2023-2024学年人教版初中数学九年级下册27.2.1相似三角形的判定 同步分层训练培优题

2023-2024学年人教版初中数学九年级下册27.2.1相似三角形的判定 同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2023九下·萧山期中）如图，，，相交于点若，，：（　　）
A．1：2 B．1：4 C．2：1 D．4：1
2．（2023九下·钦州期中）如图，矩形中，点A在双曲线上，点B，C在x轴上，延长至点E，使，连接交y轴于点F，连接，则的面积为（　　）
A． B． C． D．
3．（2023九下·青秀月考）如图，在直角坐标系中，矩形的顶点O在坐标原点，顶点A，C分别在x轴，y轴上，B，D两点坐标分别为，，线段在边上移动，保持，当四边形的周长最小时，点E的坐标为 （　　）
A． B． C． D．
4．（2023九下·睢宁开学考）如图所示，给出下列条件：①∠B＝∠ACD；②∠ADC＝∠ACB；③；④AC2＝AD AB.其中单独能够判定△ABC∽△ACD的个数为（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
5．（2022九下·长兴月考）如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB于点E，连结CO并延长，交弦AD于点F．若AB=10，BE=2，则OF的长度是（　　）
A．
B．3
C．
D．
6．（2022九下·海曙开学考）如图，正方形中，是的中点，是边上的一点，下列条件中，不能推出与相似的是（　　）
A． B．
C．是的中点 D．
7．（2023八下·镇海区期中）如图，在矩形ABCD的外部有四个全等的直角三角形，分别为△AEB，△BFG，△CGD，△DHE，连结EC，DF交于点O，若，则的值为（　　）
A． B． C． D．
8．（2023八下·大兴期中）如图，在中，，射线平分，于点D，于点E，若F为的中点，连接．下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号是（　　）
A．①②④ B．①③④ C．②③ D．①②③④
二、填空题
9．（2022九下·四平期中）已知，AD与BC相交于点O.若，AD=10，则AO=　 　．
10．（2022九上·黄浦期中）如图，、相交于点O，点E、F分别在、上，，如果，，，，那么　 　．
11．（2023七下·思茅开学考）直线l上的三个点A、B、C，若满足BC＝AB，则称点C是点A关于点B的“半距点”．如图1，BC＝AB，此时点C就是点A关于点B的一个“半距点”．如图2若M、N、P三个点在同一条直线m上，且点P是点M关于点N的“半距点”，MN＝6cm．则MP＝　 　cm．
12．（2023·南开模拟）如图，正方形中，E为上一点，过B作于G，延长至点F使，延长交于点M，连接，若C为中点，，则的长为　 　．
13．（2023九上·鄞州期末）如图，矩形中，点，在轴上，交轴于点，点在上，，连接交轴于点，过点作轴交于点，点在函数的图象上.若的面积为，则的值为 　 　；的面积与的面积差为 　 　.
三、解答题
14．（2022九下·淮南月考）如图，已知中，，求BD的长.
15．（2023九上·泰山月考）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线过B、C两点，连接AC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求证：△AOC∽△ACB；
（3）抛物线对称轴上是否存在点P使得PC+PA的最小值？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．
四、作图题
16．（2023九上·朝阳月考）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，并保留适当的作图痕迹．
（1）在图①中的边上确定一点D，连结，使得；
（2）在图②中的边上确定一点E，连结，使得；
（3）在图③中的边上确定一点M，边上确定一点N，连结，使得．
五、综合题
17．（2023九下·瑞安开学考）如图，在四边形ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，连结EC，EF，EC平分∠FEB，EF∥BC.
（1）求证：EB＝BC.
（2）若AD∥EF，DF＝FC，请判断AE与BC的大小关系，并说明理由.
18．（2023·玉屏模拟） 如图，在平面直角坐标系中，抛物线：与轴相交于，两点，与轴相交于点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图，抛物线的顶点为，连接，，，，求证：∽；
（3）记抛物线位于轴上方的部分为，将向下平移个单位，使平移后的与的三条边有两个交点，请直接写出的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，AB=1，CD=2，
∴AB：CD=BO：CO=1：2.
故答案为：A.
【分析】根据平行线分线段成比例的性质可得AB：CD=BO：CO，据此解答.
2．【答案】B
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：如图，设AD交y轴于点M，交BE于点N，
设AB=CD=2m，
∵CD=2DE，
∴DE=m，设DN=n.
∵点A在上，
∴A（，2m），
∴AM=，
∵四边形ABCD是矩形，
∴DN∥BC，
∴，
∴BC=AD=3n，
∴AN=AD-DN=2n，
∴MN=2n-，
∵MF∥DE，
∴，
∴，
∴，
∴OF=OM-MF=2m-=，
∴S△BFC= BC OF=×3n =6，
故答案为：B．
【分析】如图，设AD交y轴于点M，交BE于点N，设AB=CD=2m，则DE=m，设DN=n.利用平行线分线段成比例定理求出BC、OF，最后用三角形的面积公式求出答案．
3．【答案】D
【知识点】坐标与图形性质；平行四边形的判定与性质；平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：在上截取，作点D关于x轴的对称轴的对称点，连接，，
∴，，
∵，，
∴ 四边形是平行四边形，
∴，
∵为定值，
∴当共线时四边形的周长最小，
∵，
∴，
∴，
∴点E的坐标为.
【分析】在BC上截取BH=3，作点D关于x轴的对称轴的对称点，连接，HE，由题意根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形BHEF是平行四边形，则BF=HE；结合已知可得：当共线时四边形BDEF的周长最小，根据平行线分线段成比例可得比例式求出OE的值，于是点E的坐标可求解.
4．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：有三个.
①∠B＝∠ACD，再加上∠A为公共角，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；
②∠ADC＝∠ACB，再加上∠A为公共角，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；
③中∠A不是已知的比例线段的夹角，不正确
④可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定；
故答案为：B.
【分析】直接根据相似三角形的判定定理进行判断.
5．【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理；平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：如图，过点O作OH⊥AB交AD于点H，
∵AB=10，
∴AO=BO=CO=5，
∵BE=2，
∴OE=3，
∵CD⊥AB，
∴CE=DE，
在Rt△OEC中，CE= =4，
∴CD=2CE=8，
∵OH∥CD，
∴，即 ，
∴解得OF= .
故答案为：C.
【分析】过点O作OH⊥AB交AD于点H，利用AB=10及BE=2求得OE=3；再根据垂径定理得CE=DE，在Rt△OEC中，利用勾股定理求得CE=4，进而求得CD；再由平行线分线段成比例得 ，代入数据即可求得OF的长度.
6．【答案】C
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A. ，根据正方形性质得到∠B=∠C，可以得到 ∽ ，不合题意；
B. ∵，∴，又∠B=∠C，∴∽ ，不合题意；
C.P是BC的中点，无法判断 与 相似，符合题意；
D. ，根据正方形性质得到 ，又∵∠B=∠C，则 ∽ ，不合题意.
故答案为：C.
【分析】根据正方形性质得到∠B=∠C，结合∠APB=∠EPC以及相似三角形的判定定理可判断A；由原式可得，结合∠B=∠C，即可判断B；根据正方形的性质可得AB：BP=EC：PC=3：2，∠B=∠C=90°，据此判断D.
7．【答案】A
【知识点】三角形的面积；平行四边形的判定；平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：如图，设EC、AF交于点I，连接DI，
，
DE=DC=AB=BG，AE=BF=DH=CG，
由DE=DC，得到为等腰直角三角形，
，
，
为等腰直角三角形，
AE=AI，
，
AI=BF，
AB=IF，，
四边形DIFC为平行四边形，
OI=OC，OD=OF，
，
，
，
，
，
，
，
，
.
故答案为：A.
【分析】如图，设EC、AF交于点I，连接DI，证明出四边形DIFC为平行四边形，得到，再根据 ，推出EI与EC的比，即得出AI与DC的比，即可得出结果.
8．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；平行线分线段成比例；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图所示：延长CE交AB于G，延长BD交AC延长线于点H，
∵AE平分∠GAC， BDLAE，
∴∠BAD = ∠HAD，∠ADB = ∠ADH = 90°，
∴△ADB≌△ADH(ASA)，
∴BD =DH，AH=AB=2AC，
∴AC=CH，
∵点F为BC的中点，
∴DF//AH，DF=，
同理可得：△AEG≌△AEC(ASA)，
∴CE=EG，AC=AG=，
∴AG=BG，
∵点F为BC的中点
∴FE//AB， EF=BG=AC，
∴结论①正确；
∴EF=FD，
∴结论③正确；
连接CD，
∵AC = CH，BD = DH，
∴CD=AB=AC，
∵ CE⊥AD，
∴DE∴DE∴结论②错误；
∵EF//BG， DF//HC，
∴∠FED= ∠BAD， ∠FDE = ∠HAD，
∴∠FED+ ∠FDE = ∠BAD+∠HAD= ∠BAC，
∵∠FED+∠FDE+∠EFD =180°，
∴∠BAC+∠EFD=180°，
∴结论④正确，
综上所述：正确结论的序号是①③④.
故答案为：B.
【分析】结合图形，利用全等三角形的判定与性质，平行线的性质等对每个结论一一判断即可。
9．【答案】4
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：根据平行线分线段成比例定理，由AB∥CD可得，
∵AD=10，
∴OD=10-OA，
代入可得，
解得OA=4，经检验，符合题意；
故答案为：4．
【分析】根据平行线分线段成比例的性质可得，再将数据代入解得，再求出OA的长即可。
10．【答案】10
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵，
，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：10．
【分析】根据平行线分线段成比例可得，，据此即可求解.
11．【答案】3或9
【知识点】比例线段；线段的计算
【解析】【解答】解：∵点P是点M关于点N的“半距点”
∴
①∵MN=6cm，
∴
②∵MN=6cm，
∴
∴MP=3cm或9cm
【分析】根据点P是点M关于点N的“半距点”，可得，分情况讨论，即可求出答案.
12．【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；正方形的性质；平行线分线段成比例；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：过C点作于H点，如图所示：
∵四边形为正方形，
∴，，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
在和中，
∵，，，
∴，
∴，
∵C为的中点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
解得：，负值舍去，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】过C点作于H点，证明，可得，易得，根据平行线分线段成比例可得，从而求出，由勾股定理可得，据此求出，即得，易求=45°，根据等角对等边即可求解.
13．【答案】-4；1
【知识点】矩形的性质；平行线分线段成比例；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：设，，则，
∵的面积为，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
把代入，得；
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：-4；1.
【分析】设C（c，0），B（b，0），则BC＝b c，根据△BCG的面积为2，求得OG，再由平行线分线段成比例定理得OG∶BF＝OC∶BC，求得BF，进而得出P（c， ），再用待定系数法求得k；由，求得AB，再求得△DEG的面积，进而求得结果．
14．【答案】解：∵DE∥BC，
∴AD：AB=AE：AC，
又∵BD=AE，AD=8，AC=6，
∴AB=8+BD，
∴8：(8+BD)=BD：6即BD2+8BD-48=0.
解得：BD=4或BD=-12（不合题意，舍去）
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【分析】根据平行线分线段成比例可得AD：AB=AE：AC， 据此即可求解.
15．【答案】（1）解：∵直线y＝-x+2过B、C两点，
当x＝0时，代入y＝-x+2，得y＝2，
即C（0，2），
当y＝0时，代入y＝-x+2，得x＝4，
即B（4，0），
把B（4，0），C（0，2）分别代入y＝-x2+bx+c，得，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝-x2+x+2；
（2）证明：∵抛物线y＝-x2+x+2与x轴交于点A，
则y＝-x2+x+2＝0，
解得x1＝-1，x2＝4，
∴点A的坐标为（-1，0），
∴AO＝1，AB＝5，
在Rt△AOC中，AO＝1，OC＝2，
∴AC＝，
∴，
而，
又∵∠OAC＝∠CAB，
∴△AOC∽△ACB；
（3）解：存在，理由：
点A关于抛物线对称轴的对称点为点B，则AC和抛物线对称轴的交点即为点P，
理由：PA+PC＝PB+PC＝BC为最小，
由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝-x+2，
当x＝时，y＝-x+2＝-+2＝，
即点P（，）．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；轴对称的应用-最短距离问题；相似三角形的判定
【解析】【分析】⑴、待定系数法求二次函数解析式，因为有两未知系数，所以需要知道两点的坐标；而已知直线过B、C两点，所以先利用一次函数求得B、C两点的坐标，再代入二次函数解析式得未知系数的方程组即可求解；
⑵求出抛物线解析式后，容易求得点A的坐标，进而求得OA、OB、OC、AC、AB的长，可知OA：AC=AC：AB，且夹角相等，故两三角形相似；
⑶、由题易知点A、B关于对称轴对称，所以直线BC与对称轴的交点即为点P，此时PA+PC最小，（利用对称转化，两点之间线段最短），先求得对称轴直线方程，然后将其数值代入直线BC解析式求得纵坐标，也就求得点P的坐标。
16．【答案】（1）解：如图①，点D即为所求．
；
（2）解：如图②，点E即为所求．
；
（3）解：如图③，点M，N即为所求．
；
【知识点】比例线段；平行线分线段成比例；作图﹣相似变换
【解析】【分析】 (1)等底等高的三角形面积相等、等高的三角形底是3倍关系那么面积就是3倍关系，根据这一思路，BC=3，连接B右侧的第一个格点和A右侧的第一个格点，交AC于D；
(2)根据题意把问题转化为将AB四等分就可以得到BE=AE，为此过A在BC的平行线上找到连续的格点，对应找C点和左侧BC上的格点，目的是得到一组等距的平行线，将AB四等分，靠近B的等分点就是我们需要的E点；
(3)分别找到以AB和AC为对角线的矩形，利用对角线互相平分的性质画出另外的一条对角线，交点就是我们要找的M、N点。
17．【答案】（1）证明：∵EC平分∠FEB，
∴∠CEF＝∠BEC，
∵EF∥BC，
∴∠CEF＝∠BCE，
∴∠BCE＝∠BEC，
∴EB＝BC
（2）解：AE＝BC.
理由：∵EF∥BC，AD∥EF，
∴AD∥EF∥BC，
∵DF＝FC，
∴AE＝BE，
∵EB＝BC，
∴AE＝BC.
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质；等腰三角形的判定；平行线分线段成比例；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）根据角平分线的概念可得∠CEF＝∠BEC，由平行线的性质可得∠CEF＝∠BCE，则∠BCE＝∠BEC，据此证明；
（2）根据平行公理及推论可得AD∥EF∥BC，由平行线分线段成比例的性质可得AE＝BE，由（1）可得EB＝BC，据此可得结论.
18．【答案】（1）解：把、分别代入，得：
，
解得：，
抛物线的函数表达式为；
（2）解：证明：，
点，
令，
解得：，，
点坐标为
，，
，，
，
，
，
，
，，，
，
∽；
（3）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；两点间的距离；平移的性质；相似三角形的判定；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：解：设直线的解析式为，
把点、分别代入中，得：
，
解得：，
直线的解析式为，
将向下平移个单位，
则平移后的的解析式为，
当与没有交点时，
即没有实数根，
即没有实数根，
，
解得：，
当与线段只有两个交点时，
即方程有两个负实数根，
，
解得：，
的取值范围为．
【分析】（1）根据待定系数法将点坐标代入函数解析式即可求出答案；
（2）根据配方法将函数解析式转化为，可得点D坐标，令求出点B坐标，再根据两点间距离公式可得BC、DA、DC、AC长，再根据相似三角形判定定理即可求出答案；
（3）设直线的解析式为，根据待定系数法将A，C点坐标代入直线解析式可求出直线AC的解析式为：，根据平移性质可得平移后的的解析式为，再根据直线与抛物线的位置关系分情况讨论，联立方程组，根据二次方程根的性质即可求出答案。
1 / 12023-2024学年人教版初中数学九年级下册27.2.1相似三角形的判定 同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2023九下·萧山期中）如图，，，相交于点若，，：（　　）
A．1：2 B．1：4 C．2：1 D．4：1
【答案】A
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，AB=1，CD=2，
∴AB：CD=BO：CO=1：2.
故答案为：A.
【分析】根据平行线分线段成比例的性质可得AB：CD=BO：CO，据此解答.
2．（2023九下·钦州期中）如图，矩形中，点A在双曲线上，点B，C在x轴上，延长至点E，使，连接交y轴于点F，连接，则的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：如图，设AD交y轴于点M，交BE于点N，
设AB=CD=2m，
∵CD=2DE，
∴DE=m，设DN=n.
∵点A在上，
∴A（，2m），
∴AM=，
∵四边形ABCD是矩形，
∴DN∥BC，
∴，
∴BC=AD=3n，
∴AN=AD-DN=2n，
∴MN=2n-，
∵MF∥DE，
∴，
∴，
∴，
∴OF=OM-MF=2m-=，
∴S△BFC= BC OF=×3n =6，
故答案为：B．
【分析】如图，设AD交y轴于点M，交BE于点N，设AB=CD=2m，则DE=m，设DN=n.利用平行线分线段成比例定理求出BC、OF，最后用三角形的面积公式求出答案．
3．（2023九下·青秀月考）如图，在直角坐标系中，矩形的顶点O在坐标原点，顶点A，C分别在x轴，y轴上，B，D两点坐标分别为，，线段在边上移动，保持，当四边形的周长最小时，点E的坐标为 （　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】坐标与图形性质；平行四边形的判定与性质；平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：在上截取，作点D关于x轴的对称轴的对称点，连接，，
∴，，
∵，，
∴ 四边形是平行四边形，
∴，
∵为定值，
∴当共线时四边形的周长最小，
∵，
∴，
∴，
∴点E的坐标为.
【分析】在BC上截取BH=3，作点D关于x轴的对称轴的对称点，连接，HE，由题意根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形BHEF是平行四边形，则BF=HE；结合已知可得：当共线时四边形BDEF的周长最小，根据平行线分线段成比例可得比例式求出OE的值，于是点E的坐标可求解.
4．（2023九下·睢宁开学考）如图所示，给出下列条件：①∠B＝∠ACD；②∠ADC＝∠ACB；③；④AC2＝AD AB.其中单独能够判定△ABC∽△ACD的个数为（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：有三个.
①∠B＝∠ACD，再加上∠A为公共角，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；
②∠ADC＝∠ACB，再加上∠A为公共角，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；
③中∠A不是已知的比例线段的夹角，不正确
④可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定；
故答案为：B.
【分析】直接根据相似三角形的判定定理进行判断.
5．（2022九下·长兴月考）如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB于点E，连结CO并延长，交弦AD于点F．若AB=10，BE=2，则OF的长度是（　　）
A．
B．3
C．
D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理；平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：如图，过点O作OH⊥AB交AD于点H，
∵AB=10，
∴AO=BO=CO=5，
∵BE=2，
∴OE=3，
∵CD⊥AB，
∴CE=DE，
在Rt△OEC中，CE= =4，
∴CD=2CE=8，
∵OH∥CD，
∴，即 ，
∴解得OF= .
故答案为：C.
【分析】过点O作OH⊥AB交AD于点H，利用AB=10及BE=2求得OE=3；再根据垂径定理得CE=DE，在Rt△OEC中，利用勾股定理求得CE=4，进而求得CD；再由平行线分线段成比例得 ，代入数据即可求得OF的长度.
6．（2022九下·海曙开学考）如图，正方形中，是的中点，是边上的一点，下列条件中，不能推出与相似的是（　　）
A． B．
C．是的中点 D．
【答案】C
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A. ，根据正方形性质得到∠B=∠C，可以得到 ∽ ，不合题意；
B. ∵，∴，又∠B=∠C，∴∽ ，不合题意；
C.P是BC的中点，无法判断 与 相似，符合题意；
D. ，根据正方形性质得到 ，又∵∠B=∠C，则 ∽ ，不合题意.
故答案为：C.
【分析】根据正方形性质得到∠B=∠C，结合∠APB=∠EPC以及相似三角形的判定定理可判断A；由原式可得，结合∠B=∠C，即可判断B；根据正方形的性质可得AB：BP=EC：PC=3：2，∠B=∠C=90°，据此判断D.
7．（2023八下·镇海区期中）如图，在矩形ABCD的外部有四个全等的直角三角形，分别为△AEB，△BFG，△CGD，△DHE，连结EC，DF交于点O，若，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形的面积；平行四边形的判定；平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：如图，设EC、AF交于点I，连接DI，
，
DE=DC=AB=BG，AE=BF=DH=CG，
由DE=DC，得到为等腰直角三角形，
，
，
为等腰直角三角形，
AE=AI，
，
AI=BF，
AB=IF，，
四边形DIFC为平行四边形，
OI=OC，OD=OF，
，
，
，
，
，
，
，
，
.
故答案为：A.
【分析】如图，设EC、AF交于点I，连接DI，证明出四边形DIFC为平行四边形，得到，再根据 ，推出EI与EC的比，即得出AI与DC的比，即可得出结果.
8．（2023八下·大兴期中）如图，在中，，射线平分，于点D，于点E，若F为的中点，连接．下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号是（　　）
A．①②④ B．①③④ C．②③ D．①②③④
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；平行线分线段成比例；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图所示：延长CE交AB于G，延长BD交AC延长线于点H，
∵AE平分∠GAC， BDLAE，
∴∠BAD = ∠HAD，∠ADB = ∠ADH = 90°，
∴△ADB≌△ADH(ASA)，
∴BD =DH，AH=AB=2AC，
∴AC=CH，
∵点F为BC的中点，
∴DF//AH，DF=，
同理可得：△AEG≌△AEC(ASA)，
∴CE=EG，AC=AG=，
∴AG=BG，
∵点F为BC的中点
∴FE//AB， EF=BG=AC，
∴结论①正确；
∴EF=FD，
∴结论③正确；
连接CD，
∵AC = CH，BD = DH，
∴CD=AB=AC，
∵ CE⊥AD，
∴DE∴DE∴结论②错误；
∵EF//BG， DF//HC，
∴∠FED= ∠BAD， ∠FDE = ∠HAD，
∴∠FED+ ∠FDE = ∠BAD+∠HAD= ∠BAC，
∵∠FED+∠FDE+∠EFD =180°，
∴∠BAC+∠EFD=180°，
∴结论④正确，
综上所述：正确结论的序号是①③④.
故答案为：B.
【分析】结合图形，利用全等三角形的判定与性质，平行线的性质等对每个结论一一判断即可。
二、填空题
9．（2022九下·四平期中）已知，AD与BC相交于点O.若，AD=10，则AO=　 　．
【答案】4
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：根据平行线分线段成比例定理，由AB∥CD可得，
∵AD=10，
∴OD=10-OA，
代入可得，
解得OA=4，经检验，符合题意；
故答案为：4．
【分析】根据平行线分线段成比例的性质可得，再将数据代入解得，再求出OA的长即可。
10．（2022九上·黄浦期中）如图，、相交于点O，点E、F分别在、上，，如果，，，，那么　 　．
【答案】10
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵，
，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：10．
【分析】根据平行线分线段成比例可得，，据此即可求解.
11．（2023七下·思茅开学考）直线l上的三个点A、B、C，若满足BC＝AB，则称点C是点A关于点B的“半距点”．如图1，BC＝AB，此时点C就是点A关于点B的一个“半距点”．如图2若M、N、P三个点在同一条直线m上，且点P是点M关于点N的“半距点”，MN＝6cm．则MP＝　 　cm．
【答案】3或9
【知识点】比例线段；线段的计算
【解析】【解答】解：∵点P是点M关于点N的“半距点”
∴
①∵MN=6cm，
∴
②∵MN=6cm，
∴
∴MP=3cm或9cm
【分析】根据点P是点M关于点N的“半距点”，可得，分情况讨论，即可求出答案.
12．（2023·南开模拟）如图，正方形中，E为上一点，过B作于G，延长至点F使，延长交于点M，连接，若C为中点，，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；正方形的性质；平行线分线段成比例；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：过C点作于H点，如图所示：
∵四边形为正方形，
∴，，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
在和中，
∵，，，
∴，
∴，
∵C为的中点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
解得：，负值舍去，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】过C点作于H点，证明，可得，易得，根据平行线分线段成比例可得，从而求出，由勾股定理可得，据此求出，即得，易求=45°，根据等角对等边即可求解.
13．（2023九上·鄞州期末）如图，矩形中，点，在轴上，交轴于点，点在上，，连接交轴于点，过点作轴交于点，点在函数的图象上.若的面积为，则的值为 　 　；的面积与的面积差为 　 　.
【答案】-4；1
【知识点】矩形的性质；平行线分线段成比例；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：设，，则，
∵的面积为，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
把代入，得；
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：-4；1.
【分析】设C（c，0），B（b，0），则BC＝b c，根据△BCG的面积为2，求得OG，再由平行线分线段成比例定理得OG∶BF＝OC∶BC，求得BF，进而得出P（c， ），再用待定系数法求得k；由，求得AB，再求得△DEG的面积，进而求得结果．
三、解答题
14．（2022九下·淮南月考）如图，已知中，，求BD的长.
【答案】解：∵DE∥BC，
∴AD：AB=AE：AC，
又∵BD=AE，AD=8，AC=6，
∴AB=8+BD，
∴8：(8+BD)=BD：6即BD2+8BD-48=0.
解得：BD=4或BD=-12（不合题意，舍去）
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【分析】根据平行线分线段成比例可得AD：AB=AE：AC， 据此即可求解.
15．（2023九上·泰山月考）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线过B、C两点，连接AC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求证：△AOC∽△ACB；
（3）抛物线对称轴上是否存在点P使得PC+PA的最小值？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵直线y＝-x+2过B、C两点，
当x＝0时，代入y＝-x+2，得y＝2，
即C（0，2），
当y＝0时，代入y＝-x+2，得x＝4，
即B（4，0），
把B（4，0），C（0，2）分别代入y＝-x2+bx+c，得，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝-x2+x+2；
（2）证明：∵抛物线y＝-x2+x+2与x轴交于点A，
则y＝-x2+x+2＝0，
解得x1＝-1，x2＝4，
∴点A的坐标为（-1，0），
∴AO＝1，AB＝5，
在Rt△AOC中，AO＝1，OC＝2，
∴AC＝，
∴，
而，
又∵∠OAC＝∠CAB，
∴△AOC∽△ACB；
（3）解：存在，理由：
点A关于抛物线对称轴的对称点为点B，则AC和抛物线对称轴的交点即为点P，
理由：PA+PC＝PB+PC＝BC为最小，
由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝-x+2，
当x＝时，y＝-x+2＝-+2＝，
即点P（，）．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；轴对称的应用-最短距离问题；相似三角形的判定
【解析】【分析】⑴、待定系数法求二次函数解析式，因为有两未知系数，所以需要知道两点的坐标；而已知直线过B、C两点，所以先利用一次函数求得B、C两点的坐标，再代入二次函数解析式得未知系数的方程组即可求解；
⑵求出抛物线解析式后，容易求得点A的坐标，进而求得OA、OB、OC、AC、AB的长，可知OA：AC=AC：AB，且夹角相等，故两三角形相似；
⑶、由题易知点A、B关于对称轴对称，所以直线BC与对称轴的交点即为点P，此时PA+PC最小，（利用对称转化，两点之间线段最短），先求得对称轴直线方程，然后将其数值代入直线BC解析式求得纵坐标，也就求得点P的坐标。
四、作图题
16．（2023九上·朝阳月考）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，并保留适当的作图痕迹．
（1）在图①中的边上确定一点D，连结，使得；
（2）在图②中的边上确定一点E，连结，使得；
（3）在图③中的边上确定一点M，边上确定一点N，连结，使得．
【答案】（1）解：如图①，点D即为所求．
；
（2）解：如图②，点E即为所求．
；
（3）解：如图③，点M，N即为所求．
；
【知识点】比例线段；平行线分线段成比例；作图﹣相似变换
【解析】【分析】 (1)等底等高的三角形面积相等、等高的三角形底是3倍关系那么面积就是3倍关系，根据这一思路，BC=3，连接B右侧的第一个格点和A右侧的第一个格点，交AC于D；
(2)根据题意把问题转化为将AB四等分就可以得到BE=AE，为此过A在BC的平行线上找到连续的格点，对应找C点和左侧BC上的格点，目的是得到一组等距的平行线，将AB四等分，靠近B的等分点就是我们需要的E点；
(3)分别找到以AB和AC为对角线的矩形，利用对角线互相平分的性质画出另外的一条对角线，交点就是我们要找的M、N点。
五、综合题
17．（2023九下·瑞安开学考）如图，在四边形ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，连结EC，EF，EC平分∠FEB，EF∥BC.
（1）求证：EB＝BC.
（2）若AD∥EF，DF＝FC，请判断AE与BC的大小关系，并说明理由.
【答案】（1）证明：∵EC平分∠FEB，
∴∠CEF＝∠BEC，
∵EF∥BC，
∴∠CEF＝∠BCE，
∴∠BCE＝∠BEC，
∴EB＝BC
（2）解：AE＝BC.
理由：∵EF∥BC，AD∥EF，
∴AD∥EF∥BC，
∵DF＝FC，
∴AE＝BE，
∵EB＝BC，
∴AE＝BC.
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质；等腰三角形的判定；平行线分线段成比例；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）根据角平分线的概念可得∠CEF＝∠BEC，由平行线的性质可得∠CEF＝∠BCE，则∠BCE＝∠BEC，据此证明；
（2）根据平行公理及推论可得AD∥EF∥BC，由平行线分线段成比例的性质可得AE＝BE，由（1）可得EB＝BC，据此可得结论.
18．（2023·玉屏模拟） 如图，在平面直角坐标系中，抛物线：与轴相交于，两点，与轴相交于点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图，抛物线的顶点为，连接，，，，求证：∽；
（3）记抛物线位于轴上方的部分为，将向下平移个单位，使平移后的与的三条边有两个交点，请直接写出的取值范围．
【答案】（1）解：把、分别代入，得：
，
解得：，
抛物线的函数表达式为；
（2）解：证明：，
点，
令，
解得：，，
点坐标为
，，
，，
，
，
，
，
，，，
，
∽；
（3）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；两点间的距离；平移的性质；相似三角形的判定；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：解：设直线的解析式为，
把点、分别代入中，得：
，
解得：，
直线的解析式为，
将向下平移个单位，
则平移后的的解析式为，
当与没有交点时，
即没有实数根，
即没有实数根，
，
解得：，
当与线段只有两个交点时，
即方程有两个负实数根，
，
解得：，
的取值范围为．
【分析】（1）根据待定系数法将点坐标代入函数解析式即可求出答案；
（2）根据配方法将函数解析式转化为，可得点D坐标，令求出点B坐标，再根据两点间距离公式可得BC、DA、DC、AC长，再根据相似三角形判定定理即可求出答案；
（3）设直线的解析式为，根据待定系数法将A，C点坐标代入直线解析式可求出直线AC的解析式为：，根据平移性质可得平移后的的解析式为，再根据直线与抛物线的位置关系分情况讨论，联立方程组，根据二次方程根的性质即可求出答案。
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