2023-2024学年人教版初中数学九年级下册27.2.3 相似三角形应用举例 同步分层训练提升题
一、选择题
1．（2021九上·长清期中）如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量物的高度，已知标杆BE高1.5m，测得AB＝1.2m，AC＝14m，则建筑物CD的高是（ ）
A．17.5m B．17m C．16.5m D．18m
2．（2021九上·简阳期中）高4米的旗杆在水平地面上的影长为6米，此时测得附近一个建筑物的影长24米，则该建筑物的高度为（ ）
A．10米 B．16米 C．26米 D．36米
3．（2021九上·达州期中）如图，为估算学校的旗杆的高度，身高 米的小红同学沿着旗杆在地面的影子 由 向 走去，当她走到点 处时，她的影子的顶端正好与旗杆的影子的顶端重合，此时测得 ， ，则旗杆的高度是（ ）
A．6.4m B．7m C．8m D．9m
4．（2023九上·江北期中）如图，为测量学校旗杆的高度，小明用长为3.2m的竹竿作测量工具，移动竹竿，使竹竿顶端与旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点，此时，竹竿与这一点相距8m，与旗杆相距22m，则旗杆的高为（ ）
A．8.8m B．10m C．12m D．14m
5．（2023九上·晋州期中）如图，一壁厚均匀的容器外径为18，用一个交叉卡钳（两条尺长和相等）可测量容器的内部直径．如果，且量得，则零件的厚度x为（ ）
A．0.25 B．0.3 C．0.35 D．0.4
6．（2022九上·武侯期中）同一时刻，同一地点，在阳光下影长为0.4米的小王身高为1.6米，一棵树的影长为3.2米，则这棵树的高度为 （ ）
A．0.8米 B．6.4米 C．12.8米 D．25.6米
7．（2023九上·浦东期中）如图1，是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面的宽度为（ ）
图1 图2
A． B． C． D．
8．如图，一张等腰三角形纸片，底边长为15cm，底边上的高线长为22.5cm．现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3 cm的矩形纸条，已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是（ ）．
A．第4张 B．第5张 C．第6张 D．第7张
二、填空题
9．（2023八下·绿园期末）如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小艺同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上，直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端已知小艺的眼睛离地面高度为米，同时量得小艺与镜子的水平距离为米，镜子与旗杆的水平距离为米，则旗杆的高度为 米
10．（2023九上·成都期中）如图，为测量学校旗杆高度，小艺同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退，直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端，已知小艺的眼睛离地面高度为1.6米，同时量得小艺与镜子的水平距离为2米，镜子与旗杆的水平距离为10米．则旗杆的高度为 米．
11．（2023九上·宁远期中）如下图，跷跷板支架的高为0.3米，是的中点，那么跷跷板能骁起的最大高度等于 米．
12．（2022九上·青岛期中）如图1是液体沙漏的立体图形，图2，图3分别是液体沙漏某一时刻沙漏上半部分液体长度与液面距离水平面高度的平面示意图，则图3中AB＝ cm．
13．（2023九上·萧山月考）如图，某公园有一月牙形水池，水池边缘有A，B，C，D，E五盏装饰灯．为了估测该水池的大小，观测员在A，D两点处发现点A，E，C和D，E，B均在同一直线上，沿AD方向走到F点，发现．测得米，米，米，则所在圆的半径为 米，所在圆的半径 为．米．
三、解答题
14．（2022·芜湖模拟）《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口B处立一根垂直于井口的木杆BD，从木杆的顶端D点观察井内水岸C点，视线DC与井口的直径AB交于点E．如果测得AB＝1.8米，BD＝1米，BE＝0.2米．请求出井深AC的长．
15．（2023九上·金沙期中）一天晚上，小南和小北利用灯光下的影子来测量一路灯D的高度，如图，当朝阳走到点A处时，小南测得小北直立身高AM与其影子长AE正好相等，接着小北沿AC方向继续向前走，走到点B处时，小北直立时身高BN的影子恰好是线段AB，并测得.已知小北直立时的身高为1.5m，求路灯的高CD的长.
四、综合题
16．（2023·玉溪模拟）如图，是的外接圆，是的直径，点D是外一点，平分，过点A作直线的垂线，垂足为点D，连接，点E是的中点，连接．
（1）求证：是的切线；
（2）若的直径为10，，求的长．
17．（2023·临海模拟）如图1，点光源O射出光线沿直线传播，将胶片上的建筑物图片投影到与胶片平行的屏幕上，形成影像.已知，胶片与屏幕的距离为定值，设点光源到胶片的距离长为x（单位：），CD长为y（单位：），当时，.
（1）求的长.
（2）求y关于x的函数解析式，在图中画出图像，并写出至少一条该函数性质.
（3）若要求不小于，求的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：∵EB⊥AC，DC⊥AC，
∴EB DC，
∴△ABE∽△ACD，
∴ ，
∵BE＝1.5m，AB＝1.2m，AC＝14m，
∴ ，
解得，DC＝17.5（m），
即建筑物CD的高是17.5m，
故答案为：A．
【分析】由△ABE∽△ACD可得关系式即可求解。
2．【答案】B
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：根据在同一时刻，物体的实际高度和影长成比例，
设建筑物的高是x米，则：
，
解得：，
故选：B.
【分析】根据在同一时刻，物体的实际高度和影长成比例进行解答即可.
3．【答案】C
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：设旗杆的高度为 米，由同一时刻物高与影长成比例可得： ，
解得：
经检验： 符合题意.
故答案为：C.
【分析】设旗杆的高度为h米，由同一时刻物高与影长成比例可列出方程，求解即可.
4．【答案】C
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：如图，
∵BE⊥AD，CD⊥AD，
∴BE∥CD，
∴，
，
∵，
∴，
解得，
旗杆的高为12m.
故答案为：C.
【分析】由同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行得BE∥CD，由平行于三角形一边得直线，截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得△ABE∽△ACD，由相似三角形对应边成比例建立方程可求出CD的长，从而得出答案.
5．【答案】B
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】∵，∠COD=∠AOB，
∴△COD∽△AOB，
∴AB：CD=3：1，
∵CD=5.8cm，
∴AB=17.4cm，
∵一壁厚均匀的容器外径为18，
∴零件的厚度x=（18-17.4）÷2=0.3cm，
故答案为：B.
【分析】先证出△COD∽△AOB，再求出AB的长，最后列出算式求出零件的厚度x=（18-17.4）÷2=0.3cm即可.
6．【答案】C
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：设树高为x米，列方程得，
，
解得：x=12.8，
故C正确，A、B、D错误。
故答案为：C.
【分析】利用同一时刻，同一地点 ，物高：影长=物高：影长，（即）列方程求解。
7．【答案】C
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：由题可知，第一个高脚杯盛液体的高度为：15-7=8（cm），
第二个高脚杯盛液体的高度为：11-7=4（cm），
因为液面都是水平的，图1和图2中的高脚杯是同一个高脚杯，
所以图1和图2中的两个三角形相似，
∴，
AB=3cm，
故答案为：C。
【分析】先求出两个高脚杯液体的高度，再通过三角形相似，建立其对应边的比与对应高的比相等的关系，即可求解。
8．【答案】C
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】 解：∵已知剪得的纸条中有一张是正方形，则正方形中平行于底边的边是3.
根据相似三角形的性质，设从顶点到这个正方形的线段为xcm.
∴，解得x=4.5.
∴另一段长为22.5-4.5=18（ cm ）.
∵18÷3=6，
∴这张正方形纸条是第6张．
故答案为：C.
【分析】 根据相似三角形的相似比求得顶点到这个正方形的长，再根据矩形的宽求得是第几张．
9．【答案】8
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：如图所示，
由题意得：∠ABO=∠CDO=90°，∠AOB=∠COD，
∴△AOB∽△COD，
∴，
∵AB=1.6米，OB=2米，OD=10米，
∴，
解得：CD=8，
故答案为：.
【分析】证明△AOB∽△COD，，根据相似三角形的性质得到，代入数据计算即可．
10．【答案】8
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】由题意得：∠ABO=∠CDO=90°，∠AOB=∠COD，
AB=1.6米，OB=2米，OD=10米，
解得：CD=8米，
【分析】由题意得利用相似三角形的性质列出比例式将数据代入即可求解.
11．【答案】0.6
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：当时，BC最大，
∵
∴
∴
∵E是的中点，
∴
∴米，
故答案为：0.6．
【分析】根据相似三角形的判定与性质求解。当时，BC最大，根据，得，从而得，再根据E是的中点，得，代入即可求解．
12．【答案】
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：过D作交于G，如图所示：
根据题意可知，
根据对称性可知，，
，
，
，
，
，
，即，解得，
，
故答案为：．
【分析】过D作交于G，根据对称性可知，，可得CD=4cm，证明，根据相似三角形的性质求出BC，即得AB的长。
13．【答案】5；
【知识点】勾股定理的应用；垂径定理的应用；相似三角形的应用
【解析】【解答】解：过点E作EG⊥AD于点G，则点A、E、D所在圆的圆心必在EG上，
如图取圆心O，连接AO，
∵ 米， 米
∴AG=12AD=4.8米，EG=AE2-AG2=82-4.82=6.4米
设 所在圆的半径为r米，则AO=EO=r米，OG=6.4-r（米）
在Rt△AOG中，AG2+OG2=AO2，即4.82+(6.4-r)2=r2
解得：r=5米，即半径为5米；
延长GE交大圆于点H，则 所在圆的圆心必在HG上，
如图记大圆圆心为O1，作O1M⊥AC于点M，连接O1C，
∵米， 米
∴AF=9.6+2.4=12米
∵
∴EG//CF
∴，即
∴AC=20米
∴AM=CM=10米，EM=10-8=2米
∵△AEG∽△O1EM
∴，即
∴O1M=
∴O1C=
故答案为：5，4092.
【分析】垂直于弦的直径必经过圆心，过点E作AD的垂线，大小圆的圆心均在这条垂线上；借助垂径定理，以半径、弦心距、弦长一半三条线段构成直角三角形，用勾股定理列方程求或直接计算线段长度是圆中常见的解题方法；本题先借助Rt△AOG，求得小圆半径等于5米，再通过平行线分线段成比例求得AC=20米，由△AEG∽△O1EM，求得O1M的长，再利用Rt△O1MC ，通过勾股定理求得O1C的长.
14．【答案】解：由题意，BD∥AC．
∴△BDE∽△ACE．
∴．
∴．
解得AC＝8．
答：井深AC的长为8米．
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】先证明△BDE∽△ACE，再利用相似三角形的性质可得，然后将数据代入计算可得AC＝8。
15．【答案】解：设CD长为，
∵，，，，
∴，且为等腰直角三角形，
∴，∴为等腰直角三角形，
∴，，
∵，∴，，
∴，∴，
∴，解得：，
∴路灯CD的高度为4.5m.
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】 设CD长为， 根据题意可证得 ，，再证明 ，利用相似三角形的性质列出比例式计算即可求解.
16．【答案】（1）证明：如图所示，连接 ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ 是 的半径，
∴ 是 的切线；
（2）解：∵ 是直径，
∴ ，
∵点E是 的中点，点O是 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ．
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】（1）如图所示，连接OA，由角平分线的定义得到∠OCA＝∠DCA，再由等边对等角推出∠OAC＝∠OCA＝∠DCA，则OA∥CD，即可证明OA⊥AD，则AD是⊙O的切线；
（2）先由直径所对的圆周角是直角得到∠BAC＝90°，再证明OE是△ABC的中位线，得到AC＝2OE＝6，进一步证明，利用相似三角形的性质即可求出CD＝3.6．
17．【答案】（1）解：，
，
，
，
解得.
（2）解：由（1）得，，
，
或，
性质：当时，y随x的增大而减小.
(注：写出其他性质，只要合理均可给分)
（3）解：由，，
则，
解得，
的取值范围为：.
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】（1）由平行线可证 ， 可得 ， 据此即可求出EF的长；
（2） 由（1）得， 据此可得 ， 从增减性写出性质即可；
（3） 由题意知，即得，据此求解即可.
1 / 12023-2024学年人教版初中数学九年级下册27.2.3 相似三角形应用举例 同步分层训练提升题
一、选择题
1．（2021九上·长清期中）如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量物的高度，已知标杆BE高1.5m，测得AB＝1.2m，AC＝14m，则建筑物CD的高是（ ）
A．17.5m B．17m C．16.5m D．18m
【答案】A
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：∵EB⊥AC，DC⊥AC，
∴EB DC，
∴△ABE∽△ACD，
∴ ，
∵BE＝1.5m，AB＝1.2m，AC＝14m，
∴ ，
解得，DC＝17.5（m），
即建筑物CD的高是17.5m，
故答案为：A．
【分析】由△ABE∽△ACD可得关系式即可求解。
2．（2021九上·简阳期中）高4米的旗杆在水平地面上的影长为6米，此时测得附近一个建筑物的影长24米，则该建筑物的高度为（ ）
A．10米 B．16米 C．26米 D．36米
【答案】B
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：根据在同一时刻，物体的实际高度和影长成比例，
设建筑物的高是x米，则：
，
解得：，
故选：B.
【分析】根据在同一时刻，物体的实际高度和影长成比例进行解答即可.
3．（2021九上·达州期中）如图，为估算学校的旗杆的高度，身高 米的小红同学沿着旗杆在地面的影子 由 向 走去，当她走到点 处时，她的影子的顶端正好与旗杆的影子的顶端重合，此时测得 ， ，则旗杆的高度是（ ）
A．6.4m B．7m C．8m D．9m
【答案】C
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：设旗杆的高度为 米，由同一时刻物高与影长成比例可得： ，
解得：
经检验： 符合题意.
故答案为：C.
【分析】设旗杆的高度为h米，由同一时刻物高与影长成比例可列出方程，求解即可.
4．（2023九上·江北期中）如图，为测量学校旗杆的高度，小明用长为3.2m的竹竿作测量工具，移动竹竿，使竹竿顶端与旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点，此时，竹竿与这一点相距8m，与旗杆相距22m，则旗杆的高为（ ）
A．8.8m B．10m C．12m D．14m
【答案】C
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：如图，
∵BE⊥AD，CD⊥AD，
∴BE∥CD，
∴，
，
∵，
∴，
解得，
旗杆的高为12m.
故答案为：C.
【分析】由同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行得BE∥CD，由平行于三角形一边得直线，截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得△ABE∽△ACD，由相似三角形对应边成比例建立方程可求出CD的长，从而得出答案.
5．（2023九上·晋州期中）如图，一壁厚均匀的容器外径为18，用一个交叉卡钳（两条尺长和相等）可测量容器的内部直径．如果，且量得，则零件的厚度x为（ ）
A．0.25 B．0.3 C．0.35 D．0.4
【答案】B
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】∵，∠COD=∠AOB，
∴△COD∽△AOB，
∴AB：CD=3：1，
∵CD=5.8cm，
∴AB=17.4cm，
∵一壁厚均匀的容器外径为18，
∴零件的厚度x=（18-17.4）÷2=0.3cm，
故答案为：B.
【分析】先证出△COD∽△AOB，再求出AB的长，最后列出算式求出零件的厚度x=（18-17.4）÷2=0.3cm即可.
6．（2022九上·武侯期中）同一时刻，同一地点，在阳光下影长为0.4米的小王身高为1.6米，一棵树的影长为3.2米，则这棵树的高度为 （ ）
A．0.8米 B．6.4米 C．12.8米 D．25.6米
【答案】C
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：设树高为x米，列方程得，
，
解得：x=12.8，
故C正确，A、B、D错误。
故答案为：C.
【分析】利用同一时刻，同一地点 ，物高：影长=物高：影长，（即）列方程求解。
7．（2023九上·浦东期中）如图1，是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面的宽度为（ ）
图1 图2
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：由题可知，第一个高脚杯盛液体的高度为：15-7=8（cm），
第二个高脚杯盛液体的高度为：11-7=4（cm），
因为液面都是水平的，图1和图2中的高脚杯是同一个高脚杯，
所以图1和图2中的两个三角形相似，
∴，
AB=3cm，
故答案为：C。
【分析】先求出两个高脚杯液体的高度，再通过三角形相似，建立其对应边的比与对应高的比相等的关系，即可求解。
8．如图，一张等腰三角形纸片，底边长为15cm，底边上的高线长为22.5cm．现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3 cm的矩形纸条，已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是（ ）．
A．第4张 B．第5张 C．第6张 D．第7张
【答案】C
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】 解：∵已知剪得的纸条中有一张是正方形，则正方形中平行于底边的边是3.
根据相似三角形的性质，设从顶点到这个正方形的线段为xcm.
∴，解得x=4.5.
∴另一段长为22.5-4.5=18（ cm ）.
∵18÷3=6，
∴这张正方形纸条是第6张．
故答案为：C.
【分析】 根据相似三角形的相似比求得顶点到这个正方形的长，再根据矩形的宽求得是第几张．
二、填空题
9．（2023八下·绿园期末）如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小艺同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上，直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端已知小艺的眼睛离地面高度为米，同时量得小艺与镜子的水平距离为米，镜子与旗杆的水平距离为米，则旗杆的高度为 米
【答案】8
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：如图所示，
由题意得：∠ABO=∠CDO=90°，∠AOB=∠COD，
∴△AOB∽△COD，
∴，
∵AB=1.6米，OB=2米，OD=10米，
∴，
解得：CD=8，
故答案为：.
【分析】证明△AOB∽△COD，，根据相似三角形的性质得到，代入数据计算即可．
10．（2023九上·成都期中）如图，为测量学校旗杆高度，小艺同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退，直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端，已知小艺的眼睛离地面高度为1.6米，同时量得小艺与镜子的水平距离为2米，镜子与旗杆的水平距离为10米．则旗杆的高度为 米．
【答案】8
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】由题意得：∠ABO=∠CDO=90°，∠AOB=∠COD，
AB=1.6米，OB=2米，OD=10米，
解得：CD=8米，
【分析】由题意得利用相似三角形的性质列出比例式将数据代入即可求解.
11．（2023九上·宁远期中）如下图，跷跷板支架的高为0.3米，是的中点，那么跷跷板能骁起的最大高度等于 米．
【答案】0.6
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：当时，BC最大，
∵
∴
∴
∵E是的中点，
∴
∴米，
故答案为：0.6．
【分析】根据相似三角形的判定与性质求解。当时，BC最大，根据，得，从而得，再根据E是的中点，得，代入即可求解．
12．（2022九上·青岛期中）如图1是液体沙漏的立体图形，图2，图3分别是液体沙漏某一时刻沙漏上半部分液体长度与液面距离水平面高度的平面示意图，则图3中AB＝ cm．
【答案】
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：过D作交于G，如图所示：
根据题意可知，
根据对称性可知，，
，
，
，
，
，
，即，解得，
，
故答案为：．
【分析】过D作交于G，根据对称性可知，，可得CD=4cm，证明，根据相似三角形的性质求出BC，即得AB的长。
13．（2023九上·萧山月考）如图，某公园有一月牙形水池，水池边缘有A，B，C，D，E五盏装饰灯．为了估测该水池的大小，观测员在A，D两点处发现点A，E，C和D，E，B均在同一直线上，沿AD方向走到F点，发现．测得米，米，米，则所在圆的半径为 米，所在圆的半径 为．米．
【答案】5；
【知识点】勾股定理的应用；垂径定理的应用；相似三角形的应用
【解析】【解答】解：过点E作EG⊥AD于点G，则点A、E、D所在圆的圆心必在EG上，
如图取圆心O，连接AO，
∵ 米， 米
∴AG=12AD=4.8米，EG=AE2-AG2=82-4.82=6.4米
设 所在圆的半径为r米，则AO=EO=r米，OG=6.4-r（米）
在Rt△AOG中，AG2+OG2=AO2，即4.82+(6.4-r)2=r2
解得：r=5米，即半径为5米；
延长GE交大圆于点H，则 所在圆的圆心必在HG上，
如图记大圆圆心为O1，作O1M⊥AC于点M，连接O1C，
∵米， 米
∴AF=9.6+2.4=12米
∵
∴EG//CF
∴，即
∴AC=20米
∴AM=CM=10米，EM=10-8=2米
∵△AEG∽△O1EM
∴，即
∴O1M=
∴O1C=
故答案为：5，4092.
【分析】垂直于弦的直径必经过圆心，过点E作AD的垂线，大小圆的圆心均在这条垂线上；借助垂径定理，以半径、弦心距、弦长一半三条线段构成直角三角形，用勾股定理列方程求或直接计算线段长度是圆中常见的解题方法；本题先借助Rt△AOG，求得小圆半径等于5米，再通过平行线分线段成比例求得AC=20米，由△AEG∽△O1EM，求得O1M的长，再利用Rt△O1MC ，通过勾股定理求得O1C的长.
三、解答题
14．（2022·芜湖模拟）《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口B处立一根垂直于井口的木杆BD，从木杆的顶端D点观察井内水岸C点，视线DC与井口的直径AB交于点E．如果测得AB＝1.8米，BD＝1米，BE＝0.2米．请求出井深AC的长．
【答案】解：由题意，BD∥AC．
∴△BDE∽△ACE．
∴．
∴．
解得AC＝8．
答：井深AC的长为8米．
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】先证明△BDE∽△ACE，再利用相似三角形的性质可得，然后将数据代入计算可得AC＝8。
15．（2023九上·金沙期中）一天晚上，小南和小北利用灯光下的影子来测量一路灯D的高度，如图，当朝阳走到点A处时，小南测得小北直立身高AM与其影子长AE正好相等，接着小北沿AC方向继续向前走，走到点B处时，小北直立时身高BN的影子恰好是线段AB，并测得.已知小北直立时的身高为1.5m，求路灯的高CD的长.
【答案】解：设CD长为，
∵，，，，
∴，且为等腰直角三角形，
∴，∴为等腰直角三角形，
∴，，
∵，∴，，
∴，∴，
∴，解得：，
∴路灯CD的高度为4.5m.
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】 设CD长为， 根据题意可证得 ，，再证明 ，利用相似三角形的性质列出比例式计算即可求解.
四、综合题
16．（2023·玉溪模拟）如图，是的外接圆，是的直径，点D是外一点，平分，过点A作直线的垂线，垂足为点D，连接，点E是的中点，连接．
（1）求证：是的切线；
（2）若的直径为10，，求的长．
【答案】（1）证明：如图所示，连接 ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ 是 的半径，
∴ 是 的切线；
（2）解：∵ 是直径，
∴ ，
∵点E是 的中点，点O是 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ．
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】（1）如图所示，连接OA，由角平分线的定义得到∠OCA＝∠DCA，再由等边对等角推出∠OAC＝∠OCA＝∠DCA，则OA∥CD，即可证明OA⊥AD，则AD是⊙O的切线；
（2）先由直径所对的圆周角是直角得到∠BAC＝90°，再证明OE是△ABC的中位线，得到AC＝2OE＝6，进一步证明，利用相似三角形的性质即可求出CD＝3.6．
17．（2023·临海模拟）如图1，点光源O射出光线沿直线传播，将胶片上的建筑物图片投影到与胶片平行的屏幕上，形成影像.已知，胶片与屏幕的距离为定值，设点光源到胶片的距离长为x（单位：），CD长为y（单位：），当时，.
（1）求的长.
（2）求y关于x的函数解析式，在图中画出图像，并写出至少一条该函数性质.
（3）若要求不小于，求的取值范围.
【答案】（1）解：，
，
，
，
解得.
（2）解：由（1）得，，
，
或，
性质：当时，y随x的增大而减小.
(注：写出其他性质，只要合理均可给分)
（3）解：由，，
则，
解得，
的取值范围为：.
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】（1）由平行线可证 ， 可得 ， 据此即可求出EF的长；
（2） 由（1）得， 据此可得 ， 从增减性写出性质即可；
（3） 由题意知，即得，据此求解即可.
1 / 1
