2023-2024学年人教版初中数学九年级下册27.2.2相似三角形的性质 同步分层训练基础题
一、选择题
1．（2023九上·萧山月考）如图，中，点D，E分别在边上．若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵
又∵∠DAE=∠CAB
∴△DAE∽△CAB
∴
∴DE=BC==
故答案为：C.
【分析】由两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得△DAE∽△CAB，相似三角形的对应边之比等于相似比得，从而代入可算出DE的长.
2．（2023九上·安吉月考）如图，在中，，，若，则等于（ ）
A．6 B．8 C．7 D．5
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵DE//BC
∴△ADE∽△ABC
∴
∵S△ABC=9
∴S△ ADE=1
∴S四边形BCDE=9-1=8
故答案为：B.
【分析】解决本题的主要依据是相似三角形的面积之比等于相似比.由DE//BC，得△ADE∽△ABC，于是，因为S△ ABC=9，所以S△ ADE=1，故S四边形BCDE=9-1=8.
3．（2023九上·安吉月考）如图所示，四边形中，，，，，，若与相似，则符合条件的点个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：设AP=x，则BP=7-x
若△PAD与△PBC相似，则
可得①3x=7-x4，或②3x=47-x
由①得x1=3，x2=4
由②得x=3
则符合条件的点 P的个数是2
故答案为：C.
【分析】直角三角形相似，对应边成比例，此题利用两条对应边成比例，由于题中没有指明明确的对应关系，故需分两种情况讨论，即，设AP=x，则BP=7-x，代入列出方程，求得几个符合题意的解，即点P的个数就有几个.
4．（2023九上·闵行期中）如果两个相似三角形对应周长之比是2∶3，那么它们的对应边之比是（ ）
A．2∶3 B．4∶9 C．3∶2 D．9∶4
【答案】A
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵两个相似三角形对应周长之比是，
∴它们的对应边之比为，
故答案为：A.
【分析】相似三角形的周长的比等于相似比，据此求解即可．
5．（2022九上·武义期末）下列说法中，不正确的是（ ）
A．全等图形一定是相似图形
B．直角边长分别是6，4和4.5，3的两个直角三角形相似
C．任意两个矩形都相似
D．三角形的重心分每一条中线成1：2的两条线段
【答案】C
【知识点】图形的相似；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：A选项，全等图形的形状、大小完全一样，所以全等图形一定是相似图形，该选项说法正确，不符合题意；
B选项，直角边长分别是6，4和4.5，3的两个直角三角形满足两边对应成比例且夹角相等，所以直角边长分别是6，4和4.5，3的两个直角三角形相似，该选项说法正确，不符合题意；
C选项，任意两个矩形，虽然角对应相等，但是边长不一定对应成比例，所以任意两个矩形，不一定是相似图形，该选项说法错误，符合题意；
D选项，三角形重心的性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1，所以三角形的重心分每一条中线成1：2的两条线段，该选项说法正确，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据相似三角形的判定并结合各选项即可判断求解.
6．（2021九上·温州期末）如图，在四边形 中，以 为直径的 恰好经过点 ， ， 交于点 ，已知 平分 ， ， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】角平分线的性质；圆周角定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图所示，连接OC
∵AB是圆的直径，
∴∠ACB=∠ADC=90°，
∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC=∠CAB，∠DAB=2∠CAB，
∴△ADC∽△ACB，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵∠BOC=2∠CAB，
∴∠BOC=∠DAB，
∴AD∥OC，
∴△OCE∽△DAE，
∴ ，
故答案为：D.
【分析】连接OC，先证△ADC∽△ACB，根据相似三角形对应边成比例列方程，分别用含AB的式子白表示出AC、BC、AD、CD，再利用平行于三角形一边的直线截其它两边，所截的三角形与原三角形相似可得△OCE∽△DAE，进而再根据相似三角形对应边成比例即可求解.
7．（2023·徐州）如图，在中，为的中点．若点在边上，且，则的长为（ ）
A．1 B．2 C．1或 D．1或2
【答案】D
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定；含30°角的直角三角形；相似三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵∠B=90°，∠A=30°，BC=2，
∴AC=2BC=4，AB=，∠C=60°.
∵D为AB的中点，
∴AD=.
∵，
∴DE=1.
当∠ADE=90°时，
∵∠ADE=∠ABC，，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∴AE=2.
当∠ADE≠90°时，取AC的中点H，连接DH，
∵D为AB的中点，H为AC的中点，
∴DH∥BC，DH=BC=1，
∴∠AHD=∠C=60°，DH=DE=1，
∴∠DEH=60°，
∴∠ADE=∠A=30°，
∴AE=DE=1.
综上可得：AE的长为1或2.
故答案为：D.
【分析】易得AC=2BC=4，AB=，∠C=60°，根据中点的概念可得AD的值，结合已知条件可得DE的值，当∠ADE=90°时，根据对应边成比例且夹角相等的两个三角形相似可得△ADE∽△ABC，由相似三角形的性质可得AE的值；当∠ADE≠90°时，取AC的中点H，连接DH，则DH为△ABC的中位线，DH∥BC，DH=BC=1，由平行线的性质可得∠AHD=∠C=60°，DH=DE=1，则∠ADE=∠A=30°，据此解答.
8．（2023九上·怀化期中）如图，在中，，，．点是边上一动点，过点作交于点，为线段的中点，当平分时，的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质；相似三角形的判定与性质；线段的中点
【解析】【解答】解： ，， ，
，
∠BEF=∠ABE，
平分 ，
∠ABE=∠BFE，
∠BEF=∠BFE，
FE=FB，
为线段的中点，
DE=EF，
DE=EF=BF，
，
即
解得：
解得：
故答案为：B.
【分析】先利用勾股定理求得AC的值，再利用平行线的性质和角平分线的性质、线段中点的性质求得DE=EF=BF，再证明利用相似三角形的性质求得BF的值，进而求得CD的值，从而求解.
二、填空题
9．（2023九上·闵行期中）已知两个三角形相似，其中一个三角形的两个角分别为、，则另一个三角形中最小的内角为 ．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵一个三角形的两个角分别为，
∴这个三角形的第三个角是，
∵两个三角形相似，已知三角形中最小角是，
∴另一个三角形的最小的内角为．
故答案为：．
【分析】根据相似三角形对应角相等的性质，三角形的内角和定理求解。根据三角形内角和等于求出第三个角，再根据相似三角形对应角相等解答．
10．（2023九上·宁远期中）两个相似三角形对应高的比为，那么这两个三角形的周长比为 ．
【答案】
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：两个相似三角形对应边上的高的比为，
这两个三角形的相似比为，
两个相似三角形的周长比为；
故答案为：．
【分析】根据相似三角形周长的比、两个相似三角形对应边上的高的比等于相似比求解．
11．（2023九上·宝山期中）已知，其中顶点A、B、C分别对应顶点D、E、F，如果，，那么 .
【答案】75
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴，
故答案为：75.
【分析】根据相似三角形的性质得出是解决问题的关键．
12．（2021九上·瑞安期中）有五本形状为长方体的书放置在方形书架中，如图所示，其中四本竖放，第五本斜放，点 正好在书架边框上.每本书的厚度为5cm，高度为20cm，书架宽为40cm，则 的长 .
【答案】cm
【知识点】勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：由题意得： ，
，
，
，
在 和 中， ，
，
，
设 ，则 ，
，解得 ，
在 中， ，即 ，
解得 或 （不符题意，舍去），
即 .
故答案为： .
【分析】由题得FG=5cm，BC=20cm，BJ=40cm，EF=20cm，由同角的余角相等得∠GFI=∠FEC，证明△GFI∽△FEC，设FI=xcm，则CF=(20-x)cm，由相似三角形的性质可得CE，由勾股定理求出x，据此可得FI.
13．（2018-2019学年数学华师大版九年级上册23.3相似三角形（2） 同步练习）如图， 中， ， ，垂足为D，若AD=2，BD=4，则CD为 ．
【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】 中， ， ，
，
又 ，
，
，即 .
故答案为：
【分析】由题意用同角的余角相等可得∠ACD=∠B，根据直角都相等可得∠ACD=∠CDB，由相似三角形的判定可得△ACD △CBD，可得比例式，结合已知条件可求得CD的长。
三、解答题
14．（2023九上·海曙期中）如图，已知中，，以为直径的交于点D，交于点E，连结，相交于点F.
（1）求证：
（2）若，，求的长。
【答案】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∵∠AEB+∠BEC=180°，
∴90°+∠BEC=180°
解得∠BEC=90°，
∴∠AEB=∠BEC=90°，
∵∠EAF=∠DBF，
∴△BCE∽△AFE；
（2）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵AB=AC，CD=5，
，
在Rt△BEC中，∵CE=6，BC=2CD=10，
，
∵∠ADB=∠BEC=90°，∠FBD=∠CBE，
∴△BFD∽△BCE，
∵BC=10，BD=5，BE=8，
解得
∴EF=BE-BF，
∵△BCE∽△AFE，
∴，解得
【知识点】圆周角定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）首先从问题入手，本题让求证，那么我们就要思考相似三角形的判定定理都有哪些，然后再根据题中所给条件：根据直径所对的圆周角是直角可得∠AEB=∠BEC=90°，最后根据同弧所对圆周角相等可得：∠EAF=∠DBF，即可证明出
（2）首先，由直径所对的圆周角是直角可得∠ADB=90°，其次，利用等腰三角形三线合一可得出：CD=BD=5，再次，在根据勾股定理可以得到：BE=8，然后再通过已知条件证明出：，再利用相似三角形的性质计算出BF的值，进而可算出EF的值，最后利用计算出AF的值即可.
15．（2023九上·安吉月考）如图，内接于，，它的外角的平分线交于点D，连接交于点F．
（1）若，求的度数．
（2）求证：．
（3）若，当，求的度数（用含的代数式表示）．
【答案】（1）解：∵，平分，
∴，
∴，
∴的度数为；
（2）证明：∵四边形内接于，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，圆内接四边形对角互补，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；相似三角形的性质
【解析】【分析】(1)在圆中，要求 BC 的度数，求出BC 所对的圆周角或圆心角即可；由，平分∠EAC，得，，弧的度数等于所对圆周角度数的2倍，故BC 的度数为.
(2)圆内接四边形的外角等于内对角，同弧所对圆周角相等；由AD平分∠EAC得∠EAD=∠DAC，∠EAD=∠CAD=∠DBC=∠DCB，故DB=DC.
(3) 由DA=DF得，∠DAF=∠DFA，由同弧所对圆周角相等，得∠DAF=∠DFA=∠CBD=∠BCD，故△DAF∽△DBC，∠ADF=∠BDC，由圆内接四边形对角互补得，∠ADF=12∠ADC=90° α2，故∠DAF=∠DFA=(180° ∠ADF)÷2=45°+α4，所以∠DFC=180° ∠DFA=135° α4．
四、综合题
16．（2022九上·海曙期中）如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，连结DE， ∠ADE= ∠ACB.
（1）求证：△ADE∽△ACB.
（2）如果E是AC的中点，AD=8，AB=10，求AE的长.
【答案】（1）证明：∵∠ADE= ∠ACB ∠A=∠A
∴△ADE∽△ACB
（2）解：∵点E是AC的中点
∴AC=2AE
∵△ADE∽△ACB
∴ 即
∴ =40
∴AE= .
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据有两组角对应相等的两个三角形相似即可证明；
（2）根据相似三角形对应边成比例建立方程，求解即可.
17．（2021九上·东昌府期中）如图，矩形 中， 为 上一点， 于点 ．
（1）证明 ；
（2）若 ， ， ，求 的长．
【答案】（1）证明：∵四边形 是矩形，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中， ，
∴ ；
（2）解：∵在 中， ， ，
，
由（1）已证： ，
∴ ，即 ，
解得 ．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据四边形 是矩形，得出 ， ，再根据垂直的定义得出 ，利用全等三角形的性质得出 ；
（2）在 中， ， ，利用勾股定理得出AE的值，由（1）已证： ，得出 ，解得即可。
1 / 12023-2024学年人教版初中数学九年级下册27.2.2相似三角形的性质 同步分层训练基础题
一、选择题
1．（2023九上·萧山月考）如图，中，点D，E分别在边上．若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．3
2．（2023九上·安吉月考）如图，在中，，，若，则等于（ ）
A．6 B．8 C．7 D．5
3．（2023九上·安吉月考）如图所示，四边形中，，，，，，若与相似，则符合条件的点个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．（2023九上·闵行期中）如果两个相似三角形对应周长之比是2∶3，那么它们的对应边之比是（ ）
A．2∶3 B．4∶9 C．3∶2 D．9∶4
5．（2022九上·武义期末）下列说法中，不正确的是（ ）
A．全等图形一定是相似图形
B．直角边长分别是6，4和4.5，3的两个直角三角形相似
C．任意两个矩形都相似
D．三角形的重心分每一条中线成1：2的两条线段
6．（2021九上·温州期末）如图，在四边形 中，以 为直径的 恰好经过点 ， ， 交于点 ，已知 平分 ， ， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·徐州）如图，在中，为的中点．若点在边上，且，则的长为（ ）
A．1 B．2 C．1或 D．1或2
8．（2023九上·怀化期中）如图，在中，，，．点是边上一动点，过点作交于点，为线段的中点，当平分时，的长度为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2023九上·闵行期中）已知两个三角形相似，其中一个三角形的两个角分别为、，则另一个三角形中最小的内角为 ．
10．（2023九上·宁远期中）两个相似三角形对应高的比为，那么这两个三角形的周长比为 ．
11．（2023九上·宝山期中）已知，其中顶点A、B、C分别对应顶点D、E、F，如果，，那么 .
12．（2021九上·瑞安期中）有五本形状为长方体的书放置在方形书架中，如图所示，其中四本竖放，第五本斜放，点 正好在书架边框上.每本书的厚度为5cm，高度为20cm，书架宽为40cm，则 的长 .
13．（2018-2019学年数学华师大版九年级上册23.3相似三角形（2） 同步练习）如图， 中， ， ，垂足为D，若AD=2，BD=4，则CD为 ．
三、解答题
14．（2023九上·海曙期中）如图，已知中，，以为直径的交于点D，交于点E，连结，相交于点F.
（1）求证：
（2）若，，求的长。
15．（2023九上·安吉月考）如图，内接于，，它的外角的平分线交于点D，连接交于点F．
（1）若，求的度数．
（2）求证：．
（3）若，当，求的度数（用含的代数式表示）．
四、综合题
16．（2022九上·海曙期中）如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，连结DE， ∠ADE= ∠ACB.
（1）求证：△ADE∽△ACB.
（2）如果E是AC的中点，AD=8，AB=10，求AE的长.
17．（2021九上·东昌府期中）如图，矩形 中， 为 上一点， 于点 ．
（1）证明 ；
（2）若 ， ， ，求 的长．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵
又∵∠DAE=∠CAB
∴△DAE∽△CAB
∴
∴DE=BC==
故答案为：C.
【分析】由两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得△DAE∽△CAB，相似三角形的对应边之比等于相似比得，从而代入可算出DE的长.
2．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵DE//BC
∴△ADE∽△ABC
∴
∵S△ABC=9
∴S△ ADE=1
∴S四边形BCDE=9-1=8
故答案为：B.
【分析】解决本题的主要依据是相似三角形的面积之比等于相似比.由DE//BC，得△ADE∽△ABC，于是，因为S△ ABC=9，所以S△ ADE=1，故S四边形BCDE=9-1=8.
3．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：设AP=x，则BP=7-x
若△PAD与△PBC相似，则
可得①3x=7-x4，或②3x=47-x
由①得x1=3，x2=4
由②得x=3
则符合条件的点 P的个数是2
故答案为：C.
【分析】直角三角形相似，对应边成比例，此题利用两条对应边成比例，由于题中没有指明明确的对应关系，故需分两种情况讨论，即，设AP=x，则BP=7-x，代入列出方程，求得几个符合题意的解，即点P的个数就有几个.
4．【答案】A
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵两个相似三角形对应周长之比是，
∴它们的对应边之比为，
故答案为：A.
【分析】相似三角形的周长的比等于相似比，据此求解即可．
5．【答案】C
【知识点】图形的相似；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：A选项，全等图形的形状、大小完全一样，所以全等图形一定是相似图形，该选项说法正确，不符合题意；
B选项，直角边长分别是6，4和4.5，3的两个直角三角形满足两边对应成比例且夹角相等，所以直角边长分别是6，4和4.5，3的两个直角三角形相似，该选项说法正确，不符合题意；
C选项，任意两个矩形，虽然角对应相等，但是边长不一定对应成比例，所以任意两个矩形，不一定是相似图形，该选项说法错误，符合题意；
D选项，三角形重心的性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1，所以三角形的重心分每一条中线成1：2的两条线段，该选项说法正确，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据相似三角形的判定并结合各选项即可判断求解.
6．【答案】D
【知识点】角平分线的性质；圆周角定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图所示，连接OC
∵AB是圆的直径，
∴∠ACB=∠ADC=90°，
∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC=∠CAB，∠DAB=2∠CAB，
∴△ADC∽△ACB，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵∠BOC=2∠CAB，
∴∠BOC=∠DAB，
∴AD∥OC，
∴△OCE∽△DAE，
∴ ，
故答案为：D.
【分析】连接OC，先证△ADC∽△ACB，根据相似三角形对应边成比例列方程，分别用含AB的式子白表示出AC、BC、AD、CD，再利用平行于三角形一边的直线截其它两边，所截的三角形与原三角形相似可得△OCE∽△DAE，进而再根据相似三角形对应边成比例即可求解.
7．【答案】D
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定；含30°角的直角三角形；相似三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵∠B=90°，∠A=30°，BC=2，
∴AC=2BC=4，AB=，∠C=60°.
∵D为AB的中点，
∴AD=.
∵，
∴DE=1.
当∠ADE=90°时，
∵∠ADE=∠ABC，，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∴AE=2.
当∠ADE≠90°时，取AC的中点H，连接DH，
∵D为AB的中点，H为AC的中点，
∴DH∥BC，DH=BC=1，
∴∠AHD=∠C=60°，DH=DE=1，
∴∠DEH=60°，
∴∠ADE=∠A=30°，
∴AE=DE=1.
综上可得：AE的长为1或2.
故答案为：D.
【分析】易得AC=2BC=4，AB=，∠C=60°，根据中点的概念可得AD的值，结合已知条件可得DE的值，当∠ADE=90°时，根据对应边成比例且夹角相等的两个三角形相似可得△ADE∽△ABC，由相似三角形的性质可得AE的值；当∠ADE≠90°时，取AC的中点H，连接DH，则DH为△ABC的中位线，DH∥BC，DH=BC=1，由平行线的性质可得∠AHD=∠C=60°，DH=DE=1，则∠ADE=∠A=30°，据此解答.
8．【答案】B
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质；相似三角形的判定与性质；线段的中点
【解析】【解答】解： ，， ，
，
∠BEF=∠ABE，
平分 ，
∠ABE=∠BFE，
∠BEF=∠BFE，
FE=FB，
为线段的中点，
DE=EF，
DE=EF=BF，
，
即
解得：
解得：
故答案为：B.
【分析】先利用勾股定理求得AC的值，再利用平行线的性质和角平分线的性质、线段中点的性质求得DE=EF=BF，再证明利用相似三角形的性质求得BF的值，进而求得CD的值，从而求解.
9．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵一个三角形的两个角分别为，
∴这个三角形的第三个角是，
∵两个三角形相似，已知三角形中最小角是，
∴另一个三角形的最小的内角为．
故答案为：．
【分析】根据相似三角形对应角相等的性质，三角形的内角和定理求解。根据三角形内角和等于求出第三个角，再根据相似三角形对应角相等解答．
10．【答案】
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：两个相似三角形对应边上的高的比为，
这两个三角形的相似比为，
两个相似三角形的周长比为；
故答案为：．
【分析】根据相似三角形周长的比、两个相似三角形对应边上的高的比等于相似比求解．
11．【答案】75
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴，
故答案为：75.
【分析】根据相似三角形的性质得出是解决问题的关键．
12．【答案】cm
【知识点】勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：由题意得： ，
，
，
，
在 和 中， ，
，
，
设 ，则 ，
，解得 ，
在 中， ，即 ，
解得 或 （不符题意，舍去），
即 .
故答案为： .
【分析】由题得FG=5cm，BC=20cm，BJ=40cm，EF=20cm，由同角的余角相等得∠GFI=∠FEC，证明△GFI∽△FEC，设FI=xcm，则CF=(20-x)cm，由相似三角形的性质可得CE，由勾股定理求出x，据此可得FI.
13．【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】 中， ， ，
，
又 ，
，
，即 .
故答案为：
【分析】由题意用同角的余角相等可得∠ACD=∠B，根据直角都相等可得∠ACD=∠CDB，由相似三角形的判定可得△ACD △CBD，可得比例式，结合已知条件可求得CD的长。
14．【答案】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∵∠AEB+∠BEC=180°，
∴90°+∠BEC=180°
解得∠BEC=90°，
∴∠AEB=∠BEC=90°，
∵∠EAF=∠DBF，
∴△BCE∽△AFE；
（2）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵AB=AC，CD=5，
，
在Rt△BEC中，∵CE=6，BC=2CD=10，
，
∵∠ADB=∠BEC=90°，∠FBD=∠CBE，
∴△BFD∽△BCE，
∵BC=10，BD=5，BE=8，
解得
∴EF=BE-BF，
∵△BCE∽△AFE，
∴，解得
【知识点】圆周角定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）首先从问题入手，本题让求证，那么我们就要思考相似三角形的判定定理都有哪些，然后再根据题中所给条件：根据直径所对的圆周角是直角可得∠AEB=∠BEC=90°，最后根据同弧所对圆周角相等可得：∠EAF=∠DBF，即可证明出
（2）首先，由直径所对的圆周角是直角可得∠ADB=90°，其次，利用等腰三角形三线合一可得出：CD=BD=5，再次，在根据勾股定理可以得到：BE=8，然后再通过已知条件证明出：，再利用相似三角形的性质计算出BF的值，进而可算出EF的值，最后利用计算出AF的值即可.
15．【答案】（1）解：∵，平分，
∴，
∴，
∴的度数为；
（2）证明：∵四边形内接于，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，圆内接四边形对角互补，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；相似三角形的性质
【解析】【分析】(1)在圆中，要求 BC 的度数，求出BC 所对的圆周角或圆心角即可；由，平分∠EAC，得，，弧的度数等于所对圆周角度数的2倍，故BC 的度数为.
(2)圆内接四边形的外角等于内对角，同弧所对圆周角相等；由AD平分∠EAC得∠EAD=∠DAC，∠EAD=∠CAD=∠DBC=∠DCB，故DB=DC.
(3) 由DA=DF得，∠DAF=∠DFA，由同弧所对圆周角相等，得∠DAF=∠DFA=∠CBD=∠BCD，故△DAF∽△DBC，∠ADF=∠BDC，由圆内接四边形对角互补得，∠ADF=12∠ADC=90° α2，故∠DAF=∠DFA=(180° ∠ADF)÷2=45°+α4，所以∠DFC=180° ∠DFA=135° α4．
16．【答案】（1）证明：∵∠ADE= ∠ACB ∠A=∠A
∴△ADE∽△ACB
（2）解：∵点E是AC的中点
∴AC=2AE
∵△ADE∽△ACB
∴ 即
∴ =40
∴AE= .
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据有两组角对应相等的两个三角形相似即可证明；
（2）根据相似三角形对应边成比例建立方程，求解即可.
17．【答案】（1）证明：∵四边形 是矩形，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中， ，
∴ ；
（2）解：∵在 中， ， ，
，
由（1）已证： ，
∴ ，即 ，
解得 ．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据四边形 是矩形，得出 ， ，再根据垂直的定义得出 ，利用全等三角形的性质得出 ；
（2）在 中， ， ，利用勾股定理得出AE的值，由（1）已证： ，得出 ，解得即可。
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