2023-2024学年人教版初中数学九年级下册27.2.2相似三角形的性质 同步分层训练提升题
一、选择题
1．（2023·重庆）若两个相似三角形周长的比为，则这两个三角形对应边的比是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023九上·威远期中）若两个相似三角形的面积之比为，则它们对应角平分线之比为（ ）
A． B． C． D．
3．如果两个相似三角形的面积比是1：4，那么它们的周长比是（ ）
A．1：16 B．1：4 C．1：6 D．1：2
4．（2023九上·鹿城月考）如图，在的正方形网格中，线段与交于点，若每个小正方形的边长为1，则的长为（ ）
A．2 B． C． D．
5．（2023九上·闵行期中）如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，如果对角线AC与BD相交于点O，△AOB、△BOC、△COD、△DOA的面积分别记作S1、S2、S3、S4，那么下列结论中，不正确的是 （ ）
A．S1=S3 B．S2=2S1
C．S2=2S4 D．
6．如图，已知△ADE∽△ACB，若AB＝10，AC＝8，AD＝4，则AE的长是（ ）
A．3.2 B．4 C．5 D．20
7．（2023九上·恩阳期中）如图是小阳设计利用光线来测量某古城墙高度的示意图，如果镜子P与古城墙的距离米，镜子P与小明的距离米，小明刚好从镜子中看到古城墙顶端点C，小明眼睛距地面的高度米，解决本题应用什么光学知识，该古城墙的高度是（ ）
A．光的反射，米 B．光的折射，米
C．光沿直线传播，8米 D．光的反射，24米
8．如图，正方形ABCD边长为8，M，N分别是边BC，CD上的两个动点，且AM⊥MN，则AN的最小值是（ ）
A．8 B．4 C．10 D．8
二、填空题
9．（2021九上·阳山期末）若两个相似三角形的相似比是1：2，则它们的周长比是 ．
10．（2023九上·上海市月考）已知，，，的高为6，那么的高长为 ．
11．如图，在 Rt△ABC中，∠ABC= 90°，D是边BC上一点，以BD为直径的半圆与边AC相切于点E.若AB=3，BC=4，则 BD= .
12．（2020九上·黄浦期末）如图，将一个装有水的杯子倾斜放置在水平的桌面上，其截面可看作一个宽BC=6厘米，长CD=16厘米的矩形．当水面触到杯口边缘时，边CD恰有一半露出水面，那么此时水面高度是 厘米．
13．如图，⊙O的半径为10，点P在⊙O上，点A在⊙O内，且AP=6，过点A作AP的垂线交QO于点B，C.若PC=15，则PB= .
三、解答题
14．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，C为的中点，延长AD，BC相交于点P，连结AC.
（1）求证；AB=AP.
（2）当AB=10，DP=2时，求线段CP的长.
15．（2023九上·怀化期中）如图，在正方形中，点M、N分别在上，，，．
（1）求证：；
（2）与有什么数量关系，请说明理由；
（3）与有什么位置关系，请说明理由．
四、综合题
16．（2021九上·成都期末）在 中，E是DC的中点，连接AE并延长，交BC的延长线于点F.
（1）求证： ；
（2）点G是CF上一点，连接AG交CD于点H，且 .若 ， ，求AН的长.
17．（2017八下·钦南期末）如图，在矩形ABCD中，E为AD边上的一点，过C点作CF⊥CE交AB的延长线于点F．
（1）求证：△CDE∽△CBF；
（2）若B为AF的中点，CB=3，DE=1，求CD的长．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵两个相似三角形周长的比为，
∴两个三角形对应边的比，
故答案为：B
【分析】根据相似三角形的性质即可求解。
2．【答案】A
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵两个相似三角形的面积之比为，
∴相似三角形的相似比为2：3，
∴它们对应角平分线之比为2：3，
故答案为：A.
【分析】利用相似三角形的面积之比等于相似比的平方，再求出对应角平分线之比为2：3，可得答案.
3．【答案】D
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵两个相似三角形的面积比是1：4，
∴两个相似三角形的相似比是1：2，
∴两个相似三角形的周长比是1：3，
故选：D．
【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方解答即可．
4．【答案】D
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：由图可知：BC//AD
∴△CBE∽△DAE
∴
∵CB=，AD=
∴
∵CD=
∴DE=
故答案为：D.
【分析】由BC//AD，得△CBE∽△DAE，求出CE与DE的比值，然后根据CD的长，求得DE的长.
5．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：A、与等底同高，则，，即，故A选项正确；
B、过点，作于，交于，
，，，，，
即，故B正确；
C、，，，，，即，故C选项不正确；
D、，，故D正确；
故答案为：C。
【分析】根据与等底同高，即可判断A选项，根据，可得以及，可得，即可判断B选项，过点，作于，交于，根据，可得，即可判断C选项， 结合，，即可判断D选项．
6．【答案】C
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】△ADE∽△ACB，
故答案为：C.
【分析】利用相似三角形的性质列出关于AE的比列式，代入数据即可求解.
7．【答案】A
【知识点】相似三角形的判定与性质；相似三角形的应用
【解析】【解答】光的入射角等于反射角，这是光的反射定律
故选：A
【分析】根据图示，解决本题应该的光学知识是光的反射定律，根据光的反射定律，可得到一组对应角相等，根据垂直又得到一组对应角相等，根据判定相似的AA定理，可以得到两三角形的对应边成比例，代入已知的三条线段，CD的长可求。
8．【答案】C
【知识点】二次函数的最值；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：在正方形ABCD中，∠B=∠C=90°，
∵AM⊥MN，
∴∠AMN=90°，
∴∠CMN+∠AMB=90°．
在Rt△ABM中，∠BAM+∠AMB=90°，
∴∠BAM=∠CMN，
∴Rt△ABM∽Rt△MCN；
设BM=x，
∴ = ，
即 = ，
整理得：CN=﹣ x2+x=﹣ （x﹣4）2+2，
∴当x=4时，CN取得最大值2，
∵AN= = ，
∴当DN取得最小值、CN取得最大值，即DN=6时，AN最小，
则AN= =10，
故答案为：C．
【分析】通过相似三角形对应边成比例，写出关系式来，然后表示出CN，二次函数配方法求最值。
9．【答案】1：2
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵两相似三角形的相似比为1：2，
∴它们的周长比是1：2，
故答案为：1：2．
【分析】根据相似三角形的性质即可得出相似比，由此得出周长比。
10．【答案】4
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵，，，
∴相似比为：，
∵的高为6，
∴的高长为：．
故答案为：4．
【分析】根据相似三角形的对应高的比等于相似比计算．
11．【答案】3
【知识点】切线的性质；相似三角形的性质
【解析】【解答】解：如图，在BD上取圆心O，连接OE，
设OB=OE=r，则OC=4-r，
在 Rt△ABC中 ，AC=AB2+BC2=32+42=5
∵△OEC∽△ABC
∴OEOC=ABAC，即r4-r=35
∴r=32，BD=2r=3.
故答案为：3.
【分析】利用线切的性质，连接OE，得△OEC∽△ABC，所以OEOC=ABAC，设OB=OE=r，则OC=4-r，则r4-r=35，解得r=32，BD=2r=3.
12．【答案】
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：过点 作 于 ，如图所示：
∵BC=6厘米，CD=16厘米， CD
厘米，
，
由勾股定理得： ，
，
，
，
，
，
即 ，
．
故答案为： ．
【分析】先由勾股定理求出 ，再过点 作 于 ，由 的比例线段求得结果即可．
13．【答案】8
【知识点】圆周角定理；相似三角形的性质
【解析】【解答】如图，作直径PD，连结BD，
则∠D=∠C
∵PD是直径，且PA⊥BC，
∴∠PBD=∠PAC=90°
∴△PBD∽△PAC
∴PBPD=PAPC，即PB20=615 ∴PB= 8
故答案为：8.
【分析】借助直径所对的圆周角为直角及同弧所对圆周角相等，构造△PBD∽△PAC，可得PBPD=PAPC，即PB20=615，所以PB= 8.
14．【答案】（1）证明：∵AB是⊙O的直径
∴∠ACB=90°，即AC⊥BP
又∵ C为BD 的中点
∴
∴∠BAC=∠DAC
∴∠B=∠P
∴ AB=AP.
（2）解：∵ 四边形ABCD内接于⊙O
∴∠PDC=∠B=∠P
∴CP=CD
易证△CDP∽△ABP
∴，即CP·BP=AP·DP
∵AB=AP，AC⊥BP
∴BP=2CP
∴2CP2=20，CP=10
∴CD=CP=10.
【知识点】圆周角定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】(1)要证 AB=AP，可证∠B=∠P，因为AB是⊙O的直径，可得AC⊥BP，由C为BD 的中点，可得∠BAC=∠DAC，故∠B=∠P，所以AB=AP.
（2） 由四边形ABCD内接于⊙O，可知∠PDC=∠B=∠P.结合（1）可推得BC=CP=CD，又△CDP∽△ABP，所以，2CP2=20，故CP=10.
15．【答案】（1）证明：在正方形中，，，
∵，
∴，
在和中，
，，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：，理由如下：
∵，
∴；
（3）解：，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用正方形的性质得出结合 ， 从而证明 ；
（2）利用相似三角形的性质列出比例式即可求解；
（3）根据， 得到 ， 再根据 得到 ， 从而得到 ， 得出结论.
16．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴ ， ，
∴ ，
∵E为DC中点，
∴
在 和 中
∴ ，
∴ ，
∴
（2）解：∵ ，
∴
∵ ，
∴
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
.
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）由中点的定义得CE=DE，由平行四边形性质和平行线性质得AD=BC，∠DAF=∠F和∠D=∠DCF，然后利用AAS证明△AED≌△FEC，得出AD=CF，等量代换，可得结论；
（2）根据角平分线的定义和平行的性质得出∠GAF=∠F，则可求出AG=GF，最后根据线段的和差关系求出CF和AD的长，由AD∥BC，证明△AHD∽△GHC，根据相似三角形的性质列比例式求解即可.
17．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠1=∠2+∠3=90°，
∵CF⊥CE
∴∠4+∠3=90°
∴∠2=∠4，
∴△CDE∽△CBF
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB，
∵B为AF的中点
∴BF=AB，
设CD=BF=x
∵△CDE∽△CBF，
∴ ，
∴ ，
∵x＞0，
∴x= ，
即CD的长为
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先利用矩形的性质得∠D=∠1=∠2+∠3=90°，然后根据等角的余角相等得到∠2=∠4，则可判断△CDE∽△CBF；（2）先∴BF=AB，设CD=BF=x，再利用△CDE∽△CBF，则可根据相似比得到 ，然后利用比例性质求出x即可．
1 / 12023-2024学年人教版初中数学九年级下册27.2.2相似三角形的性质 同步分层训练提升题
一、选择题
1．（2023·重庆）若两个相似三角形周长的比为，则这两个三角形对应边的比是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵两个相似三角形周长的比为，
∴两个三角形对应边的比，
故答案为：B
【分析】根据相似三角形的性质即可求解。
2．（2023九上·威远期中）若两个相似三角形的面积之比为，则它们对应角平分线之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵两个相似三角形的面积之比为，
∴相似三角形的相似比为2：3，
∴它们对应角平分线之比为2：3，
故答案为：A.
【分析】利用相似三角形的面积之比等于相似比的平方，再求出对应角平分线之比为2：3，可得答案.
3．如果两个相似三角形的面积比是1：4，那么它们的周长比是（ ）
A．1：16 B．1：4 C．1：6 D．1：2
【答案】D
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵两个相似三角形的面积比是1：4，
∴两个相似三角形的相似比是1：2，
∴两个相似三角形的周长比是1：3，
故选：D．
【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方解答即可．
4．（2023九上·鹿城月考）如图，在的正方形网格中，线段与交于点，若每个小正方形的边长为1，则的长为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：由图可知：BC//AD
∴△CBE∽△DAE
∴
∵CB=，AD=
∴
∵CD=
∴DE=
故答案为：D.
【分析】由BC//AD，得△CBE∽△DAE，求出CE与DE的比值，然后根据CD的长，求得DE的长.
5．（2023九上·闵行期中）如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，如果对角线AC与BD相交于点O，△AOB、△BOC、△COD、△DOA的面积分别记作S1、S2、S3、S4，那么下列结论中，不正确的是 （ ）
A．S1=S3 B．S2=2S1
C．S2=2S4 D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：A、与等底同高，则，，即，故A选项正确；
B、过点，作于，交于，
，，，，，
即，故B正确；
C、，，，，，即，故C选项不正确；
D、，，故D正确；
故答案为：C。
【分析】根据与等底同高，即可判断A选项，根据，可得以及，可得，即可判断B选项，过点，作于，交于，根据，可得，即可判断C选项， 结合，，即可判断D选项．
6．如图，已知△ADE∽△ACB，若AB＝10，AC＝8，AD＝4，则AE的长是（ ）
A．3.2 B．4 C．5 D．20
【答案】C
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】△ADE∽△ACB，
故答案为：C.
【分析】利用相似三角形的性质列出关于AE的比列式，代入数据即可求解.
7．（2023九上·恩阳期中）如图是小阳设计利用光线来测量某古城墙高度的示意图，如果镜子P与古城墙的距离米，镜子P与小明的距离米，小明刚好从镜子中看到古城墙顶端点C，小明眼睛距地面的高度米，解决本题应用什么光学知识，该古城墙的高度是（ ）
A．光的反射，米 B．光的折射，米
C．光沿直线传播，8米 D．光的反射，24米
【答案】A
【知识点】相似三角形的判定与性质；相似三角形的应用
【解析】【解答】光的入射角等于反射角，这是光的反射定律
故选：A
【分析】根据图示，解决本题应该的光学知识是光的反射定律，根据光的反射定律，可得到一组对应角相等，根据垂直又得到一组对应角相等，根据判定相似的AA定理，可以得到两三角形的对应边成比例，代入已知的三条线段，CD的长可求。
8．如图，正方形ABCD边长为8，M，N分别是边BC，CD上的两个动点，且AM⊥MN，则AN的最小值是（ ）
A．8 B．4 C．10 D．8
【答案】C
【知识点】二次函数的最值；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：在正方形ABCD中，∠B=∠C=90°，
∵AM⊥MN，
∴∠AMN=90°，
∴∠CMN+∠AMB=90°．
在Rt△ABM中，∠BAM+∠AMB=90°，
∴∠BAM=∠CMN，
∴Rt△ABM∽Rt△MCN；
设BM=x，
∴ = ，
即 = ，
整理得：CN=﹣ x2+x=﹣ （x﹣4）2+2，
∴当x=4时，CN取得最大值2，
∵AN= = ，
∴当DN取得最小值、CN取得最大值，即DN=6时，AN最小，
则AN= =10，
故答案为：C．
【分析】通过相似三角形对应边成比例，写出关系式来，然后表示出CN，二次函数配方法求最值。
二、填空题
9．（2021九上·阳山期末）若两个相似三角形的相似比是1：2，则它们的周长比是 ．
【答案】1：2
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵两相似三角形的相似比为1：2，
∴它们的周长比是1：2，
故答案为：1：2．
【分析】根据相似三角形的性质即可得出相似比，由此得出周长比。
10．（2023九上·上海市月考）已知，，，的高为6，那么的高长为 ．
【答案】4
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵，，，
∴相似比为：，
∵的高为6，
∴的高长为：．
故答案为：4．
【分析】根据相似三角形的对应高的比等于相似比计算．
11．如图，在 Rt△ABC中，∠ABC= 90°，D是边BC上一点，以BD为直径的半圆与边AC相切于点E.若AB=3，BC=4，则 BD= .
【答案】3
【知识点】切线的性质；相似三角形的性质
【解析】【解答】解：如图，在BD上取圆心O，连接OE，
设OB=OE=r，则OC=4-r，
在 Rt△ABC中 ，AC=AB2+BC2=32+42=5
∵△OEC∽△ABC
∴OEOC=ABAC，即r4-r=35
∴r=32，BD=2r=3.
故答案为：3.
【分析】利用线切的性质，连接OE，得△OEC∽△ABC，所以OEOC=ABAC，设OB=OE=r，则OC=4-r，则r4-r=35，解得r=32，BD=2r=3.
12．（2020九上·黄浦期末）如图，将一个装有水的杯子倾斜放置在水平的桌面上，其截面可看作一个宽BC=6厘米，长CD=16厘米的矩形．当水面触到杯口边缘时，边CD恰有一半露出水面，那么此时水面高度是 厘米．
【答案】
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：过点 作 于 ，如图所示：
∵BC=6厘米，CD=16厘米， CD
厘米，
，
由勾股定理得： ，
，
，
，
，
，
即 ，
．
故答案为： ．
【分析】先由勾股定理求出 ，再过点 作 于 ，由 的比例线段求得结果即可．
13．如图，⊙O的半径为10，点P在⊙O上，点A在⊙O内，且AP=6，过点A作AP的垂线交QO于点B，C.若PC=15，则PB= .
【答案】8
【知识点】圆周角定理；相似三角形的性质
【解析】【解答】如图，作直径PD，连结BD，
则∠D=∠C
∵PD是直径，且PA⊥BC，
∴∠PBD=∠PAC=90°
∴△PBD∽△PAC
∴PBPD=PAPC，即PB20=615 ∴PB= 8
故答案为：8.
【分析】借助直径所对的圆周角为直角及同弧所对圆周角相等，构造△PBD∽△PAC，可得PBPD=PAPC，即PB20=615，所以PB= 8.
三、解答题
14．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，C为的中点，延长AD，BC相交于点P，连结AC.
（1）求证；AB=AP.
（2）当AB=10，DP=2时，求线段CP的长.
【答案】（1）证明：∵AB是⊙O的直径
∴∠ACB=90°，即AC⊥BP
又∵ C为BD 的中点
∴
∴∠BAC=∠DAC
∴∠B=∠P
∴ AB=AP.
（2）解：∵ 四边形ABCD内接于⊙O
∴∠PDC=∠B=∠P
∴CP=CD
易证△CDP∽△ABP
∴，即CP·BP=AP·DP
∵AB=AP，AC⊥BP
∴BP=2CP
∴2CP2=20，CP=10
∴CD=CP=10.
【知识点】圆周角定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】(1)要证 AB=AP，可证∠B=∠P，因为AB是⊙O的直径，可得AC⊥BP，由C为BD 的中点，可得∠BAC=∠DAC，故∠B=∠P，所以AB=AP.
（2） 由四边形ABCD内接于⊙O，可知∠PDC=∠B=∠P.结合（1）可推得BC=CP=CD，又△CDP∽△ABP，所以，2CP2=20，故CP=10.
15．（2023九上·怀化期中）如图，在正方形中，点M、N分别在上，，，．
（1）求证：；
（2）与有什么数量关系，请说明理由；
（3）与有什么位置关系，请说明理由．
【答案】（1）证明：在正方形中，，，
∵，
∴，
在和中，
，，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：，理由如下：
∵，
∴；
（3）解：，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用正方形的性质得出结合 ， 从而证明 ；
（2）利用相似三角形的性质列出比例式即可求解；
（3）根据， 得到 ， 再根据 得到 ， 从而得到 ， 得出结论.
四、综合题
16．（2021九上·成都期末）在 中，E是DC的中点，连接AE并延长，交BC的延长线于点F.
（1）求证： ；
（2）点G是CF上一点，连接AG交CD于点H，且 .若 ， ，求AН的长.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴ ， ，
∴ ，
∵E为DC中点，
∴
在 和 中
∴ ，
∴ ，
∴
（2）解：∵ ，
∴
∵ ，
∴
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
.
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）由中点的定义得CE=DE，由平行四边形性质和平行线性质得AD=BC，∠DAF=∠F和∠D=∠DCF，然后利用AAS证明△AED≌△FEC，得出AD=CF，等量代换，可得结论；
（2）根据角平分线的定义和平行的性质得出∠GAF=∠F，则可求出AG=GF，最后根据线段的和差关系求出CF和AD的长，由AD∥BC，证明△AHD∽△GHC，根据相似三角形的性质列比例式求解即可.
17．（2017八下·钦南期末）如图，在矩形ABCD中，E为AD边上的一点，过C点作CF⊥CE交AB的延长线于点F．
（1）求证：△CDE∽△CBF；
（2）若B为AF的中点，CB=3，DE=1，求CD的长．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠1=∠2+∠3=90°，
∵CF⊥CE
∴∠4+∠3=90°
∴∠2=∠4，
∴△CDE∽△CBF
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB，
∵B为AF的中点
∴BF=AB，
设CD=BF=x
∵△CDE∽△CBF，
∴ ，
∴ ，
∵x＞0，
∴x= ，
即CD的长为
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先利用矩形的性质得∠D=∠1=∠2+∠3=90°，然后根据等角的余角相等得到∠2=∠4，则可判断△CDE∽△CBF；（2）先∴BF=AB，设CD=BF=x，再利用△CDE∽△CBF，则可根据相似比得到 ，然后利用比例性质求出x即可．
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