2023-2024学年人教版初中数学九年级下册27.2.3 相似三角形应用举例 同步分层训练基础题
一、选择题
1．要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为5cm，6cm和9cm，另一个三角形的最短边长为2.5cm，则它的最长边长为（ ）．
A．3cm B．4cm C．4.5cm D．5cm
2．（2023·宜宾模拟）如图，在平行四边形中，点E在边上，，连接交于点F，则的面积与的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023九上·宜宾期末）如图，它是物理学中小孔成像的原理示意图，已知物体，根据图中尺寸，则的长应是（ ）
A．15 B．30 C．20 D．10
4．如图所示，树AB在路灯的照射下形成投影AC，已知路灯高，树影，树AB与路灯的水平距离，则树的高度AB是（ ）.
A．2m B．3m C． D．
5．（2022九下·北京市开学考）如图，阳光从教室的窗户射入室内，窗户框AB在地面上的影子长DE＝1.8m，窗户下沿到地面的距离BC＝1m，EC＝1.2m，那么窗户的高AB为（ ）
A．1.5m B．1.6m C．1.86m D．2.16m
6．（2020九上·深圳期末）如图，路灯距离地面8米，若身高1.6米的小明在距离路灯的底部（点O）20米的A处，则小明的影子AM的长为（ ）
A．1.25米 B．5米 C．6米 D．4米
7．（2023九上·宁远期中）如图，小明设计的用激光笔测量城墙高度的示意图，在点处水平放置一面平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到城墙的顶端处，已知，，米，米，米，那么该城墙的高度为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．18
8．（2023九上·晋州期中）如图，一壁厚均匀的容器外径为，用一个交叉卡钳（两条尺长和相等）可测量容器的内部直径．如果，且量得，则零件的厚度x为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2023·柳北模拟）如图，某学生利用一根长1米的标杆测量一棵树的高度，测得米，米，那么树的高度为 米.
10．（2022九上·罗湖期中）如图是小孔成像原理的示意图，，，. 若物体的高度为，则像的高度是 .
11．（2022八下·济宁期末）据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了世界上第1个“小孔成像”的实验，阐释了光的直线传播原理，如图（1）所示。如图（2）所示的小孔成像实验中，若物距为10cm，像距为15cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是6cm，则蜡烛火焰的高度是 cm．
12．（2023九上·怀化期中）《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法．如图所示，在井口A处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端B观察井水水岸D，视线与井口的直径交于点E，如果测得米，米，米，那么为 米．
13．（2023九上·闵行期中）如图，已知小丽的身高是1.6米，他在路灯下的影长为2米，小丽距路灯灯杆的底部3米，那么路灯灯泡距地面的高度是 米．
三、解答题
14．（2020九下·贵阳开学考）如图，某学习小组为了测量校园内一棵小树的高度 ，用长为 的竹竿 作测量工具，移动竹竿，使竹竿影子的顶端、树影子的顶端落在水平地面上的同一点E，且点E，A，C在同一直线上.已知 ， ，求这棵树的高度 .
15．（2020九上·宝安期中）如图，某同学想测量旗杆的高度，他在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长1.5米，在同时刻测量旗杆的影长时，因旗杆靠近一楼房，影子不全落在地面上，有一部分落在墙上，他测得落在地面上影长为21米，留在墙上的影高为2米，求旗杆的高度．
四、综合题
16．（2023九上·永州月考） 如图，在锐角三角形中，为边的中点，为边所在的直线上一点，连接交延长线于，已知，问：
（1）点此时的位置；
（2）求的值．
17．（2022九上·榆树期中）如图，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度DE＝3.5m，点F到地面的高度CF＝1.5m，灯泡到木板的水平距离AC＝5.4m，墙到木板的水平距离为CD＝4m．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A、B、C、D在同一水平面上．
（1）求BC的长．
（2）求灯泡到地面的高度AG．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】相似三角形的性质；相似三角形的应用
【解析】【解答】设另一个三角形的最长边长为xcm，根据相似三角形的性质，得，
解之得x=4.5.
故答案为：C.
【分析】“形状相同”即“相似”，由已知两个三角形的最短边长和其中一个三角形的最长边长，根据相似三角形的性质即可列出对应边长的比例式，解之可得另一个三角形的最长边长.
2．【答案】C
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：设DE=4k，EC=k，则CD=5k，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD=5k，DE⊥AB，
△DEF~△BAF，
，
故答案为C
【分析】设未知数k，由平行四边形推出，AB=CD，DE∥AB，得出△DEF~△BAF，推出。
3．【答案】D
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：依题意，
∴
∵
∴，
故答案为：D.
【分析】根据平行于三角形一边的直线，截其它两边的延长线，所截的三角形与原三角形相似可得△ODC∽△OAB，根据相似三角形对应边上高之比等于相似比建立方程，求解即可.
4．【答案】A
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：由题意得AB∥PO，CP=CA+AP=7.5m，
∴△ABC∽△POC，
∴，即，
解得AB=2m.
故答案为：A.
【分析】根据平行于三角形一边的直线截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得△ABC∽△POC，进而根据相似三角形对应边成比例建立方程，可求出AB的长.
5．【答案】A
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】∵BE∥AD，
∴△BCE∽△ACD，
∴，即 ，
∵BC=1，DE=1.8，EC=1.2
∴
∴1.2AB=1.8，
∴AB=1.5m．
故答案为：A．
【分析】先证明△BCE∽△ACD，再利用相似三角形的性质可得 ，即 ，再将数据代入计算可得 ，最后求出AB的长即可。
6．【答案】B
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】如图，根据题意，易得△MBA∽△MCO，
根据相似三角形的性质可知 ，即 ，
解得AM=5m．
则小明的影子AM的长为5米．
故答案为：B．
【分析】易得：△ABM∽△OCM，利用相似三角形对应边成比例可得出小明的影子AM的长．
7．【答案】B
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：由镜面反射原理知
∵，
∴.
∵，
∴，
∴.
∵米，米，米，
∴（米）.
故该古城墙的高度是8米．
故答案为：B.
【分析】根据相似三角形的判定和性质求解。由镜面反射的知识可得，结合即可得到，由相似三角形的对应边成比例可得，代入数值求解．
8．【答案】B
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】∵∠COD=∠AOB，
∴△CDO∽△ABO，
∴，
∵CD=5.8cm，
∴AB=3CD=17.4cm，
∴x=（18-17.4）÷2=0.3cm，
故答案为：B.
【分析】先证出△CDO∽△ABO，可得AB=3CD=17.4cm，再求出x=（18-17.4）÷2=0.3cm即可.
9．【答案】4
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：由题意可得，CE∥BD，
∴
∴
即
解得米，
故答案为：4.
【分析】由题意可得，CE∥BD，由平行于三角形一边的直线截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得△ACE∽△ABD，进而根据相似三角形对应边成比例建立方程可求出BD.
10．【答案】5
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的应用
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，
∴，
∴，
∴CD=5cm.
故答案为：5.
【分析】根据平行线分线段成比例定理得出，代入数值进行计算，即可得出答案.
11．【答案】4
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：设蜡烛火焰的高度是xcm，
由相似三角形的性质得到：．
解得x＝4．
即蜡烛火焰的高度是4cm．
故答案为：4．
【分析】设蜡烛火焰的高度是xcm，根据相似三角形的性质可得，再求出x的值即可。
12．【答案】3
【知识点】相似三角形的判定与性质；相似三角形的应用
【解析】【解答】解：由题意可得：ABCD，
即
解得：CD=3，
故答案为：3.
【分析】根据已知条件先证明再利用相似三角形的性质列出比例式，代入数据计算即可求解.
13．【答案】4
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：结合题意画出图形得：，
，
，
，
小明的身高为米，他在路灯下的影子长为米；小明距路灯杆底部为米，
，，，
，
解得：，
则路灯灯泡距地面的高度是米．
故答案为：4.
【分析】本题主要考查了相似三角形的应用；根据已知得出图形，进而利用相似三角形的判定与性质求出即可．
14．【答案】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ .
答：这棵树的高度 为 .
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】可以证出△EAB∽△ECD，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可.
15．【答案】解：过C作CE⊥AB于E，
∵CD⊥BD，AB⊥BD，
∴∠EBD＝∠CDB＝∠CEB＝90°，
∴四边形CDBE为矩形，
∴BD＝CE＝21，CD＝BE＝2，
设AE＝x，
∴ ，
解得：x＝14，
∴旗杆的高AB＝AE+BE＝14+2＝16米．
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】过C作CE⊥AB于E，首先证明四边形CDBE为矩形，可得BD＝CE＝21，CD＝BE＝2，设AE＝x，则 ，求出x即可解决问题．
16．【答案】（1）解：如图，过点作，交于点．
，
．
为的中点，，
，
，
点在的延长线上，且．
（2）解：．
【知识点】平行线的性质；相似三角形的应用
【解析】【分析】（1）由平行线的性质证可证 ，即．因为为的中点，，根据等量代换可证从而求出F点此时的位置：
（2）在（1）的基础上即可求出的值 .
17．【答案】（1）解：由题意可得：FC∥DE，
则△BFC∽△BED，
故，
即，
解得：BC＝3，
经检验，BC＝3是上述分式方程的解，
∴BC的长为3m；
（2）解：∵AC＝5.4m，
∴AB＝5.4-3＝2.4（m），
∵光在镜面反射中的入射角等于反射角，
∴∠FBC＝∠GBA，
又∵∠FCB＝∠GAB，
∴△BGA∽△BFC，
∴，
∴，
解得：AG＝1.2（m），
∴灯泡到地面的高度AG为1.2m．
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】（1）先证明△BFC∽△BED，可得，将数据代入可得，再求出BC的长即可；
（2）先证明△BGA∽△BFC，可得，将数据代入可得，再求出AG的长即可。
1 / 12023-2024学年人教版初中数学九年级下册27.2.3 相似三角形应用举例 同步分层训练基础题
一、选择题
1．要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为5cm，6cm和9cm，另一个三角形的最短边长为2.5cm，则它的最长边长为（ ）．
A．3cm B．4cm C．4.5cm D．5cm
【答案】C
【知识点】相似三角形的性质；相似三角形的应用
【解析】【解答】设另一个三角形的最长边长为xcm，根据相似三角形的性质，得，
解之得x=4.5.
故答案为：C.
【分析】“形状相同”即“相似”，由已知两个三角形的最短边长和其中一个三角形的最长边长，根据相似三角形的性质即可列出对应边长的比例式，解之可得另一个三角形的最长边长.
2．（2023·宜宾模拟）如图，在平行四边形中，点E在边上，，连接交于点F，则的面积与的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：设DE=4k，EC=k，则CD=5k，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD=5k，DE⊥AB，
△DEF~△BAF，
，
故答案为C
【分析】设未知数k，由平行四边形推出，AB=CD，DE∥AB，得出△DEF~△BAF，推出。
3．（2023九上·宜宾期末）如图，它是物理学中小孔成像的原理示意图，已知物体，根据图中尺寸，则的长应是（ ）
A．15 B．30 C．20 D．10
【答案】D
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：依题意，
∴
∵
∴，
故答案为：D.
【分析】根据平行于三角形一边的直线，截其它两边的延长线，所截的三角形与原三角形相似可得△ODC∽△OAB，根据相似三角形对应边上高之比等于相似比建立方程，求解即可.
4．如图所示，树AB在路灯的照射下形成投影AC，已知路灯高，树影，树AB与路灯的水平距离，则树的高度AB是（ ）.
A．2m B．3m C． D．
【答案】A
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：由题意得AB∥PO，CP=CA+AP=7.5m，
∴△ABC∽△POC，
∴，即，
解得AB=2m.
故答案为：A.
【分析】根据平行于三角形一边的直线截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得△ABC∽△POC，进而根据相似三角形对应边成比例建立方程，可求出AB的长.
5．（2022九下·北京市开学考）如图，阳光从教室的窗户射入室内，窗户框AB在地面上的影子长DE＝1.8m，窗户下沿到地面的距离BC＝1m，EC＝1.2m，那么窗户的高AB为（ ）
A．1.5m B．1.6m C．1.86m D．2.16m
【答案】A
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】∵BE∥AD，
∴△BCE∽△ACD，
∴，即 ，
∵BC=1，DE=1.8，EC=1.2
∴
∴1.2AB=1.8，
∴AB=1.5m．
故答案为：A．
【分析】先证明△BCE∽△ACD，再利用相似三角形的性质可得 ，即 ，再将数据代入计算可得 ，最后求出AB的长即可。
6．（2020九上·深圳期末）如图，路灯距离地面8米，若身高1.6米的小明在距离路灯的底部（点O）20米的A处，则小明的影子AM的长为（ ）
A．1.25米 B．5米 C．6米 D．4米
【答案】B
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】如图，根据题意，易得△MBA∽△MCO，
根据相似三角形的性质可知 ，即 ，
解得AM=5m．
则小明的影子AM的长为5米．
故答案为：B．
【分析】易得：△ABM∽△OCM，利用相似三角形对应边成比例可得出小明的影子AM的长．
7．（2023九上·宁远期中）如图，小明设计的用激光笔测量城墙高度的示意图，在点处水平放置一面平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到城墙的顶端处，已知，，米，米，米，那么该城墙的高度为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．18
【答案】B
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：由镜面反射原理知
∵，
∴.
∵，
∴，
∴.
∵米，米，米，
∴（米）.
故该古城墙的高度是8米．
故答案为：B.
【分析】根据相似三角形的判定和性质求解。由镜面反射的知识可得，结合即可得到，由相似三角形的对应边成比例可得，代入数值求解．
8．（2023九上·晋州期中）如图，一壁厚均匀的容器外径为，用一个交叉卡钳（两条尺长和相等）可测量容器的内部直径．如果，且量得，则零件的厚度x为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】∵∠COD=∠AOB，
∴△CDO∽△ABO，
∴，
∵CD=5.8cm，
∴AB=3CD=17.4cm，
∴x=（18-17.4）÷2=0.3cm，
故答案为：B.
【分析】先证出△CDO∽△ABO，可得AB=3CD=17.4cm，再求出x=（18-17.4）÷2=0.3cm即可.
二、填空题
9．（2023·柳北模拟）如图，某学生利用一根长1米的标杆测量一棵树的高度，测得米，米，那么树的高度为 米.
【答案】4
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：由题意可得，CE∥BD，
∴
∴
即
解得米，
故答案为：4.
【分析】由题意可得，CE∥BD，由平行于三角形一边的直线截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得△ACE∽△ABD，进而根据相似三角形对应边成比例建立方程可求出BD.
10．（2022九上·罗湖期中）如图是小孔成像原理的示意图，，，. 若物体的高度为，则像的高度是 .
【答案】5
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的应用
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，
∴，
∴，
∴CD=5cm.
故答案为：5.
【分析】根据平行线分线段成比例定理得出，代入数值进行计算，即可得出答案.
11．（2022八下·济宁期末）据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了世界上第1个“小孔成像”的实验，阐释了光的直线传播原理，如图（1）所示。如图（2）所示的小孔成像实验中，若物距为10cm，像距为15cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是6cm，则蜡烛火焰的高度是 cm．
【答案】4
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：设蜡烛火焰的高度是xcm，
由相似三角形的性质得到：．
解得x＝4．
即蜡烛火焰的高度是4cm．
故答案为：4．
【分析】设蜡烛火焰的高度是xcm，根据相似三角形的性质可得，再求出x的值即可。
12．（2023九上·怀化期中）《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法．如图所示，在井口A处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端B观察井水水岸D，视线与井口的直径交于点E，如果测得米，米，米，那么为 米．
【答案】3
【知识点】相似三角形的判定与性质；相似三角形的应用
【解析】【解答】解：由题意可得：ABCD，
即
解得：CD=3，
故答案为：3.
【分析】根据已知条件先证明再利用相似三角形的性质列出比例式，代入数据计算即可求解.
13．（2023九上·闵行期中）如图，已知小丽的身高是1.6米，他在路灯下的影长为2米，小丽距路灯灯杆的底部3米，那么路灯灯泡距地面的高度是 米．
【答案】4
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：结合题意画出图形得：，
，
，
，
小明的身高为米，他在路灯下的影子长为米；小明距路灯杆底部为米，
，，，
，
解得：，
则路灯灯泡距地面的高度是米．
故答案为：4.
【分析】本题主要考查了相似三角形的应用；根据已知得出图形，进而利用相似三角形的判定与性质求出即可．
三、解答题
14．（2020九下·贵阳开学考）如图，某学习小组为了测量校园内一棵小树的高度 ，用长为 的竹竿 作测量工具，移动竹竿，使竹竿影子的顶端、树影子的顶端落在水平地面上的同一点E，且点E，A，C在同一直线上.已知 ， ，求这棵树的高度 .
【答案】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ .
答：这棵树的高度 为 .
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】可以证出△EAB∽△ECD，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可.
15．（2020九上·宝安期中）如图，某同学想测量旗杆的高度，他在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长1.5米，在同时刻测量旗杆的影长时，因旗杆靠近一楼房，影子不全落在地面上，有一部分落在墙上，他测得落在地面上影长为21米，留在墙上的影高为2米，求旗杆的高度．
【答案】解：过C作CE⊥AB于E，
∵CD⊥BD，AB⊥BD，
∴∠EBD＝∠CDB＝∠CEB＝90°，
∴四边形CDBE为矩形，
∴BD＝CE＝21，CD＝BE＝2，
设AE＝x，
∴ ，
解得：x＝14，
∴旗杆的高AB＝AE+BE＝14+2＝16米．
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】过C作CE⊥AB于E，首先证明四边形CDBE为矩形，可得BD＝CE＝21，CD＝BE＝2，设AE＝x，则 ，求出x即可解决问题．
四、综合题
16．（2023九上·永州月考） 如图，在锐角三角形中，为边的中点，为边所在的直线上一点，连接交延长线于，已知，问：
（1）点此时的位置；
（2）求的值．
【答案】（1）解：如图，过点作，交于点．
，
．
为的中点，，
，
，
点在的延长线上，且．
（2）解：．
【知识点】平行线的性质；相似三角形的应用
【解析】【分析】（1）由平行线的性质证可证 ，即．因为为的中点，，根据等量代换可证从而求出F点此时的位置：
（2）在（1）的基础上即可求出的值 .
17．（2022九上·榆树期中）如图，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度DE＝3.5m，点F到地面的高度CF＝1.5m，灯泡到木板的水平距离AC＝5.4m，墙到木板的水平距离为CD＝4m．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A、B、C、D在同一水平面上．
（1）求BC的长．
（2）求灯泡到地面的高度AG．
【答案】（1）解：由题意可得：FC∥DE，
则△BFC∽△BED，
故，
即，
解得：BC＝3，
经检验，BC＝3是上述分式方程的解，
∴BC的长为3m；
（2）解：∵AC＝5.4m，
∴AB＝5.4-3＝2.4（m），
∵光在镜面反射中的入射角等于反射角，
∴∠FBC＝∠GBA，
又∵∠FCB＝∠GAB，
∴△BGA∽△BFC，
∴，
∴，
解得：AG＝1.2（m），
∴灯泡到地面的高度AG为1.2m．
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】（1）先证明△BFC∽△BED，可得，将数据代入可得，再求出BC的长即可；
（2）先证明△BGA∽△BFC，可得，将数据代入可得，再求出AG的长即可。
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