，则，可据此进行判断．
13．（2023八下·桓台期末）如图，直线与x轴、y轴分别交于点A、B，一动点P从点A出发，沿的路线运动到点B停止，C是的中点，沿直线PC截，若得到的三角形与相似，则点P的坐标是 ．
【答案】或或
【知识点】相似三角形的判定；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】将x=0代入，可得y=8，
∴点B的坐标为（0，8）；
将y=0代入，可得x=6，
∴点A的坐标为（6，0）；
∴OB=8，OA=6，
在Rt△AOB中，由勾股定理可得：AB=，
∵点C是AB的中点，∠AOB=90°，
∴AC=CB=AB=5，
①如图：
当点P在OA上时，△APC∽△AOB，
∴∠APC=∠AOB，
∴PC//OB，
∴，
∴PO=AP=OA=3，
∴P（3，0）；
②如图：
当点P在OB上时，△PCB∽△AOB，
∴，
∴，
∴OP=8-，
∴P；
③如图：
当点P在OB上时，△CPB∽△AOB，
∴∠CPB=∠AOB，
∴PC//OA，
∴，
∴OP=PB=OB=4，
∴P（0，4），
综上，点P的坐标为 或或 ，
故答案为： 或或 .
【分析】先利用一次函数的解析式求出点A、B的坐标，再求出OA，OB和AB的长，再利用相似三角形的性质分类讨论求解即可.
三、解答题
14．（2023九上·金沙期中）如图，在中，经，CD是边AB上的高.
（1）求证：；
（2）若，，求BD的长.
【答案】（1）证明：∵CD是边AB上的高，
∴，
∵，∴，
∵，∴
（2）解：∵，CD是边AB上的高，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴BD的长为.
【知识点】三角形的面积；勾股定理；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1） CD是边AB上的高， 得到 ， 结合题意得到 ， 由图形可得∠A是公共角，进而证明 ；
（2）先利用勾股定理求得AB的值，再利用三角形等面积法求出CD的值，再次利用勾股定理即可求得BD的值.
15．（2023九上·从江期中）如图所示，点A，B，C，D在☉O上，=.求证：
（1）BD=AC；
（2）△ABE∽△DCE.
【答案】（1）证明：∵=，
∴+=+.
∴=.
∴BD=AC.
（2）证明：∵∠B=∠C，∠AEB=∠DEC，
∴△ABE∽△DCE.
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）先求出，再利用弧与弦之间的关系可得BD=AC；
（2）利用两对角相等的三角形相似可得答案.
四、综合题
16．（2019九上·路南期中）如图，在△ABC中，D，E分别是AB和AC上的点，且DE∥BC．
（1）若AD＝5，DB＝6，EC＝12，求AE的长；
（2）若AB＝10，AD＝4，AE＝6，求EC的长．
【答案】（1）解：∵DE∥BC，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
解得，AE＝10
（2）解：DE∥BC，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
解得，AC＝15，
∴EC＝AC﹣AE＝9
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【分析】（1）（2）根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入计算得到答案．
17．（2023九上·市南区期中）已知：如图，在中，，点由点出发沿方向向点匀速运动，速度为；点由点出发沿方向向点匀速运动，速度为：若设运动的时间为，解答下列问题：
图① 图② 图③
（1）如图①，连接，当为何值时，并说明理由；
（2）如图②，当点运动时，是否存在某一时刻，使得点在线段的垂直平分线上，请说明理由；
（3）如图③，当点运动时，线段上是否存在一点，使得四边形为荾形？若存在，试求出长：若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：在中，，，
由运动知，，，
，，，；
（2）解：存在，
理由：如图②，
由运动知，，，
点在的垂直平分线上，过点作，
，
，，，，．
（3）解：不存在，
理由：由运动知，，
假设线段上是存在一点，使得四边形为平行四边形，
，，，，
，，，
平行四边形不可能是菱形．
即：线段上不存在一点，使得四边形为菱形．
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；平行四边形的性质；平行线分线段成比例；相似多边形的性质
【解析】【分析】(1)首先根据勾股定理求得AB=6cm，然后根据相似三角形的性质，即可得出关于t的等式，解方程即可求得t的值；
（2） 过点作， 首先根据PM垂直平分CQ，表示求出QM和CM的长度，然后再根据平行线分线段成比例，即可得出关于t的等式，解方程即可求得t的值；
（3） 不存在， 首先根据平行四边形的性质建立方程，求出求出t的值，然后判断在此条件下，PQ≠PB，故而得出四边形不可能为菱形．
1 / 12023-2024学年人教版初中数学九年级下册27.2.1相似三角形的判定 同步分层训练提升题
一、选择题
1．（2023九上·兴隆期中）如图，，那么下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023九上·禅城月考）已知，，，成比例线段，其中，，，则（ ）
A．8cm B．9.5cm C．4cm D．4.5cm
3．（2022九上·金东期中）如图，在中，点分别是边上的点，，且，则等于（ ）
A．5：8 B．3：8 C．3：5 D．2：5
4．（2023九上·松江期中）已知在中，点、分别在边、上，那么下列条件中不能够判断的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在中，点分别在边上，．若，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，在中，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023九上·邵东月考） 如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍不能判定的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023九上·永州月考）如图正方形，点分别在边上，且，把绕点沿逆时针方向旋转得到，连接交于点，连接，并在上截取，连接，有如下结论：①；②始终平分；③；④；⑤垂直平分，上述结论中，所有正确的个数是（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
二、填空题
9．（2021九上·长春期中）如图，在 中，D、E分别是边 、 上的点，且 ．若 ， ， ，则 的长为 ．
10．如图，在矩形中，是边的中点，连接交对角线于点，则的长为 ．
11．（2023九上·闵行期中）如图，已知在△中，是边上的一点，连结.当满足 条件时，△∽△（写一个即可）.
12．（2023九上·宁远期中）如图，在正方形网格上，若使，则点P应在 ．
13．（2023八下·桓台期末）如图，直线与x轴、y轴分别交于点A、B，一动点P从点A出发，沿的路线运动到点B停止，C是的中点，沿直线PC截，若得到的三角形与相似，则点P的坐标是 ．
三、解答题
14．（2023九上·金沙期中）如图，在中，经，CD是边AB上的高.
（1）求证：；
（2）若，，求BD的长.
15．（2023九上·从江期中）如图所示，点A，B，C，D在☉O上，=.求证：
（1）BD=AC；
（2）△ABE∽△DCE.
四、综合题
16．（2019九上·路南期中）如图，在△ABC中，D，E分别是AB和AC上的点，且DE∥BC．
（1）若AD＝5，DB＝6，EC＝12，求AE的长；
（2）若AB＝10，AD＝4，AE＝6，求EC的长．
17．（2023九上·市南区期中）已知：如图，在中，，点由点出发沿方向向点匀速运动，速度为；点由点出发沿方向向点匀速运动，速度为：若设运动的时间为，解答下列问题：
图① 图② 图③
（1）如图①，连接，当为何值时，并说明理由；
（2）如图②，当点运动时，是否存在某一时刻，使得点在线段的垂直平分线上，请说明理由；
（3）如图③，当点运动时，线段上是否存在一点，使得四边形为荾形？若存在，试求出长：若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴选项A，B和D错误，选项C正确，
故答案为：C.
【分析】根据平行线分线段成比例计算求解即可。
2．【答案】A
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：∵，，，成比例线段 ，
∴，
将 ，， 代入上式得：，解得；
故答案为：A.
【分析】根据比例线段的定义，若 ，，，成比例线段，则，代入数据求解即可.
3．【答案】C
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵DE∥BC，
∴；
∵EF∥AB，
∴.
故答案为：C
【分析】利用平行线分线段成比例定理可得到AE与CE的比值；再由EF∥AB，可求出BF与CF的比值.
4．【答案】D
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：如图，当时，
，，
MN∥BC，
当时，不能确定△AMN与△ABC相似，
∴不能确定∠ANM与∠C相等，
∴不能够判断MN∥BC，
∴A，B，C都不符合题意，
故答案为：D．
【分析】根据平行线分线段成比例判断即可.
5．【答案】D
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴，
∴、，故原选项错误，不符合题意；
、，故原选项错误，不符合题意；
、，即面积比等于相似比的平方，故原选项错误，不符合题意；
、，即周长比等于相似比，故原选项正确，符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据相似三角形的判定和性质判定。先证明，则，再根据相似三角形的性质进行解答即可．本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形性质的运用是解题的关键．需要注意的是：周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．
6．【答案】A
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：
A：没有能判定相似的条件，故不相似，不符合题意；
B：两角相等，故相似，符合题意；
C：两边对应成比例且夹角相等，故相似，符合题意；
D：两角相等，故相似，符合题意；
故答案为：A.
【分析】利用相似三角形的判定条件进行逐一判断即可求解.
7．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵∠1=∠2，∴∠1+∠BAE=∠2+∠BAE，∴∠BAC=∠DAE，
A、∵，∠BAC=∠DAE，∴，∴A不符合题意；
B、∵，∠BAC=∠DAE，∴，∴B不符合题意；
C、∵∠D与∠B的大小无法判定，，∴无法判定，∴C符合题意；
D、∵，∠BAC=∠DAE，∴，∴D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用相似三角形的判定方法逐项分析判断即可.
8．【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：正方形，
，
绕点沿逆时针方向旋转得到，
，
，
，
三点共线，
，
，
故①错误；
由
由
始终平分
故②始终平分正确；
正方形
故③正确；
如图，连接
④正确，
垂直平分．
故⑤垂直平分正确．
综上：上述结论中，所有正确的是②③④⑤，共有4个．
故答案为：B．
【分析】由正方形的性质与旋转的性质得到，再证明，从而可判断出①②，利用正方形性质与 ，证明，可判断③，连接MC ，证明，再证明为直角三角形，可判断④，证明，利用等腰三角形的性质可判断⑤.
9．【答案】3
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得：
∴ ．
故答案为：3．
【分析】利用平行线分线段成比例的性质可得，再将数据代入计算求出AC的长，最后利用AC-AE计算即可。
10．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，//，，
在中，，
∴，
∵是中点，
∴，
∵//，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】根据矩形的性质，结合平行线分线段成比例求解。
11．【答案】∠B=∠ACP(或，答案不唯一)
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵，
∴当或或时，．
故答案为：或或．
【分析】根据相似三角形的判定求解．欲证，通过观察发现两个三角形已经具备一组角对应相等，即，此时，再求夹此对应角的两边对应成比例或另一组对应角相等即可．
12．【答案】
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：由图知：一定是钝角；
∵，
，，
，
，
，
，
只有点符合这样的要求，
故P点应该在处，
故答案为：．
【分析】根据三角形相似的判定求解。由图可知一定是钝角，若要，则，可据此进行判断．
13．【答案】或或
【知识点】相似三角形的判定；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】将x=0代入，可得y=8，
∴点B的坐标为（0，8）；
将y=0代入，可得x=6，
∴点A的坐标为（6，0）；
∴OB=8，OA=6，
在Rt△AOB中，由勾股定理可得：AB=，
∵点C是AB的中点，∠AOB=90°，
∴AC=CB=AB=5，
①如图：
当点P在OA上时，△APC∽△AOB，
∴∠APC=∠AOB，
∴PC//OB，
∴，
∴PO=AP=OA=3，
∴P（3，0）；
②如图：
当点P在OB上时，△PCB∽△AOB，
∴，
∴，
∴OP=8-，
∴P；
③如图：
当点P在OB上时，△CPB∽△AOB，
∴∠CPB=∠AOB，
∴PC//OA，
∴，
∴OP=PB=OB=4，
∴P（0，4），
综上，点P的坐标为 或或 ，
故答案为： 或或 .
【分析】先利用一次函数的解析式求出点A、B的坐标，再求出OA，OB和AB的长，再利用相似三角形的性质分类讨论求解即可.
14．【答案】（1）证明：∵CD是边AB上的高，
∴，
∵，∴，
∵，∴
（2）解：∵，CD是边AB上的高，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴BD的长为.
【知识点】三角形的面积；勾股定理；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1） CD是边AB上的高， 得到 ， 结合题意得到 ， 由图形可得∠A是公共角，进而证明 ；
（2）先利用勾股定理求得AB的值，再利用三角形等面积法求出CD的值，再次利用勾股定理即可求得BD的值.
15．【答案】（1）证明：∵=，
∴+=+.
∴=.
∴BD=AC.
（2）证明：∵∠B=∠C，∠AEB=∠DEC，
∴△ABE∽△DCE.
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）先求出，再利用弧与弦之间的关系可得BD=AC；
（2）利用两对角相等的三角形相似可得答案.
16．【答案】（1）解：∵DE∥BC，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
解得，AE＝10
（2）解：DE∥BC，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
解得，AC＝15，
∴EC＝AC﹣AE＝9
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【分析】（1）（2）根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入计算得到答案．
17．【答案】（1）解：在中，，，
由运动知，，，
，，，；
（2）解：存在，
理由：如图②，
由运动知，，，
点在的垂直平分线上，过点作，
，
，，，，．
（3）解：不存在，
理由：由运动知，，
假设线段上是存在一点，使得四边形为平行四边形，
，，，，
，，，
平行四边形不可能是菱形．
即：线段上不存在一点，使得四边形为菱形．
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；平行四边形的性质；平行线分线段成比例；相似多边形的性质
【解析】【分析】(1)首先根据勾股定理求得AB=6cm，然后根据相似三角形的性质，即可得出关于t的等式，解方程即可求得t的值；
（2） 过点作， 首先根据PM垂直平分CQ，表示求出QM和CM的长度，然后再根据平行线分线段成比例，即可得出关于t的等式，解方程即可求得t的值；
（3） 不存在， 首先根据平行四边形的性质建立方程，求出求出t的值，然后判断在此条件下，PQ≠PB，故而得出四边形不可能为菱形．
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